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第一讲绪论1、生物进化论：生物进化论是研究生物界进化发展的规律以及如何运用这些规律的科学。
主要研究对象是生物界的系统发展，也包括某一物种2、进化生物学：是研究生物进化的科学，不仅研究进化的过程，更重要的是研究进化的原因、机制、速率和方向。
〔研究生物进化的科学，包括进化的过程、证据、原因、规律、演说以及生物工程进化与地球的关系等。
〕3、灾变论：认为地球在不同时期，不同地点发生了巨大的“灾难”，消灭了当时的动植物，以后由其他地方迁来的新的类型，所以不同地层有不同化石的类型。
〔多次创造，每次均不同。
认为生物的改变是突然发生的，是整体地消灭和整体地重新被创造的。
反对一个物种从另一个物种演变而来的思想。
〕4、中性突变：中性突变是指不影响蛋白质功能的突变，也即既无利也无害的突变，如同工突变和同义突变。
5、进化: 进化指事物由低级的、简单的形式向高级的、复杂的形式转变过程。
广义进化是指事物的变化与发展。
涵盖了天体的消长，生物的进化，以及人类的出现和社会的发展。
6、生物进化: 生物进化就是生物在与其生存环境相互作用的过程中，其遗传系统随时间而发生一系列不可逆的改变，并导致相应的表型改变，在大多数情况下这种改变导致生物总体对其生存环境的相对适应。
7、神创论: 〔物种不变论〕地球上的生物，都是上帝按照一定计划和一定目的，一下子创造出来的。
并且当初创造后物种没有实质性的变化，物种数也无增减，各种之间也无亲缘关系。
在18世纪的欧洲占统治地位第二讲生命及其在地球上的起源1、自我更新：生物的自我更新世一个具有同化与异化两种作用的新陈代谢过程。
2、熵：是用来表示某个体系混乱程度的物理量。
3、耗散结构：是指开放系统远离平衡态时出现的有序结构。
4、团聚体：20世纪50年代奥巴林曾将白明胶水溶液和阿拉伯胶水溶液混合，发现混合后使原本澄清的液体变得浑浊了，取少许制片，显微镜下观察发现了许多大小不等的小滴，把它们称为团聚体。
5、类蛋白质微球体：fox把多种氨基酸干热聚合形成的酸性类蛋白质放入稀薄的盐溶液中冷却，或将其溶于水使温度降低到0℃，在显微镜下观察会看到大量直径为0.5~3微米的均一球状小体，即类蛋白质微球体。
生物学大事年表公元前16世纪公元前4世纪～前2世纪中国已有植物、动物和昆虫方面的物候知识（见《夏小正》）。
希腊学者亚里士多德（Asistotle，公元前384～322）描述了500多种动物，并对其中的一些作过解剖和胚胎发育观察。
著有《动物志》、《动物之构造》、《动物之运动》、《动物之行进》，《动物之生殖》等，是最早的动物学文献。
他的学生狄奥弗拉斯特（Theophrastus，约公元前371～前287），对数百种植物进行了描述和分类，著有《植物志》和《植物的本源》等书。
出现于战国（公元前476～前222）晚期的《黄帝内经》，对人体内脏器官的部位、大小及功能已有较深的认识；对男女的生长发育过程及生理特点也有较切实的描写。
成书于战国末期的《尔雅》，将植物大别为“草”和“木”两大类，并将相似的物种排在一起，以示同类；将动物分为虫、鱼、鸟、兽4大类，亦将其中相似的物种排在一起，以示同类。
公元前2世纪～公元3世纪草创于西汉（公元前206年～公元8年）而成书于东汉（公元25～220）的《神农本草经》是世界上最早的本草书，共记述植物药252种，动物药67种。
罗马学者普林尼（Plinius the Elder， 23～79）著《博物志》37卷，记述了当时所知的有关自然（包括生物）的知识。
