2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：模块综合试卷 Word版含答案

一年级数学奥数讲义练习第2讲有几种走法（全国通用版,含答案）【专题导引】小朋友,我们外出可乘不同的交通工具,两地之间也有不同的路线,究竟有多少种不同的走法,你能一一列举清楚吗？学习下面的内容,你一定会有所收获的。

我们在思考此类问题时,要把所有的情况都考虑到,做到不重复也不遗漏,这样才能正确解题。

【典型例题】【B1】从1班教室到操场有2条路可走,从操场到实验楼有1条路可走,从1班教室经操场到实验楼去,有几种不同的走法？【试一试】李老师从中山书城到假日广场有2条路可走,从假日广场到富华总站也有2条路可走,李老师从中山书城到富华总站有几种走法？1班教室 操场 实验楼 中山书城假日广场 富华总站【B2】小华从家到博达有2条路可走,从博达到体育场有3条路可走,从小华家经过博达到体育场,有几种不同的走法？【试一试】小白兔从家到公园有4条路,从公园到学校有2条路,从家到学校有几种走法？【B3】用数字5、6、7可以组成多少个不同的二位数？【试一试】用数字1、3、5可以组成多少个不同的二位数？【A1】一年级五个班举行拔河比赛,每个班都小华家 博达 体育场 公园 家 学校要和另外四个班赛一场,这样一共要举行几场拔河比赛？【试一试】某足球赛中有4个队伍进行比赛,每队都要和另外三个队赛一场,这样一共要踢几场足球赛？【A2】一辆客车往返于中山、广州、深圳三地,那么,汽车站要为这辆客车准备多少种不同的车票供旅客选择？【试一试】一艘客船往返于中山、澳门、香港三地,要准备多少种不同的船票？课外作业家长签名：1、从甲地到乙地有3条路,从乙地到丙地有2条路,从甲地经过乙地再到丙地有几种走法？2、小蜗牛从“3”处爬到“6”处（只能向上或向左行走）,有几种不同走法？3、用数字8、9、3可以组成多少个不同的二位数？4、5个小朋友进行乒乓球比赛,每个人都要和另外4个人赛一场,这样一共要打几场乒乓球赛？5、三个小伙伴在新年来临之前互相赠送贺年片,这样一共要送出多少张贺年片？我的学习收获：。

6个5个二年级数学奥数讲义练习第24讲位置趣谈（全国通用版，含答案）【专题简析】同学们排队，以某一个人为标准来数人数，知道他左边、右边人数或从左、从右数他排第几，这类问题就是排队问题，排队问题的关键是要找出重复部分再解答。

在排队问题中，中间这一个人既不能漏掉，也不能重复，如；小玲从队伍的右边数起是第4个，从左边数起是第8个，这里小玲重复数了两次，所以在计算总人数时一定要把重复的人数去掉。

【例题1】小明排队唱歌，他站的这一排，从左向右数，他是第5个，从右向左数，他是第6个，问这一排共有多少人？思路导航；如图； 从左边数起，小明是第5个，他被数了一遍；从右边数起，小明是第6个，他又被数了一次，这样小明共被数了两次，多数了一次，所以算一共有多少人时，应从5+6=11（人）中去掉1人。

解；5+6=11（人） 11-1=10（人）答；这一排共有10人练习11，小朋友排队照相，小力坐在第一排。

从左往右数，他坐第4个，从右往左数，他坐第8个。

第一排一共坐了多少个小朋友?2，有一排不同颜色的彩灯，无论从左往右数，还是从右往左数，第9盏都是同一盏红灯，这一排共有多少盏彩灯？25人20人人5B A3，一群小动物排一排，从左往右数，第4只是兔子，从右往左数第3只是小鹿，小鹿在兔子前3个，这群小动物共有几只？【例题2】光明小学二（2）班参加课外活动，要求每人至少报1项，最多报2项，有20人报合唱组，有25人报数学兴趣小组，其中有5人报2项，二（2）班一共有多少学生？思路导航；图中A 圈表示参加合唱组的人数，B 圈表示参加数学兴趣组的人数。

两圈重叠的部分（即阴影部分），表示两项都参加的人数，从图中可以看出，两项都参加的5人被算了2次，重复了。

所以要从两组共有的人数中减去重复的5人。

解；20+25-5=40（名）答；二（2）班一共有40名学生。

练习21，二（2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有38人，订《中国儿童报》的有30人，其中8人这两种都订，问二（2）班共有多少人？2，张老师出了两道思考题给二（5）班同学做，做对第一题的有38人，做对第二题的有22人，两题都做对的有15人，没有全做错的同学，求二（5）班共有学生多少人？3，有两块木板，一块长24分米，另一块长18分米，把两块木板重叠一部分后钉成一块长36分米的木板，重叠部分长多少分米？【例题3】二（1）班同学排成6列做操，每列人数同样多，小明站在第一列，从前面数，从后面数他都是第5个。

