第五章第3单元 机械能守恒定律 课时作业

开卷速查 规范特训课时作业 实效精练开卷速查(十八) 机械能守恒定律及其应用A 组 基础巩固1．一物体以速度v 从地面竖直上抛，当物体运动到某高度时，它的动能恰为重力势能的一半(以地面为零势能面)，不计空气阻力，则这个高度为( )A.v 2gB.v 22gC.v 23g D.v 24g解析：物体的总机械能为E ＝12m v 2，由机械能守恒得，12m v 2＝mgh ＋12m v ′2，由题意知mgh ＝2×12m v ′2，解得h ＝v 23g ，选C. 答案：C2．[2013·湖北武汉部分学校联考]如图18－1所示，轻绳的一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力T 、轻绳与竖直线OP 的夹角θ满足关系式T ＝a ＋b cos θ，式中a 、b 为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( )图18－1A.b 2mB.2b mC.3b mD.b 3m解析：当小球运动到最低点时，θ＝0，拉力最大，T 1＝a ＋b ，T 1＝mg ＋m v 21/L ；当小球运动到最高点时，θ＝180°，拉力最小，T 2＝a －b ，T 2＝－mg ＋m v 22/L ；由mg ·2L ＝12m v 21－12m v 22，联立解得：g ＝b 3m，选项D 正确． 答案：D3．(多选题)[2014·江西省南昌大学附中月考]在竖直平面内有一半径为R 的光滑圆环轨道，一质量为m 的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C 时的速率v c ＝4gR 5， 则下述正确的是 ( )图18－2A ．此小球的最大速率是6v cB ．小球到达C 点时对轨道的压力是4mg 5C ．小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π5RgD ．小球在任一直径两端点上的动能之和相等解析：速度最大的点应该是最低点时，根据机械能守恒定律：12m v 2－12m v 2C ＝2mgR ，解得： v ＝ 24gR 5＝6v C 所以A 正确．在C 点有：mg －N C ＝m v 2C R ，得N C ＝15mg ，所以B 错误；由T ＝2πR v ，当速度最小时，代入计算可得T ＝π 5Rg ，之后小球的速度在变大，T 要减小，T <π 5Rg ，所以C 正确．整个过程中机械能守恒，在任一直径两端点上的点，它们的高度之和都是2R ，即它们的重力势能的和相等，由于总的机械能守恒，所以它们的动能之和也相等，所以D 正确．答案：ACD4. (多选题)如图18－3所示，重10 N 的滑块在倾角为30°的斜面上，从a 点由静止下滑，到b 点接触到一个轻弹簧．滑块压缩弹簧到c 点开始弹回，返回b 点离开弹簧，最后又回到a 点，已知ab ＝0.8 m ，bc ＝0.4 m ，那么在整个过程中( )图18－3A ．滑块动能的最大值是6 JB ．弹簧弹性势能的最大值是6 JC ．从c 到b 弹簧的弹力对滑块做的功是6 JD ．滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒解析：滑块在滑动过程中，只有重力和弹簧弹力做功，所以滑块和弹簧组成的系统机械能守恒，D 正确；以c 点所在水平面为参考平面，则滑块在a 点的机械能为6 J ，在c 点时的速度为0，重力势能也为0，所以弹性势能的最大值为6 J ，从c 到b 弹簧的弹力对滑块做的功等于弹性势能的减小量，故为6 J ．所以选BCD.答案：BCD5．如图18－4所示，质量为m 和3m 的小球A 和B 可视为质点，系在长为L 的细线两端，桌面水平光滑，高h (h ＜L )，A 球由静止从桌面滑下，落在沙地上静止不动，则B 球离开桌面的速度为( )图18－4A. 12ghB.2ghC. 13ghD. 16gh 解析：小球A 未落地前A 、B 构成的系统机械能守恒，mgh ＝12m v 2＋12(3m )v 2，解得v ＝ gh 2.A 球落地后，B 球由于惯性以速度v 向右运动，故B 球离开桌边的速度即为v ＝gh 2. 答案：A6．(多选题)如图18－5所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg 和2 kg 的可视为质点的小球A 和B ，两球之间用一根长L ＝0.2 m 的轻杆相连，小球B 距水平面的高度h ＝0.1 m ．两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g 取10 m/s 2，则下列说法中正确的是( )图18－5A ．下滑的整个过程中A 球机械能守恒B ．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒C ．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/sD ．下滑的整个过程中B 球机械能的增加量为23J 解析：当小球A 在斜面上、小球B 在平面上时杆分别对A 、B 做功，因此下滑的整个过程中A 球机械能不守恒，而两球组成的系统机械能守恒，A 错误，B 正确；从开始下滑到两球在光滑水平面上运动，利用机械能守恒定律可得：m A g (L sin30°＋h )＋m B gh ＝12(m A ＋m B )v 2，解得v ＝263m/s ，C 错误；下滑的整个过程中B 球机械能的增加量为ΔE ＝12m B v 2－m B gh ＝23J ，D 正确．答案：BDB 组 能力提升7．[2013·福建省莆田一中月考]如图18－6所示，倾角为30°、高为L 的固定斜面底端与水平面平滑相连，质量分别为3m 、m 的两个小球A 、B 用一根长为L 的轻绳连接，A 球置于斜面顶端，现由静止释放A 、B 两球，球B 与弧形挡板碰撞过程中无机械能损失，且碰后只能沿斜面下滑，它们最终均滑至水平面上．重力加速度为g ，不计一切摩擦．则( )图18－6A ．A 球刚滑至水平面时速度大小为5gL 2B ．B 球刚滑至水平面时速度大小为12gL C ．小球A 、B 在水平面上不可能相撞D ．在A 球沿斜面下滑过程中，轻绳对B 球一直做正功答案：A8．[2014·四川省成都七中月考]如图18－7甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB 和圆轨道BCD 组成，AB 和BCD 相切于B 点，CD 连线是圆轨道竖直方向的直径(C 、D 为圆轨道的最低点和最高点)，已知∠BOC ＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB 上高H 处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D 时对轨道的压力为F ，并得到如图乙所示的压力F 与高度H 的关系图象，取g ＝10 m/s 2.求：甲乙图18－7(1)滑块的质量和圆轨道的半径； (2)是否存在某个H 值，使得滑块经过最高点D 后能直接落到直轨道AB 上与圆心等高的点．