罗马医生盖伦（C.Galen，约129～200）集古代医学之大成，在比较解剖和实验生理的研究上有重要贡献。
公元4世纪晋人嵇含著《南方草木状》，记述了80种热带、亚热带植物，并首次记载了广东人利用黄猄蚁（Oecophylla smaragdina）防治柑桔害虫的生物防治法。
公元5世纪晋末至南朝（宋）戴凯之著《竹谱》（约成书于5世纪中后期），用4字一句的韵文记述了我国南方竹类70多种，是中国现存最早的植物专著。
公元6世纪北魏贾思勰著《齐民要术》（成书于533～540年间），总结了秦汉以来中国黄河中下游农业生产的经验，含有丰富的生物学知识，如植物的遗传性和变异性，某些作物的性别以及人工选择等。
复习题五界分类系统: 它是由美国生物学家魏泰克〔R.H.Whittaker,1924—1980〕在1969年提出的。
魏泰克在已区分了植物与动物、原核生物与真核生物的根底上，又根据真菌与植物在营养方式和结构上的差异，把生物界分成了原核生物界、原生生物界、真菌界、植物界和动物界五界基因组:单倍体细胞中包括编码序列和非编码序列在内的全部DNA分子病毒：病毒由核酸芯子和蛋白质衣壳组成，核酸芯子为DNA或RNA分子。
不是真正的生物。
无细胞结构，只能依靠宿主细胞进行复制。
分为细菌病毒和真核细胞病毒两大类类病毒：是一类仅由裸露的RNA组成的颗粒，类病毒与病毒不同的是，类病毒没有蛋白质外壳，为单链环状或线性RNA分子。
遗传漂变：是指当一个族群中的生物个体的数量较少时，下一代的个体容易因为有的个体没有产生后代，或是有的等位基因没有传给后代，而和上一代有不同的等位基因频率。
一个等位基因可能〔在经过一个以上的世代后〕因此在这个族群中消失，或固定成为唯一的等位基因。
这种现象就叫“遗传漂变〞。
协同进化:协同进化是指两个相互作用的物种在进化过程中开展的相互适应的共同进化，是一个物种由于另一种物种影响而发生遗传进化的进化类型。
生物发生律：生物发生律也叫重演律，1866年德国人海克尔〔E. Haeckel〕在?普通形态学?中提出“生物开展史可以分为两个相互密切联系的局部，即个体发育和系统开展，也就是个体的发育历史和由同一起源所产生的生物群的开展历史，个体发育史是系统开展史的简单而迅速的重演〞。
系统树：根据古生物学、比拟形态学、分子生物学等知识按亲缘关系将所有的生物门类排列成一个树形图。
HIV病毒：人类免疫缺陷病毒，是一种逆转录病毒，含两个单链RNA分子侵染哺乳动物的T细胞和其他杀伤细胞，使寄主的免疫能力丧失分子生物学中心法则: 是指遗传信息从DNA传递给RNA，再从RNA传递给蛋白质，即完成遗传信息的转录和翻译的过程。
也可以从DNA传递给DNA，即完成DNA的复制过程。
哈代-温伯格定律的推导过程嘿，咱今儿个就来唠唠哈代-温伯格定律的推导过程。
你想啊，在一个种群里，基因那可是关键角色呀！就好比一场大戏，基因就是那一个个活灵活现的演员。
先说说基因频率吧，这就像是演员在这场戏里的戏份多少。
而基因型频率呢，就好比不同演员组合出现的频次。
咱假设啊，有个种群，里面就两种等位基因 A 和 a。
那 A 的频率咱就叫p，a 的频率就叫q。
那这两者加起来不就得是1 嘛，就像咱走路，不是往左就是往右，总不能跑天上去吧！然后呢，这种群里的个体，基因型不就三种嘛，AA、Aa、aa。
那AA 的频率就是 p 的平方，Aa 的频率就是 2pq，aa 的频率就是 q 的平方。
这咋来的呢？你就想想，要形成 AA，那两个 A 碰一块儿的概率不就是 p 乘 p 嘛，同理可得其他的呀。
这就好比抽奖，A 是大奖，a 是小奖，那抽到两个大奖的概率不就是大奖的概率乘大奖的概率嘛，抽到一奖一小奖的概率不就是大奖概率乘小奖概率乘 2 嘛，因为有两种可能顺序呀。