（2019最新版）全国通用7年级数学：有理数混合运算训练四（50题）含答案一．解答题（共50小题）1．计算﹣32+1÷4×﹣|﹣1|×（﹣0.5）2．2．计算（1）﹣10﹣（﹣3）+（﹣5）（2）﹣2.5÷×（﹣）（3）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4（4）÷（﹣2）﹣×﹣÷43．观察下列关于自然数的等式：2×0+1＝12①，4×2+1＝32②，8×6+1＝72③，16×14+1＝152④，根据上述规律解决下列问题：（1）完成第五个等式：32×+1＝；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．4．计算：（1）（﹣2）3÷4﹣（﹣1）2019+|﹣6|（2）（﹣+﹣）×（﹣24）5．计算（1）（2）6．阅读下列材料：1×2＝（1×2×3﹣0×1×2），2×3＝（2×3×4﹣1×2×3），3×4＝（3×4×5﹣2×3×4），由以上三个等式左、右两边分别相加，可得：1×2+2×3+3×4＝×3×4×5＝20．读完以上材料，请你计算下各题（写出过程）：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11＝；（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝．7．计算：（1）﹣1.2×4÷（﹣1）+÷（﹣）×（﹣）；（2）﹣14﹣（1﹣0.5）2××|1﹣（﹣5）2|8．（1）（﹣8）+（+3）（2）0﹣（﹣6）（3）（﹣2）×（﹣7）（4）﹣3﹣|﹣4|（5）（﹣）+（﹣）（6）（﹣）×（7）（﹣1）﹣（﹣2）（8）（﹣0.7）×（﹣）9．【阅读材料】问题：如何计算呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的计算．他们的解法如下：解：根据阅读材料，请你完成下列问题：（1）计算：；（2）直接写出结果：＝；（不需要计算过程）（3）计算：．10．计算：（1）（﹣﹣+）×24；（2）﹣12+|﹣2|÷+（﹣3）211．计算：（1）14﹣（﹣12）+（﹣25）﹣17．（2）（﹣）÷（﹣）﹣22×（﹣4）．12．计算（1）（﹣4）×3+（﹣6）÷（﹣）+（﹣6.5）÷0.13（2）﹣22+（﹣）×2+（3）（+﹣）×36÷（﹣0.6）﹣12（4）4﹣（﹣3）2×5+（）3÷13．计算：（1）22+（﹣33）﹣4×（﹣11）（2）|﹣36|×（﹣）+（﹣8）÷（﹣2）214．已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2011+（﹣cd）2012的值．15．计算（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15．（2）﹣0.25++﹣0.5．（3）×（﹣）×÷．（4）﹣42﹣（﹣1）10×|﹣3|÷．16．计算：（1）（﹣+﹣）×36（2）（﹣3）2×（﹣）+4+22×17．有理数计算（1）（2）﹣14﹣1÷18．计算：﹣22+（﹣1）2019+27÷（﹣3）219．计算：（1）1÷（﹣）2﹣|﹣|×（﹣2）3×（﹣1）（2）﹣12016+[×（﹣+）×（﹣12）+16]20．计算．（1）（2）21．计算：﹣23﹣[（﹣3）2﹣22×﹣8.5]÷（﹣）222．阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）*（+2）＝6；（﹣4）*（﹣3）＝+7；…（﹣5）*（+3）＝﹣8；（+6）*（﹣7）＝﹣13；…（+8）*0＝8；0*（﹣9）＝9．…小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”请你帮助小亮完成下列问题：（1）归纳*（加乘）运算的运算法则：两数进行*（加乘）运算，．．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的绝对值．（2）若有理数的运算顺序适合*（加乘）运算，请直接写出结果：①（﹣3）*（﹣5）＝；②（+3）*（﹣5）＝；③（﹣9）*（+3）*（﹣6）＝；（3）试计算：[（﹣2）*（+3）]*[（﹣12）*0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）；23．计算：[（﹣1）2015﹣（）×24]÷|﹣32+5|24．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求的值．25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝，（5，125）＝，（﹣，）＝，（﹣2，﹣32）＝．（2）令（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，5）+（4，6）＝（4，30）．26．计算：（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]．27．计算：﹣3228．计算（1）2×（﹣5）﹣（﹣3）÷（2）﹣44﹣15+（﹣2）3+|﹣|×（1﹣0.5）29．计算：（1）（+12）﹣（﹣7）+（﹣5）﹣（+30）（2）30．对于有理数a、b，定义运算：a⊕b＝ab﹣2a﹣2b+1．（1）计算：5⊕4的值；（2）计算：[（﹣2）⊕6]⊕3的值；（3）定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．31．计算：（1）|﹣7|﹣3×（﹣）+（﹣4）；（2）﹣22﹣4÷（﹣）﹣（﹣1）2019．32．有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．33．计算：（1）（2）﹣14﹣（1﹣0.5）×34．计算：（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|；（2）66×．35．计算（1）4﹣（﹣28）+（﹣2）；（2）（）×（﹣24）；（3）（﹣2）3﹣（﹣13）；（4）﹣12﹣（1﹣0.5）÷×．36．计算：（1）（﹣81）+（﹣29）（2）﹣7+13﹣6+20（3）1+（﹣）﹣（﹣）﹣+（4）﹣0.5﹣（﹣3）+2.75﹣（+7）（5）（+16）+（﹣3）﹣|﹣8|+|﹣12|﹣（﹣5）（6）（﹣0.25）×（﹣2）×（﹣）×（+0.8）37．﹣14﹣[1﹣（1﹣0.5×）×6]．38．计算：（﹣3）2×（）2+4﹣2339．计算：（1）﹣13﹣（1+0.5）×（2）﹣3.375×12+4.375÷（3）640．计算：（）×1241．计算：（1）﹣12+5+（﹣16）﹣（﹣17）（2）（3）﹣24×（﹣+﹣）（4）﹣23÷×（﹣）242．计算；（1）﹣27﹣（﹣15）；（2）12；（3）﹣22×；（4）（）3×32+2÷（1﹣22）43．已知a、b互为相反数，c、d互为负倒数（即cd＝﹣1），x是最小的正整数．试求x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2008+（﹣cd）2008的值．44．计算：（﹣3）2﹣1×﹣6÷|﹣|2﹣（﹣22）．45．计算（1）（）×30（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）46．计算：（1）[﹣（﹣）+2]÷（﹣）．（2）﹣4+（﹣2）4÷4﹣（﹣0.28）×．47．计算：（﹣1）2019÷{[（﹣4）×（﹣）÷（﹣）+（﹣3）×（+）]×（﹣2）2+（﹣6）}48．计算：（﹣）3+10÷（﹣4）×﹣（﹣1）2018 49．计算：①﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]÷（﹣7）②（1﹣+）÷（﹣）﹣8×（﹣）3．50．计算：（1）26+（﹣14）+（﹣16）+8（2）﹣14﹣（﹣+）×24+|﹣4|（2019最新版）全国通用7年级数学：有理数混合运算训练四（50题）含答案参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．计算﹣32+1÷4×﹣|﹣1|×（﹣0.5）2．【解答】解：原式＝﹣9+﹣＝﹣9．2．计算（1）﹣10﹣（﹣3）+（﹣5）（2）﹣2.5÷×（﹣）（3）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4（4）÷（﹣2）﹣×﹣÷4【解答】解：（1）﹣10﹣（﹣3）+（﹣5）＝﹣10+3+（﹣5）＝﹣12；（2）﹣2.5÷×（﹣）＝2.5××＝1；（3）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4＝4×5﹣（﹣8）÷4＝20+2＝22；（4）÷（﹣2）﹣×﹣÷4＝﹣﹣＝﹣＝＝﹣＝﹣．3．观察下列关于自然数的等式：2×0+1＝12①，4×2+1＝32②，8×6+1＝72③，16×14+1＝152④，根据上述规律解决下列问题：（1）完成第五个等式：32×30+1＝312；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．【解答】解：（1）根据题意得：32×30+1＝312；故答案为：30；312；（2）根据题意得：2n（2n﹣2）+1＝（2n﹣1）2，∵左边＝22n﹣2n+1+1，右边＝22n﹣2n+1+1，∴左边＝右边．4．计算：（1）（﹣2）3÷4﹣（﹣1）2019+|﹣6|（2）（﹣+﹣）×（﹣24）【解答】解：（1）原式＝（﹣8）÷4﹣（﹣1）+6＝﹣2+1+6＝5；（2）原式＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）＝2﹣18+4＝﹣12．5．计算（1）（2）【解答】解：（1）＝（）×24＝﹣12+16﹣6＝﹣2；（2）＝﹣4﹣（﹣5+9÷9）＝﹣4﹣（﹣5+1）＝﹣4﹣（﹣4）＝0．6．阅读下列材料：1×2＝（1×2×3﹣0×1×2），2×3＝（2×3×4﹣1×2×3），3×4＝（3×4×5﹣2×3×4），由以上三个等式左、右两边分别相加，可得：1×2+2×3+3×4＝×3×4×5＝20．读完以上材料，请你计算下各题（写出过程）：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11＝440；（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝n（n+1）（n+2）．【解答】解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11＝（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11）＝（10×11×12）＝440；故答案为：440；（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n ×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]＝[n×（n+1）×（n+2）]；故答案为：n（n+1）（n+2）7．计算：（1）﹣1.2×4÷（﹣1）+÷（﹣）×（﹣）；（2）﹣14﹣（1﹣0.5）2××|1﹣（﹣5）2|【解答】解：（1）﹣1.2×4÷（﹣1）+÷（﹣）×（﹣）＝﹣4.8×（﹣）+＝3+＝；（2）﹣14﹣（1﹣0.5）2××|1﹣（﹣5）2|＝﹣1﹣×|1﹣25|＝﹣1﹣×24＝﹣1﹣2＝﹣3．8．（1）（﹣8）+（+3）（2）0﹣（﹣6）（3）（﹣2）×（﹣7）（4）﹣3﹣|﹣4|（5）（﹣）+（﹣）（6）（﹣）×（7）（﹣1）﹣（﹣2）（8）（﹣0.7）×（﹣）【解答】解：（1）（﹣8）+（+3）＝（﹣8）+3＝﹣5；（2）0﹣（﹣6）＝0+6＝6；（3）（﹣2）×（﹣7）＝2×7＝14；（4）﹣3﹣|﹣4|＝（﹣3）﹣4＝﹣7；（5）（﹣）+（﹣）＝﹣1；（6）（﹣）×＝﹣＝﹣；（7）（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣1）+2＝＝；（8）（﹣0.7）×（﹣）＝＝．9．【阅读材料】问题：如何计算呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的计算．他们的解法如下：根据阅读材料，请你完成下列问题：（1）计算：；（2）直接写出结果：＝；（不需要计算过程）（3）计算：．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝×[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）]＝×（1﹣）＝，故答案为：；（3）原式＝＝10．计算：（1）（﹣﹣+）×24；（2）﹣12+|﹣2|÷+（﹣3）2【解答】解：（1）原式＝﹣×24﹣×24+×24＝﹣15﹣4+14＝﹣5；（2）原式＝﹣12+2×2+9＝﹣12+4+911．计算：（1）14﹣（﹣12）+（﹣25）﹣17．（2）（﹣）÷（﹣）﹣22×（﹣4）．【解答】解：（1）14﹣（﹣12）+（﹣25）﹣17＝14+12+（﹣25）+（﹣17）＝﹣16；（2）（﹣）÷（﹣）﹣22×（﹣4）＝×（﹣6）﹣4×（﹣4）＝（﹣1）+16＝15．12．计算（1）（﹣4）×3+（﹣6）÷（﹣）+（﹣6.5）÷0.13（2）﹣22+（﹣）×2+（3）（+﹣）×36÷（﹣0.6）﹣12（4）4﹣（﹣3）2×5+（）3÷【解答】解：（1）原式＝﹣12+4﹣50＝﹣58；（2）原式＝﹣4+﹣+＝﹣+﹣+＝﹣＝﹣；（3）原式＝（9+6﹣18）÷（﹣0.6）﹣1＝（﹣3）÷（﹣0.6）﹣1＝5﹣1（4）原式＝4﹣9×5+÷＝4﹣45+×＝﹣41+9＝﹣32．13．计算：（1）22+（﹣33）﹣4×（﹣11）（2）|﹣36|×（﹣）+（﹣8）÷（﹣2）2【解答】解：（1）原式＝﹣11+44＝33；（2）原式＝36×（﹣）+（﹣8）÷4＝﹣3+（﹣2）＝﹣5．14．已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2011+（﹣cd）2012的值．【解答】解：由已知可得，a+b＝0，cd＝1，x＝±2；当x＝2时，x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2011+（﹣cd）2012＝22﹣（0+1）×2+02011+（﹣1）2012＝4﹣2+0+1＝3当x＝﹣2时，x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2011+（﹣cd）2012＝（﹣2）2﹣（0+1）×（﹣2）+02011+（﹣1）2012＝4+2+0+1＝715．计算（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15．（2）﹣0.25++﹣0.5．（3）×（﹣）×÷．（4）﹣42﹣（﹣1）10×|﹣3|÷．【解答】解：（1）原式＝12+18﹣7﹣15＝30﹣22＝8；（2）原式＝﹣++﹣＝＝；（3）原式＝×（﹣）××＝﹣；（4）原式＝﹣16﹣1×3×＝﹣16﹣16＝﹣32．16．计算：（1）（﹣+﹣）×36（2）（﹣3）2×（﹣）+4+22×【解答】解：（1）原式＝﹣6+27﹣15＝6；（2）原式＝9××（﹣）+4+4×（﹣）＝﹣﹣+4＝﹣．17．有理数计算（1）（2）﹣14﹣1÷【解答】解：（1）＝（﹣18）+40+（﹣42）＝﹣20；（2）﹣14﹣1÷＝﹣1﹣1×3×（4﹣6）＝﹣1﹣3×（﹣2）＝﹣1+6＝5．18．计算：﹣22+（﹣1）2019+27÷（﹣3）2【解答】解：﹣22+（﹣1）2019+27÷（﹣3）2＝﹣4+（﹣1）+27÷9＝﹣4+（﹣1）+3＝﹣2．19．计算：（1）1÷（﹣）2﹣|﹣|×（﹣2）3×（﹣1）（2）﹣12016+[×（﹣+）×（﹣12）+16]【解答】解：（1）原式＝1×9﹣×（﹣8）×（﹣1）＝9﹣4＝5；（2）原式＝﹣1+（﹣+）×（﹣12）+16×＝﹣1﹣4+3﹣2+14＝﹣7+17＝10．20．计算．（1）（2）【解答】解：（1）＝﹣9××[25×（﹣）+15]＝﹣9××（﹣15+15）＝﹣9××0＝0；（2）＝（﹣+）×（﹣36）﹣（﹣8）÷4＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）+2＝﹣18+20﹣30+2＝﹣26．21．计算：﹣23﹣[（﹣3）2﹣22×﹣8.5]÷（﹣）2【解答】解：﹣23﹣[（﹣3）2﹣22×﹣8.5]÷（﹣）2＝﹣8﹣[9﹣4×﹣8.5]×4＝﹣8﹣[9﹣1﹣8.5]×4＝﹣8﹣（﹣0.5）×4＝﹣8+2＝﹣6．22．阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）*（+2）＝6；（﹣4）*（﹣3）＝+7；…（﹣5）*（+3）＝﹣8；（+6）*（﹣7）＝﹣13；…（+8）*0＝8；0*（﹣9）＝9．…小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”请你帮助小亮完成下列问题：（1）归纳*（加乘）运算的运算法则：两数进行*（加乘）运算，同号得正、异号得负．并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的绝对值．（2）若有理数的运算顺序适合*（加乘）运算，请直接写出结果：①（﹣3）*（﹣5）＝；②（+3）*（﹣5）＝；③（﹣9）*（+3）*（﹣6）＝；（3）试计算：[（﹣2）*（+3）]*[（﹣12）*0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）；【解答】解（1）根据题意知，两数进行*（加乘）运算，同号得正、异号得负，并把绝对值相加，故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加．（2）①（﹣3）*（﹣5）＝+（3+5）＝8；②（+3）*（﹣5）＝﹣（3+5）＝﹣8；③（﹣9）*（+3）*（﹣6）＝（﹣12）*（﹣6）＝18；（3）原式＝（﹣5）*12＝﹣17．23．计算：[（﹣1）2015﹣（）×24]÷|﹣32+5|【解答】解：原式＝（﹣1﹣6+4+9）÷|﹣9+5|＝6÷4＝．24．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求的值．【解答】解：根据题意知a+b＝0、mn＝1，x＝2或x＝﹣2，当x＝2时，原式＝﹣2+0﹣2＝﹣4；当x＝﹣2时，原式＝﹣2+0+2＝0．25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝2，（5，125）＝3，（﹣，）＝4，（﹣2，﹣32）＝5．（2）令（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，5）+（4，6）＝（4，30）．【解答】解：（1）∵32＝9，53＝125，（﹣）4＝，（﹣2）5＝﹣32，∴（3，9）＝2，（5，125）＝3，（﹣，）＝4，（﹣2，﹣32）＝5，故选：2，3，4，5；（2）令（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，则4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a×4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c，∴（4，5）+（4，6）＝（4，30）．26．计算：（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]．【解答】解：原式＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1+＝．27．计算：﹣32【解答】解：原式＝﹣9+5+2＝﹣2．28．计算（1）2×（﹣5）﹣（﹣3）÷（2）﹣44﹣15+（﹣2）3+|﹣|×（1﹣0.5）【解答】解：（1）原式＝﹣10+3×＝﹣10+4＝﹣6；（2）原式＝﹣256﹣15+（﹣8）+×＝﹣279+＝﹣278．29．计算：（1）（+12）﹣（﹣7）+（﹣5）﹣（+30）（2）【解答】解：（1）原式＝12+7﹣5﹣30＝19﹣35＝﹣16；（2）原式＝﹣×（﹣8）÷（﹣8）﹣2×|﹣1×+1|＝1×（﹣）﹣2×＝﹣﹣＝﹣．30．对于有理数a、b，定义运算：a⊕b＝ab﹣2a﹣2b+1．（1）计算：5⊕4的值；（2）计算：[（﹣2）⊕6]⊕3的值；（3）定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．【解答】解：（1）5⊕4＝5×4﹣2×4﹣2×5+1＝20﹣8﹣10+1＝21﹣18＝3；（2）原式＝[﹣2×6﹣2×（﹣2）﹣2×6+1]⊕3＝（﹣12+4﹣12+1）⊕3＝﹣19⊕3＝﹣19×3﹣2×（﹣19）﹣2×3+1＝﹣24；（3）成立，∵a⊕b＝ab﹣2a﹣2b+1、b⊕a＝ab﹣2b﹣2a+1，∴a⊕b＝b⊕a，∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．31．计算：（1）|﹣7|﹣3×（﹣）+（﹣4）；（2）﹣22﹣4÷（﹣）﹣（﹣1）2019．【解答】解：（1）|﹣7|﹣3×（﹣）+（﹣4）＝7+1+（﹣4）＝4；（2）﹣22﹣4÷（﹣）﹣（﹣1）2019＝﹣4﹣4×（﹣）﹣（﹣1）＝﹣4+6+1＝3．32．有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9＝3﹣6﹣9＝﹣3﹣9＝﹣12；（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，∴1××6□9＝﹣6，∴3□9＝﹣6，∴□内的符号是“﹣”；（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，∴这个最小数是﹣20．33．计算：（1）（2）﹣14﹣（1﹣0.5）×【解答】解：（1）＝（﹣18）+20+（﹣8）＝﹣6；（2）﹣14﹣（1﹣0.5）×＝﹣1﹣（2﹣9）＝﹣1﹣＝﹣1+＝．34．计算：（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|；（2）66×．【解答】解：（1）原式＝﹣9÷9﹣6+4＝﹣1﹣2＝﹣3；（2）原式＝66×（﹣）﹣66××＝﹣33﹣14＝﹣47．35．计算（1）4﹣（﹣28）+（﹣2）；（2）（）×（﹣24）；（3）（﹣2）3﹣（﹣13）；（4）﹣12﹣（1﹣0.5）÷×．【解答】解：（1）原式＝4+28﹣2＝30；（2）原式＝﹣8+4＝﹣4；（3）原式＝﹣8﹣26＝﹣34；（4）原式＝﹣1﹣××＝﹣1．36．计算：（1）（﹣81）+（﹣29）（2）﹣7+13﹣6+20（3）1+（﹣）﹣（﹣）﹣+（4）﹣0.5﹣（﹣3）+2.75﹣（+7）（5）（+16）+（﹣3）﹣|﹣8|+|﹣12|﹣（﹣5）（6）（﹣0.25）×（﹣2）×（﹣）×（+0.8）【解答】解：（1）原式＝﹣（81+29）＝﹣110（2）原式＝6﹣6+20＝0+20＝20（3）原式＝1+（﹣）++（﹣）+＝1+[（﹣）+（﹣）+（+）]＝1﹣1+2＝2（4）原式＝﹣0.5+3+2.75﹣7＝﹣7.5+5.75＝﹣1.75（5）原式＝16+（﹣3）+（﹣8）+12+5＝33﹣11＝22（6）原式＝﹣（×2××）＝﹣37．﹣14﹣[1﹣（1﹣0.5×）×6]．【解答】解：﹣14﹣[1﹣（1﹣0.5×）×6]，＝﹣1﹣[1﹣（1﹣）×6]，＝﹣1﹣（1﹣5），＝﹣1+4，＝3．38．计算：（﹣3）2×（）2+4﹣23【解答】解：（﹣3）2×（）2+4﹣23＝9﹣+4﹣8＝9﹣4+4﹣8＝1．39．计算：（1）﹣13﹣（1+0.5）×（2）﹣3.375×12+4.375÷（3）6【解答】解：（1）﹣13﹣（1+0.5）×＝﹣1﹣××（﹣）＝﹣1+＝﹣；（2）﹣3.375×12+4.375÷＝﹣3.375×12+4.375×12﹣2+3﹣12＝（﹣3.375+4.375）×12﹣2+3﹣12＝1×12﹣2+3﹣12＝12﹣2+3﹣12＝1；（3）6＝[（﹣8）﹣4﹣4]×（﹣）＝（﹣16）×（﹣）＝＝．40．计算：（）×12【解答】解：原式＝（10﹣9）÷（﹣4）+1＝﹣+1＝．41．计算：（1）﹣12+5+（﹣16）﹣（﹣17）（2）（3）﹣24×（﹣+﹣）（4）﹣23÷×（﹣）2【解答】解：（1）原式＝﹣12+5﹣16+17＝﹣6；（2）原式＝﹣115+128＝13；（3）原式＝12﹣18+8＝2；（4）原式＝﹣8××＝﹣8．42．计算；（1）﹣27﹣（﹣15）；（2）12；（3）﹣22×；（4）（）3×32+2÷（1﹣22）【解答】解：（1）原式＝﹣27+15＝﹣12；（2）原式＝12××＝3；（3）原式＝﹣4×5+8﹣＝﹣20+8﹣＝﹣12；（4）原式＝（﹣）3×9×8+2÷（﹣3）＝﹣﹣＝﹣1．43．已知a、b互为相反数，c、d互为负倒数（即cd＝﹣1），x是最小的正整数．试求x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2008+（﹣cd）2008的值．【解答】解：∵a、b互为相反数∴a+b＝0∵c、d互为负倒数∴cd＝﹣1∵x是最小的正整数∴x＝1∴x2﹣（a+b+cd）x+（a+b）2008+（﹣cd）2008＝12﹣[0+（﹣1）]×1+02008+[﹣（﹣1）]2008＝3．44．计算：（﹣3）2﹣1×﹣6÷|﹣|2﹣（﹣22）．【解答】解：原式＝9﹣﹣6÷+4＝9﹣﹣+4＝﹣4+4＝﹣．45．计算（1）（）×30（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）【解答】解：（1）原式＝30×﹣30×＝27﹣2＝25；（2）原式＝﹣8+（﹣3）×（16+2）﹣9÷（﹣2）＝﹣8+（﹣3）×18+＝﹣8﹣54+4＝﹣57．46．计算：（1）[﹣（﹣）+2]÷（﹣）．（2）﹣4+（﹣2）4÷4﹣（﹣0.28）×．【解答】解：（1）原式＝（++）×（﹣）＝×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）＝﹣2﹣﹣6＝﹣8；（2）原式＝﹣4+16÷4+0.07＝﹣4+4+0.07＝0.07．47．计算：（﹣1）2019÷{[（﹣4）×（﹣）÷（﹣）+（﹣3）×（+）]×（﹣2）2+（﹣6）}【解答】解：原式＝﹣1÷[（﹣﹣）×4﹣6]＝﹣1÷（﹣9×4﹣6）＝﹣1÷（﹣36﹣6）＝﹣1÷（﹣42）＝．48．计算：（﹣）3+10÷（﹣4）×﹣（﹣1）2018【解答】解：原式＝﹣﹣×﹣1＝﹣﹣﹣1＝﹣4﹣1＝﹣5．49．计算：①﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]÷（﹣7）②（1﹣+）÷（﹣）﹣8×（﹣）3．【解答】解：①原式＝﹣1﹣×（﹣7）×（﹣）＝﹣1﹣＝﹣1；②原式＝（1﹣+）×（﹣24）﹣8×（﹣）＝﹣36+15﹣14+1＝﹣34．50．计算：（1）26+（﹣14）+（﹣16）+8（2）﹣14﹣（﹣+）×24+|﹣4|【解答】解：（1）原式＝（26+8）+[（﹣14）+（﹣16）]＝34+（﹣30）＝4；（2）原式＝﹣1﹣（14﹣20+36）+4＝﹣1﹣30+4＝﹣27．。

