轴对称3-

第三讲轴对称第一部分知识梳理一、轴对称、轴对称图形1．轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线.2．轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称.两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫对称点.二、轴对称图象的性质1．对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分.轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.新旧图象具有对称性.2．轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.三、轴对称图形与轴对称的区别和联系1．识别轴对称图形：轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对折，两部分完全重合，则称该图形为轴对称图形.这条直线为它的一个对称轴.轴对称图象有一条或几条．．．．．对称轴.2．轴对称图形是针对一个图形而言的，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身一部分与另一部分重合，而轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.3．当把轴对称的两个图形看成一个图形时，它就成了一个轴对称图形.第二部分例题与解题思路方法归纳【例题1】在如图3.2-1所示的正方形网格中，每个小正方Array形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（4-，5），（1-，3）．⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；⑵请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；⑶写出点B′的坐标．〖难度分级〗A 类〖试题来源〗2011湖南省永州市中考试题〖选题意图〗求关于坐标轴对称的点的坐标，很多初学者由于没有掌握牢坐标的特点，经常将坐标弄颠倒.在学习时，要结 合图象，反复练习，熟练掌握坐标特征.学习时要结合图象认 真分析、观察，最后得出正确答案.〖解题思路〗对于点P (a ,b )，关于y 横坐标互为相反数，即为P (-a , b )；关于x 轴对称的点，其横 坐标相等，纵坐标互为相反数，即为P (a ,-b )；关于原点对称 的点，其横坐标、纵坐标互为相反数. 〖参考答案〗⑴⑵如图3.2-1(1)，⑶B′(2,1)【课堂训练题】1．（2008年贵阳市）如图3.2-11，在平面直角坐标系xoy 中，A （-1,5），B （-1,0），C （-4,3）.（1）求出△ABC 的面积．（2）在图3.2-11中作出△ABC 关于y （3）写出点A 1，B 1，C 1的坐标. 〖难度分级〗A 类〖参考答案〗（1）7.5；（2）如图； （1）A 1（1，5），B 1（1，0），C 1（4，3）.2．如图3.2-12，已知四边形ABCD ，作四边形A 1B 1C 1D ，使四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 1B 1C 1D 1关于直线MN 对称.（D 1）C 1B 1A 1ABCDMABCDM图3.2-11(1)〖难度分级〗A 类 〖参考答案〗如图所示：【例题2】为如图3.2-2所示，两条主要街道AB 、CD 交于点O ，F 处为邮局，该局职工小赵家住点E 处，在∠AOD 内有一社区活动中心M ，若该活动中心M 到两条街道的距离相等，同时到E 点F 点的距离也相等.（1）在图中找出点M 的位置；（2）若小赵每天从家中去上班必须分别经过AB 和CD 街道上两个邮筒G 、H 处取出信件后再去邮局F 处，则邮筒应分别设在两街道的何处，方能使小赵每天上班时所走的路程最短？请在图中找出点G 、H 的位置，并指出小赵的最理想的行走路线.〖难度分级〗A 类 〖试题来源〗经典习题〖选题意图〗此题的主要意图是考查线段中垂线、角平分线性质以及轴对称图形的作图能力.将生活中的实际问题抽象为数学模型，在解决实际问题时，要看透所包含的几何问题，把我们所掌握的轴对称和线段垂直平分线的知识转化为数学问题.（D 1）C 1B 1A 1A BCDMN 图11ABCDMN 图12图3.2-2图3.2-12图3.2-12(1)〖解题思路〗到角两边距离相等的点的轨迹为该角的角平分线；到线段两端点距离相等的点的轨迹为线段的中垂线；最小值问题的求解方法是：作出其中某一点关于直线的对称点，对称点和该点的连线与对称轴的交点，即是所作的点.〖参考答案〗解：（1）分别作∠AOD的平分线和线段EF的中垂线，两线的交点即为社区活动中心M的位置（如图3.2-2(1)）.（2）分别作E点关于AB对称点E′，F点关于CD的对称点F′，则E′F′的连线与AB、CD的交点G、H即为所求（如图3.2-2(2)）.【课堂训练题】1．