探索勾股定理3

课题：1.1探索勾股定理 (3)
教学目标：1、用拼图的方法验证勾股定理；
2、掌握勾股定理，并能运用它解决一些实际问题；
教学重点：掌握勾股定理，会运用它进行简单的计算及解决一些实际问题； 教学难点：用拼图的方法验证勾股定理；
导入方式：复习引入
一、课前练习：
1、 在Rt ΔABC 中，∠C=900，a=8，b=15，求c 。

2、 如图：Rt ΔABC 中，∠C=900，AC=10，BC=24，求AB 的长。

3、 完成书本P11知识技能#1。

二、知识点一：
1、课外阅读P12～13页， 从“朱青出入图”的拼图方法理解勾股定理的验证。

2、完成书本P26页#7题，动手验证勾股定理。

3、 试与同学交流一下你的体会。

4、 完成书本P14页议一议，
A C B
三、知识二：
1、完成书本P15随堂练习#1
2、求图中直角三角形的未知边长。

3、要修建一个育苗棚，棚高h =1.8 m,棚宽a =2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
5、 完成书本：P15页问题解决#1
4 3。

第3课时 探索勾股定理（3）活动一：利用五巧板拼“朱青出入图”（1）取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C 为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a 、b 的正方形。

你能拼出“朱青出入图”来吗？ （2）利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？与同伴交流。

活动二：观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2。

四、师生互动：下面几个图是勾股定理的“无字证明”法，你能看懂吗？五、训练达标：1、一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积 为2、等腰直角三角形三边的平方比为3、长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，它的面积是4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为5、Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2= .6、如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了_____步路（假设2步为1m ）。

7、一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ． 8、等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是 cm 2.D'CBA9.直角三角形两直角边的比为3：4，面积是24，求这个三角形的周长.10.某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能否顺利通过该隧道？11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。

如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理。

12. 如图,有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？13、 如图，铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15CB=10㎞.现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少㎞处？14、在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只猴子只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？15、以Rt △ABC 三边为直径作半圆，这三个半圆的面积S 1、S 2、S 3之间有什么关系？说明理由。

第一节探索勾股定理教学目标：1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

重点难点：重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

难点：勾股定理的发现 教学过程掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：c 2=a 2+b 2(c 为斜边)。

它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。

一、问题的提出：小明放学回家要经过一块长方形的麦地。

如图： 1、 小明本来应走大路从A 经B 到C 可是他却直接从A 到C ，为什么？ 2、 为什么近、近多少？ 3、用数学知识如何解答？二、量一量，算一算：1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。

2、进行有关的计算。

3、得出结论： 三、证明结论：利用拼合三角形的方法，如下：（1）b a a bca c cb a a a b a bc b c b b c aa b a b （1） （2）由（1）S ab c ab c 正=⨯+=+412222 A B C D由（2）S a b ab 正=++222 ∴+=++22222ab c a b ab ∴+=a b c 222（2）如图：S c S S S a b b a a b b a a b a b c a b 正正小正==+=⨯+-=++-=+∴=+222222222441222∆() 练习： 1、判断：（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则∴+=a b c 222（ ） （2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。

（ ） （3）在Rt ABC ∆90=∠B ∴+=a b c 222（ ） 2、填空：在Rt ABC ∆中，∠=C 90（1）如果a=3，b=4，则c= （2）如果a=6，b=8，则c= （3）如果a=5，b=12，则c= (4) 如果a=15，b=20，则c=3、 解决新课开始提出的问题c ab ac b b c ba ac。

八年级数学上册《探索勾股定理》知识点
北师大版
八年级数学上册《探索勾股定理》知识点北师大版
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足
a2+b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的
逆命题。

(例：勾股定理与勾股定理逆定理)
4.直角三角形的性质
(1)、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：
∠C=90° ∠A+∠B=90°
(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°
可表示如下：BC= AB ∠C=90°
(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示为： CD= AB=BD=AD
D为AB的中点
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边
上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄
影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