那要是到了下一代呢？嘿，也一样呀！基因频率还是那个基因频率，基因型频率还是那个基因型频率。
就像水流，不管流到哪儿，水还是水呀！你说这神奇不神奇？这就是哈代-温伯格定律呀！它告诉咱，在没有外界干扰的情况下，种群的基因频率和基因型频率可以保持稳定呢。
这就好比咱过日子，只要没啥大变动，生活状态也能保持相对稳定呀。
再深入想想，这定律可太重要啦！它能让咱了解生物的遗传规律，对研究物种进化啥的都有大帮助呢。
咱平时可能觉得基因啥的离咱挺远，可仔细想想，咱的长相、性格啥的，不都和基因有关系嘛。
这哈代-温伯格定律就像一把钥匙，能帮咱打开了解基因世界的大门呢。
你再想想，如果没有这个定律，那生物世界不就乱套啦？基因随便变来变去，那物种还不得变得稀奇古怪的呀！所以说呀，这哈代-温伯格定律真的是生物世界里的一个宝贝呀！咱可得好好琢磨琢磨，好好利用它，去探索更多生物的奥秘呢！。
生物学公式大揭秘细胞生命活动的数学表达在生物学领域，细胞是生命的基本单位，其中的生命活动可通过数学表达式来解释和揭示。
本文将介绍细胞生命活动的数学表达，揭示其中的奥秘。
一、质能转化公式：E=mc^2在细胞内，质能的转化是生命活动的重要部分。
根据爱因斯坦的相对论理论，质能可以转化为质量，并且相互之间具有等效性。
这一转化关系可以通过质能转化公式E=mc^2来表达，其中E代表能量，m代表质量，c代表光速。
细胞内的生命活动正是通过质能的转化来驱动的。
二、化学反应速率公式：v= k[A]^m[B]^n在细胞内，许多生命活动是通过化学反应来实现的。
化学反应速率公式描述了反应速率与底物浓度之间的关系。
其中v代表反应速率，k代表反应速率常数，[A]和[B]分别代表参与反应的底物A和B的浓度，m和n则是反应物的反应级数。
通过调控底物浓度，细胞可以在不同条件下调节生命活动的速度。
三、细胞增殖速率公式：dN/dt= rN细胞增殖是细胞生命活动的重要过程之一。
细胞增殖速率公式描述了细胞数量随时间变化的关系。
其中dN/dt代表单位时间内细胞数量的增加量，r代表增殖率，N代表初始细胞数量。
这个公式说明了细胞增殖的速率与细胞数量成正比。
四、基因表达公式：mRNA= k* DNA基因表达是细胞内蛋白质合成的关键过程。
在这一过程中，DNA先转录成mRNA，然后mRNA再翻译成蛋白质。
基因表达的数学表达式可以表示为mRNA= k* DNA，其中mRNA代表转录的信使RNA，k代表转录速率常数，DNA代表遗传物质。
通过调节转录速率常数，细胞可以控制基因表达的强度。
五、细胞膜通透性公式：Fick's law细胞膜通透性是细胞内物质交换的重要途径。
根据菲克定律（Fick's law），物质通过细胞膜的扩散速率与浓度梯度成正比，与膜的厚度成反比。
这一定律可以用数学公式表示为J= -D(dC/dx)，其中J代表物质的扩散速率，D代表扩散系数，C代表物质的浓度，x代表物质扩散的距离。
数学史与数学教育绪言（一）1【单选题】（A）于1758年出版的著作《数学史》是世界上第一部数学史经典著作。
•A、蒙蒂克拉•B、阿尔弗斯•C、爱尔特希•D、傅立叶2【单选题】首次使用幂的人是（C）。
•A、欧拉•B、费马•C、笛卡尔•D、莱布尼兹3【单选题】康托于（B）年起开始出版的《数学史讲义》标志着数学史成了一门独立的学科。
•A、1870•B、1880•C、1890•D、19004【判断题】历史上最早的数学史专业刊物是1755年起开始出版的《数学历史、传记与文献通报》。
错误5【判断题】公元前5世纪的《希腊选集》中记载了关于丢番图年龄的诗文。