如图3.2-21，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：(1)由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A'的坐标为（2，0），请在图中分别标明.B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出他们的坐标: B'、C'；归纳与发现：(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为（不必证明）；运用与拓广：(3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并在图中画出Q点.（不要求写出坐标）〖难度分级〗A 类〖参考答案〗解：（1）如图3.2-21(1)：(3,5)B '，(5,2)C '-； (2) (b ，a ) ；(3)由(2)得，D (1,-3) 关于直线l 的对称点D '的 坐标为(-3,1)，连接D 'E 交直线l 于点Q ，此 时点Q 到D 、E 两点的距离之和最小.2．如图3.2-22所示，河的同侧有A 、B 两个村庄，要把A 村的产品运往B 村，并规定要走a 千米的河岸路，并还要使所走的路线最短，问河边码头应建在何处？〖难度分级〗A 类〖参考答案〗如图3.2-22(1)所示，设码头分别为M 、N ，则从A 到B 的路线为AMNB ，不妨假设先走河岸路，沿河岸方向将A 平移到A '，使AA '＝a ，这时A '、B 及河岸就构成了图1的模型.于是只要作点B 关于河岸l 的对称点B '，连结A 'B '与岸l 交于点N ，再将A 'N 平移回AM ，则AMNB 的长为满足条件的最短路线.如图3.2-22(1)所示．aBAa【例题3】台球是一项高雅的体育运动．其中包含了许多物理学、几何学知识.图3.2-3是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边．经过一次反弹后再撞击F球.他应将E球打到AB边上的哪一点?请在图中用尺规作出这一点H．并作出E球的运行路线；(不写画法．保留作图痕迹)图3.2-3〖难度分级〗A类〖试题来源〗2006年江苏省苏州市中考试题〖选题意图〗实际生活中的台球问题，我们可以利用轴对称找出其弹击路线，小球经桌边反弹符合一个规律，类似于光的反射定律，入射角等于反射角.此类问题关键在于先分析好问题，建立图中的几何模型，再探讨解题思路.〖解题思路〗找出E点关于AB的对称点E1，连接E1F，交AB于点H.便找出了小球和台球桌的撞击点.〖参考答案〗解：（1）如图3.2-3(1),画图如下（可作点E关于直线AB的对称点E1，连结E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF）.【课堂训练题】1．如图3.2-31所示，EFGH是一个台球桌面，有白黑两球分别置于A、B两点位置上，试问：怎样撞击黑球B，经桌边HE，EF连续反弹后，能准确地击中白球A？〖难度分级〗A类〖参考答案〗作法：①作B关于HE的对称点B'；②再作出A关于EF的对称A'；③连结A'B'，交HE于点C，交EF于点D，连结BC、DA．路线：应沿BC方向撞击黑球B，其弹击路线为B→C→D→A．图3.2-31(1)2．如图3.2-32所示，OA、O'A'是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的光线，请用作图的方法确定发光点S的位置，并将光路图补充完整.图3.2-32 图3.2-32(1)〖难度分级〗A类〖参考答案〗作法：1．延长AO、A'O'，它们相交于点S'；2．作S'关于镜面的对称点S；3．连结SO、SO'．如图3.2-32(1)【例题4】如图3.2-4，长方形ABCD中，点E在AB边上，将△EBC 沿CE 所在直线折叠，使点B 落在AD 边上 的点B ′处，再将折叠后的图形打开，若△AB ′E 的周长为4cm ， △B ′DC 的周长为11cm ，则B ′D 的长为_________cm ．〖难度分级〗B 类〖试题来源〗2011年北京市西城区（北区）八年级第二学期抽样测试(有改动)〖选题意图〗长方形这一内容初二上还没有学，但是在学平行线和特殊三角形的时候，经常会出现这类利用直角三角形来解决的折叠问题.本题关于图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用，解题时，①应抓住折叠前后的图形完全重合；②应注意折叠前后的对应关系.画出折叠前后的对比图，找出对应关系.〖解题思路〗折叠问题中求线段的长度，通常会用到方程思想和转化思想.根据题意，将题中涉及的线段用未知数表示，设B ′D=x ，AB ′=y ，AE =a ，EB=b ，根据折叠的对称性，EB ′=BE =b ，B ′C =BC =AD =AB ′+B ′D =x +y ，DC =AE +EB =a +b .由题中已知条件可得C △AB ’E =AB ′+EB ′+AE =y +b +a =4，C △B ’DC =B ′D +B ′C +DC =x +(x +y )+(a +b )=11. 联立方程可得：()()⎩⎨⎧=++++=++114y x b a x a b y ，将y +b +a =4视作一个整体，可得x =3.5. 〖参考答案〗 3.5；【课堂训练题】1．（2009年浙江衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10， BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式 折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周 长为（）.A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5〖难度分级〗B 类〖参考答案〗选D ．