3.1 探索勾股定理◆勾股定理的定义：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：222a b c += ．题型一 应用勾股定理求线段长1.（2024春•嘉祥县期中）如图，在ABC D 中，90C Ð=°，若1AC =，2AB =，则BC 的长是( )A ．1BC．2D2.（2023秋•临淄区期末）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，3BC =，4AC =，CD AB ^于点D ，E是AB的中点，则DE的长为( )A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9题型二应用勾股定理求面积1.（2024春•齐河县校级月考）如图，字母B所代表的正方形的面积是( )cmcm D．306 2cm B．15 2A．12 2cm C．144 22.（2022秋•郓城县期中）如图，在Rt ABCD中，90Ð=°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在C数学史上称为“希波克拉底月牙”，当4BC=时，则阴影部分的面积为( )AC=，2A．4B．4p C．8p D．83.（2024春•济南期末）已知，如图长方形ABCD中，3=，将此长方形折叠，使点BAD cmAB cm=，9D的面积为( )与点D重合，折痕为EF，则ABE6cm D．212cm3cm B．24cm C．2A．24.（2023秋•阳信县期末）如图，在Rt ABCAB=，则正方形ADEC和正方形BCFGÐ=°，若15D中，90C的面积和为( )A．225B．200C．150D．无法计算5.（2024春•沂水县校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是( )A．50B．16C．25D．416.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是( )A．16B．25C．144D．169题型三勾股定理的证明1.（2024春•历下区期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )A．B．C．D．2.（2024春•梁山县校级月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若7ab=，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为( )A．16B．8C．4D．23.（2024春•阳谷县校级月考）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a b+的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．84.（2024春•嘉祥县期中）如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值是( )A ．25B ．17C ．29D ．225.（2023秋•邹平市期末）下面图形能够验证勾股定理的有( )A ．0B ．1C ．2D ．36.（2022春•兖州区期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )A ．B ．C ．D ．7.（2024春•齐河县校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，那么2()a b +的值为 ．8.（2015秋•滕州市校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为 ．9.（2024春•河东区校级月考）阅读下列材料，并完成相应任务．教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a 、b 、c ，将它们拼成如图2的大正方形．（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用2()a b +表示，也可以用含a 、b 、c 的代数式表示为 ，那么可以得到等式： ．整理后，得到a 、b 、c 之间的数量关系：222a b c +=，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边a 、b 与斜边c 所满足的关系式．（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）（3）应用：如图3，在直角三角形ABC 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，那么AB = ，点D 为射线BC 上一点，将ACD D 沿AD 所在直线翻折，点C 的对应点为点1C ，如果点1C 在射线BA 上，那么CD = ．（直接写出答案）10.（2024春•兰山区校级月考）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a ，()b a b <，斜边长为c ．（1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②)．①小正方形的边长为c ，大正方形的边长为 ；②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 ，整理得 ，从而验证勾股定理；（2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC 和CD 在一条直线上，连接AE ．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．11.（2024春•昌乐县期中）公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a 、b 与斜边c 满足关系式222a b c +=．还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222a b c +=，则这个三角形是直角三角形．（1）小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形ACDE 边CD 上取点B ，连接AB ，得到Rt ACB D ，三边分别为a ，b ，c ，剪下ACB D 把它拼接到AEF D 的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理．（2）一个零件的形状如图3，按规定这个零件中A Ð和C Ð都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：)cm 如图③所示，这个零件符合要求吗？12.（2024春•长清区期中）（1）计算：(2)()a b a b ++= ；（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：图2: ；图3: ；（3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系：做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，再做1个长分别为c 的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：222a b c +=．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即222a b c +=．（4）如图5，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上高，4AC =，3BC =，求CD 的长度．。

北师大版数学八年级上册1《探索勾股定理》说课稿3一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版数学八年级上册第一单元的一节重要内容。

本节课的主要目的是让学生通过探究、验证勾股定理，培养学生的动手操作能力、观察能力以及推理能力。

教材从学生的实际出发，设计了丰富的活动，让学生在活动中感受数学的美妙，体验到探究的乐趣。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、三角形等基本知识，具备了一定的观察、操作、推理能力。

但对于勾股定理的理解和应用，还需要通过本节课的学习来进一步深化。

同时，学生对于探究式学习方法还不太熟悉，需要在课堂上加以引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解勾股定理的含义，并会运用勾股定理解决一些实际问题。

2.过程与方法：学生通过自主探究、合作交流，培养观察、操作、推理能力。

3.情感态度与价值观：学生感受数学的美妙，体验探究的乐趣，培养对数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握勾股定理。

2.教学难点：学生能够运用勾股定理解决实际问题，并理解勾股定理的证明过程。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用探究式学习方法，让学生在活动中自主发现、总结勾股定理。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。

六. 说教学过程1.导入：通过一个有趣的数学故事，引导学生思考勾股定理的发现过程，激发学生的学习兴趣。

2.探究：让学生分组进行实践活动，利用提供的材料和工具，自主探究勾股定理。

3.交流：学生分组汇报探究过程和结果，其他同学进行评价、补充。

4.总结：教师引导学生总结勾股定理的证明过程，明确勾股定理的含义和应用。

5.练习：设计一些实际问题，让学生运用勾股定理进行解决，巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出勾股定理的核心内容。

主要包括：勾股定理的定义、证明过程、应用示例等。

八. 说教学评价1.学生参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况，是否能够主动思考、提出问题、与他人交流。