姓名，年级：时间：练案29 语言文字运用（一）本练案共2页，满分45分，时间40分钟。

一、(2019·新课标全国卷Ⅱ)阅读下面的文字，完成1~3题。

中国画是融中国哲学思想、美学精神、绘画理念于一体的民族艺术。

20世纪以来，新的文化思潮和艺术观念不断对中国画领域产生冲击，画家们既要突破传统观念推陈出新，又要继承传统发扬光大中国文化精神。

（)，也造就了当今画坛的各种风格.作为中华文化的传统瑰宝,中国画的笔墨纸砚等工具材料和表现方式有着其他画种无法比拟的特殊性，为历代画家崇尚与传承.其伟大而完整的绘画体系，成就了一代代宗师。

然而，也正是这千百年来逐渐趋于完美的绘画准则，让一些画家“长跪不起”，不敢轻易逾越雷池，仍在使用今日的笔墨纸张道说古人程式化的话语。

事实上，单凭笔墨功力，是无法成就作品艺术灵魂的.画家能否凭借自己的生活积累和艺术感受，让传统文化内涵及现代人文精神在画面上得到充分体现，是新时代美术创作并行不悖的艺术法则。

新时代的中国画创作者，应该以笔墨激扬时代精神，让中国画在多元共融的艺术格局中保持鲜活的生命力。

1．下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是（3分)（ B ）A．这其中尺度的把握使画家对中国文化的不同理解B．这其中尺度的把握体现着画家对中国文化的不同理解C．画家对中国文化的不同理解，影响他们对其中尺度的把握D．画家对中国文化的不同理解使他们对其中尺度的把握不同【解析】解题时要注意括号后面句子“也造就了当今画坛的各种风格”的主语必须是“这其中尺度的把握”，从而排除CD,再看AB项,“体现……不同理解"搭配正确，故排除A项。

2．对下列各句中的引号和文中“长跪不起”的引号,作用相同的一项是（3分)（ B ）A．我站在山脚抬头望去,只见无数火把排成许多“之”字形，一直向山顶延伸着。

B．父亲的话让我意识到,要打破我们父子之间这层令人悲哀的“厚壁障”太难了。

C．著名画家徐悲鸿笔下的马，正如有的评论家所说的那样，“形神兼备,充满生机"。

第34讲推理计算奥数是给那些对奥数有兴趣的孩子搭建的一个舞台，正象我们给那些对英语、对绘画、对音乐、对体育等有兴趣的孩子搭建的舞台一样，让他们自由、快乐地享受童年、享受人生。

其一，奥数包涵了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等等二十几种思维方式，众所周知，思维能力是一个孩子的智力的核心，如果一个孩子在小学期间，思维能力得到了充分的锻炼，有什么比这更重要的呢？奥数能够快速有效、全面提高孩子智商的工具。

奥数学习对开拓思路有着重要作用。

奥数学习好的学生整个理科都会比较优秀，因为数学是理科的基础，物理化学都需要数学这个基础。

正因为这个原因，重点中学喜欢招奥数比较好的学生。

其二，奥数题基本上是比书上知识有所提高的内容，当孩子在做题当中遇到困难，想办法战胜它时，那种来自内心深处的喜悦比吃了十斤蜜枣还甜。

在学习、比赛中，有失败、有成功，让孩子从小就明白：不经历风雨怎能见彩虹的道理，一句话：奥数让孩子学会了面对挫折、战胜困难，学会了永不言败的精神，建立起良好的自信。