解：∵△EDF 是△EAF 折叠以后形成的图形，∴△EDF ≌△EAF ，∴∠AEF =∠DEF ， ∵AD 是BC 边上的高，∴EF ‖CB ，图3.2-4图3.2-41CBDAEF CB D (A )A又∠AEF =∠B ，（两直线平行，同位角相等） ∴∠BDE =∠DEF ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠B =∠BDE ，（等量替换）∴BE =DE ，∴△DEF 的周长为△EAF 的周长，即AE +EF +AF =（AB +BC +AC ）/2=（12+10+9）/2=15.5． 点评：本题考查了图形的折叠，认识到图形折叠后所形成的图形△AEF 与△DEF 全等是解题的关键.并涉及到中位线定理，对接受能力强的学生，可引导求证EF =21BC .2．如图3.2-42，在△ABC 中，AC =2，BC =4，∠ACB =60°，将△ABC 折叠，使点B 和点C 重合，折痕为DE ，则△AEC 的面积是（）A ．1B ．332C ．3D ．2〖参考答案〗选B.如图3.2-42(1)，连接AD .由折叠得BE =EC ，BD =DC =4/2=2，∴BD =DC =AC =2.又∵∠ACB =60°， ∴△ADC 为等边三角形.∴AD =AC =DC =BD =2，∠DAC =60°.∴△ABD 为等腰三角形，∴∠B =∠BAD =30°.∴∠BAD =∠BAD +∠DAC =90°.由等积法，易知选B.【例题5】已知，如图3.2-5，△ABC 中，AB ，BC ，CA 的中垂线分别为l 1,l 2,l 3. 求证：l 1,l 2,l 3三线共点.BDBCDB C图3.2-5图3.2-42(1)图3.2-42〖难度分级〗B 类 〖试题来源〗经典习题〖选题意图〗三角形三边中垂线共点是重点和难点.该点叫三角形的“外心”，它与三条中线的交点重心，三条高的交点垂心及内角平分线交点内心称为“三角形的四心”.对大多数初中生来说，对于逻辑推理方面的训练是不够的，这就导致同学们在数学考试中遇到证明推理题就发怵.对于书本上的性质和定理，不仅要知其然，还要知其所以然.因为知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力. 〖解题思路〗考虑先设l 1,l 2,交于点O ，再证明O 在l 3上，从而达到证l 1,l 2,l 3共点的目的.〖参考答案〗证明：设l 1,l 2交于O ，连接OA ，OB ，∵l 1为AB 中垂线，∴OA =OB . 同理OB =OC .∴OA =OB =OC . ∴O 在AC 中垂线上.即O 在l 3上，∴，l 1，l 2，l 3共点. 【课堂训练题】1．如图3.2-51，AD 为△ABC 的角平分线，AD 的中垂线交AB 于E ，BC 延长线于F ， 求证∠CAF =∠B .图3.2-51〖难度分级〗B 类〖参考答案〗证明：∵EF 为AD 中垂线，∴AF =DF ∴∠2+∠3=∠4，又∠4=∠1+∠B ∴∠2+∠3=∠1+∠B . ∵∠1=∠2，∴∠3=∠B 即∠CAF =∠B .BC图3.2-5(1)2．如图3.2-42，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 、E 、F 分别在AB ，AC ，BC 上，且AD =AE ，CD 为EF 中垂线，求证BF =2AD .〖难度分级〗B 类〖参考答案〗证明：如图3.2-52(1).连接DE ，DF ，作DG ⊥BC 于G .∵DC 为EF 的中垂线,∴DE =DF ,CE =CF .DC ⊥EF ∴∠1=∠2. 又∠A =90°,∴DA ⊥AC ，DG ⊥BC .∴DA =DG . 又DE =DF ,∴Rt △ADE ≌Rt △GDF （HL ）.∴GF =AE . 又AE =AD ,∴AD =DG =GF .∠A =90° ,AB =AC ,∴∠B =45°. 在△BDG 中∠B =45° ,∠DGB =90° ,∴∠BDG =45°. ∴DG =BG ,∴DG =BG=GF .∴DG =21BF ,AD =21BF .【例题6】如图3.2-6，∠1=∠2，且AB ＞AC ，点P 是AD 上的一点. 求证：PB －PC ＜AB －AC .〖难度分级〗C 类 〖试题来源〗经典习题BB图3.2-6图3.2-52图3.2-52(1)图3.2-6(1)〖选题意图〗此题有两个解题突破口，①利用角平分线为对称轴构造两个图形成轴对称是常用的辅助线；②利用三角形的三边关系求证几何不等式是常用的方法.此题对考查学生审题和创造性思维有一定效果.〖解题思路〗由∠1=∠2想到，以AP 为对称轴构造△AEP ，便得到AB －AC =EB .EP =PC ，将所求证的线段集中到一个三角形中，在利用三角形的三边关系便可使问题得证. 〖参考答案〗证明：如图3.2-6(1)，∵∠1=∠2，且AB ＞AC ， ∴以AP 为对称轴构造△APE ，使△AEP 与△ACP 关于AP 对称. ∴AE =AC ，PE =PC ∴AB －AC =AB －AE =BE . 在△PBE 中，BE +PE ＞PB . ∴PB －PE ＜BE ， 即PB －PC ＜AB －AC .【课堂训练题】1． 如图3.2-61，△ABC 中，AB =AC ，过点A 的直线MN ∥BC ，点P 是MN 上的任意点， 证明：PB +PC ≥2AB .