若存在，请求出H 值；若不存在，请说明理由．解析：(1)mg (H －2R )＝12m v 2D F ＋mg ＝m v 2D R联立解得，F ＝2mg (H －2R )R－mg ， 取点(0.50 m,0)和(1.00 m,5.0 N)代入上式得：m ＝0.1 kg ，R ＝0.2 m.(2)假设滑块经过最高点D 后能直接落到直轨道AB 上与圆心等高的E 点(如图18－8所示)图18－8OE ＝R sin30°， x ＝OE ＝v D tR ＝12gt 2 得到：v D ＝2 m/s.而滑块过D 点的临界速度v min ＝gR ＝ 2 m/s.由于v D >v min ，所以存在一个H 值，使得滑块经过最高点D 后能直接落到直轨道AB 上与圆心等高的点上，mg (H －2R )＝12m v 2D 得到：H ＝0.6 m.答案：(1)0.1 kg 0.2 m (2)存在 0.6 m9．[2014·江西省南昌大学附中月考]如图18－9所示，将质量均为m 、厚度不计的两物块A 、B 用轻质弹簧相连接．第一次只用手托着B 物块置于H 高处静止，现将弹簧锁定，此时弹簧的弹性势能为E p ，现由静止释放A 、B ，B 物块着地后速度立即变为零，同时弹簧锁定解除，在随后的过程中B 物块恰能离开地面但不继续上升．第二次用手拿着A 、B 两物块，使得弹簧竖直并处于原长状态，此时物块B 离地面的距离也为H ，然后由静止同时释放A 、B ，B 物块着地后速度同样立即变为零．求：图18－9(1)第二次释放A 、B 后，A 上升至弹簧恢复原长时的速度v 1；(2)第二次释放A 、B 后，B 刚要离地时A 的速度v 2.解析：(1)第二次释放A 、B 后，A 、B 自由落体运动，B 着地后，A 和弹簧相互作用至A 上升到弹簧恢复原长过程中，弹簧对A 做的总功为零．对A 从开始下落至弹簧恢复原长过程，由动能定理有mgH ＝12m v 21① 解得v 1＝2gH ，方向向上．(2)设弹簧的劲度系数为k ，第一次释放A 、B 前，弹簧向上产生的弹力与A 的重力平衡．设弹簧的形变量(压缩)为Δx 1，有Δx 1＝mg k ②第一次释放A 、B 后，B 刚要离地时弹簧产生向上的弹力与B 的重力平衡设弹簧的形变量(伸长)为Δx 2，有Δx 2＝mg k ③第二次释放A 、B 后，在B 刚要离地时弹簧产生向上的弹力与B 的重力平衡设弹簧的形变量(伸长)为Δx 3，有Δx 3＝mg k ④由②③④得Δx 1＝Δx 2＝Δx 3 ⑤即这三个状态，弹簧的弹性势能都为E p在第一次释放A 、B 后至B 着地前过程，对A 、B 和弹簧组成的系统由机械能守恒有2mgh ＝12×2m v 2 ⑥ 从B 着地后到B 刚要离地的过程，对A 和弹簧组成的系统，由机械能守恒有12m v 2＋E p ＝mg (Δx 1＋Δx 2)＋E p ⑦ 第二次释放后，对A 和弹簧组成的系统，从A 上升至弹簧恢复原长到B 刚要离地过程，由机械能守恒有12m v 21＝mg Δx 3＋E p ＋12m v 22 ⑧ 由①⑥⑦⑧得 v 2＝ gH －2E p m 答案：(1)2gH (2) gH －2E p m 10.图18－10[2013·广东汕头金山中学测试]如图18－10所示，物体A 的质量为M ，圆环B 的质量为m ，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l ＝4 m ，现从静止释放圆环．不计定滑轮和空气的阻力，取g ＝10 m/s 2，求：(1)为使圆环能下降h ＝3 m ，两个物体的质量应满足什么关系？(2)若圆环下降h ＝3 m 时的速度v ＝5 m/s ，则两个物体的质量有何关系？(3)不管两个物体的质量为多大，圆环下降h ＝3 m 时的速度不可能超过多大？解析：(1)若圆环恰好能下降h ＝3 m ，由机械能守恒定律得mgh ＝Mgh A ，h 2＋l 2＝(l ＋h A )2，解得两个物体的质量应满足关系M ＝3m .(2)若圆环下降h ＝3 m 时的速度v ＝5 m/s ，由机械能守恒定律得mgh ＝Mgh A ＋12m v 2＋12M v 2A ，如图18－11所示，A 、B 的速度关系为v A ＝v cos θ＝v hh 2＋l 2. 解得两个物体的质量关系为M m ＝3529.图18－11(3)B 的质量比A 的大得越多，圆环下降h ＝3 m 时的速度越大，当m ≫M 时可认为B 下落过程机械能守恒，有mgh ＝12m v 2m. 解得圆环的最大速度v m ＝60 m/s ＝7.8 m/s.即圆环下降h ＝3 m 时的速度不可能超过7.8 m/s.答案：(1)M ＝3m(2)M m ＝3529(3)7.8 m/sC 组 难点突破11．(多选题)半径为R 的圆桶固定在小车上，有一光滑小球静止在圆桶的最低点，如图18－12所示．小车以速度v 向右匀速运动．当小车遇到障碍物突然停止，小球在圆桶中上升的高度可能为( )图18－12A ．等于v 22gB ．大于v 22gC ．小于v 22g D ．等于2R解析：由动能定理得12m v 2＝mgh ，得A 项正确；能通过圆桶的最高点，高度等于2R ，D 项对；在到达最高点前脱离圆周做斜抛运动最大高度小于v 22g，因这时有动能，B 项错、C 项对． 答案：ACD。

开卷速查规范特训课时作业实效精练开卷速查(二十)实验：探究动能定理验证机械能守恒定律A组基础巩固1．(多选题)在探究功与物体速度变化的关系的实验中，某同学在一次实验中得到一条如图20－1所示的纸带，这条纸带上的点两端较密，中间稀疏，出现这种情况的原因可能是()图20－1A．电源的频率不稳定B．木板倾斜的程度太大C．没有使木板倾斜或倾斜角太小D．小车受到的阻力较大解析：出现上述情况的原因是小车先加速再减速，说明开始时橡皮筋的弹力大于摩擦力，随后又小于摩擦力，因此没有完全平衡摩擦力．答案：CD2．有4条用打点计时器(所用交流电频率为50 Hz)打出的纸带A、B、C、D，其中一条是做“验证机械能守恒定律”实验时打出的．为找出该纸带，某同学在每条纸带上取了点迹清晰的、连续的4个点，用刻度尺测出相邻两个点间距离依次为x1、x2、x3.请你根据下列x1、x2、x3的测量结果确定该纸带为(已知当地的重力加速度为9.791 m/s2)()A．61.0 mm65.8 mm70.7 mmB．41.2 mm45.1 mm53.0 mmC．49.6 mm53.5 mm57.3 mmD．60.5 mm61.0 mm60.6 mm解析：验证机械能守恒采用重锤的自由落体运动实现，所以相邻0.02 s 内的位移增加量为Δx＝gT2＝9.791×0.022 m≈3.9 mm.答案：C3．某同学利用打点计时器、已知质量为m的滑块、可调节高度的斜面、直尺等仪器进行“探究动能定理”的实验，如图20－2所示，他首先将打点计时器固定在斜面的上端，并将滑块与纸带相连，让纸带穿过打点计时器，接通低压交流电源(已知其频率为f)后释放滑块，打点计时器在纸带上打下一系列点．图20－2图20－3图20－4回答下列问题：(用已知字母表示)(1)写出影响滑块动能变化的主要因素________________________．