可以说既提高孩子的智商又能发展孩子的情商。

【专题简析】我们已经知道用移多补少的方法可使不相等变成相等，在分东西的题中，有很多把不相等的数量转化成相等数量的问题，这就需要我们分析两个数量之间的关系，再进行移多补少。

解决这类问题，首先要明确“移多补少”至相等时，移的部分是相差部分的一半，由相等移为不等，相差的部分是移的部分的两倍。

如果说移后，两个数量仍然不相等，要知道原来两个数量之间有什么关系，你会吗？【例题1】甲筐比乙筐多8个西瓜，甲筐给了乙筐6个西瓜后，哪筐西瓜多？多几个？思路导航：根据甲筐比乙筐多8个西瓜，由“移多补少”知甲给乙4个西瓜，两筐就同样多。

甲筐给了乙筐6个，相当于先给4个，又给2个，可知乙筐比甲筐多2×2＝4（个）。

解：8÷2＝4（个）（6－4）×2＝4（个）答：乙筐西瓜多，多4个。

椭圆(一)复习要点1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.4.了解椭圆的简单应用．一椭圆的概念1．我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．2．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数：(1)若a >c ，则集合P 为椭圆；(2)若a ＝c ，则集合P 为线段；(3)若a <c ，则集合P 为空集．二椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距|F 1F 2|＝2c焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )离心率e ＝ca∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2常/用/结/论椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.一般常用定义＋余弦定理解决．(1)当P 为短轴端点时，θ最大，S △F 1PF 2最大．(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ＋n ＝2a ，①2＝m 2＋n 2－2mn cos θ，②①2代入②得mn ＝2b 21＋cos θ，则S △F 1PF 2＝12mn sin θ＝b 2sin θ1＋cos θ＝b 2·2sin θ2cosθ22cos 2θ2＝b 2tan θ2.(3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c .(4)|PF 1|·|PF 2＝a 2.(5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.1．判断下列结论是否正确．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．()(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．()(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)表示的曲线是椭圆．()2．(2024·重庆诊断)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是()A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32解析：把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得y 214＋x 2116＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32，故选D.答案：D3．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：－k >0，－3>0，－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：(3,4)∪(4,5)4．(2024·广东深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则椭圆C 的方程可以为____________．解析：因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以c a ＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，则b 2a 2＝34.所以椭圆C 的方程可以为x 24＋y 23＝1(答案不唯一)．答案：x 24＋y23＝1(答案不唯一)题型椭圆的定义及应用典例1(1)(2024·云南丽江模拟)一动圆P 与圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1外可得|PA|＝r ＋1.切，而与圆B ：(x －1)2＋y 2＝64内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是()数形结合可得|PB|＝8－r.A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．双曲线的一支(2)(2023·全国甲卷，文)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()可直接利用焦点三角形的面积秒杀：S △F 1PF 2＝b 2tan θ2＝12|PF 1|·|PF 2|⇒|PF 1|·|PF 2|.A ．1B ．2C ．4D ．5(3)(2024·江西九江模拟)已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 为平面内异于F 1，F 2的两点．若AB 的中点P 在C 上，且AC →＝2AF 1→，AD →＝2AF 2→，则|BC |＋|BD |＝()A ．4B ．42C ．8D ．82解析：(1)设动圆P 的半径为r ，又圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1的半径为1，圆B ：(x －1)2＋y 2＝64的半径为8，可知圆A 在圆B 内部，则|PA |＝r ＋1，|PB |＝8－r ，可得|PA |＋|PB |＝9，又9>2＝|AB |，则动圆的圆心P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为9的椭圆．故选A.(2)方法一：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，从而S △F 1PF 2＝b 2tan 45°＝1＝12×|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.方法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，由椭圆方程可知，c 2＝5－1＝4⇒c ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16.又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝16＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.(3)如图所示，连接PF 1，PF 2，∵AC →＝2AF 1→，AD →＝2AF 2→，∴F 1，F 2分别为线段AC ，AD 的中点．又P 为AB 的中点，∴PF 1，PF 2分别是△ABC 和△ABD 的中位线，∴|BC |＝2|PF 1|，|BD |＝2|PF 2|，【划重点】通过中位线将待求长度转化为椭圆上的点到焦点的距离，便可利用椭圆定义求值了．∵点P 在C 上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|BC |＋|BD |＝82.故选D.1．椭圆定义的应用范围(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆．(2)解决与焦点有关的距离问题．2．焦点三角形的应用椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；常见题型：①周长；②面积；③焦半径．利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等.对点练1(1)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上一点，M ，N 分别是圆(x ＋3)2＋y 2＝4和(x －3)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的取值范围是()A ．[7,13]B ．[10,15]C ．[10,13]D ．[7,15](2)(2023·全国甲卷，理)已知椭圆x 29＋y 26＝1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2＝35，则|PO |＝()A.25B.302C.35D.352(3)已知A －12，0，B 是圆x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．解析：(1)如图，设F 1，F 2分别为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，则由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，所以7＝10－(1＋2)≤|PM |＋|PN |≤10＋(1＋2)＝13，即|PM |＋|PN |的取值范围为[7,13]．故选A.(2)由题不妨设F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以|OF 1|＝|OF 2|＝3，|F 1F 2|＝23，|PF 1|＋|PF 2|＝6.在△POF 1中，由余弦定理得cos ∠POF 1＝|OF 1|2＋|OP |2－|PF 1|22|OF 1|·|OP |，在△POF 2中，由余弦定理得cos ∠POF 2＝|OF 2|2＋|OP |2－|PF 2|22|OF 2|·|OP |，又∠POF 1＋∠POF 2＝π，所以cos ∠POF 1＋cos ∠POF 2＝|OF 1|2＋|OP |2－|PF 1|22|OF 1|·|OP |＋|OF 2|2＋|OP |2－|PF 2|22|OF 2|·|OP |＝0，又|OF 1|＝|OF 2|，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|OF 1|2＋|OF 2|2＋2|OP |2＝6＋2|OP |2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝36－122|PF 1|·|PF 2|－1＝35，解得|PF 1|·|PF 2|＝152，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝36－15＝21，所以6＋2|OP |2＝21，所以|OP |＝152＝302.故选B.(3)如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |＝1，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.答案：(1)A (2)B(3)x 2＋43y 2＝1题型椭圆的标准方程典例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)经过点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)；宜采用焦点不定的设法：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m≠n)，这样可避免分类讨论，简化计算过程．(2)与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)．注意要讨论焦点所在的轴．解：(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，∵点P1(6，1)，P2(－3，－2)在椭圆上，m＋n＝1，m＋2n＝1，＝19，＝13.故x29＋y23＝1为所求椭圆的方程．(2)方法一：e＝ca＝a2－b2a＝12.若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x2m2＋y2n2＝1(m>n>0)，思路较自然，找到关于m，n的方程组即可．则由e2＝1－b2a2＝14，得1＝14，从而＝34，nm＝32.又4m2＋3n2＝1，∴m2＝8，n2＝6.∴所求椭圆的方程为x28＋y26＝1.若焦点在y轴上，设方程为y2m2＋x2n2＝1(m>n>0)，则3m2＋4n2＝1，且nm＝32，解得m2＝253，n2＝254.故所求椭圆的方程为y2253＋x2254＝1.方法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x24＋y23＝t(t>0)，将点(2，－3)代入，此法是共离心率椭圆方程的设法，简化运算．得t＝224＋－323＝2.故所求椭圆的方程为x28＋y26＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的方程为y24＋x23＝λ(λ>0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，∴所求椭圆的方程为y2253＋x2254＝1.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程．(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下：对点练2(1)已知方程(k－1)x2＋(9－k)y2＝1，若该方程表示椭圆方程，则实数k的取值范围是()A．(1,9)B．(9，＋∞)C．(－∞，1)D．(1,5)∪(5,9)(2)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为83π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为()A.x2 64＋y23＝1B.y 264＋x 23＝1C.x 264＋y 248＝1D.y 264＋x 248＝1解析：(1)因为方程(k －1)x 2＋(9－k )y 2＝1－1>0，－k >0，－1≠9－k ，解得1<k <5或5<k <9，所以实数k 的取值范围是(1,5)∪(5,9)．故选D.(2)∵焦点F 1，F 2在y 轴上，∴可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，面积为S ，由题意可得4Sπ＝2a ×2b ＝4ab ，∴S ＝ab π＝83π，即ab ＝83，∵△F 2AB 的周长为32，∴4a ＝32，则a ＝8，∴b ＝3，故椭圆方程为y 264＋x 23＝1.故选B.答案：(1)D(2)B题型椭圆的离心率的多维研讨维度1求离心率的值或与离心率有关的计算典例3(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a2＋y 2＝1(a >1)，C 2：注意焦点在x 轴呦！x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝()分别求出e 1，e 2，代入可求得a.A.233B.2C.3D.6(2)(2024·河北保定调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，∠PF 1F 2＝π3，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线交F 1P 的延长线于点N .若sin ∠PNF 2＝64，则椭圆的离心率为()A.3－12B.32C.52D.5－12(3)如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P (当成质点)，篮球的影子是椭圆，篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点，实际问题中蕴含着直线、圆、椭圆的位置关系，因此准确作图是解决本题的关键．点P 到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝________.解析：(1)由e 2＝3e 1，得e 22＝3e 21，因此4－14＝3×a 2－1a 2，而a >1，所以a ＝233.故选A.(2)设NF 2与∠F 1PF 2的外角平分线的交点为M ，∠NPM ＝∠MPF 2＝α，由于sin ∠PNF 2＝64，PM ⊥NF 2，所以cos α＝sin ∠PNF 2＝64，cos 2α＝2cos 2α－1＝－1＝－14，所以cos ∠F 1PF 2＝cos(π－2α)＝14，sin ∠F 1PF 2＝154.设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2a －x .在△PF 1F 2中，由余弦定理得(2c )2＝x 2＋(2a －x )2－2x (2a －x )cos ∠F 1PF 2①，焦点三角形问题：定义＋余弦定理．由正弦定理得2c154＝2a －x32，则x ＝2a －455c ，将其代入①式化简得c 2－5ac ＋a 2＝0，方法：求椭圆的离心率通常考虑建立关于a ，c 的齐次等式．即e 2－5e ＋1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝5－12，由于0<e <1，故e ＝5－12.故选D.(3)以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得P (0,4)，R (－3,0)，则直线PR目的是将几何问题代数化．的斜率k PR ＝43，直线PR ：4x －3y ＋12＝0.设影子椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，则|QR |＝a －c .设M (n,1)，则Q (n,0)，点M 到直线PR 的距离d ＝|4n －3＋12|42＋－32＝1，解得n ＝PR 与⊙M 相切：d ＝r.－1(舍去)，n ＝－72，则|QR |＝|－72－－3|＝12＝a －c .设直线PN ：kx －y ＋4＝0，则点M －72，1到直线PN 的距离d 1＝|－72k －1＋4|k 2＋－12＝1，得45k 2－84k ＋32＝0，Δ>0，∴k PR ·k PN ＝3245，则k PN ＝815，直线PN ：815x －y ＋4＝0，令y ＝0，得x N ＝－152.∴2a ＝|－152－－3|＝92，则a ＝94，故c ＝74.∴椭圆的离心率e ＝c a＝79.故答案为79.求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a ，c 来求解．通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．如：c 2－5ac ＋a 2＝0，即e 2－5e ＋1＝0.对点练3(1)(2024·江苏南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 为其左焦点，直线y＝kx (k >0)与椭圆C 交于点A ，B ，且AF ⊥AB .若∠ABF ＝30°，则椭圆C 的离心率为()A.73 B.63C.76D.66(2)(2024·广东湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为()A.55B.12C.33D.22解析：(1)设椭圆C 的右焦点为F 2，连接AF 2，BF 2，则四边形AFBF 2为平行四边形．设|AF |＝m ，∵∠ABF ＝30°，AF ⊥AB ，∴|BF |＝2m ，|BF 2|＝|AF |＝m ，|BF |＋|BF 2|＝2m ＋m ＝2a ，则m ＝23a .在△BFF 2中，(2c )2－2×43a ×23a ×cos 120°，整理得4c 2＝289a 2，即c ＝73a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝73.(2)过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34－b ，即34x －y －b ＝0，F (c,0)，由点到直线的距离公式，得c ＝|34c －b |c 2＝－32bc ＋b 2，即(2c －b )·(c ＋2b )＝0，则2c －b ＝0，b ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2，解得c a ＝55.故选A.答案：(1)A (2)A维度2求离心率的取值范围典例4已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范先考虑P 位于上(下)顶点时，e ＝22，假设a 不变，将椭圆压扁满足题意，即b 变小，c 变大，也即e 变大．围是________．解析：方法一：设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)，若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0.∴x 20＋bc 2，∴x 20＝a 2c 2－b 2c 2.∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c2≤1.利用x 0∈[－a ，a]，找到关于a ，c 的不等式．∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.方法二：若存在点P ，则圆x 2＋y 2＝c 2与椭圆有公共点，即b ≤c <a ，即b 2≤c 2，∴a 2－c 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.故答案为22，求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x |≤a ，|y |≤b,0<e <1，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系借助几何图形更直观．题设条件有明显的几何关系直接法根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a ，b ，c 的不等关系式题设条件直接有不等关系对点练4已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (c,0)，上顶点为A (0，b )，若在直线x＝a2c上存在一点P 满足(FP →＋FA →)·AP →＝0，则椭圆的离心率的取值范围为()A.12，B.22，C.5－12，，22解析：取AP 的中点Q ，则FQ →＝12×(FP →＋FA →)，所以(FP →＋FA →)·AP →＝2FQ →·AP →＝0，所以FQ⊥AP ，所以△AFP 为等腰三角形，即|FA |＝|FP |，且|FA |＝b 2＋c 2＝a .因为点P 在直线x ＝a 2c上，所以|FP |≥a 2c －c ，即a ≥a 2c －c ，所以c 2＋ac －a 2≥0，所以e 2＋e －1≥0，解得e ≥5－12或e ≤－5－12.又0<e <1，故5－12≤e <1.故选C.答案：C。

