勾股定理11

勾股定理十种证明欧几里德是古典数学的代表人物，他提出的勾股定理被认为是数学史上最重要的定理之一。

勾股定理，即给定直角三角形的两条直角边a，b，其斜边的平方等于两边的平方和，即：a2+b2=c2。

今天，我们将为读者介绍十种证明勾股定理的方法。

第一种是利用重心法证明。

当定义等腰三角形ABC时，在线段AB上定义重心G。

将线段AG视为一直角三角形，AG和BG就构成直角三角形。

易知三角形AGC也是直角三角形，三角形ABC也就是一个等腰直角三角形，AG和BC就是一组等腰三角形。

易得：a2+b2=AC2+BC2，即：a2+b2=c2。

第二种是利用反证法证明。

假设勾股定理不成立，即a2+b2≠c2，那么，就会得到一条不等式：a2+b2>c2或a2+b2<c2。

因为a、b都是非负的，再加上c也是非负的，所以，有：a2>0、b2>0、c2>0，从而：a2+b2>0，由此可以得出矛盾：a2+b2>c2，但是c2>0。

这与原假设矛盾，则勾股定理成立。

第三是利用余弦定理证明。

设等腰三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=a2+c2-2ac cosB，c2=a2+b2-2ab cosC，将三式相加，可得到：2a2+2b2=2c2，从而证明勾股定理。

第四是利用边缘法证明。

由边缘定理可知，在等腰三角形ABC 中：a2=b2=c2=2S2，其中S为ABC的面积。

令α、β、γ分别为三角形ABC的内角，及对应的外接圆的半径，令ΔO为三角形ABC的外切圆，则有：α+β+γ=180°，易知：a2+b2+c2=2(α2+β2+γ2)=2R2=c2，可以证明出勾股定理。

第五种是利用角和弧法证明。

在等腰三角形ABC中，用圆弧a 表示两边a和b的连接的圆弧，一条弧的长度是直径乘以圆心角的度数，即可推得：c2=a2+2aR-b2，将c2的左边加上b2，右边减去b2，即可得到：c2=a2+b2，从而证明出勾股定理。

第三章、勾股定理 一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。

符号语言：注意：前提一定是直角三角形.a ，b 也可能是斜边，分清斜边直角边.勾股定理的证明 ：勾股定理的证明方法很多，常见的的方法是面积相等---根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证勾股定理的适用范围 ： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

cb aHG F EDCB A bacbac cabcab a bcc baED CBA（分类讨论，数形结合）最大边的平方＜最小边的平方+中间边的平方是锐角三角形 最大边的平方＞最小边的平方+中间边的平方是钝角三角形说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）分别求出c 2与a 2+b 2，判定c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