（错误）数学史与数学教育绪言（二）1【单选题】卡约黎的著作《数学的历史》出版于（B）年。
•A、1890•C、1898•D、19022【单选题】史密斯的著作《初等数学的教学》出版于（A）。
•A、1900•B、1906•C、1911•D、19133【单选题】（D）数学史教授卡约黎倡导为教育而研究数学史。
•A、德国•B、法国•C、英国•D、美国4【判断题】四等分角以及倍立方问题同属于三大几何难题，是被证明无法用尺规做出的。
（错误）5【判断题】史密斯倡导建立了ICMI。
（正确）数学史与数学教育绪言（三）1【单选题】Haeckel的生物发生定律应用于数学史中即为（C）。
•A、基础重复原理•B、往复创新原理•C、历史发生原理•D、重构升华原理2【单选题】史密斯的数学史课程最早开设于（C）年。
•B、1890•C、1891•D、18923【单选题】《如何解题》、《数学发现》的作者是（C）。
•A、庞加莱•B、弗赖登塔尔•C、波利亚•D、克莱因4【判断题】M.克莱因认为学生学习中遇到的困难也是数学家历史上遇到的困难，数学史可以作为数学教育的指南。
（正确）5【判断题】18世纪欧洲主流学术观点不承认负数为数。
（正确）数学史与数学教育绪言（四）1【单选题】HPM的研究内容不包括（D）。
十四、最早发现二次方程求根公式二次方程的求根公式也是中国最早发现的。
中国古代数学家赵爽，在对中国古典天文著作《周髀算经》做出注解时，写了一篇有很在此文中赵爽在讨论二次方程高科学价值的《勾股圆方图》的注文，2 2axcx = -20+时，用到了以下的求根公式：22a4)?2c?(2c?x2这个公式与我们今天采用的求根公式是很相似的。
赵爽这一发提出的二次方程求根公比印度数学家婆罗门笈多（公元628年）现，式要早许多年。
][追根究底“一元二次方程求根公式”探源《周脾算经》一元二次方程的求根公式是中国最早得出的．三国时期的赵爽对古代著名的在此文中，赵爽讨论方程做注释时，曾写了一篇很有价值的“勾股圆方图”的注文.220?xcx?2?a时，用到了求根公式，与我们现在用的求根公式基本上是一致的．这个成《九果比印度数学家婆罗门芨多在公元七世纪提出的二次方程求根公式要早许多年．我国在章算术》的“勾股章”中，也涉及到二次方程的普遍解法．在欧洲，过了一千多年才由法国数学家获得类似的结果．因此算术和代数比较发对天文、历法很有研究，古代位于美索不达米亚的古国巴比伦，巴比伦人提出了一个代数问题：求出一个数，使它和它的倒数的和等于已知数，用现代.达12x0bx?1?x?b?x?，他们求，从这个方程可以得出的记号，就是求出这样的，使得xbbbbbb2222?1?1())(??1()?)(．不过出和后，在求得，然后写出解答：222222当时巴比伦人不知道负数，对负根略而不提．2?bax，阿拉伯人用代数方法解方程，埃及的纸草文书中曾涉及到最简单的二次方程然后用几何图形说明步骤的合理性，显示了代数与几何的统一．中世纪中亚细亚数学家阿尔·花拉子模写的《代数学》一书，在好几个世纪内被作为代数的基础教科书，其中包括了．承认二次方程有两根．但它们对于求根公式的应用远远落后于中国．解二次方程的基本方法，2.3 基于“历史发生原理”的教学实践研究斯宾塞认为：“对孩子的教育在方式和顺序上都必须符合历史上人类的教育，换言之，个体知识的发生必遵循人类知识的发生过程。
第一章：动物进化基本原理第一节：关于生命起源的问题第二节：动物进化的例证、比较解剖学的例证:动物的演化反映在形态结构上，比较各类动物的体制结构不难找 到它们之间的进化线索与亲缘关系。
