下载文档原格式
第一章勾股定理3 勾股定理的应用教学目标1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.教学重难点重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.教学过程导入新课游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米?探究新知一、合作探究【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离.【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？∵AB2 = 122+92，∴AB = 15(cm).答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.变式训练：如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要_________cm.答案：13【探究2】应用勾股定理解决实际问题【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.【解】设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC = 90°，由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，即(x-1)2+32 = x2，解得x = 5.故滑道AC的长度为5 m.变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.(1)这架云梯的顶端距地面有多高?(2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边.根据题意252-72 = 242，所以云梯顶端距地面有24米.(2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米.因为252-202 = 152,且15-7 = 8(米)，所以云梯底部应水平滑动8米.课堂练习1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____.m=0.33m)的正方形.在水池正中央3.有一个水池，水面是一个边长为10尺(1尺=13有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？参考答案1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC = 1.5米，BC = 2米.∵AB2 = AC2+CB2 = 2.52，∴AB = 2.5米.∵油桶外的部分是0.5米，∴AD = 2.5+0.5 = 3(米).当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米= 2米.答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.2.253.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺.根据题意得x²+5² =（x+1）².解得x =12.x+1=12+1=13（尺）.答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺.4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得x2+82 = (16-x)2,解得x = 6米.答：旗杆在离底部6米的位置断裂.课堂小结确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解.布置作业习题1.4第1，2，3，4题板书设计3 勾股定理的应用1.确定立体物体表面上两点之间的最短距离例1 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？2.应用勾股定理解决实际问题例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.。
八年级数学勾股定理3篇《勾股定理》知识点总结1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即：a2+b2=c2) 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：(1)首先确定最大边，不妨设最长边长为：c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2 a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 a2+b2，则△abc为锐角三角形)。
p=3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理;联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理中考数学|勾股定理知识点规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
3 勾股定理的应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．假设计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，假设计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体外表上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个外表都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的外表爬行到右侧外表上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt△ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的外表爬行到点B 处，需要时间为52＝2.5 s. 小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的外表爬到对角顶点C 1处(三条棱长如下列图)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的外表爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行局部展开，画出局部的展开图，假设将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其外表看两点之间的连线绝大局部是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A 处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它成心不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，那么对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离此题文字表达较多，要求在阅读的根底上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB 剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的外表由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数〞转化为定理中的“形〞，再转化为“数〞．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体外表上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】 如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm ，底面周长为60 cm ，在外侧距下底1 cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm 的点F 处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.那么蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC ＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt△MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的根底．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？解：设CD＝x cm，由题意知DE＝x cm，BD＝(8－x) cm，AE＝AC＝6 cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10 cm.于是BE＝10－6＝4 cm.在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.故CD的长为3 cm.。
八年级上册数学勾股定律一、勾股定理的基本概念勾股定理可有意思啦，它说的是在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方呢。
就好比一个直角三角形的两条直角边分别是a和b，斜边是c，那么就有a² + b² = c²这个超酷的等式。
比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那斜边就是5，因为3²+4² = 9 + 16 = 25，5²也等于25呢。
二、勾股定理的证明1. 有个特别经典的证明方法叫赵爽弦图证明法。
赵爽呢，可是个很厉害的古代数学家。
他把四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形，中间又空出了一个小正方形。
从这个图形里就能很巧妙地推出勾股定理。
2. 还有欧几里得的证法也超棒。
他利用三角形的相似性等知识来证明勾股定理。
这就说明不同的数学家在不同的地方，用不同的思路都能证明这个伟大的定理。
三、勾股定理的实际应用1. 在建筑领域，勾股定理可太有用了。
工人们要确保墙角是直角的时候，就可以利用勾股定理。
比如测量出两面墙的边长，如果符合勾股定理的关系，那这个墙角就是直角。
2. 在航海中，当知道两个地点的坐标，要计算两点之间的直线距离的时候，也能用到勾股定理。
把横向和纵向的距离看作直角边，两点间的直线距离就是斜边。
3. 在测量山峰高度的时候，如果知道从山脚到山顶的水平距离和测量点到山顶的斜边距离，就可以用勾股定理算出山峰的高度啦。
四、勾股定理相关的有趣题目1. 有一个直角三角形，一条直角边是5，斜边是13，那另一条直角边是多少呢？根据勾股定理，设另一条直角边为x，就有5²+x² = 13²，25+x² = 169，x² = 169 - 25 = 144，所以x = 12。
2. 直角三角形的两条直角边的比是3:4，斜边是10，求两条直角边的长度。
设两条直角边分别是3x和4x，根据勾股定理可得(3x)²+(4x)² = 10²，9x²+16x² = 100，25x² = 100，x² = 4，x = 2。
新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理的逆定理（三）》学案1.⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a =8，b=15，则c= . ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a =3，b=4，则c= . ⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= .(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 （把这题的解题过程展示到黑板上）2.（1）已知01086=-+-+-z y x ，则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形.（2）三角形的三边长为3、4、5，则其面积为 .（3）△ABC 中，AB=13cm, BC=10cm, BC 边上的中线AD=12cm,求AC （画出图形，把这题解题过程展示在黑板上）活动二 加深勾股定理与逆定理之间的关系例：1在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=14BC ，求证：AF ⊥EF ．例2：已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD 的面积。
例3：已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD ·BD 。
A B C D ECD练习：1、如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,AB=1, BC=1, DC=3, AD=5, 试求∠DCB 的大小.(自主完成后小组交流，把过程展示在黑板上)小结：谈谈你的学习收获课堂练习：1.在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a =7，c=25，则b= .⑵如果∠A=30°，a =4，则b= .⑶如果∠A=45°，a =3，则c= .（4）如果b=8，a：c=3：5，则c=2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状.3．若△ABC的三边a、b、c满足a 2+b2+c2+50=6 a +8b+10c，求△ABC的面积.【此题选做】反思小结，观点提炼：本节学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________；②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a (C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a 10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4(C)9∶25∶26 (D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形(C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定三、解答题12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形AB CD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．15．在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。