第11课 勾股定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧勾股定理逆定理：，，，，，勾股组数：勾股定理：勾股定理中考真题练习1.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A 、B 都是格点,则线段AB 长度为（ ）A.5B.6C.7D.25第1题图 第2题图 第3题图2.如图,在Rt ΔABC 中,∠ACB=900,BC=3,AC=4,AB 的垂直平分线DE 交BC 延长线于E,则CE 长为（ ） A.32 B.76 C.256 D.23.如图,在正三角形ABC 中,D,E,F 分别是BC,AC,AB 上的点,DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD ⊥BC,则ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比等于（ ）A.1:3B.2:3C.3:2D.3:34.下列各三角形中，面积为无理数的是（ ）5.如图,△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D.则BD 的长为（ ） A.532 B.543 C.554 D.553第5题图 第6题图 第7题图6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 中点,且CD=25,若Rt △ABC 面积为1,则它的周长为（ ） A.215+ B.15+ C.25+ D.35+ 7.如图,O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P,且P 是半径OB 的中点,CD=6cm,则直径AB 的长是（ ） A.23cm B.32cm C.42cm D.43cmADB E C8.如图,已知△ABC 中,AB=17,AC=10,BC 边上的高AD=8,则边BC 的长为（ ）A.21B.15C.6D.以上答案都不对第8题图 第9题图 第10题图9.如图,点A 的坐标是(2,2),若点P 在x 轴上,且△APO 是等腰三角形,则点P 的坐标不可能．．．是（ ） A.(4，0) B.(1,0） C.)0,22(- D.(2,0）10.如图,已知△ABC 中,∠ABC=900,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上,且l 1，l 2之间的距离为2,l 2，l 3之间的距离为3,则AC 的长是（ ） A.172 B.52 C.24 D.711.在△ABC 中,若AB=AC=15,BC=24,若P 是△ABC 所在平面内的点,且PB=PC=20，则AP 长为（ ）A.7B.5C.7或25D.5或1412.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a 和b,那么2)(b a +的值为（ ）A.49B.25C.13D.1第12题图 第13题图 第14题图13.将一个有450角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成300角,如图,则三角板的最大边的长为（ ） A.3cm B.6cm C.23cm D.26cm14.一渔船在海岛A 南偏东200方向的B 处遇险,测得海岛A 与B 的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西800方向向海岛C 靠近.同时,从A 处出发的救援船沿南偏西100方向匀速航行.20分钟后,救援船在海岛C 处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为（ ） A.310海里/小时 B.30海里/小时 C.错误！未找到引用源。