数列求和题型分组求和法典例1(2024·山东潍坊模拟)已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋…＋a n 2n ＝n2n.从结构特点分析，属于由S n 求a n 的类型，应用a n ＝S n －S n －1(n≥2)的运算，求通项公式．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意的n ∈N *，令b n n ，n 为奇数，a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)当n ＝1时，a 12＝12，解得a 1＝1；当n ≥2时，a 12＋a 222＋…＋a n 2n ＝n2n ，①a 12＋a 222＋…＋a n －12n －1＝n －12n －1，②由①－②，得a n 2n ＝n 2n －n －12n －1＝2－n 2n，两式相减，目的是暴露出a n ，从而得出通项公式．即a n ＝2－n ，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1也符合，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知b n 奇数项和偶数项分别是不同数列，采用分组求和已是必然.这样分组的话，奇数项和偶数项的项数必须要讨论清楚．当n 为偶数时，当n 为偶数时，奇数项和偶数项的项数各是n2项．S n ＝[1＋(－1)＋(－3)＋…＋2－(n －1)]＋(20＋2－2＋…＋22－n )＝1＋3－nn 22＋121－14＝4－n n4＋＝－3n 2＋12n ＋1612－13×2n －2；当n 为奇数时，S n ＝S n ＋1－b n ＋1这里n 为奇数，n ＋1为偶数，S n ＋1代入前面解析式，如此计算更显简单！＝－3n ＋12＋12n ＋1＋1612－13×2n －1－21－n ＝－3n 2＋6n ＋2512－43×2n －1.综上所述，S n －43×2n －1，n 为奇数，－13×2n －2，n 为偶数.1．若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差数列或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．2．若数列{c n }的通项公式为c n n ，n 为奇数，n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和.对点练1数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值为________________________________________________________________________．解析：∵a n ＝(2n －1)＋12n ，∴S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋122＋123＋…n [1＋2n －1]2＋21－12＝n 2＋1－12n .答案：n 2＋1－12n题型并项求和法典例2(2024·江苏南京外国语学校、金陵中学联考)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n ＝8n .这种递推结构，常暗示用累加法求通项．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n sina n π2，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2023.解：(1)对任意的n ∈N *，a 2n ＋1－a 2n ＝8n ，当n ≥2时，a 2n ＝(a 2n －a 2n －1)＋…＋(a 22－a 21)＋a 21这个过程体现了两两并成一项，再求和的思路．＝8(n －1)＋…＋8×1＋1＝8[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝8×n n －12＋1＝(2n －1)2，因为a n >0，故a n ＝2n －1.【题眼】{a n }为“正项数列”，据此排除负值．当n ＝1时，a 1＝1符合a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知，b n 奇偶项的符号不同，常采用奇偶两项并成一项再求和的方法．所以当k ∈N *时，b 2k ＋b 2k ＋1＝－(4k －1)＋4k ＋1＝2，故S 2023＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5)＋…＋(b 2022＋b 2023)＝1＋2×1011＝2023.【扫清障碍】并项求和法类似倒序相加法，数列中的项满足某些规律，一般是正负项交替出现，求解时要重点关注项两两结合后的“新数列”有多少项．1．一般地，当数列中的各项正负交替，且各项绝对值成等差数列时，可采用并项转化法求和．2．在利用并项转化法求和时，一般需要对项数n 分奇数和偶数两种情况进行讨论，所以结果一般用分段函数来表示.对点练2已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝(－1)n a n ＋2，则{a n }的前100项和为________．解析：①当n 为偶数时，a n ＋2＝a n ＋2，则偶数项是以1为首项，2为公差的等差数列，故a 2＋a 4＋…＋a 100＝50×1＋50×492×2＝2500.②当n 为奇数时，a n ＋2＝－a n ＋2，即a n ＋a n ＋2＝2，故a 1＋a 3＋…＋a 99＝2×25＝50.综上，S 100＝2550.答案：2550题型错位相减法典例3(2023·全国甲卷，理)已知数列{a n }中，a 2＝1，设S n 为{a n }的前n 项和，2S n ＝na n .(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和T n .解：(1)2S n ＝na n ①，当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －1②，由①－②得，2a n ＝na n －(n －1)a n －1，我们常说S n 和a n 不共存，常用a n ＝S n －S n －1的变形，要么得到a n 的递推，要么得到S n的递推．即(n －1)a n －1＝(n －2)a n .当n ＝2时，a 1＝0；由条件2S n ＝na n ，令n ＝2，可推得a 1＝0.当n ≥3时，a n －1n －2＝a n n －1.∴当能理解这里n≥2的限制吗？∴a n n －1＝a 21＝1，∴a n ＝n －1(n ≥2)．由a 1＝0也满足上式，∴a n ＝n －1(n ∈N *)．(2)由(1)2我们称此种形式的数列为“差比数列”．形如a n ＝(a n ＋b)·q n －1的形式，即两个因式，一个因式为等差数列{a n ＋b}，另一个因式为等比数列{q n －1}，它的前n 项和常采用错位相减法；有的老师总结了前n 项和的一个公式S n ＝(An ＋B)·q n －B ，其中A ＝a q －1，B ＝b －A q －1，以上有助于加强我们对它的认识！则T n ＝＋＋＋…＋n③，12Tn ＝＋＋…＋(n －＋n＋1④，由③－④得12T n ＝1211－12－n＋1，∴T n ＝2－(2＋n .1．一般地，如果数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘等比数列{b n }的公比，然后作差求解．2．在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.对点练3(2024·重庆一中月考)已知函数f (x )＝cos πx －sin πx (x ∈R )的所有正零点构成递增数列{a n }(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b nn {b n }的前n 项和T n .解：(1)因为f (x )＝cos πx －sin πx ＝2cos xf (x )＝0可得2cosx 0，即πx ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝14＋k (k ∈Z )．因为{a n }为所有正零点构成的数列，所以a 1＝14，且a n －a n －1＝1(n ≥2)，故{a n }为以14为首项，1为公差的等差数列，即a n ＝14＋(n －1)＝n －34.(2)由(1)知a n ＝n －34，所以b n－34＋，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n＋＋＋…＋(n －－1＋n①，所以12T n＋＋＋…＋(n －＋n＋1②，①－②可得12T n＋…－＋1＝1211－12－＋1＝1－(n ＋＋1，故T n ＝2－(n ＋.题型倒序相加法典例4(2024·上海宜川中学模拟)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称．相传，幼年的高斯就表现出超人的数学天赋，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，此方法也被称为高斯算法．已知某数列的通项公式为a n ＝2n －1002n －101，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝()A ．98B ．99C ．100D ．101解析：方法一：由数列的通项公式为a n ＝2n －1002n －101，可得当1≤n ≤100，n ∈N *时，a n ＋a 101－n ＝2n －1002n －101＋2101－n －1002101－n－101＝2n －1002n －101＋102－2n 101－2n＝4n －2022n －101＝2，所以a 1＋a 100＝a 2＋a 99＝a 3＋a 98＝…＝a n ＋a 101－n ＝2，所以2(a 1＋a 2＋…＋a 100)＝2×100＝200，【扫清障碍】求和式中到首尾距离相等的两项和相等，考虑使用倒序相加法，将求和式倒序书写，之后与原式相加，两两结合求解．所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝100.方法二：函数f (x )＝2x －1002x －101的图象关于点所以f (x )＋f (101－x )＝2，则f (1)＋f (100)＝f (2)＋f (99)＝…＝f (50)＋f (51)＝2，即a 1＋a 100＝a 2＋a 99＝…＝a 50＋a 51＝2，所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝50×2＝100.故选C.【方法辨析】方法二中，首尾对应的项两两结合，求和时项数易错，而方法一采用倒序相加法，项数容易确定，但不要忘了结果要除以2.若一个数列{a n }，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．对点练4已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝118，2a n ＋1－a n ＝16a n ＋1a n ，b n ＝1a n－16.(1)证明{b n }为等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)求a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a 7b 7.解：(1)由2a n ＋1－a n ＝16a n ＋1a n 可得1a n ＋1＝2a n －16，于是1a n ＋1－16＝b n ＋1＝2b n ，而b 1＝1a 1－16＝2，所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以b n ＝2×2n －1＝2n .(2)由(1)知a n ＝12n ＋16，所以a n b n ＝2n2n ＋16.因为a k b k ＋a 8－k b 8－k ＝2k 2k ＋16＋28－k 28－k ＋16＝2k －42k －4＋1＋11＋2k －4＝1，所以2(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a 7b 7)＝(a 1b 1＋a 7b 7)＋(a 2b 2＋a 6b 6)＋…＋(a 7b 7＋a 1b 1)＝7，所以a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a 7b 7＝72.题型裂项相消法的多维研讨维度1b n ＝1a n a n ＋1({a n }为等差数列)型典例5求和：(1)S n ＝1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋…＋n ；a n ＝11＋2＋…＋n ＝2nn ＋1，像这样没有给出通项公式的情况下，求S n 时，应先求出通项公式．(2)S n ＝11×3＋12×4＋…＋1n n ＋2.解：(1)由题意知，a n ＝2nn ＋1＝∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝…＝2nn ＋1.(2)由题意知，a n nn ＋22经典题型，关键是体会裂项相消后，前后余下的几项是对称的，即前面和后面余下的项数相同．∴S n－13＋12－14＋…＋1n －＋12－1n ＋1－＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，或者前面剩几项，后面也剩几项．(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }a n a n ＋1d a n a n ＋22d 理解前面系数的匹配！对点练5(2024·河南洛阳模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＝5，a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a 2n ＋4n －2，S n 是数列{b n }的前n 项和，若对任意正整数n ，不等式2S n ＋(－1)n＋1a >0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a 3＝5，a 1，a 2，a 51＋2d ＝5，a 1＋d2＝a 1a 1＋4d ，又d ≠0，1＝1，＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝1a 2n ＋4n －2＝12n －12＋4n －2＝14n 2－1＝12n －12n ＋1所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12×＋12×…依题意得，对任意正整数n ，不等式1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a >0恒成立，当n 为奇数时，1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a >0即a >－1＋12n ＋1，所以a >－23；当n 为偶数时，1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a >0即a <1－12n ＋1，所以a <45.所以实数a －23，维度2a n ＝1n ＋k ＋n型典例6(2024·广东揭阳调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n ＋1，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝1a n ＋1＋a n，S n 是数列{c n }的前n 项和，求S n .解：(1)由a n ＋1＝a 2n ＋1，有a 2n ＋1－a 2n ＝1，可知数平方后，构造等差数列．列{a 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a 2n ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n .(2)c n ＝1a n ＋1＋a n＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，分母有理化，裂成两项相减的形式，为裂项相消法求和作准备．所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.形如a n ＝1n ＋k ＋n型的数列采用裂项相消法求和时，应先将分母有理化.对点练6已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，其中d ，S 9为函数f (x )＝(x －2)(x －99)的两个零点，且d <S 9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n ＋1＋a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为d ，S 9为函数f (x )＝(x －2)(x －99)的两个零点且d <S 9，所以d ＝2，S 9＝99.又因为S n ＝na 1＋n n －12d ，所以9a 1＋9×82×2＝99，解得a 1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)知，b n ＝1a n ＋1＋a n＝12n ＋3＋2n ＋1＝12(2n ＋3－2n ＋1)，所以T n ＝12(5－3)＋12(7－5)＋…＋12(2n ＋1－2n －1)＋12(2n ＋3－2n ＋1)＝2n ＋3－32.维度3a n ＝n ＋kn 2n ＋φ2型典例7正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n＝n＋1n＋22a2n，数列{b n}的前n项和为T n.证明：对于任意的n∈N*，都有T n<564.(1)解：由S2n－(n2＋n－1)S n－(n2＋n)＝0，得[S n－(n2＋n)](S n＋1)＝0.二次三项式的因式分解．由于{a n}是正项数列，所以S n>0，所以S n＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.当n＝1时，a1＝2＝2×1符合上式．综上，数列{a n}的通项公式为a n＝2n(n∈N*)．(2)证明：由于a n＝2n，故b n＝n＋1n＋22a2n＝n＋14n2n＋22＝1161n2－1n＋22.分母的结构特点为二次式的乘积形式，分子为一次式，学习裂项方法．所以T n＝1161－132＋122－142＋132－152＋…＋1n－12－1n＋12＋1n2－1n＋22＝1 161＋122－1n＋12－1n＋22<＝564.先裂项求和，再证明不等式．形如a n＝n＋kn2n＋φ2型的数列采用裂项相消法求和时，可以将平方项看成一个整体，然后调整系数求解.对点练7已知各项均不相等的等差数列{a n}的前4项和为10，且a1，a2，a4是等比数列{b n}的前3项．(1)求a n，b n；(2)设c n＝b n＋2n＋1a2n·a2n＋1，求{c n}的前n项和S n.解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，a1＋4×32d＝10，22＝a1a4，a1＋3d＝5，a1＋d2＝a1·a1＋3d，a1＋3d＝5，2＝a1d，因为d ≠0a 1＋3d ＝5，＝a 1，解得a 1＝d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，所以b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝2，所以等比数列{b n }的公比q ＝a 2a 1＝2，所以b n ＝2n －1.(2)由(1)知，c n ＝2n －1＋2n ＋1n 2·n ＋12＝2n －1＋1n2－1n ＋12，所以S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋112－122＋122－132＋…＋1n 2－1n ＋12＝1－2n 1－2＋1－1n ＋12＝2n －1n ＋12.维度4a n ＝ka na n －1a n ＋1－1(a >0且a ≠1)型分母结构特点：等比数列相邻两项的积．典例8已知a n ＝2·3n3n －13n ＋1－1，求数列{a n }的前n 项和S n .解：由题意知，a n ＝13n －1－13n ＋1－1，注意到分子2·3n 恰好为分母中两因式的差：(3n ＋1－1)－(3n －1)＝2·3n .∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝13－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1.由于(a －1)a n ＝an ＋1－a n，所以有a －1a na n ＋ba n ＋1＋b＝1a n ＋b －1a n ＋1＋b.分子恰好为分母中两因式的差．常见指数型裂项：(1)2n2n ＋1－12n －1＝12n －1－12n ＋1－1.(2)12n 2n －1＝12n －1－12n .(3)n ＋2nn ＋1·12n ＝2n ＋1－n n n ＋1·12n 裂为分母为差比数列的形式．＝1n ·2n －1－1n ＋1·2n.(4)n ＋12＋1nn ＋12n ＋2＝12·n 2＋2n ＋2n n ＋12n ＋1＝12n 2＋n n n ＋12n ＋1＋n ＋2nn ＋12n ＋1＝1212n ＋1＋1n ·2n－1n ＋1·2n ＋1.对点练8已知数列{a n }的首项a 1>0，前n 项和为S n ，且满足a 1a n ＝S 1＋S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋1S n ·S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，解得a 1＝2或a 1＝0(舍去)．当n ≥2时，2a n ＝2＋S n ，①2a n －1＝2＋S n －1，②①－②，得a n ＝2a n －1，所以a na n －1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝2·2n －1＝2n .(2)由于S n ＝21－2n 1－2＝2·(2n －1)，所以b n ＝a n ＋1S n ·S n ＋1＝2n ＋142n －12n ＋1－1所以T n ＝12×…＝2n －12n ＋1－1.。