1、同源器官（homologous organ ： 不同类动物的某些器官有时在外形上不 同，功用也不同，但其基本结构和胚胎 发育的来源上却相同。
如脊椎动物的前 肢一一鸟翅、蝙蝠的翼、鲸的鳍状肢、 狗的前肢以及人的手臂等，它们在外形 和功能上不相同，但内部结构却相似， 在胚胎发育中由共同的原基构成。
这种 一致性证明了这些动物有共同的祖先，其外形的差异则是由于适应不同的生活环境，执行不同的功能造成的。
哺乳类 中的3块听小骨（镫骨、砧骨、和锤骨）和其祖先的一部分咽弓（舌 颌骨、方骨和关节骨）也是同源器官。
又如陆生脊椎动物的肺与鱼类 的膘，从胚胎发生上看，均由原肠突出形成。
2、同工器官（analogous organ :指在功能上相同，有时形状也相 似，但来源和基本结构均不同。
例如蝶翼与鸟翼均为飞翔器官，但蝶 翼是膜状结构，由皮肤扩展形成，而鸟翼是脊椎动物前肢形成，内有 骨骼外有羽毛。
又如鱼鳃与陆栖脊椎动物的肺，均为呼吸器官，但鱼 鳃鳃丝来自外胚层，而肺来自内胚层。
同源器官（骨椎动物的舸肢） 扎新挥SHEwzg 冲M H 古也类h B ■引 （古两牺类）；亡吗类；D.人】巳堀堀：F一瓠*3、痕迹器官(vesrigial organ):指动物或人体中一些残存的器官， 它们的功用已经丧失或极小。
如鲸残存的腰带证明其为次生性水栖哺 乳类，其祖先应是陆生哺乳类。
同样，从蟒蛇泄殖腔孔两侧是一对角 质爪和退化的腰带的存在证明其祖先应为四足类型爬行动物。
人体也有许多痕迹器官的存在，如退化的盲肠与蚓突，已失去消化 功能；分节的腹直肌为原始肌肉分节现象的残遗；眼角的瞬膜、动耳 肌、尖形的犬牙、体毛、男性的乳头和小的尾椎骨等。
痕迹器官的存 在只有用进化观点才能合理的解释，即人类是由具有这些器官的动物 进化而来。
生物发生律（重演律）相关题目：重演律的失误摘要：①赫克尔研究的价值②赫克尔假说的不准确，观察与选择的失误③李察逊等人的反对④假说观点的纠正关键词：生物发生律、胚胎发育、重演、进化引言：赫克尔认为生物个体的发育是其所在类群系统发育简单而迅速的重演，而生物发生律从发育生物学的角度指明了生物进化的前后关系。
胚胎学家李察逊却有不同的看法，然而赫克尔的说法可靠吗？精准吗?论述：赫克尔的生物发生律是值得肯定的，因为他从发育生物学的角度指明了生物进化的前因后果。
在达尔文进化论的基础上提出此观点，是对进化论的肯定与应用。
然而，赫克尔错把当今动物胚胎阶段等同于古代生物成体。
这是一个认识上的不精准带来的不利后果——即将这一错误认识应用于学术扩展，加之丰富的创造力与联想分析，得出了一个不恰当的个体发育中的重演关系。
以赫克尔的观点，进化发育表现为上升趋势，即一个新门的产生被认为是到达更高目标的一个步骤，甚至是在向着人类出现的方向迈进。
另外，赫克尔并不精通胚胎学，而他有用了大量胚胎学的资料来发展自己的观点，他坚持认为，人类胚胎是通过内陷的方式产生原肠胚，由此才产生原肠，这也是不正确的。
于是，面对科学的严谨，他的错误就这样慢慢开始了。
其实赫克尔在研究中也付出了很多，积累了大量胚胎学的基础材料，把不同的物种的早期胚胎期拿来作对比，虽有达尔文的进化论作为基础，赫克尔也的确发现了相似相近的地方，有利于研究发展的地方，但由于方法不对，急于得到结果，便酿成了错误。
首先，赫克尔声称的“第一期”胚胎，其实并非真正的最早早期胚胎。
因为各纲动物从受精卵开始的分裂过程和原肠胚形成完全不同，从原肠胚以后外形上才有一些相似的地方，到后期有大不相同。
而且，各类动物在赫克尔的第一期，也就是所谓的“鱼”的时期，还是各不相同，有相当差异的。