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）abba设它们的两条直角边长分别为做8个全等的直角三角形， 三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等.即 2 2 1 2 1 a 2 b 2 4 ab 二c 24 ab 亠 2 222 2 ，整理得 a 2+b 2=c 2.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积lab 等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A 、E 、B 三点在一条直线上， C 三点在一条直线上，C G D 三点在一条直线上.v Rt △ HAE 坐 Rt △ EBF,••• / AHE = / BEFv / AEH + / AHE = 90o, • / AEH + / BEF = 90o.• / HEF = 180o — 90o= 90o. •四边形EFGH 是一个边长为正方形.它的面积等于c 2.v Rt △ GDH 坐 Rt △ HAE,• / HGD = / EHAv / HGD + / GHD = 98,• / EHA + / GHD = 98. 又v / GHE = 90o,• / DHA = 90o+ 90o= 180o.2 • ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于（a 十b ）., 2 1 2（a +b 2 =4 x-ab +c 2• 2 .【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）,a 2b 2 =c 2以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 a 、b ,斜边长为c ,再做 B 、F 、1 ab 三角形的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状•v Rt △ DAH 坐 Rt △ ABE,./ HDA = / EABv / HAD + / HAD = 90o ,./ EAB + / HAD = 90o ,.ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 1 2.v EF = FG =GH =HE = b — a ,/ HEF = 90o.2.EFGH 是一个边长为b —a 的正方形，它的面积等于（b-a ）.1 2 2.4 汉 ab + （b - a ） = c 2 ・・ ^2■a 2 +b 2 =c 2.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面1ab 、、一、、，一、 一、积等于2 .把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.v Rt △ EAD 坐 Rt △ CBE,・ / ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o,・ / AED + / BEC = 90o.・ / DEC = 180o — 90o= 90o.1a b 2 =2 1 ab 1 c 2 2 2 2 . a 2 +b 2 = c 2.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 们拼成如图那样的一个多边形，使 D E 、F 在一条直线上. 点p 八、、■・v D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △ GEF 幻Rt △ EBD, ./ EGF = / BEDv / EGF + / GEF = 90°, ./ BED + / GEF = 90°,a 、b ，斜边长为c.把它 过C作AC 的延长线交DF 于C・△ DEC是一个等腰直角三角形，1 2 c它的面积等于2 .又v / DAE = 90o, / EBC = 90o,・AD// BC丄（a + b f 二ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 2 .••• / BEG =18(0—90o= 90o. 又TAB = BE = EG = GA = c ,• ABEG 是一个边长为c 的正方形. • / ABC + / CBE = 90o. T Rt △ ABC 坐 Rt △ EBD, • / ABC = / EBD/ EBD + / CBE = 90o.即 / CBD= 90).又T / BDE = 90o ,/ BCP = 90o ,BC = BD = a .• BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCB 的面积为S ,则2 21a 2b 2 = S 2 ab,2c 2 二 S 21ab2【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b（b>a ）c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 E 、A 、 直线上.过点Q 作QP// BC 交AC 于点P. 过点B 作BM L PQ 垂足为M ；再过点 F 作FNL PQ 垂足为NT / BCA = 90o , QP// BC • / MPC = 98, T BM 丄 PQ• / BMP = 90o ,• BCPM 是一个矩形，即/ MBC =/ QBM + / MBA = / QBA = 90o , / ABC + / MBA = / MBC = 90o , • / QBM = / ABC又 T / BMP = 90o , Z BCA = 90o , BQ = BA = c ,• Rt △ BMQ 坐 Rt △ BCA同理可证Rt △ QNF 坐Rt △ AEF从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 在一条直线上，连结 Ga 2b 2二 c 2，斜边长为 C 三点在一条 90oQBF CD 过 C 作 CL ± DE 交AB 于点M 交DE 于点 L.v AF = AC , AB = AD , /FAB = / GAD ••• △ FAB 坐 △ GAD1 2 av △ FAB 的面积等于2,△ GAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，•矩形ADLM 勺面积二a 2.同理可证，矩形MLEE 的面积二b 2.v 正方形ADEB 勺面积=矩形ADLM 勺面积+矩形MLEB 勺面积 c 2=a 2+b 2，即 a 2+b 2=c 2.【证法8】(利用相似三角形性质证明)如图，在Rt △ABC 中，设直角边AC BC 的长度分别为a 、b ,斜边AB 的长为c ,过 点C 作CDL AB 垂足是D 在△ ADC 和△ ACB 中,v / ADC = / ACB = 90o , / CAD = / BAC • △ ADC s A ACBAD ： AC = AC : AB, 即 AC 2=AD ・AB .同理可证，△ CDB s △ ACB 从而有 BC 2二BD ・AB .AC 2 +BC 2 =(AD+DB )・AB = AB 2 即 a 2+b 2 = c 2.【证法9】(杨作玫证明)做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形 于F , AF 交DT 于R.过B 作BP 丄AF,垂足为P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为 E , DE 交 AF 于 Hv / BAD = 90o , / PAC = 90o , • / DAH = / BAC又 v / DHA = 90o , / BCA = 90o , AD = AB = c , • Rt △ DHA 坐 Rt △ BCA• DH = BC = a , AH = AC = b. 由作法可知，PBCA 是一个矩形, 所以 Rt △APB 坐 Rt △ BCA 即 PB = CA = b , AP= a ,从而PH = b — a.v Rt △ DGT 坐 Rt △ BCA ,a 、b (b>a),斜边长为c. 过A 作AF 丄AC AF 交GTH P 4 5 3 6 c c Q8 R 9 c 2 1 cRt △ DHA 坐 Rt △ BCA ••• Rt △ DGT 坐 Rt △ DHA.••• DH = DG = a ，/ GDT = / HDA. 又••• / DGT = 90o ,/ DHF = 90o ,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o , • DGFH 是一个边长为a 的正方形.• GF = FH = a . TF 丄AF, TF = GT — GF = b — a .• TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b-a ,下底BP= b ,高FP=a + (b — a ) 用数字表示面积的编号(如图)，则以c 为边长的正方形的面积为2C S j S2 S3 S4 S5①1 1 b 亠［b -a h a 亠［b -a 1 b2 - ab 2 = 22a b-£= b 2_S j_S 8把②代入①，得2 2c =S ,S 2 b -S^S 8S 8 S 9 2=b *S 2 +S 9 = b 2 +a 2.• a 2 +b 2 =c 2【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、b （b>a ），斜边的长为c.做三个边长分别为a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A E 、G 三点在一条直线上.用数字表示 面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 90o , • / TBH = / ABE 又 v / BTH = / BEA = 90o ,BT = BE = b , • Rt △ HBT 坐 Rt △ ABE • HT = AE = a . • GH = GT — HT = b — a. 又 v / GHF + / BHT = 90o ,/ DBC + / BHT = / TBH +v DB = EB — ED = b — a ,/ HGF = / BDC = 90o ,• Rt △ HGF 坐 Rt △ BDC 即色二 S2.过 Q 作 QM L AG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 90o ,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c ，所以 Rt △ ABE 幻 Rt △ QAM.又 Rt △ HBT 幻 Rt △ ABE 所以 Rt △ HBT 幻 Rt △ QAM.即 S厂 S 5.S8S3 ' S 4S 3 S 4 二 b 2 R a A【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt △ ABC 中，设直角边 BC = a , AC = b ，斜边AB = c.如图，以B 为圆心a 为半 径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于 D E ,贝S BD = BE = BC = a .因为/ BCA = 90o , 点C 在。