〖难度分级〗C 类〖参考答案〗证明：作点C 关于直线AP 的对称点'C .连接'C P 、A 'C . 易知△APC 和△A 'C P 关于直线AP 对称.那么，AC =A 'C ，∠2=∠3. ∵AB =AC ，根据图形的对称性有∠1=∠2，∴∠1=∠3. ∵∠1+∠BAC +∠2=180°，∴∠BAC +∠2+∠3=180°.ABC图3.2-61图3.2-61(1)∴B 、A 、C ’三点共线.∴B 'C =AB +A 'C =AB +AC =2AB . 在△BP 'C 中，BP +P 'C ＞B 'C . ∵P 'C =PC ，B 'C =2AB . ∴BP +PC ≥2AB .2．如图3.2-62，AD 是△ABC 的中线，∠ADB 与∠ADC 的角平分线分别交AB ，AC 于点E 、F .求证：BE +CF ＞EF .〖难度分级〗C 类〖参考答案〗证明：作点B 关于ED 的对称点，根据角平分线的对称性，易知点B 在AD 上，且DM =DB ，连接ME 、MF .易证△BED ≌△MED 和△CDF ≌△MDF .∴EM =BE ，MF =CF .在△EMF 中，EM +MF ＞EF .∴BE +CF ＞EF .第三部分课后自我检测试卷A 类试题1．(2010 黑龙江省绥化市) 下列图形中不是轴对称图形的是（）2．(2008 湖南省怀化市)小华在镜中看到身后墙上的钟，实际时间最接近8点的是 ().DBBA ．B ．C ．D ．图3.2-62(1)A．B．C．D．3．(2008 山东省) 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）.4.(2007 辽宁省沈阳市) 将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（）A B C D5. (2008 山东省聊城市) 把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（）.A．六边形B．八边形C．十二边形D．十六边形6．(2008 浙江省台州市) 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图3.3-1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动．．对称变换．．．．过程中，两个对应三角形（如图3.3-2）的对应点所具有的性质是（）A B C D图①图②图③图④A ．对应点连线与对称轴垂直B ．对应点连线被对称轴平分C ．对应点连线被对称轴垂直平分D ．对应点连线互相平行图3.3-1图3.3-28．(2009 湖北省黄石市) 下列图形中，对称轴有且只有3条的是（）.A ．菱形B ．等边三角形C ．正方形D ．圆9．若点P 关于x 轴的对称点P 1（2a +b ，－a +1），关于y 轴的对称点为P 2（4－b ，b +2），则P 点的坐标为（）.A ．（9,3）B ．（－3，－3）C ．（9，－3）D ．（－9，－3）10. 已知P (3，2a -5)与Q (3，a +2)关于x 轴对称，则a =. 11．已知点M (x ，y )与点N (-2，-3)关于x 轴对称，则x +y =.12．若点A (a , 5)关于y 轴的对称点是(-2，b )，则点A 的坐标是，它关于x 轴对称点的坐标是. 13. (2008 吉林省长春市) 如图，有两个7×4的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个网格中各画有一个梯形．请在图1、图2中分别画出一条线段，同时．．满足以下要求： （1）线段的一个端点为梯形的顶点，另一个端点在梯形一边的格点上； （2）将梯形分成两个图形，其中一个是轴对称图形； （3）图1、图2中分成的轴对称图形不全等．14. (2010 山东省枣庄市) 在3×3的正方形格点图中，有格点三角形ABC 和三角形DEF ，且图1图2△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在下面给出的备用图中画出4个这样的△DEF ．15. (2010 重庆市江津区) 如图，有分别过A 、B 两个加油站的公路、相交于点O ，现准备在∠AOB 内建一个油库，要求油库的位置点P 满足到A 、B 两个加油站的距离相等，而且P 到两条公路、的距离也相等.请用尺规作图作出点P （不写作法，保留作图痕迹）．B 类试题：16．若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( ).A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形17． (2009 山东省德州市) 如图3.3-3所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（）. A ．70° B ．65° C ． 50° D ．25°1l 2l 1l 2l EBACB备用图（1）ACB备用图（2）ACB备用图（3）ACB备用图（4）图3.3-518. (2009 湖北省荆门市) 如图3.3-4，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（）. A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°19. (2009 宁夏回族自治区) 在44⨯的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图3.3-5），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20. (2010 江西省南昌市) 如图3.3-6, 已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，∠BEG ＞60°.