基础送分专题一集合、复数、算法[题组练透]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1,2}D．{0,1,2}解析：选C∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}．2．设全集U＝{x∈Z||x|≤2}，A＝{x|x＋1≤0}，B＝{－2,0,2}，则(∁U A)∪B＝() A．{1} B．{0,2}C．{－2,0,1,2} D．(－1,2]∪{－2}解析：选C因为U＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，A＝{x|x≤－1}，所以∁U A＝{0,1,2}，又B＝{－2,0,2}，所以(∁U A)∪B＝{－2,0,1,2}．3．(2019届高三·惠州调研)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选D集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B，可得B⊆A，结合数轴得a≥2.4．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4解析：选A法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出Array来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.5．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义P⊕Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有真子集的个数为()A．32 B．31C．30 D．以上都不对解析：选B由所定义的运算可知P⊕Q＝{1,2,3,4,5}，所以P⊕Q的所有真子集的个数为25－1＝31.[题后悟通][题组练透]1．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－ID ．3＋i解析：选D (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.2．(2018·洛阳统考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 1＋i 为纯虚数，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C ∵a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －12－a ＋12i 为纯虚数，∴a －12＝0且a ＋12≠0，解得a ＝1.3．(2019届高三·安徽知名示范高中联考)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝i ＋i 22－i ＝－1＋i 2－i ＝(－1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－3＋i 5＝－35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－35，15，该点位于第二象限． 4．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12C ．1D. 2解析：选C ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.5．(2018·资阳模拟)复数z 满足z (1－2i)＝3＋2i ，则z ＝( ) A ．－15－85iB ．－15＋85iC.75＋85i D.75－85i解析：选A 由z (1－2i)＝3＋2i ，得z ＝3＋2i 1－2i ＝(3＋2i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋85i ，∴z ＝－15－85i.[题后悟通][题组练透]1.(2018·成都检测)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示．若输入的x ，y ，k 的值分别为4,6,1，则输出k 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 执行程序框图，x ＝4，y ＝6，k ＝1， k ＝k ＋1＝2，x >y 不成立，x ＝y 不成立，y ＝y －x ＝2； k ＝k ＋1＝3，x >y 成立，x ＝x －y ＝4－2＝2； k ＝k ＋1＝4，x >y 不成立，x ＝y 成立，输出k ＝4.2．执行如图所示的程序框图，当输出的n 的值等于5时，输入的正整数A 的最大值为( )A ．7B ．22C ．62D ．63解析：选D 第1次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝0＋1＝1，x ＝3×1－1＝2，n ＝1；第2次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝1＋2＝3，x ＝3×2－1＝5，n ＝2；第3次循环⎩⎪⎨⎪⎧ S ＝3＋5＝8，x ＝3×5－1＝14，n ＝3；第4次循环⎩⎪⎨⎪⎧ S ＝8＋14＝22，x ＝3×14－1＝41，n ＝4；第5次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝22＋41＝63，x ＝3×41－1＝122，n ＝5.因为输出的n ＝5，所以22<A ≤63， 所以输入的正整数A 的最大值为63.3.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 020项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和解析：选D 由程序框图得，输出的S ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2× 2 019－1)，可看作数列{2n －1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和．4．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4解析：选B 由题意可将S 变形为S ＝⎝⎛⎭⎫1＋13＋…＋199－⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋1100，则由S ＝ N －T ，得N ＝1＋13＋…＋199，T ＝12＋14＋…＋1100.据此，结合N ＝N ＋1i ，T ＝T ＋1i ＋1易知在空白框中应填入i ＝i ＋2.故选B.[题后悟通][专题过关检测] 一、选择题1．(2018·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}， 所以集合A ∩B 中元素的个数为2. 2．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i 1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.3．(2019届高三·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53解析：选D z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝U C ．∁U B ⊆AD ．∁U A ⊆B解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅，A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.5．(2019届高三·武汉调研)已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i解析：选D 设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i.6.(2018·开封高三定位考试)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a ＝( )A ．0B ．25C ．50D ．75解析：选B 初始值：a ＝675，b ＝125，第一次循环：c ＝50，a ＝125，b ＝50；第二次循环：c ＝25，a ＝50，b ＝25；第三次循环：c ＝0，a ＝25，b ＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a 的值为25.7．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：选B ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0， ∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}． 则∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.8．(2018·益阳、湘潭调研)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－2)(x＋1)≥0}，则A∩∁U B＝()A．(0,2) B．[2,4]C．(－∞，－1) D．(－∞，4]解析：选A集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0<x≤4}，B＝{x|(x－2)(x＋1)≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，则∁U B＝{x|－1<x<2}．所以A∩∁U B＝{x|0<x<2}＝(0,2)．9．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s ＝132，则判断框中可以填()A．i≥10? B．i≥11?C．i≤11? D．i≥12?解析：选B执行程序框图，i＝12，s＝1；s＝12×1＝12，i＝11；s＝12×11＝132，i ＝10.此时输出的s＝132，则判断框中可以填“i≥11？”．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A．5 B．6C．7 D．8解析：选B执行程序框图，第一步：n＝12，i＝1，满足条件n是3的倍数，n＝8，i ＝2，不满足条件n＞123；第二步：n＝8，不满足条件n是3的倍数，n＝31，i＝3，不满足条件n＞123；第三步：n＝31，不满足条件n是3的倍数，n＝123，i＝4，不满足条件n＞123；第四步：n＝123，满足条件n是3的倍数，n＝119，i＝5，不满足条件n＞123；第五步：n＝119，不满足条件n是3的倍数，n＝475，i＝6，满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6.11．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( ) A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 12．(2018·太原模拟)若复数z ＝1＋m i 1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) 解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧ 1＋m 2>0，m －12<0，解得－1<m <1. 法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.13．(2018·安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的n ＝2，那么输入的a 的值可以为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 执行程序框图，输入a ，P ＝0，Q ＝1，n ＝0，此时P ≤Q 成立，P ＝1，Q ＝3，n ＝1，此时P ≤Q 成立，P ＝1＋a ，Q ＝7，n ＝2.因为输出的n 的值为2，所以应该退出循环，即P >Q ，所以1＋a >7，结合选项，可知a 的值可以为7，故选D.14．(2019届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( ) A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1， 则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝i. 15．(2018·新疆自治区适应性检测)沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛．沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式．图1是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a 个酒缸，短边放置了b 个酒缸，共放置了n 层．某同学根据图1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图2，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．i <n ？和S ＝S ＋a ·bB ．i ≤n ？和S ＝S ＋a ·bC ．i ≤n ？和S ＝a ·bD ．i <n ？和S ＝a ·b 解析：选B 观察题图1可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S ＝S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i ＝n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|x 2＋y 2＝π24，y ≥0，B ＝{(x ，y )|y ＝tan(3π＋2x )}，C ＝A ∩B ，则集合C 的非空子集的个数为( )A ．4B ．7C ．15D ．16解析：选C 因为B ＝{(x ，y )|y ＝tan(3π＋2x )}＝{(x ，y )|y ＝tan 2x }，函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出曲线x 2＋y 2＝π24，y ≥0与函数y ＝ tan 2x 的图象(如图所示)，从图中可观察到，曲线x 2＋y 2＝π24，y ≥0与函数y ＝tan 2x 的图象有4个交点．因为C ＝A ∩B ，所以集合C 中有4个元素，故集合C 的非空子集的个数为24－1＝15，故选C.二、填空题17．已知复数z ＝1＋3i 2＋i，则|z |＝________. 解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i 5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2. 法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2. 答案： 218．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}．则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}19．已知复数z ＝x ＋4i(x ∈R )(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z |＝5，则z 1＋i的共轭复数为________． 解析：由题意知x ＜0，且x 2＋42＝52，解得x ＝－3， ∴z 1＋i ＝－3＋4i 1＋i ＝(－3＋4i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋72i ， 故其共轭复数为12－72i. 答案：12－72i 20．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件：①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}；②A ∩B ＝∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．(1)如果集合A中只有1个元素，那么A＝________；(2)有序集合对(A，B)的个数是________．解析：(1)若集合A中只有1个元素，则集合B中有6个元素，6∉B，故A＝{6}．(2)当集合A中有1个元素时，A＝{6}，B＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A，B)有1个；当集合A中有2个元素时，5∉B,2∉A，此时有序集合对(A，B)有5个；当集合A中有3个元素时，4∉B,3∉A，此时有序集合对(A，B)有10个；当集合A中有4个元素时，3∉B,4∉A，此时有序集合对(A，B)有10个；当集合A中有5个元素时，2∉B,5∉A，此时有序集合对(A，B)有5个；当集合A中有6个元素时，A＝{1,2,3,4,5,7}，B＝{6}，此时有序集合对(A，B)有1个．综上可知，有序集合对(A，B)的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.答案：(1){6}(2)32。