所以，黑克尔所说的动物发育越是早其早期胚胎越相似是不实之言。
其次，赫克尔选择了较相近的胚胎。
正如他选择的水生蝾螈而不用青蛙的胚胎代表了两栖纲，是因为蝾螈本身就更像鱼。
Haeckel生物发生律的数学表述及其推论李裕信(湖南省长沙市邮政局, 湖南 长沙410001)摘 要：本文提出了“理想生物”的概念，定义了“发育水平标量”、“物种固有时”、“进化时间”、“发育时间”“演化指数”、等五个新的参量，并以满足Haeckel生物发生律作为“理想生物”的主要特征。
其数学表述是：理想生物的系统发育与个体发育的水平标量满足同一个非线性微分方程，个体发育的水平标量是该方程的含积分常量的通解；而种系进化的水平标量是该方程的包络奇解。
由此可以推出几个重要的推论并初步估算了演化指数关键词： 生物发生律，理想生物，系统发育，个体发育，非线性微分方程，通解，包络奇解1、引论生物的发育和演化是一个极其复杂的过程。
从原生质开始向高级生物形态的过渡，是一个不断分化和不断变异的进化程序. 一般所谓生命的演化是指从原始的单细胞生命产生开始的进化过程，它大概持续了25亿年以上。
而现代生命都是从19亿年前真核生物出现的原点上辐射进化而来的，这种程序的谱系是十分复杂的。
尽管如此，我们却可追踪一个一个特定的进化方向，了解各个方向上生命形态的演变情况，从中找出生物演化规律的总的概念。
然而，为了在生物学引入严谨的定量分析，我们必须从纷纭繁多的现象中找出过程的主流和主要矛盾，而有意识地忽略一些次要因素的影响，以避免迷惑探索方向。
为此，引入“理想生物”的概念。
所谓“理想生物”就是指严格只具有实际生物主要特征的生命个体，它完全不考虑次要因素的作用。
只要我们恰当地选取真正的主要特征来定义理想生物，我们就能够采用数理方法来研究理想生物的发育进化的规律，而实际生物就会在很高精确度的近似条件下符合理想生物的发育演化规律。
使用理想生物模型所产生的偏差，可以用引入修正系数的办法予以估计。
这种情形，正如为了研究实际气体而引入理想气体概念一样，我认为这是一切定量科学发展的必由之路。
]1[从大量的研究资料看来， Ernst Haeckel的生物发生律是揭露了生物运动形态的主要特征的！因为它以运动的观点，明确的表述了一种深刻的对称定律，将生命发育和演化的共同规律摆到了我们的面前。
可以说，没有任何其它的生物学定律具有它的这种简明、完整而深刻的含义。
特别是由于它是一种新的对称定律，隐含着存在一种生物运动过程中的守恒量，最适合以守恒定律的约束来建立生物运动形态的数学模型。
基于这种考虑，我们把严格遵循Heackel生物发生律的生命体，定义为“理想生物”。
在此基础上，可以用唯象的方法，对理想生物发育与进化进行定量的描述。
如果这项工作能获得令人满意的结果，就可将它与分子生物学的微观理论联系起来，就有可能将新的“理论生物学”推进到一个新的发展阶段。
2、基本定律生物发生律”是Haeckel 根据Baer和 Lamarck关于动物胚层演变的规律提出来的。
它指出，高等动物的胚胎，在它达到完满发育之前要经过许多阶段，这些阶段相当于同一系统较低等动物一辈子被停留的那些层次。
亦即胚胎发育的过程反映了物种的进化过程！个体的发育就]2,1[是种系进化过程的缩影和重复。
发育与进化的这种奇妙的对称性，揭示了生命演变运动形态的一个基本规律。
现引入一个描述生命演变水平的参量g,对于每一个物种的胚胎，当如果将该谱平面上而成为一函数族的不同而分开出现在曲线就由于种的各物这样所示如附图坐标系平面上曲线画在同一将同一谱系的各物种的称为“系统发育时间”而称为“个体发育时间”变量代换即作今引入一个新的时间轴时且当).()()(....,,321321321τa g a g a g a a a a a a a ≤≤≤≤=由于不同物种胚胎的发育过程时间长短不同，它们可能达到的g 值的最大值是不同的。