现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH .则与∠BEG 相等的角的个数为（）. A ．4 B ．3 C ．2D ．121. (2010 吉林省吉林市) 如图3.3-7，在矩形ABCD ，AB =12cm ，BC =6cm.点E F 、分别在AB CD 、上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A D 、分别落在矩形ABCD 外部的点A '、D '处，则整个阴影部分图形的周长．．为（ ）. A ．18cm B ．36cm C ．40cm D ．72cm22. (2007 浙江省温州市) 如图3.3-8，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点E ，F 是中线AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）.A ．6B ．12C ．24D ．30图3.3-7A HE B GDC 图3.3-6图3.3-823．如图3.3-9，△ABC 中∠A =120°，AB =AC ，AB 的中垂线交AB 于D ，BC 于E .则BCBE=.图3.3-9图3.3-1024．（2011四川绵阳）如图3.3-10，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm.25. (2008 江苏省徐州市) 如图3.3-11，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB =3cm ，AC=5cm ．将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ， 则△ABE 的周长=cm ． 图3.3-1126．如图3.3-11，AD 为△ABC 的高，∠B =2∠C ，BD =5，BC =20，求AB 的长.图3.3-12C 类试题E DCA27.（2011山东德州）长为1，宽为a 的矩形纸片(121<<a )，如图3.3-13那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n =3时，a 的值为__________. ．28．在平面直角坐标系中，点M 关于x 轴对称点的坐标为（2x ＋y －5，3x －2y －4），点M 关于y 轴对称点的坐标为（5x －3y ＋3，－x ＋y ＋4），求点M 的坐标.29．如图3.3-14，AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，交AB 于E .过E 作AD 的垂线交BC 延长线于F .求证：21(∠BAC +∠AFC )=90°.图3.3-1430．如图3.3-15，△ABC 中，AB =AC ，AE ∥BC ，D 为直线AE 上任一点.第一次操作第二次操作图3.3-13求证：DB +DC ＞2AB .图3.3-15课后自我检测试卷参考答案A 类试题：1．C2．D3．C4．A5．B6．B7．B8．B9．D10．111．112．（2，5）；（2，－5）13．提供以下方案供参考．14．下列图形供参考.AC BE FD CBF A CBED) (F ) ED2115. 画正确角平分线和垂直平分线B 类试题16．C17．C 18．D 19．C 20．B 21．B 22．A23．31.分析：∵∠A =120°，AB =AC ，∴∠B =∠C =30° 又DE 为中垂线AE ，∴EA =EB ，∠EBA =∠EAB =30°，∠EAC =90°，∠C =30°∴AE =BE =21EC ，∴BC BE =3124．2 525．72226．分析：本题巧妙地利用中垂线将线段、角进行转移，考虑AD ⊥BC ，BD ＜DC .(BD =5，DC =15)，在DC 上取DE =BD ，利用中垂线将求AB 长转化为求AE 的长，再利用∠B =∠1及已知∠B =2∠C ，将求AE 的长巧妙地转移到求EC 的长.解：∵BD =5，BC =20.在DC 上取DE =BD =5，连AE ，∵AD ⊥BE ，BD =DE ，∴AD 为BE 中垂线.∴AB =AE .∠B =∠1=∠2+∠C =2∠C ，∴∠C =∠2，AE =EC .∴AB =EC.又∵BD =DE =5 ，BC =20 ，∴EC =10 .∴AB =10.C 类试题27．35或34 28．M 点⎪⎭⎫ ⎝⎛31437，－29．∵AD 为角平分线，DE ∥AC ,∴∠EAD =∠EDA ，EF 为线段AD 的中垂线.∴∠ADF =∠DAF =∠B +∠BAD ，∴∠CAF =∠B ，∠BAC +∠CAF +∠AFC +∠B =180°∴21(∠BAC +∠AFC )=90°.30．延长BA 至F ，使BA =AF ，连FD ，∵AD ∥BC ，AB =AC∴∠F AD =∠ABC =∠ACB =∠DAC .∵AF =AC ，易知△F AD ≌△CAD ，∴FD =DC ，FD +DB ＞FB ∴DB +DC ＞2AB .。

