专题五 第3讲 机械能守恒定律

第3节机械能守恒定律及其应用必备知识预案自诊知识梳理一、重力做功与重力势能1。

重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与物体始末位置的有关。

（2）重力做功不引起物体的变化。

2.重力势能（1）公式:E p=。

(2）矢标性:重力势能是，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小,这与功的正、负的物理意义不同。

(3）系统性:重力势能是物体和共有的。

(4）相对性:重力势能的大小与的选取有关。

重力势能的变化是的,与参考平面的选取。

3.重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功,重力势能就;重力对物体做负功,重力势能就。

(2）定量关系:重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量.即W G=—（E p2-E p1)=。

二、弹性势能1.弹性势能(1）定义:发生弹性形变的物体之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能,叫弹性势能。

（2）弹性势能的大小与形变量及有关。

(3）矢标性：。

（4）没有特别说明的情况下,一般选弹簧形变为零的状态为弹性势能零点。

2.弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示为W=。

三、机械能守恒定律1.机械能和统称为机械能，其中势能包括和。

2。

机械能守恒定律(1)内容:在只有做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化,而总的机械能。

（2）机械能守恒的条件①只有重力或弹力做功。

①注:（1）机械能守恒的条件不是合外力做的功等于零，更不是合外力为零；中学阶段可理解为“只有重力或弹簧的弹力做功”，但要明确不是“只受重力或弹力作用”。

（2）利用守恒观点列机械能守恒的方程时一定要选取零势能面，而且系统内不同的物体必须选取同一零势能面。

(3)守恒表达式考点自诊1.判断下列说法的正误.(1）克服重力做功,物体的重力势能一定增加.(）（2）发生弹性形变的物体都具有弹性势能。

（）(3）弹簧弹力做正功时，弹性势能增加。

（）(4)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒.（）(5）物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化。