可以用一个取决物种本征特性的参数a 来区别。
这样一来，g 是t 和a 的函数g(t,a)。
显然，g(t,a)是t、a 的递增函数如附图1。
..),(,.2,),(...)1.(....................................................................................................ττττg a g g g t a t +=处于单细胞状态时，规定其g 值为0。
在胚胎发育的全过程中，g 值应是时间t 的递增函数。
物种进化过程中g 随τ而变化的规律曲线也画在这同一平面上。
那么由Haeckel 定律，可即g 是正实函数。
此外，定义单细胞生物的a 值等于零，所以g( τ ,0)=0.单细胞阶段， 即g 的最简单形为演化常数；说来g 的表达式可写为：，即系以设想，这条进化曲线就是上述发育曲线的包络。
见附图2。
因为只有包络线能经历整个系统的各个物种的状态，同时，各物种的发育过程g 曲线能够反映在该物种出现以前物种进化过程中水平g 的变化。
此外，还可认为，发育曲线与进化曲线的切点表示该物种发育期的终点。
当生物胚胎发育完满之后，其生物学水平g 不再发生显著变化，或者更确切地说，胚胎发育完满之后，生物的g 就只能服从进化曲线的规律了，即理想生物的胚胎期以后，其发育曲线和进化曲线重合。
应该注意， 是在研究进化过程的时间，对于g-τ 座标而言，发育过程的水平函数g(t,a)可写成 g( τ-a, a)，由于g 的数值也表示演化水平，而且，单细胞生物的演化水平定为零，其它物种的水平g 在任何时候均不为负，故进化曲线通过原点O。
另一方面，每一个物种，不论其a 为多少，只要它是处于胚胎期 它的水平也应为零。
g g(t,a3) 当τ-a=0时（即t=0时）g=0，即g(0,a)=0。
因此， g(t,a2)a,而对a 而言具有零点0.为比例系数。
f 应是满足下面条件的函数。
的量纲与时间量纲相同)(a Ka n −τ 图2 a 即为“物种固有时”，而若规定g 是无量纲量)2(....................)]........([a ka f g n −=τ)1(][][+−=n t k 纲为0)()3(.;0)()2(;0)0()1(/≥≥=x f x f f k 的量则由于曲线族与其包络曲线满足同一微分方程。
且曲线族是方程的通解、而包络则是方程的奇解。
对于“理想生物”模型，（2）式是其通解，其中a 就是方程的积分常数。
而奇解应不含积分常数。
众所周知，具有奇解的微分方程必定是非线性方程。
非线性微分方程的奇解可以由通解求出。
事实上，只需将通解对积分常数求导数并令之等于零，得出含有积分常数的等式，由这等式解出用自变量表示的积分常数，再将它代入通解中即得奇解。
在不知道通解的具体形式时，也可以直接从微分方程采用“判别曲线法”求得奇解。
具体办法是将函数的导数视为独立变量，微分方程两边对它求导数，解出函数的导数，再将它代入原方程，即可得到奇解。
今采用后一方法来探求生物演化水平函数g 的微分方程和其通解、奇解的关系。