(2)该实验探究中为了求合外力，应先求出滑块与斜面的动摩擦因数．该同学通过多次调节斜面的高度，得到一条打点间距均匀的纸带，如图20－3所示，此时相对应的斜面长为L、斜面高为h.由此可求出滑块与斜面的动摩擦因数为μ＝______.(3)保持斜面长度不变，升高斜面高度到H(H>h)，该同学在实验中得到一条打点清晰的纸带，如图20－4所示，用直尺测出x1、x2、x3，对A、B 两点研究：此时滑块在A、B两点的速度大小为：v A＝________，v B＝________.(4)该同学对AB段进行研究，根据记录的数据计算合外力对滑块做的功W，滑块动能的变化量ΔE k，在误差允许的范围内W＝ΔE k.解析：(1)由滑块在斜面上运动可知，影响滑块动能变化的是合外力的功，即重力做功和摩擦力做功．(2)由题图可知滑块在斜面上做匀速直线运动，则有：mg sinθ＝μmg cosθ(θ为斜面的倾角)，可得μ＝tanθ＝hL2－h2.(3)由运动学公式得A点的瞬时速度是v A＝x22T＝x22f，B点的瞬时速度是v B＝x3－x12T＝x3－x12f.答案：(1)重力做功、摩擦力做功(2)hL2－h2(3)x22fx3－x12fB组能力提升4．[2013·福建省莆田一中月考]某探究学习小组的同学欲以图20－5装置中的滑块为对象验证“动能定理”，他们在实验室组装了一套如图所示的装置，另外他们还找到了打点计时器所用的学生电源、导线、复写纸、纸带、小木块、细砂、垫块．当滑块连接上纸带，用细线通过滑轮挂上空的小砂桶时，释放小桶，滑块处于静止状态．若你是小组中的一位成员，要完成该项实验，则：图20－5(1)你认为还需要的实验器材有________、________.(两个)(2)实验时为了保证滑块(质量为M)受到的合力与砂和砂桶的总重力大小基本相等，砂和砂桶的总质量m应满足的实验条件是__________，实验时首先要做的步骤是________．(3)在(2)的基础上，某同学用天平称量滑块的质量M.往砂桶中装入适量的细砂，用天平称出此时砂和砂桶的总质量m.让砂桶带动滑块加速运动，用打点计时器记录其运动情况，在打点计时器打出的纸带上取两点，测出这两点的间距L和这两点的速度大小v1与v2(v1<v2)．则对滑块，本实验最终要验证的数学表达式为________________________(用题中的字母表示)．(4)要探究滑块与砂及砂桶组成的系统机械能是否守恒，如果实验时所用滑块质量为M，砂及砂桶总质量为m，让砂桶带动滑块在水平气垫导轨上加速运动，用打点计时器记录其运动情况，在打点计时器打出的纸带上取两点，测出这两点的间距L和这两点的速度大小v1与v2(v1<v2)．则最终需验证的数学表达式为________________________(用题中的字母表示)．答案：(1)天平刻度尺(2)m≪M平衡摩擦力(3)mgL＝12M(v22－v21)(4)mgL＝12(m＋M)(v22－v21]5．用如图20－6甲所示的实验装置验证机械能守恒定律．弧形轨道末端水平，离地面的高度为H.将钢球从轨道的不同高度h处由静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为s.甲乙图20－6(1)若轨道完全光滑，s2与h的理论关系应满足s2＝________(用H、h 表示)．(2)如图乙为根据理论计算得到的s2－h关系图线，据此可知，桌面离地面距离H＝________m.(3)该同学经实验测量得到一组数据，如下表所示：(4)对比实验结果与理论计算得到的s2－h关系图线(图中已画出)，自同一高度静止释放的钢球，实验中水平抛出的速率________(填“小于”或“大于”)理论值．(5)从s2－h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率相差十分显著，你认为造成上述偏差的原因可能是________________________________．C组难点突破6．如图20－7所示，两个质量分别为m1和m2的物块A和B，分别系在一条跨过定滑轮的软绳两端(m1>m2)，1、2是两个光电门．用此装置验证机械能守恒定律．图20－7(1)实验中除了记录物块B通过两光电门时的速度v1、v2外，还需要测量的物理量是____________________．(2)用已知量和测量量写出验证机械能守恒的表达式_______________．解析：A、B运动过程中，若系统的机械能守恒，则有m1gh－m2gh＝12 (m1＋m2)(v22－v21)，所以除了记录物体B通过两光电门时的速度v1、v2外，还需要测的物理量有：m1和m2，两光电门之间的距离h.答案：(1)A、B两物块的质量m1和m2，两光电门之间的距离h(2)(m1－m2)gh＝12(m1＋m2)(v22－v21)名师心得拱手相赠教学积累资源共享教师用书独具变力做功的求解方法一、将变力做功转化为恒力做功常见的方法有三种：(1)如果力是均匀变化的，可用求平均力的方法将变力转化为恒力；(2)耗散力(如空气阻力)在曲线运动(或往返运动)过程中所做的功等于力和路程的乘积，不是力和位移的乘积，可将方向变化、大小不变的变力转化为恒力来求力所做的功；(3)通过关联点的联系将变力做功转化为恒力做功．1．用力的平均值求功【例1】 用锤子击钉子，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击钉子时锤子对钉子做的功相同．已知击第一次时，钉子进入木板内1 cm ，则击第二次时，钉子进入木板的深度是多少？解析：设x 为钉子进入木板的深度，k 为比例系数，则木板对钉子的阻力f ＝kx .击第一次时，钉子进入木板的深度为x 1＝1 cm ，则这一过程中的平均阻力为f 1＝(0＋kx 1)2＝kx 12，锤子对钉子做的功为 W 1＝f 1x 1＝kx 212. 设击第二次时，钉子进入木板的总深度为x 2，则这一过程中的平均阻力为 f 2＝kx 1＋kx 22＝k (x 1＋x 2)2. 锤子对钉子做的功为W 2＝f 2(x 2－x 1)＝k (x 22－x 21)2. 依题意有W 1＝W 2，联立以上各式得x 2＝ 2 cm.所以，击第二次时，钉子进入木板的深度为Δx ＝x 2－x 1＝(2－1) cm.答案：(2－1) cm2．转化法【例2】 人在A 点拉着绳通过离地面的高度为h 的光滑定滑轮吊起质量m 的物体，如图5－5所示，开始绳与水平方向的夹角为α，当人匀速地提起物体由A 点沿水平方向运动到达B 点，此时绳与水平方向的夹角为β，求人对绳的拉力所做的功．图5－1解析：人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变化，无法利用恒力公式直接求出人对绳的拉力所做的功，若转换研究对象就不难发现，人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相同，而绳对物体的拉力是恒力．人由A 走到B 的过程中，物体G 上升的高度等于滑轮右侧的绳子增加的长度，即Δh ＝h sin β－h sin α. 