(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识汇总笔记单选题1、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞) 答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6xx 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6xx 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6xx 2+3 ， 故问题转化为m <6xx 2+3在(0，2]上有解， 设g(x)=6xx 2+3，则g(x)=6x x 2+3=6x+3x，x ∈(0，2]，对于x +3x≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号，则g(x)max =2√3=√3，故m <√3 ， 故选：A2、前后两个不等式解集相同的有（ ） ①x+52x−1≥0与(2x −1)(x +5)≥0 ②x+52x−1>0与(2x −1)(x +5)＞0③x 2(2x −1)(x +5)≥0与(2x −1)(x +5)≥0④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>12或x≤−5.(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)>0，解得：x>12或x<−5.(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故②正确；对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥12}，(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故③不正确；对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>12}，(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故④正确；故选：B.3、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8答案：C分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x>−1，所以9x+1>0,x+1>0，所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x +1=9x+1即x =2时，取等号，所以y 的最小值为1，所以a =2,b =1，所以a +b =3， 故选：C4、已知a,b 为正实数且a +b =2，则ba+2b 的最小值为（ ）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2， 所以b =2−a ， 所以，ba+2b=2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b)−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D5、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（ ） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案． 不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1， 则{−b a =−2+1−2a =−2×1 ，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D6、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2 答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立， 当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意； 当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0 ，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2]. 故选：A.7、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x +600x−30)元（试剂的总产量为x 单位，50≤x ≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ） A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位 答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可． 解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元， 职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x−30)元，则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x=x +8100x+40≥2√x ⋅8100x+40=220，当且仅当x =8100x，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位． 故选：D ．8、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ） A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合 (x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0， 方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a ，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1， 即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A9、若x >1，则x +1x−1的最小值等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D 分析：将x +1x−1变形为x −1+1x−1+1，即可利用均值不等式求最小值.因为x >1，所以x −1>0，因此x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3,当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，等号成立，所以x +1x−1的最小值等于3. 故选：D.10、关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是（）A．(−1,0]∪[2,3) B．[−2,−1)∪(3,4]C．[−1，0)∪(2,3] D．(−2，−1)∪(3，4)答案：C分析：分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.由x2−(a+1)x+a<0得(x−1)(x−a)<0，若a=1，则不等式无解．若a>1，则不等式的解为1<x<a，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=2，则2<a≤3．若a<1，则不等式的解为a<x<1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=0，则−1≤a<0．综上，满足条件的a的取值范围是[−1，0)∪(2,3]故选：C．<0的解集为（）11、不等式x−1x+2A．{x|x>1}B．{x|x<−2}C．{x|−2<x<1}D．{x|x>1或x<−2}答案：C<0等价于(x−1)(x+2)<0，进而可求出不等式的解集.解析：由x−1x+2<0等价于(x−1)(x+2)<0，解得−2<x<1，由题意，x−1x+2<0的解集为{x|−2<x<1}.所以不等式x−1x+2故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.12、已知使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x−1≤0，则实数a的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13]C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞)答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞).故选：C. 填空题13、若0<x <2，则y =√2x(2−x)的最大值为_______ 答案：√2分析：由基本不等式求最大值．∵0<x <2，∴2−x >0，∴y =√2⋅√x(2−x)≤√2⋅x+2−x 2=√2，当且仅当x =2−x 即x =1时取等号，∴当x =1时，有最大值√2.所以答案是：√2．14、不等式3x+4x−2≥4的解集是___________．答案：(2,12]分析：移项通分化简，等价转化为12−xx−2≥0，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得.原不等式等价于3x+4x−2−4≥0，化简得12−xx−2≥0，又等价于{(12−x)(x−2)≥0x−2≠0，解得：2<x≤12，所以答案是：(2,12].15、已知a∈Z关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是________(写出任何一个满足条件的值即可）.答案：13，14，15(写出任何一个值即可）分析：根据题意，先表示出关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集，再结合数轴分析即可得到a的值.因为关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以Δ=64−4a>0，即a<16，由x2−8x+a=0，解得x=4±√16−a，故关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集为[4−√16−a,4+√16−a]，因关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以1≤√16−a<2，即12<x≤15，又因a∈Z，所以a=13，14或15都满足.所以答案是：13，14，15(写出任何一个值即可）.16、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一. 已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.17、已知x,y为正实数，则yx +16x2x+y的最小值为__________．答案：6分析：将原式变形为yx +162+yx，结合基本不等式即可求得最值.由题得yx +16x2x+y=yx+162+yx，设yx =t(t>0)，则f(t)=t+162+t=t+2+162+t−2≥2√(t+2)⋅162+t−2=8−2=6.当且仅当t=2时取等.所以yx +16x2x+y的最小值为6.所以答案是：6解答题18、已知命题p：∀x∈R,x2+2mx+3>0，命题q：∃x∈R,x2−2mx+m+2<0. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（3）若命题p、q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.答案：（1）−√3<m<√3；（2）m<−1或m>2；（3）m<√3或m>2. 解析：（1）p为真命题，可得判别式Δ<0；（2）q为真命题，可得判别式Δ>0；（3）m的范围为（1）和（2）中m的并集.（1）若命题p：∀x∈R,x2+2mx+3>0为真命题，则Δ=(2m)2−12<0，解得−√3<m<√3.（2）若命题q：∃x∈R,x2−2mx+m+2<0为真命题，则Δ=4m2−4(m+2)>0，解得m<−1或m>2.（3）若命题p、q至少有一个为真命题，则−√3<m<√3，或m<−1，或m>2，∴m<√3或m>2.19、已知实数x>0，y>0.（1）若x+y+xy=3，求2xy的最大值与x+y的最小值；（2）若x>y，求xy 2x−y +xy+1y2的最小值.答案：（1）最小值为2；（2）最小值为4.分析：（1）由已知结合基本不等式x+y⩾2√xy，及不等式的性质即可求解；（2）先进行换元t=x−y，t>0，然后把x=t+y代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．解：（1）因为x+y≥2√xy，又因为x+y+xy=3，所以xy+2√xy≤3，解得−3≤√xy≤1，因为0<√xy，所以0<√xy≤1，所以0<xy≤1，所以2xy≤2，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2xy最大值为2；因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2+(x+y)≥3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y≥2，所以x+y最小值为2；（2）xy 2x−y +xy+1y2=x2yx−y+1y2，令t=x−y，t>0，所以x=t+y，x2y x−y +1y2=(t+y)2yt+1y2=ty+y3t+2y2+1y2≥2√ty⋅y3t+2y2+1y2=4y2+1y2≥2√4y2⋅1y2=4;当且仅当ty=y 3t ，且4y2=1y2，即x=√2,y=√22时等号成立，所以xy 2x−y +xy+1y2最小值为4.20、已知x>0,y>0且1x +9y=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．答案：m⩽16.分析：要使不等式x+y≥m恒成立，只需求x+y的最小值，将x+y=(x+y)(1x +9y)展开利用基本不等式可求解.由1x +9y=1，则x+y=(x+y)(1x+9y)=10+9xy+yx⩾10+2√9xy⋅yx=16．当且仅当{x+y=169xy=yx即{x=4y=12时取到最小值16．若x+y⩾m恒成立，则m⩽16．小提示：本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.。