第3讲机械能守恒定律及其应用考点1 对机械能守恒定律的理解1．对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用．(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零．(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，只有动能、重力势能、弹性势能的相互转化，无其他形式能量的转化．2．机械能守恒判断的三种方法1．(多选)如图所示，两个质量相同的小球A、B，用细线悬挂在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初速度释放，以悬点所在的水平面为参考平面，则经最低点时( BD )A．B球的动能大于A球的动能B．A球的动能大于B球的动能C．A球的机械能大于B球的机械能D．A球的机械能等于B球的机械能解析：空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B 正确．2．如图所示，一个小球套在固定的倾斜光滑杆上，一根轻质弹簧的一端悬挂于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内，将小球沿杆拉到与O点等高的位置由静止释放．小球沿杆下滑，当弹簧处于竖直时，小球速度恰好为零．若弹簧始终处于伸长且在弹性限度内，在小球下滑过程中，下列说法正确的是( A )A．小球的机械能先增大后减小B．弹簧的弹性势能一直增加C．重力做功的功率一直增大D．当弹簧与杆垂直时，小球的动能最大解析：小球沿杆下落过程中，弹簧弹力与小球速度的夹角先是锐角后是钝角，也就是弹簧弹力对小球先做正功后做负功，根据功能关系，小球的机械能先增大后减小，当弹簧垂直杆时伸长量最短，弹性势能最小．所以A正确，B错误．当弹簧与杆垂直时，小球的加速度仍沿杆向下，如图，小球加速度为零的位置在N、P之间某点，速度最大的位置也就在N、P 之间某点，所以D错误．设杆与竖直方向夹角为α，重力做功的功率P G＝mgv cosα，速度v 先增大后减小，则重力做功的功率先增大后减小，所以C错误．3．如图所示，倾角为θ的光滑斜面体C固定于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接，释放后，A将向下运动，则在A碰地前的运动过程中( D )A．A的加速度大小为gB．物体A机械能守恒C．由于斜面光滑，所以物块B机械能守恒D．A、B组成的系统机械能守恒解析：物体A向下运动的过程中除受到重力以外，还受到细绳向上的拉力，物体A下落的加速度一定小于g，故A错误；物体A下落过程中，细绳的拉力做负功，A的机械能不守恒，故B错误；由于斜面光滑，A、B组成的系统在整个运动过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，但细绳拉力对B做正功，B的机械能增加，故C错误，D正确．考点2 单体机械能守恒定律的应用1．机械能守恒定律的表达式2．用机械能守恒定律解题的基本思路如图所示，ABDO 是处于竖直平面内的光滑轨道，AB 是半径为R ＝15 m 的14圆周轨道，半径OA 处于水平位置，BDO 是直径为15 m 的半圆轨道，D 为BDO 轨道的中点．一个小球P 从A 点的正上方距水平半径OA 高H 处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D 点时对轨道的压力等于其重力的143倍，g 取10 m/s 2.(1)H 的大小．(2)试分析此球能否到达BDO 轨道的O 点，并说明理由． (3)小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少． [审题指导] (1)光滑轨道，无摩擦，小球在运动过程中机械能守恒．(2)小球在轨道内运动可抽象为竖直平面的圆周运动，属于轻绳模型，能否通过O 点由速度决定．【解析】 (1)设小球通过D 点的速度为v ，由牛顿第二定律得：143mg ＝m v2R2，小球从P 点运动至D 点的过程，由机械能守恒定律得：mg ⎝⎛⎭⎪⎫H ＋R 2＝12mv 2，解得：H ＝10 m. (2)若小球刚好沿竖直半圆轨道能运动到O 点的速度为v C ，在O 点由牛顿第二定律得：mg ＝m v 2CR2，小球至少应从H C 高处落下，由机械能守恒定律得：mgH C ＝12mv 2C ，解得：H C ＝R4＝3.75 m ，由于H >H C ，故小球可以通过O 点．(3)小球由P 点落下通过O 点的过程，由机械能守恒定律得：mgH ＝12mv 20，解得：v 0＝10 2 m/s ，小球通过O 点后做平抛运动，设小球经时间t 落到AB 圆弧轨道上，则有：x ＝v 0t ，y ＝12gt 2， 且：x 2＋y 2＝R 2，解得：t ＝1 s(另解舍弃)， 又有：v y ＝gt ，v ＝v 20＋v 2y ， 解得：v ＝10 3 m/s.【答案】 (1)10 m (2)见解析 (3)10 3 m/s1．如图所示，两个四分之三圆弧轨道固定在水平地面上，半径R 相同，A 轨道由金属凹槽制成，B 轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A 和B 由静止释放，小球距离地面的高度分别用h A 和h B 表示，则下列说法正确的是( D )A ．若h A ＝hB ≥2R ，则两小球都能沿轨道运动到轨道的最高点B ．若h A ＝h B ＝2R ，由于机械能守恒，两个小球沿轨道上升的最大高度均为2RC ．适当调整h A 和h B ，使两小球从轨道最高点飞出后，均能恰好落在轨道右端口处D ．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A 小球的最小高度为5R2，B 小球在h B >2R 的任何高度均可解析：若小球A 恰好能到A 轨道的最高点时，由mg ＝m v 2AR，解得v A ＝gR ，根据机械能守恒定律得，mg (h A －2R )＝12mv 2A ，解得h A ＝5R2，若小球B 恰好能到B 轨道的最高点时，在最高点的速度v B ＝0，根据机械能守恒定律得h B ＝2R ，因此h A ＝h B ＝2R 时，A 不能到达轨道的最高点，B 能到达轨道的最高点，故A 错误，D 正确；若h A ＝h B ＝2R ，小球A 在到达最高点前离开轨道，有一定的速度，由机械能守恒可知，A 在轨道上上升的最大高度小于2R ，小球B 在轨道上上升的最大高度等于2R ，故B 错误；小球A 从最高点飞出后做平抛运动，下落R高度时，水平位移的最小值为x A ＝v A2Rg ＝gR ·2Rg＝2R >R ，所以小球A 落在轨道右端口外侧，而适当调整h B ，B 可以落在轨道右端口处，故C 错误．2．滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的轨道上滑行并做出各种高难度运动，给人以美的享受，如图所示是模拟的滑板滑行轨道，该轨道由足够长的斜直轨道、半径R 1＝1 m 的凹形圆弧轨道和半径R 2＝1.6 m 的凸形圆弧轨道组成，这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接，其中AB 与水平方向夹角θ＝37°，C 点为凹形圆弧轨道的最低点，D 点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O 2点与C 点处在同一水平面上，一质量为m ＝1 kg 可看作质点的滑板，从斜直轨道上的P 点无初速滑下，经过C 点滑向D 点，P 点距B 点所在水平面的高度h ＝1.8 m ，不计一切阻力，g 取10 m/s 2.