人对绳子做的功为W ＝Fs ＝G Δh ，即W ＝Gh ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin β－1sin α. 答案：Gh ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin β－1sin α 3．微元法图5－2【例3】磨杆长为L，在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F，如图5－2所示，求杆绕轴转动一周过程中力F所做的功．解析：磨杆绕轴转动过程中，力的方向不断变化，不能直接用公式W ＝Fs cosθ进行计算．这时，必须把整个圆周分成许多段小弧，使每一小段弧都可以看成是这段弧的切线，即可以看成是这段的位移．这样，由于F 的大小不变，加之与位移的方向相同，因而对于每一小段圆弧均可视为恒力做功．杆绕轴转动一周所做功的总和为：W＝W1＋W2＋…＋W n＝F·Δs1＋F·Δs2＋…＋F·Δs n因为Δs1＋Δs2＋…＋Δs n＝2πL所以W＝F·2πL＝2πFL.答案：2πFL二、用F-s图象求解图5－3【例4】如图5－3所示，长度为l、质量为m的均匀的绳，一段置于水平的光滑桌面上，另外长度为a的一段垂于桌面下，当绳下滑全部离开桌面时，求重力所做的功．解析：开始使绳下滑的力是长度为a的一段绳所受的重力，此后下垂的绳逐渐增大，使绳下滑的力也逐渐增大，这是一个变力做功的问题，可用图象法分析．图5－4开始使绳下滑的力是长度为a 的一段绳所受的重力F ＝a l mg .当绳全部离开桌面时，绳下滑的位移是(l －a )，且此时使绳下滑的力是整条绳所受的重力mg .在此区间使绳下滑的重力均匀地增加，如图5－4所示．那么，重力做的功在数值上就等于图象所包围的梯形面积．即W ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a l mg ＋mg ·(l －a )＝mg (l 2－a 2)2l. 答案：mg (l 2－a 2)2l三、用动能定理求变力做功图5－5【例5】 如图5－5所示，质量为m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某值F 时，转动半径为R ，当拉力逐渐减小到F 4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R ，则外力对物体所做的功是多少？解析：该题中绳的拉力显然是变力，这里应用动能定理求解．设当绳的拉力为F 时，小球做匀速圆周运动的线速度为v 1，则有F ＝m v 21R ， ①当绳的拉力减小为F 4时，小球做匀速圆周运动的线速度为v 2，则有 F 4＝m v 222R， ② 在绳的拉力由F 减为F 4的过程中，绳的拉力所做功由动能定理得 W ＝12m v 22－12m v 21， ③ 联立①②③解得W ＝－14FR ，其中负号表示做负功． 答案：－14FR 四、用机械能守恒定律求变力做功图5－6【例6】 如图5－6所示，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )A ．2R B.5R 3 C.4R 3 D.2R 3解析：当A 下落至地面时，B 恰好上升到与圆心等高位置，这个过程中系统的机械能守恒，即：2mgR －mgR ＝12×3m v 2， 接下来，B 物体做竖直上抛运动，上升的高度h ＝v 22g两式联立得h ＝R 3这样B 上升的最大高度H ＝h ＋R ＝4R 3. 答案：C五、用功能关系求变力做功【例7】 如图5－7所示，一条重铁链长为2 m ，质量为10 kg ，放在光滑的水平地面上，拿住一端匀速提起铁链到铁链全部离开地面的瞬时，拉力所做的功是________(g 取9.8 m/s 2)．甲5－7 解析：铁链从初态(如图5－7甲所示)到末态(如图乙所示)，它的重心位置升高了h ＝L 2，因而它的重力势能增加了ΔE p ＝mgh ＝mg L 2；又由于铁链从初态到末态是被匀速提起，因而它的动能没有发生变化，所以拉力F 对铁链所做的功等于铁链重力势能的增加量，即W F ＝ΔE p ＝mg ·L 2＝10×9.8×12×2 J ＝98 J. 答案：98 J六、用功率公式求功【例8】 质量为M 的汽车，沿平直的公路加速行驶，当汽车的速度为v 1时，立即以不变的功率P 行驶，经过距离s ，速度达到最大值v 2.设汽车行驶过程中受到的阻力始终不变，求汽车的速度由v 1增至v 2的过程中所经历的时间及牵引力做的功．解析：设汽车从v 1(初态)加速至v 2(末态)的过程所经历的时间为t ，行驶过程中所受的阻力为F 阻，牵引力做的功为W ＝Pt .对汽车加速过程用动能定理有：Pt －F 阻·s ＝M v 222－M v 212① 又F 阻＝P v 2② 联立①②得t ＝M (v 22－v 21)2P ＋s v 2， W ＝Pt ＝M (v 22－v 21)2＋Ps v 2. 答案：t ＝M (v 22－v 21)2P ＋s v 2 W ＝M (v 22－v 21)2＋Ps v 2。

第3课时 机械能守恒定律一、选择题1.如图，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A 、B 用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)．初始时刻，A 、B 处于同一高度并恰好处于静止状态．剪断轻绳后A 下落、B 沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块( )A ．速率的变化量不同B ．机械能的变化量不同C ．重力势能的变化量相同D ．重力做功的平均功率相同2.如图，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )A ．2RB ．5R /3C ．4R /3D ．2R /33.如图所示，质量为m 的小球穿在半径为R 光滑的圆环上，可以沿圆环自由滑动，连接小球的轻质弹簧另一端固定在圆环的最高点．现将小球从圆环的水平直径右端B 点静止释放，此时弹簧处于自然长度．当小球运动至圆环最低点C 时速度为v ，此时小球与圆环之间没有弹力．运动过程中弹簧始终处在弹性限度内，则下面判断正确的是( )A ．小球在B 点的加速度大小为g ，方向竖直向下 B ．该过程中小球的机械能守恒C ．在C 点弹簧的弹性势能等于mgR －12mv 2D ．该过程中小球重力做的功等于其动能的增量4．如图所示，劲度系数为k 的轻质弹簧下端固定在地面上，上端与一个质量为m 的小球相连，处于静止状态．现用力F 将小球缓慢上移．直到弹簧恢复原长，然后撤掉该力，使小球从静止开始下落．小球下落过程中的最大速度为v ，不计空气阻力，重力加速度为g .下列说法正确的是( )A ．小球的速度最大时弹簧的弹性势能为零B ．撤掉力F 后，小球从静止下落到速度最大过程中，小球克服弹簧弹力所做的功为m 2g 2k －12mv 2 C ．弹簧的弹性势能最大时小球的加速度为零 D ．小球缓慢上移过程中，力F 做功为m 2g 2k5．