2.4 等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．定义也可叙述为：在数列{}n a 中，若1(n na q q a +=为常数且0)q ≠，则{}n a 是等比数列． 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么___________叫做a 与b 的等比中项．3．等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则这个等比数列的通项公式是1______(,0)n a a q =≠．4．等比数列与指数函数 （1）等比数列的图象等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q =⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1xa y q q=⋅的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），12n n a -=的图象如下图所示．（2）等比数列的单调性已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则 ①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是___________数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是___________数列；③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． K 知识参考答案： 1．同一常数2．G3．11n a q- 4．递增 递减等比数列的判定与证明判断数列{}n a 是否为等比数列的方法： （1）定义法：判断1n na a +是否为常数； （2）等比中项法：判断11(,2)n nn n a a n n a a +-=∈≥*N 是否成立； （3）通项公式法：若数列{}n a 的通项公式形如(0)nn a tq tq =≠，则数列{}n a 是等比数列．（1）若{}n a 的通项公式为212n n a -=，试判断数列{}n a 是否为等比数列．（2）若,,,a b c d 成等比数列，,,a b b c c d +++均不为零，求证：,,a b b c c d +++成等比数列．【答案】（1）{}n a 是等比数列，证明见解析；（2）,,a b b c c d +++成等比数列，证明见等比数列的通项公式及应用（1）在等比数列{}n a中，若474,32,a a==则na=____________；（2）在等比数列{}n a中，已知253636,72,a a a a+=+=若1024na=，则n=____________．与q ，即可写出数列{}n a 的通项公式；（2）当已知等比数列{}n a 中的某项，求出公比q 后，可绕过求1a 而直接写出其通项公式，即(,)n mn m a a qm n -=∈*N ．等比数列的性质的应用若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===L L ①②若m n t p q r++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列． （4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++L 成等比数列，公比为m q ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(k q 或2)k q 的等比数列．已知等比数列{}n a 满足0,n a >（1）若1237894,9,a a a a a a ==则456a a a =_____________； （2）若25253(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，3133321log log log n a a a -+++=L _____________．【答案】（1）6；（2）2n ．【解析】（1）方法1：因为31231322789798()4,()a a a a a a a a a a a a a ====389,a ==由递推公式构造等比数列求数列的通项公式（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =---，当101qa p-≠-时，数列{}1n qa p--是等比数列； ②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．（1）在数列{}n a 中，111,36,n n a a a +==+则数列{}n a 的通项公式为n a =_____________；（2）在数列{}n a 中，1111,63,n n n a a a ++==+则数列{}n a 的通项公式为n a =_____________．忽略等比数列中所有项不为零导致错误已知等比数列{}n a 的前三项分别为,22,33a a a ++，则a =_____________．【错解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．【错因分析】若1a =-，则,22,33a a a ++这三项为1,0,0-，不符合等比数列的定义． 【正解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．由于1a =-时，220,330a a +=+=，所以1a =-应舍去，故4a =-．【名师点睛】因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验证，若所求结果使等比数列中的某些项为零，则一定要舍去．忽略等比数列中项的符号导致错误在等比数列{}n a 中，246825a a a a =，则19a a =_____________．【错解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件． 【正解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以190a a >，所以195a a =．【名师点睛】在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同．因此，在求等比数列的某一项或者某些项时要注意这些项的正负问题，要充分挖掘题目中的隐含条件．1．已知1,,,,5a b c 五个数成等比数列，则b 的值为A ．3BC．D ．522．在等比数列{}n a 中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 A ．3 B ．4 C ．5D ．63．已知等比数列{}n a 为递增数列，若10a >，且212()3n n n a a a ++-=，则数列{}n a 的公比q =A ．2或12B ．2C ．12D ．2-4．已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b = A ．16 B ．8 C ．2D ．45．已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为A ．2B ．4C ．8D ．166．在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2430x x -+=的两根，则6a 的值是 A．BC．D ．3±7．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数的和为 A ．13B ．－7C ．－7或13D ．无法求解8．已知0a b c <<<，且,,a b c 是成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则下列关于log a n ，log b n ，log c n 的说法正确的是A ．成等差数列B ．成等比数列C ．各项的倒数成等差数列D ．以上都不对9．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++=____________．10．在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是_____________．11．在等比数列{}n a 中，572a a =，2103a a +=，则124a a =_____________． 12．已知单调递减的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，则公比q =_____________，通项公式为n a =_____________．13．已知等比数列{}n a 中，2766a a +=，36128a a =，求等比数列{}n a 的通项公式n a ．14．已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中415a =．（1）求321,,a a a ；（2）求证：数列{1}n a +为等比数列．15．已知数列{}n a 与等比数列{}n b 满足3()n an b n =∈*N ．（1）试判断{}n a 是何种数列； （2）若813a a m +=，求1220b b b L ．16．已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +=A ．B ．24C ．D ．4817．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a aA ．24B ．25C ．26D ．2718．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且310119122e a a a a +=（e 为自然对数的底数），则12ln ln a a ++⋅⋅⋅+20ln a =A ．50B ．40C ．30D ．2019．各项均为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为，则27211log log a a +的值为A ．4B ．3C ．2D ．120．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则234a a a b b b ++=A ．24B ．25C ．26D ．8421．在等比数列{}n a 中，27a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则21n a +=____________．22．已知数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+≥，且12a =，则n a =_____________． 23．已知1,,,4a b --成等差数列，1,,,,4m n t --成等比数列，则b an-=______________． 24．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264,b S =33960b S =． （1）求n a 与n b ； （2）求和：12111nS S S +++．25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在数列{}n b 中，11b a =，1(2)n n n b a a n -=-≥，且n n a S n +=．（1）设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列； （2）求数列{}n b 的通项公式．26．（2018北京文）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为 ABC．fD．27．（2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年28．（2017北京理）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =______________． 29．（2017新课标全国Ⅲ理）设等比数列{}n a 满足a 1+a 2=–1,a 1–a 3=–3，则a 4=______________．30．（2018新课标全国Ⅰ文）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．31．（2016新课标全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，21(21)n n n a a a +---120n a +=．（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式．1．【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ．由题意得，215b b =⨯⇒=，又2210b q q =⨯=>，所以b =B ．2．【答案】C【解析】根据等比数列通项公式11n n a a q-=⋅有1111()3222n -=⋅，解得5n =，故选C ．5．【答案】B【解析】由题意得246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，所以91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B ． 6．【答案】B【解析】由48,a a 是方程2430x x -+=的两根有484840,3a a a a +=>=，故48,a a 都为正数，而26483a a a ==，所以6a =，由于2640a a q =>，所以6a =，故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意，可设这三个数分别为aq，a ，aq ，则22222222739999191aa aq a q q a a a q q q ⎧⋅⋅==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎪++=⎩⎪⎩239a q =⎧⇒⎨=⎩或2319a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以3q =±或13q =±，故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1．故这三个数的和为13或－7．故选C ．9．【答案】−5【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列，335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=，∴15793log ()5a a a ++=-．10．【答案】149【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而461.49a q == 11．【答案】2或21【解析】由等比数列性质知57210=2a a a a =，又2103a a +=，所以21a =，102a =或22a =，101a =，所以1012422a a a a ==或21． 12．【答案】12 61()2n - 【解析】由题意得，3243332(2)2(2)288a a a a a a +=+⇒++=⇒=，所以2481208202a a q q q +=⇒+=⇒=或2（舍去），所以通项公式为3631()2n n n a a q --==．13．【答案】12n n a -=或82nn a -=．【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为q ， 由题意得272727362766,66,2,64128128a a a a a a a a a a +=+==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或2764,2.a a =⎧⎨=⎩所以55722a q a ==或512，即2q =或12， 所以2122n n n a a q--==或22812n n n a a q --==．故等比数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或82nn a -=．14．【答案】（1）11a =，23a =，37a =；（2）见解析．【解析】（1）由121n n a a -=+及415a =知432115,a a =+= 解得,73=a 同理可得.1,312==a a（2）由121+=-n n a a 可得2211+=+-n n a a ，)1(211+=+-n n a a ，{1}n a +是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列．（2）因为120813a a a a m +=+=，所以1220a a a +++=L ()120202a a +=10m ，所以2012201210122033333a a a a a am b b b +++===L L L ．16．【答案】B【解析】由题意知4446102626261243a a a q a q q a a a a ++====++，则22q =， 所以222812610610()21224a a a q a q q a a +=+=+=⨯=，故选B ． 17．【答案】B【解析】等比数列}{n b 首项是1，公比是2，所以2342,4,8b b b ===，等差数列{}n a 的首项是1，公差是2，所以2342481311311225b b b a a a a a a a d ++=++=+=+⨯=，故选B ． 18．【答案】C【解析】在等比数列中，q p n m a a a a q p n m =⇒+=+，所以3310119121011101122e e a a a a a a a a +==⇒=，由对数的运算可知1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+12201202191011ln()ln[()()()]a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=1031011ln()10ln e 30a a ===，故选C ．19．【答案】B【解析】由4a 与14a的等比中项为4148a a =，所以27211271124142log log log log log 83a a a a a a +====，故选B ． 20．【答案】D【解析】等差数列{}n a 首项是1，公差是2，所以2343,5,7a a a ===，等比数列{}n b 首项是1，公比是2，所以23424635722284a a a b b b b b b ++=++=++=，故选D ． 21．【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而2211117777nn n n a q +-=⨯=⨯=． 22．【答案】31n -【解析】1132(2),2n n a a n a -=+≥=，1113(1),13n n a a a -∴+=++=，即数列{1}n a +是以3为首项、3为公比的等比数列，则nn a 31=+，即13-=nn a ． 23．【答案】12【解析】因为1,,,4a b --成等差数列，设公差为d ，所以4(1)141b a d ----===--，因为1,,,,4m n t --成等比数列，所以2(1)(4)4n =-⨯-=， 即2n =±，由于n 与1,4--同号，所以0n <，所以2n =-，所以1122b a n --==-． 24．【答案】（1）21n a n =+，18n n b -=；（2）32342(1)(2)n n n +-++． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则0d>，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=，依题意有23322(93)960,(6)64,S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩解得2,8d q =⎧⎨=⎩或6,5403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)，故32(1)21n a n n =+-=+，18n n b -=．（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+，所以121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++ 323.42(1)(2)n n n +=-++ 25．【答案】（1）见解析；（2）1()2nn b =．【解析】（1）因为n n a S n += ①，所以111n n a S n +++=+ ②，②−①得111n n n a a a ++-+=，所以121n n a a +=+， 所以12(1)1n n a a +-=-，所以11112n n a a +-=-，所以{1}n a -是等比数列．因为首项111c a =-，111a a +=，所以112a =，所以112c =-， 所以{}n c 是以12-为首项，12为公比的等比数列． （2）由（1）可知1111()()()222n n n c -=-⋅=-，所以111()2n n n a c =+=-．故当2n ≥时，111111111()[1()]()()()22222n n n n nn n n b a a ---=-=---=-=．又1112b a ==代入上式也符合，所以1()2n nb =．26．【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以*1(2,)n n a n n -=≥∈N ， 又1a f =，则7781a a q f ===，故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列．等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若1*(0,)n n a q q n a +=≠∈N 或1*(0,2,)n n aq q n a n -≠≥∈=N ， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且*2123,()n n n a a a n n --≥∈=⋅N ，则数列{}n a 是等比数列．28．【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==． 29．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．30．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）数列{}n b 是等比数列，理由见解析；（3）1·2n n a n -=．【解析】（1）由条件可得12(1)n n n a a n++=， 将1n =代入得214a a =，而11a =，所以24a =． 将2n =代入得323a a =，所以312a =． 从而11b =，22b =，34b =．31．【答案】（1）41,2132==a a ；（2）121-=n n a ． 【解析】（1）由题意得41,2132==a a ． （2）由02)12(112=---++n n n n a a a a ，得)1()1(21+=++n n n n a a a a ． 因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ， 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a ．。