【优质课件】高中数学 1.1.2弧度制 新人教A版必修4优秀课件.ppt

(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
弧度制下有关弧长、扇形面积问题 的解(1题)明策确弧略度制下弧长公式 l＝|α|r，扇形的面积公式是 S＝12
lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角)． (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键
是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、 扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
角度与弧度的换算
(1)将下列各角化为弧度：①112°30′； ②－315°.
(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
中小学精编教育课件
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.2 弧度制
1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．
2．能进行弧度与角度的互化．(重点、难点、 易错点)
3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公 式．(重点)
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1．度量角的两种制度 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1 度的角：周角的3160作为一个单位． (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1 弧度的角：长度等于半___径__长__的弧所对的圆心角．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角．
解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角，
∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
感谢各位老师！
祝： 身体健康 万事如意
(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角 度制下的公式简单得多，但要注意它的运用前提是 α 为弧度制．
(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应 用：
①l＝|α|R，|α|＝Rl ，R＝|αl |. ②S＝12|α|R2，|α|＝2RS2.
弧度制的概念问题
下列说法不正确的是( )
【互动探究】
在本题(1)中，若扇形的周长10 cm改为40 cm，则当它的半径和圆心角各取什么值时，能 使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为 θ，半径为 r，弧长为 l，面积为 S， 则 l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝(20－r)r ＝－(r－10)2＋100. ∴当半径 r＝10 cm 时，扇形的面积最大． 这个最大值为 100 cm2，这时 θ＝rl＝40－120×10＝2 rad.
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1 度的角是周角的3160，1 弧度的角是周角的21π C．根据弧度的定义，180°一定等于 π 弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半 径长短有关
思路点拨： 选项 角―度―制―和―弧―度―制―的―定→义 判断真假
解析：各选项分析如下：
弧长及扇形面积公式的应用问题
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于 20 cm，求扇形的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 →
解方程组得解
(2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
提示：√ 当圆心角一定时，圆心角所对的 弧长与半径成正比，与所取半径无关．
1．用圆心角所对的弧长与半径的比度量圆 心角的合理性
当圆心角一定时，圆心角所对的弧长与半 径成正比，与所取半径无关．
如图，设 α 为 n°(n＞0)的角，弧M︵N 和M︵1N1 的长分别为 l 和 l1，点 M 和 M1 到点 O 的距离(即圆的半径)分别为 r(r＞0)和 R(R＞0)．由初中学过的弧长公式可得 l＝1n8π0r，l1＝n1π8R0，于是rl＝ Rl1＝1n8π0.
2．判一判(判断下列说法的正误) (1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来 度量角的单位．( )
提示：× “度”与“弧度”是度量角的 两种不同的度量单位．
(2)1 rad的角和1°的角大小一样．( )
提示：× 1 rad的角比1°的角要大．
(3)用圆心角所对的弧长与半径的比来度量 圆心角是合理的．( )
(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不 同，但数量相同(都是0)；用角度制和弧度制度 量任意非零角，单位不同，数量也不同．
(3)牢记180°＝π rad，充分利用其进行互 化．
(4)角度的单位不可省略，而弧度的单位 “rad”可以省略．
1．在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心 角( )
A．所对的弧长相等 B．所对的弦长相等 C．所对的弦长等于各自半径 D．所对的弧长等于各自半径 解析：1弧度的圆心角是指长度等于半径长 的弧所对的圆心角，所以D正确． 答案：D
2．弧度数的计算 (1)弧度数 ①正角的弧度数是正一数个______． ②负角的弧度数是负一数个______．
0
③零角的弧度数是_l __.
(2)弧度数的计算：|α|＝__r__.
如图：
3．角度制与弧度制的换算
1．想一想 角α＝5这种表达方式正确吗？ 提示：正确．角α＝5表示5弧度的角，这里 将“弧度”省去了．
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
②
①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1，r2＝4.
当 r＝1 时，l＝8(cm)，此时 θ＝8 rad＞2π rad，舍去． 当 r＝4 时，l＝2(cm)，此时 θ＝24＝12 rad. ∴综上，θ＝12. (2)设扇形弧长为 l， ∵72°＝72×1π80＝25π(rad)， ∴l＝αR＝25π×20＝8π(cm)． ∴S＝12lR＝12×8π×20＝80π(cm2)．
因此用圆心角所对弧长与半径的比来度量这个圆心角是合 理的．
2．有关“角度”与“弧度”概念的理解
(1)定义不同．
区 (2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可 以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省
别 略．
(31)弧不度管制以是“十弧进度制”，还而是角以度“制度是”六为十单进位制的角的大小 联 都是一个与圆的半径大小无关的值，仅与圆心角所 系 对的弧与半径的比值有关．
答案：－4π＋π6
错解
错因
－3π－56π
在解答过程中，易将－4π 写成－3π，而－3π 不是 2kπ 的形式，不符合做题要求
在解答过程中，易将π6写成 30°的形式，虽然结 －4π＋30° 果的数值大小是等同的，但不符合在同一表达
式中角度与弧度不能混用这一原则
【纠错提升】 弧度和角度的书写要求
在解决角度制和弧度制的有关问题时，要 遵循转换的原则，表达的形式要符合基本的原 则和规范性，即在同一个式子中度和弧度不能 混用．
进行角度制与弧度制的互化的策略 以及(1注)原意则：点牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad
＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则
α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点
①用“弧度”为单位度量角时，“弧度” 二字或“rad”可以省略不写．
②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧 度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把 π写成小数．
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再 化成弧度．
2．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集 合为________________．
解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ＜α ＜2kπ＋π，k∈Z.
答案：{α|2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z}
“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故 A
A 正确
B 因为 1°＝336600°，所以 1＝22ππ.所以 B 正确
C 由弧度制规定知 π rad＝180°，所以 C 正确
角只与弧长和半径的比值有关，与圆的半径无 D
关，故 D 错误
答案：D
角度与弧度的理解与互化
(1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立 了一一对应关系．
易错误区系列(二) 用角度与弧度表达角时的误区
把角－690°化为2kπ＋α(0≤α＜2π， k∈Z)的形式为________．
解析：方法一：－690°＝－690×1π80＝－263π，
∴－263π＝－4π＋π6，即－690°＝－4π＋π6.
方法二：－690°＝－2×360°＋30°，
∴－690°＝－4π＋π6.