东营市胜利第五十九中学数学学案主备人：孟明鸿审核：八年级备课组勾股定理：勾股定理的逆定理：二、勾股定理的运用1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c(3)已知c=25，b=15，求a. (4)a=40，c=41，求b2、在△ABC中，∠C=90°，AB=10(1)∠A=30°，求BC、AC；(2)∠A=45°，求BC、AC.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c。

(1) a=6，b=8，求c及斜边上的高；(2)a∶b=3∶4，c=15，求b.4、已知：等边△ABC的边长为6cm．求：(1)高AD的长；(2)△ABC的面积．5、在数轴上画出表示2、3、5，13，15B A 6、P 为正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕B 顺时针旋转 90°到△CBE 的位置，若BP ＝a.求：以PE 为边长的正方 形的面积.7、有一木质圆柱形笔筒的高为h ，底面半径为r ，现要围绕笔筒的表面由A 至B （A 、B 在圆柱的同一轴截面上）镶入一条 银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是多少？8、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是l ， 每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，请你做出三边长分别为3、5,22的的三角形三、勾股定理的逆定理的运用1、判断下列以a 、b 、c 为三边的三角形的形状 (1)a=n 2-1，b=2n ，c=n 2+1；(n 是大于1的整数)(2)a=m 2-n 2，b=m 2+n 2，c=2mn ；(m ＞n ，m ，n 是自然数)2、如图3，在四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90° 求四边形ABCD 的面积.3、如图，A B ⊥BC,BC=3,AB=4,AD=13, DC=12,求图中四边A 形的面积BD C4、 如图5，已知正方形ABCD 中， AE=EB, 求证：C E ⊥EF5、如图，Rt △ABC 中,∠ACB=900 ，C D ⊥AB 于D,设AC=b,BC=a,CD=h,以a+b, c+h, h 为三边能否构成三角形？能构成什么三角形？请说明理由。

第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。

勾股定理编辑[gōu gǔ dìng lǐ]勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理是余弦定理的一个特例。

勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。

勾股数组方程a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。

(3,4,5)就是勾股数。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。

中文名勾股定理、勾股弦定理外文名Pythagorean theorem1基本定理编辑勾三股四弦五文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。

数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

[1]推广定理：勾股定理的逆定理。

如果 (a,b,c) 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即∀n∈Z*，(na,nb,nc) 也是勾股数。

若a,b,c三者互质（它们的最大公约数是 1），它们就称为素勾股数。

2历史编辑毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

埃及称为埃及三角形。

早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据，有案可查。

相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。

可以说真伪难辨。

这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。

勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：①有一个角为90°的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：①确定最大边（不妨设为c）；②若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：①已知直角三角形的两边求第三边；②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；③用于证明线段平方关系的问题； ④利用勾股定理，作出长为n 的线段。

二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

（也称为二次方根），也就是说如果x 2=a ，那么x 就叫做a 的平方根。

2、平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。