)3.....(..................................................0)()()(:.0])([)()(:)()()()(.,)].,([)(//1/1/111/1///11/1///1=+−=−−==−=−==++−−g g g g g k k g g g g g k g g a ka g g a ka g f a ka f t ka f g n nn nn n n n n n n n n n n φτφφτφφφφττφφτ或者写为将它代入上式可得即求导得到两边对于是有为记 设作为生物发育曲线族g 的通解为：这就是理想生物进化与发育的基本微分方程。
它的通解就是描述发育规律的实际上给出了物演化和发育过程的水平，可用一无量纲参量g 描述。
如果用演化过程的时间3.1推论1:所需的时间，对进化过程为dτ，而对发育过 两个时间元之间的关系为：)4......(..................................................).........)1((:.)1()(0)()1()1()3()()1(0)()(1.)3(..).()]([111111111///1/1/1/++−+++++++−+=∴=+==−+−++==−+=−=n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n kn f g f n n k g g n kn n kn g n kn g g g g k n n g t ka f a ka f g τφτφφττφττφφτ可写为即式即可得代入由此可解出得到偏导数求式两边对即将奇解现在可用判别曲线法求Q 这就是描述该谱系生物进化过程水平函数随演化时间τ变化的规律。
上述讨论如下定律：定律：理想生τ为自变量，演化和发育均满足微分方程（3）。
发育过程的g 是该方程的通解（此时用τ-a=t 为时间变量）；而进化过程的g 是同一微分方程的奇解。
若个体发育过程的水平g 为 达式，就可以推出过去无法认知的一些重要推论。
从这个定律的建立过程可知，它是Haeckel 生物发生律新的数学表达形式。
有了这个数学表3、推论与说明：从同一水平g 演化到g+dg 程为dt,这.0)0(,,]..)1([:)]..,([)(11的正实函数且满足递增为单值其中必为过程的则同一谱系上生物进化=+=−==++f f n n k f g g a ka f t ka f g n n nn n ττ)5..(..................................................)()(ττd n dt n n =证 3.2 推论2：对于理想生物其演化常数n 是一个普适常数，任一物种发育胚胎期时间T 与演化常数n 及基t=T 及5）式，时，τ=a + T 且有.原点上辐射进化而来的。
人类起源于新第三纪上新世末-第四纪初（300万年前）故从真核单细胞生物到人类这一主要进化过程的时间大约为明：若进化与发育都处于水平g,由定律可知..1)5()1()1(,)1(//11得证式即推论由此即可得到即则有有单调性可知必τττττd n n dt a d n n k f dt ka f dg x n kn t ka n n nnn nn n n nn n +=+==+=++].[)(1由的单值τkn f t ka f g n n n==++)1(1n +将它们的公共值记为)1(1n n xx ++因时a 有如下关系：n T = a …………………………………………………………………………(6) 证明：个体发育的胚胎期T 是指从t=0到发育曲线与进化曲线相切处的时间间隔，在t>T 以后，发育与进化的g 的变化速度是相等的，即当t=T 或t>T 时,dt=dτ，根据（和关系τ=a + t,当t=T 。