(2014年福建卷)如图，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动．质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端．现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块( )A ．最大速度相同B ．最大加速度相同C ．上升的最大高度不同D ．重力势能的变化量不同6．如图所示，A 、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B 、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上．现用手控制住A ，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A 的质量为4m ，B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时C 恰好离开地面．下列说法正确的是( )A ．斜面倾角α＝60°B．A获得最大速度为2g m 5kC．C刚离开地面时，B的加速度最大D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒7．如图所示，圆心在O点、半径为R的圆弧轨道abc竖直固定在水平桌面上，Oc与Oa的夹角为60°，轨道最低点a与桌面相切．一轻绳两端系着质量为m1和m2的小球(均可视为质点)，挂在圆弧轨道边缘c的两边，开始时，m1位于c点，然后从静止释放，设轻绳足够长，不计一切摩擦．则()A．m1在由c下滑到a的过程中，两球速度大小始终相等B．m1在由c下滑到a的过程中重力的功率先增大后减小C．若m1恰好能沿圆弧轨道下滑到a点，则m1＝2m2D．若m1恰好能沿圆弧轨道下滑到a点，则m1＝3m28.如图所示，小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面．不计一切阻力．下列说法正确的是()A．小球落地点离O点的水平距离为2RB．小球落地点时的动能为5mgR/2C．小球运动到半圆弧最高点P时向心力为零D．若将半圆弧轨道上部的1/4圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R9．如图所示，重10 N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧．滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝0.8 m，bc＝0.4 m，那么在整个过程中下列说法正确的是()A．滑块动能的最大值是6 JB．弹簧弹性势能的最大值是6 JC．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 JD．滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒二、非选择题10.如图所示，质量为m的小球与一根不可伸长的长为L的轻绳相连接，绳的另一端固定于O点，现将小球拉到跟水平方向成30°角的上方(绳恰好伸直)，然后将小球自由释放，求小球到最低点时受到绳子的拉力的大小．11．如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：(1)两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小；(2)此过程中杆对B球所做的功．12．(2013年福建卷)如右图所示，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m ＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L ＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：(1)地面上DC两点间的距离s；(2)轻绳所受的最大拉力大小．13．如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长、不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，线的两端分别系有可视为质点的小球m 1和m 2，且m 1>m 2.开始时m 1恰在碗口水平直径右端A 处，m 2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．(1)求小球m 2整个过程中沿斜面上升的最大距离s ；(2)若已知细绳断开后小球m 1沿碗的内侧上升的最大高度为R 2，求m 1m 2.14．(2015届广东省海珠区高三联考)如图所示，光滑的水平导轨MN 右端N 处与水平传送带理想连接，传送带水平长度L ＝0.8 m ，皮带以恒定速率v 逆时针匀速运动．传送带的右端平滑连接着一个固定在竖直平面内、半径为R ＝0.4 m 的光滑半圆轨道PQ ；质量为m ＝0.2 kg ，且可视为质点的滑块A 置于水平导轨MN 上，开始时滑块A 与墙壁之间有一压缩的轻弹簧，系统处于静止状态．现松开滑块A ，弹簧伸展，滑块脱离弹簧后滑上传送带，从右端滑出并沿半圆轨道运动到最高点Q 后水平飞出，又正好落回N 点．已知滑块A 与传送带之间的动摩擦因数μ＝516，取g ＝10 m/s 2.求：(1)滑块A 到达Q 点时速度的大小； (2)滑块A 在半圆轨道P 处对轨道的压力； (3)压缩的轻弹簧的弹性势能E P .答案：1. 解析：剪断轻绳后，对A 由机械能守恒得m A gh ＝12m A v 2A －0，v A ＝2gh ，速率变化量Δv A ＝v A －0＝2gh ，对B 同理m B gh ＝12m B v 2B －0，速率变化量Δv B ＝v B －0＝2gh ，它们相等，选项A 错误；两个物体运动过程中机械能分别守恒，因而机械能的变化量都为零，选项B 错误；A 、B 静止时m A g ＝m B g sin θ，则m A <m B ，重力势能的减少量等于重力做的功，分别为W A ＝m A gh 、W B ＝m B gh ，后者较大，选项C 错误；根据h ＝12gt 2A ，h sin θ＝g sin θ2t 2B 可得A 、B 下滑时间；根据平均功率P ＝W /t 可得P A ＝P B ，选项D 正确．答案：D2. 解析：将A 释放，A 、B 两物体组成的系统机械能守恒．设A 球刚落地时速度为v ，则有2mgR －mgR ＝12·3mv 2，解得v ＝23gR ，然后B 物体以v 竖直上抛，B 物体的机械能守恒，则有12mv 2＝mgh ，解得h ＝R 3，所以B 物体上升的最大高度H ＝h ＋R ＝43R .故选项C 正确．答案：C3. 