黄陂区塔耳中学数学导学案主备人：方小红审核人：詹建明班级：八（3），（4）班姓名：课题：作轴对称图形的对称轴【学习目标】：1进一步理解并掌握线段垂直平分线的性质与判定，会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称以及轴对称图形的对称轴；2 掌握运用线段垂直平分线的尺规作图的方法画出两个图形成轴对称和轴对称图形的对称轴。

3 经历运用线段垂直平分线画对称轴的过程，培养学生良好的作图习惯，并增强学生学习数学的信心。

【学习重点】：运用线段垂直平分线画出两个图形成轴对称和轴对称图形的对称轴。

【学习难点】：正确的画出两个图形成轴对称和轴对称图形的对称轴。

【易错点】：对应点所连线段的垂直平分线的画法。

一课前导学1 相关知识链接（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对所连的线。

（2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离。

（3）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。

2 自学课本P62～P64的有关内容，并对相关的知识进行初步的理解。

（1）如果我们感觉两个图形是成轴对称的，或感觉某一个图形是轴对称图形，你准备用什么方法去验证呢？（2）两个成轴对称的图形和轴对称图形，不经过折叠，你有什么方法画出它们的对称轴呢？①分析：由于两个成轴对称的图形和轴对称图形，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，故只要找到任意一对对应点，作出它们的连线段的垂直平分线即可。

②对应点所连线段的垂直平分线的画法如图：点A和点B关于某条直线成轴对称，请作出它们的对称轴。

作法：（ⅰ）分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；（ⅱ）作直线CD，直线CD即为所求的直线。

思考：（ⅰ）在上述作法中，为什么要以“大于12AB的长”为半径作弧？（ⅱ）在上面作法的基础上，连接AB，直线CD是线段AB的垂直平分线吗？并说明理由．3 相关知识的初步运用（1）如图，下面的虚线中，哪些是图形的对称轴，哪些不是? 为什么？（2）如图（4），画出图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?（3）如图，角是轴对称图形吗? 如果是，画出它的对称轴。

关于三年级轴对称的知识点
轴对称知识点
1、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

可以说这个图形关于这条直线成轴对称。

2、两个图形成轴对称：把一个图形沿着以一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

3、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。

对称性质：轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段对折后重合的线段相等，对应角对折后重合的角相等。