(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)滑板滑到C 点时滑板对轨道的压力．(2)若滑板滑到D 点时恰做平抛运动，则从P 点须以多大初速度开始下滑．解析：(1)滑板从P 点运动到C 点的过程中，由机械能守恒定律得：mg [h ＋R 1(1－cos θ)]＝12mv 2C ， 在C 点对滑板由牛顿第二定律得：F N －mg ＝m v 2CR 1，解得：F N ＝50 N ，由牛顿第三定律可知滑块对轨道的压力大小为50 N ，方向竖直向下． (2)滑板滑到D 点时恰做平抛运动，则有：mg ＝m v 2DR 2，滑板从P 点运动至D 点，由机械能守恒定律得：mg [h ＋R 1(1－cos θ)－R 2]＝12mv 2D －12mv 20，解得：v 0＝2 2 m/s.答案：(1)50 N 方向竖直向下 (2)2 2 m/s应用机械能守恒定律的两点注意(1)应用守恒观点列方程时，应先选择参考平面；而应用转化式列方程时，则不必选择参考平面．(2)应用机械能守恒定律能解决的问题，应用动能定理同样可以解决，但解题思路和表达式不同．考点3 系统机械能守恒定律的应用考向1 绳连接的物体系统机械能守恒一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示．已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移．[审题指导] (1)A球沿绳方向的分速度与B球速度大小相等．(2)A球沿圆柱内表面运动的位移大小与B球上升高度相等．【解析】(1)设A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据几何关系及机械能守恒定律有2mgR －2mgR ＝12×2mv 2＋12mv 2B由图甲可知，A 球的速度v 与B 球速度v B 的关系为v B ＝v 1＝v cos45°，解得v ＝22－25gR .(2)当A 球的速度为零时，A 球沿圆柱内表面运动的位移最大，设为x ，如图乙所示，由相似三角形关系可知A 球下降的高度h ＝x2R4R 2－x 2，根据机械能守恒定律有2mgh －mgx ＝0， 解得x ＝3R . 【答案】 (1)22－25gR (2)3R3．(多选)如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d ，杆上的A 点与定滑轮等高，杆上的B 点在A 点下方距离为d 处．现将环从A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( CD )A ．环到达B 处时，重物上升的高度h ＝d2B ．环到达B 处时，环与重物的速度大小相等C ．环从A 到B ，环减少的机械能等于重物增加的机械能D ．环能下降的最大高度为43d解析：根据几何关系，环从A 下滑至B 点时，重物上升的高度h ＝2d －d ，故A 错误；将环在B 点的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有：v 环cos45°＝v 重物，故B 错误；环下滑过程中无摩擦力对系统做功，系统机械能守恒，即环减小的机械能等于重物增加的机械能，故C 正确；环下滑到最大高度为H 时环和重物的速度均为0，此时重物上升的最大高度为H 2＋d 2－d ，根据机械能守恒有mgH ＝2mg (H 2＋d 2－d )，解得：H ＝43d ，故D 正确．求解这类问题时，由于二者速率相等或相关，所以关键是寻找两物体间的位移关系，进而找到系统重力势能的变化.列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式.另外注意系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为细绳对系统中的每一个物体都要做功.考向2 杆连接的物体系统机械能守恒如图所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 处各固定一质量为m 的球，杆可绕无摩擦的轴O 转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下．当杆转到竖直位置时，求：(1)B 球速度大小；(2)轻杆对B 球做了多少功？[审题指导] (1)由于只发生动能与重力势能的转化，所以系统机械能守恒； (2)根据圆周运动知识找到二者速度关系．【解析】 (1)A 、B 和杆组成的系统机械能守恒，以B 的最低点为零重力势能参考平面，可得2mgL ＝12mv 2A ＋12mv 2B ＋12mgL .又因A 球与B 球在各个时刻对应的角速度相同，故v B ＝2v A ，由以上两式得v A ＝3gL5，v B ＝12gL5. (2)根据动能定理，对于B 球有W B ＋mgL ＝12mv 2B －0，所以W B ＝0.2mgL .【答案】(1)12gL5(2)0.2mgL4．(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则( BD )A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为2ghC．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg解析：选b滑块为研究对象，b滑块的初速度为零，当a滑块落地时，a滑块没有在水平方向上的分速度，所以b滑块的末速度也为零，由此可得b滑块速度是先增大再减小，当b滑块速度减小时，轻杆对b一直做负功，A项错误；当a滑块落地时，b滑块的速度为零，由机械能守恒定律，可得a落地时速度大小为2gh，B项正确；当b滑块速度减小时，轻杆对a、b都表现为拉力，拉力在竖直方向上有分力与a的重力合成，其加速度大小大于g，C 项错误；a的机械能先减小再增大，当a的机械能最小时，轻杆对a、b的作用力均为零，故此时b对地面的压力大小为mg，D项正确．考向3 弹簧连接的物体系统机械能守恒如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面．求：(1)斜面的倾角α；(2)A球获得的最大速度v m.[审题指导] (1)细线不可伸长，A、B两球速率一定相等，但B与C球用弹簧相连，速率一般不同．(2)弹簧的弹性势能与弹簧的形变量大小有关，无论弹簧处于伸长状态还是压缩状态． 【解析】 (1)由题意可知，当A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面，A 的加速度此时为零．由牛顿第二定律得4mg sin α－2mg ＝0， 则sin α＝12，α＝30°.(2)由题意可知，mg ＝k Δx ，B 球上升的高度x ＝2Δx ＝2mgk.A 、B 两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A 沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，对A 、B 、C 三小球和弹簧组成的系统机械能守恒，得4mgx sin α－mgx ＝12(5m )v 2m ，联立化简得v m ＝2gm 5k. 【答案】 (1)30° (2)2g m 5k(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒. (2)注意寻找用绳或杆或弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系. (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 或ΔE A ＝－ΔE B 的形式.学习至此，请完成课时作业18。