解析：小球在B 点时弹簧处于原长，而此时小球的速度为0，所以小球仅受重力作用，其加速度为重力加速度，选项A 正确；小球由B 到C 的过程中由小球和弹簧组成的系统机械能守恒，小球的机械能不守恒，选项B 错误；由机械能守恒定律有mgR ＝12mv 2＋E p ，得小球在C 点时弹簧的弹性势能E p ＝mgR －12mv 2，故选项C 正确；该过程中重力对小球做正功，弹簧弹力对小球做负功，由动能定理可知，小球的动能增量小于小球重力做功，故选项D 错误．答案：AC4. 解析：小球从静止开始下落过程中，当弹簧弹力等于小球重力时，小球的加速度为零时，小球的速度最大，此时弹簧处于压缩状态，具有弹性势能，故选项A 错误；在小球达到最大速度过程由动能定理有：mgh －W ＝12mv 2，mg ＝kh ，联立解得W ＝m 2g 2k －12mv 2，故选项B 正确；当弹簧压缩量最大时小球的速度为零，小球受到弹力大于小球的重力，故选项C 错误；小球缓慢上移过程中，由动能定理有：W F －mg mg k ＋W 弹＝0得W F ＝m 2g 2k －W 弹，故选项D 错误．答案：B5. 解析：整个过程中物块达到平衡位置时，速度最大，由平衡条件得kx ＝mg sin θ，所以物块的质量越大，弹簧的压缩量越大，即平衡位置越低，整个过程中弹簧和物块组成的系统机械能守恒，设在斜面底部时弹簧的弹性势能为E ，在平衡位置时，动能为E k ，物块的重力势能为mgx ·sin θ，弹性势能为E ′，则有E ＝mgx ·sin θ＋E ′＋E k ，mgx ·sin θ＝kx 2，所以E k ＝E －kx 2－E ′，由此式可知，物块的质量越大，平衡位置越低的物块，其最大速度越小，选项A 错误；撤去外力的瞬间，物块的加速度最大，由牛顿第二定律可知物块的最大加速度不同，选项B 错误；撤去外力前，两弹簧具有相同的弹性势能，从撤去外力到第一次物块速度减小到零，物块和弹簧组成系统机械能守恒，当物块速度为零时，弹簧最初的弹性势能转化为物块的重力势能，由于物块质量不等，故两物块上升的最大高度不同，重力势能的变化相同，故选项C 正确，选项D 错误．答案：C6. 解析：A 的速度最大时，A 、B 所受合力为零，故选项C 错误；当A 的速度最大时，以B 物体为研究对象，由平衡条件有F T －m B g －F ＝0，而此时C 物体刚要离开地面，对C 有F ＝m C g .联立解得F T ＝2mg .对A 有4mg sin α＝F T ，解得α＝30°，故选项A 错误；开始时弹簧处于压缩状态，压缩量x ＝mgk ，对整个系统由机械能守恒定律有4mg ·2x ·sin α＝mg ·2x ＋12(4m ＋m )v 2.解得v ＝2g m5k，选项B 正确；从释放A 到C 物体离开地面的过程中，A 、B 弹簧组成的系统机械能守恒，选项D 错误．答案：B7. 解析：在质量为m 1 的小球由c 下滑到a 的过程中，小球的速度可分解为沿绳方向和垂直绳方向两个分速度，由此可知两球的速度并不始终相等，选项A 错误；刚开始滑动时，质量为m 1的小球重力的功率为零．当滑到a 点时，重力的瞬时功率也为零，故小球m 1的重力的功率先增大后减小，选项B 正确；两小球运动过程中两小球组成的系统机械能守恒．若小球m 1恰能到达a 点，即到达a 点时两球的速度为零，则有m 1gR (1－cos60°)＝m 2gR ，得m 1＝2m 2，故选项C 正确，选项D 错误．答案：BC8. 解析：小球恰能通过圆弧最高点，则小球的重力提供向心力，即mg ＝mv 2PR ，小球通过P 点做平抛运动．有2R ＝12gt 2；落地时小球的水平位移x ＝v P ·t 联立解得x ＝2R ，故选项A 正确，选项C 错误；由机械能守恒有2mgR ＋12mv 2P ＝E k ，解得E k ＝52mgR .选项B 正确．若将半圆弧上部的14圆弧截去，则小球离开圆弧后做竖直上抛运动，运动过程中机械能守恒，mgh ＝52mgR ，得h ＝52R ，比P 点高0.5R ，故选项D 正确．答案：ABD9. 解析：滑块能返回到出发点a ，所以滑块、弹簧组成的系统机械能守恒，选项D 正确；以c 点为参考点，则滑块在a 点的重力势能为系统的总机械能，E 1＝mg (ab ＋bc )sin30°＝6 J ．所以弹性势能最大时，滑块的动能为零，重力势能为零，故选项B 正确；从c 到b 的过程中弹力对物块做的功等于弹性势能的减少量，故选项C 正确；当滑块受合外力为零时速度最大，但此时滑块还没有到达c 点，重力势能不能全部转化为动能，故选项A 错误．答案：BCD10. 解析：小球释放后，先做自由落体运动直到绳子绷直．根据对称性和三角形的全等关系，当绳子再次与水平方向的夹角为30°时，绳子与O 点的距离再次为L ，这时绳子刚好绷直．设绳刚绷直时获得的速度是v ，则有mg ·2L sin30°＝12mv 2，v ＝2gL .由于绳子绷紧瞬间，绳对球的作用力远大于球的重力，使小球沿绳子方向的速度突变为零，而小球在垂直于绳子方向的速度为v 1不变，如图所示，则v 1＝v cos30°＝2gL ，cos30°＝32gL .小球绷紧细绳后继续下摆到最低点的过程，机械能守恒 12mv 21＋mgL (1－sin30°)＝12mv 23， 由向心力来源得F T －mg ＝m v 23L，最低点绳子拉力F T ＝3.5mg . 答案：3.5mg11. 解析：(1)由于不计摩擦力及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒．两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v ，根据机械能守恒定律有：mgh ＋mg (h ＋L sin θ)＝2×12mv 2，解得：v ＝2gh ＋gL sin θ. (2)根据动能定理，对B 球有 W ＝12mv 2－mgh ＝12mgL sin θ.答案：(1) 2gh ＋gL sin θ (2)12mgL sin θ12. 解析：(1)小球从A 到B 过程机械能守恒，有 mgh ＝12mv 2B①小球从B 到C 做平抛运动，在竖直方向上有 H ＝12gt 2②在水平方向上有 s ＝v B t ③由①②③式解得s ＝1.41 m ④(2)小球下摆到达B 点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v 2BL⑤由①⑤式解得F ＝20 N 根据牛顿第三定律 F ′＝－F轻绳所受的最大拉力为20 N. 答案：(1)1.41 m (2)20 N13. 解析：(1)设重力加速度为g ，小球m 1到达最低点B 时，m 1、m 2速度大小分别为v 1、v 2，由运动合成与分解得v 1cos45°＝v 2.①对m 1、m 2组成的系统，由机械能守恒得 m 1gR －m 2gh ＝12m 1v 21＋12m 2v 22.② 由几何关系得h ＝2R ·sin30°.③设细绳断后m 2还能沿斜面上升的最大距离为s ′.对m 2由机械能守恒有 mgs ′sin30°＝12m 2v 22.④小球m 2沿斜面上升的最大距离s ＝2R ＋s ′.⑤联立①②③④⑤解得s ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2m 1－2m 22m 1＋m 2R .(2)对m 1由机械能守恒定律有 12m 1v 21＝12m 1gR .⑥ 联立①②③⑥解得m 1m 2＝22＋12.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2m 1－2m 22m 1＋m 2R (2)22＋12 14. 解析：(1)滑块B 从Q 飞出后做平抛运动，有： L ＝v Q t ，① 2R ＝12gt 2，②由①②解得v Q ＝2 m/s.(2)滑块B 从P 运动到Q 过程中满足机械能守恒，有： 12mv 2Q ＋2mgR ＝12mv 2P.③ 在P 点由牛顿第二定律得N －mg ＝mv 2PR.④由③④解得N ＝12 N.(3)皮带转动方向和滑块A 运动方向相反，A 在皮带上做匀减速运动． 弹簧松开之后，其弹性势能转化成滑块A 的动能： E p ＝12mv 2A.⑤滑块从N 点到P 点运动过程中，由动能定理有： 12mv 2P －12mv 2A＝－μmgL .⑥ 联立③⑤⑥式，解得E p ＝2.5 J. 答案：(1)2 m/s (2)12 N (3)2.5 J。