二年级数学下册教学设计《3 轴对称图形》43-人教版一. 教材分析《3 轴对称图形》是人教版二年级数学下册的教学内容，本节课主要让学生认识轴对称图形，能找出生活中的轴对称图形，体会数学与生活的联系。

教材通过简单的例子引导学生发现生活中的对称现象，从而引出轴对称图形的概念，并通过大量的练习让学生掌握判断轴对称图形的方法。

二. 学情分析二年级的学生已经具备了一定的观察能力和思维能力，他们能够发现生活中的对称现象，并能够用简单的语言进行描述。

但是，学生对轴对称图形的概念理解可能会有困难，因此需要教师通过生动的例子和直观的图形帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生认识轴对称图形，理解轴对称图形的概念。

2.培养学生发现生活中的对称现象，体会数学与生活的联系。

3.培养学生用数学的眼光观察世界，提高学生的观察能力。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生认识轴对称图形，理解轴对称图形的概念。

2.教学难点：让学生能够找出生活中的轴对称图形，并能够用数学的语言进行描述。

五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物和图形的展示，让学生直观地感受轴对称现象。

2.采用引导发现法，教师引导学生发现生活中的对称现象，引导学生自主探究轴对称图形的特征。

3.采用练习法，通过大量的练习，让学生巩固所学知识，提高学生的观察能力和思维能力。

六. 教学准备1.准备一些生活中的对称图片，如剪纸、蝴蝶、衣服等。

2.准备一些轴对称图形的图形，如正方形、长方形等。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师展示一些生活中的对称图片，如剪纸、蝴蝶、衣服等，引导学生观察并说出这些图片的对称特点。

然后，教师引导学生发现这些对称图片都是轴对称图形，从而引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）教师展示一些轴对称图形，如正方形、长方形等，并让学生观察这些图形的特点。

教师引导学生发现，如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。

四年级下册数学轴对称教案3篇四年级下册数学轴对称教案篇1教学目标：1.了解数的产生，认识自然数。

认识亿级的数和计数单位“十亿”“百亿”“千亿”，掌握整数数位顺序表，认识十进制计数法。

2.在经历数的产生过程中，感受“一一对应”的思想和“实践第一”的辩证唯物主义观点。

3.使学生了解古老的数学文化，培养学生学习数学的兴趣，并渗透“生活中处处有数学”的思想。

教学重点：数的产生过程。

教学难点：理解十进制计数法的意义和十进位值制的价值。

教学准备：课件教学过程：一、数的产生(一)导入1.师：我们身边有很多数，找一找。

(人数、男生数、女生数、年龄、身高、体2.师：我们的生活离不开数，可是数的产生也经历了一个漫长的过程。

(二)了解古代计数方法1.师：你知道远古时代的人是以什么为生吗(打猎)对，他们以打猎为生，每次捕到猎物或捞到鱼需要知道捕获的数量，他们也需要数数，记录数的多少，但和那时的方法和现在不同，你知道他们用的是什么方法吗(摆石子、刻痕、结绳计数)2.课件出示：图片师：比如，出去放牧时，每放出一只羊，就摆一个小石子，一共出去了多少只羊，就摆多少个小石子;放牧回来时，再把这些小石子和羊一一对应起来，如果回来的羊的只数和小石子同样多，就说明放牧时羊没有丢。

在木头上刻道来计捕鱼的条数的道理也是一样。

刻道计数和结绳计数也是如此。

3.课件出示：师：这是我国挖掘出来的“甲骨文”上的“数”字，这个字就源于结绳记事。

4.师：大家想，随着人们捕猎技术的进步，捕猎工具的发展，打到的猎物就会越来越多，相应的计数时，摆的石子就会越来越多，还是很不方便。

怎么办【设计意图：通过介绍数的产生，感受“一一对应”的思想，体会古代计数方法的不便，产生对数字的需求。

】(三)符号记数1.师：随着语言的发展，逐渐出现了数词。

以后又随着文字的发展，逐渐发明了一些记数的符号，也就是最初的数字。

2.通过介绍古埃及人记数符号，揭示计数法就是表示计数单位的个数，体会没有位值带来的不便。