第五章机械能第三讲机械能守恒定律课时跟踪练A组基础巩固1．(2015·四川卷)在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小() A．一样大B．水平抛的最大C．斜向上抛的最大D．斜向下抛的最大解析：根据机械能守恒定律可知，落地时三个小球的速度大小相同．答案：A2.如图所示，从竖直面上大圆(直径d)的最高点A，引出两条不同的光滑轨道，端点都在大圆上，同一物体由静止开始，从A点分别沿两条轨道滑到底端，则()A．所用的时间相同B．重力做功都相同C．机械能不相同D．到达底端时的动能相等解析：对物体在倾斜轨道上受力分析，设轨道与竖直方向夹角为α，由牛顿第二定律可求得a＝g cos α，又x＝2R cos α，根据运动学公式x＝12at2，有2R cos α＝12g cos α·t 2，得t ＝2R g，因此下滑时间只与圆的半径及重力加速度有关，故A 正确；同一物体从不同的光滑轨道下滑，重力做功的多少由下滑高度决定，由于下滑高度不同，所以重力做功也不相同，故B 错误；同一物体由静止开始从A 点分别沿两条轨道滑到底端，由于均是光滑轨道，所以只有重力做功，因此机械能守恒，故C 错误；由动能定理可知，因重力做的功不一样，所以到达不同轨道底端时的动能不同，故D 错误．答案：A3．(多选)下列物体中，机械能守恒的是( )A ．被平抛的物体(不计空气阻力)B ．被匀速吊起的集装箱C ．光滑曲面上自由运动的物体D ．物体以4g 5的加速度竖直向上做减速运动 解析：物体做平抛运动(不计空气阻力)或沿光滑曲面自由运动时，都只有重力做功，而其他外力不做功，机械能守恒，所以选项A 、C 正确．物体竖直向上做匀速运动和以4g 5的加速度竖直向上做减速运动时，除重力以外都有其他外力做功，机械能不守恒，所以选项B 、D 错误．答案：AC4．(多选)(2018·衡水模拟)如图所示，质量分别为m 和2m 的两个小球A 和B ，中间用轻质杆相连，在杆的中点O 处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B 球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )A ．B 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械能守恒B ．A 球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的系统机械能不守恒C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒解析：A球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B项正确；由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C项正确，D项错误；B球和地球组成的系统的机械能一定减少，A项错误．答案：BC5．(2018·周口模拟)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面而且不计空气阻力，则①物体到海平面时的势能为mgh②重力对物体做的功为mgh③物体在海平面上的动能为12m v2＋mgh④物体在海平面上的机械能为12m v2其中正确的是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④解析：以地面为零势能面，海平面低于地面h，所以物体在海平面上时的重力势能为－mgh，故①错误；重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故②正确；由动能定理W＝E k2－E k1，有E k2＝E k1＋W＝12m v2＋mgh，故③正确；整个过程机械能守恒，即初末状态的机械能相等，以地面为零势能面，抛出时的机械能为12m v2，所以物体在海平面时的机械能也为12m v2，故④正确．故B 正确，A 、C 、D 错误．答案：B6.(2018·贵阳检测)如图所示，一质量为m 的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O 点．将小球拉至A 点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O 点正下方与A 点的竖直高度差为h 的B 点时，速度大小为v .已知重力加速度为g ，下列说法正确的是( )A ．小球运动到B 点时的动能等于mghB ．小球由A 点到B 点重力势能减少12m v 2 C ．小球由A 点到B 点克服弹力做功为mghD ．小球到达B 点时弹簧的弹性势能为mgh －12m v 2 解析：小球由A 点到B 点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧由原长到发生伸长的形变，小球动能增加量小于重力势能减少量，A 项错误；小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，B 项错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，D 项正确；弹簧弹性势能增加量等于小球克服弹力所做的功，C 项错误．答案：D7．(多选)(2017·苏北四市高三调研)如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r 的相同小球，各球编号如图．斜面与水平轨道OA 平滑连接，OA 长度为6r .现将六个小球由静止同时释放，小球离开A 点后均做平抛运动，不计一切摩擦．则在各小球运动过程中，下列说法正确的是( )A．球1的机械能守恒B．球6在OA段机械能增加C．球6的水平射程最小D．六个小球落地点各不相同解析：6个小球都在斜面上运动时，只有重力做功，整个系统的机械能守恒．当有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，即球2对1的作用力做功，故球1的机械能不守恒，故A错误；球6在OA段运动时，斜面上的球在加速，球5对球6的作用力做正功，动能增加，机械能增加，故B正确；由于有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，所以可知离开A点时球6的速度最小，水平射程最小，故C正确；由于离开A点时，球6的速度最小，水平射程最小，而最后三个球在水平面上运动时不再加速，1、2、3球的速度相等，水平射程相同，所以六个小球的落点不全相同，故D错误．答案：BC8．(2018·临沂模拟)如图所示，光滑斜面的下端与半径为R的圆轨道平滑连接．现在使小球从斜面上端距地面高度为2R的A点由静止滑下．进入圆轨道后沿圆轨道运动，轨道摩擦不计．试求：(1)小球到达圆轨道最低点B时的速度大小；(2)小球在最低点B时对轨道的压力大小；(3)小球在某高处脱离圆轨道后能到达的最大高度．解析：(1)小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律mg·2R＝12m v2，解得v ＝2gR .(2)在B 点，由牛顿第二定律得F N B －mg ＝m v 2R， 解得F N B ＝5mg ，由牛顿第三定律知，小球在最低点B 时对轨道的压力大小为5mg .(3)根据机械能守恒，小球不可能到达圆周最高点，但在圆心以下的圆弧部分速度不等于0，轨道弹力不等于0，小球不会离开轨道．设小球在C 点(OC 与竖直方向的夹角为θ)脱离圆轨道，则在C 点轨道弹力为0，有mg cos θ＝m v 2C R， 小球从A 到C 的过程中，由机械能守恒定律得mg ·2R ＝mgR (1＋cos θ)＋12m v 2C ， 由以上两式得cos θ＝23， v C ＝2gR 3. 离开C 点后小球做斜上抛运动，水平分速度为v C cos θ，设小球离开圆轨道后能到达最大高度为h 的D 点，则D 点的速度，即水平分速度大小等于v C cos θ，从A 点到D 点的过程中由机械能守恒定律得mg ·2R ＝12m (v C cos θ)2＋mgh ， 解得h ＝5027R . 答案：(1)2gR (2)5mg (3)5027R B 组 能力提升9．(多选)(2018·临川模拟)如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上，其正上方A 位置处有一个小球，小球从静止开始下落，在B 位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．关于小球下落阶段，下列说法中正确的是()A．在B位置小球动能最大B．在C位置小球动能最大C．从A→C位置小球重力势能的减少量大于小球动能的增加量D．从A→D位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量解析：小球动能的增加量用合外力做功来量度，A→C过程中小球受到的合力一直向下，对小球做正功，使其动能增加；C→D过程中小球受到的合力一直向上，对小球做负功，使其动能减少；从A→C位置小球重力势能的减少量等于小球动能的增加量和弹簧弹性势能增加量之和；小球在A、D两位置动能均为零，而重力做的正功等于弹力做的负功，即小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量．答案：BCD10.(2018·本溪模拟)如图所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)．初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态．剪断轻绳后A下落，B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到两物块着地，两物块()A．速率的变化量不同B．机械能的变化量不同C．重力势能的变化量相同D．重力做功的平均功率相同解析：A、B开始时处于静止状态，对A ∶m A g ＝F T ，①对B ∶F T ＝m B g sin θ.②由①②得m A g ＝m B g sin θ，即m A ＝m B sin θ.③由机械能守恒知，mgh ＝12m v 2，所以v ＝2gh ，落地速率相同，故速率的变化量相同，A 项错误；剪断轻绳后，A 、B 均遵守机械能守恒定律，机械能没有变化，故B 项错误；由ΔE p ＝mgh ，因m 不同，故ΔE p 不同，C 项错误；重力做功的功率P A ＝m A g v －＝m A g v 2＝m A g 2gh 2，P B ＝m B g v －sin θ＝m B g 2gh 2sin θ，由③式m A ＝m B sin θ，得P A ＝P B ，D 项正确．答案：D11．(2018·威海模拟)将一小球从高处水平抛出，最初2 s 内小球动能E k 随时间t 变化的图象如图所示，不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2.根据图象信息，不能确定的物理量是( )A ．小球的质量B ．小球的初速度C ．最初2 s 内重力对小球做功的平均功率D ．小球抛出时的高度 解析：由题图可知12m v 20＝5 J ，由机械能守恒定律得30 J －5 J ＝mgh ，结合h ＝12gt 2＝12g ×22＝20 m ，解得m ＝18kg ，v 0＝4 5 m/s.最初2 s 内重力对小球做功的平均功率P －＝mgh t＝12.5 W ．小球抛出时的高度无法确定，故应选D. 答案：D12.(2018·济南模拟)半径为R 的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m 和3m 的小球A 和B .A 、B 之间用一长为2R 的轻杆相连，如图所示．开始时，A 、B 都静止，且A 在圆环的最高点，现将A 、B 释放，试求：(1)B 球到达最低点时的速度大小；(2)B 球到达最低点的过程中，杆对A 球做的功；(3)B 球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置．解析：(1)释放后B 到达最低点的过程中A 、B 和杆组成的系统机械能守恒，m A gR ＋m B gR ＝12m A v 2A ＋12m B v 2B ， 又OA ⊥OB ，AB 杆长＝2R ，故OA 、OB 与杆间夹角均为45°，可得v A ＝v B ，解得v B ＝2gR .(2)对小球A 应用动能定理可得W 杆A ＋m A gR ＝12m A v 2A ，又v A ＝v B ， 解得杆对A 球做功W 杆A ＝0.(3)设B 球到达右侧最高点时，OB 与竖直方向之间的夹角为θ，取圆环的圆心O 为零势面，由系统机械能守恒可得m A gR ＝m B gR cos θ－m A gR sin θ，代入数据可得θ＝30°，所以B 球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O 的高度h B ＝R cos θ＝32R . 答案：(1)2gR (2)0 (3)高于O 点32R 处。