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第3讲机械能守恒定律及其应用教材知识梳理一、重力势能与重力做功1．物体的重力势能等于它所受的________与所处位置的________的乘积，E p＝________．2．重力势能是________量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在零势能参考平面的大还是小．3．重力势能是物体和________所共有的．重力势能的大小与零势能面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关．4．重力做功与物体运动的路径无关，只与重力及________________有关，W G＝mgh.5．重力做功与重力势能变化的关系：W G＝－ΔE p.二、弹性势能1．定义：物体由于发生________而具有的能，是标量．2．弹力做功与弹性势能变化的关系：W＝－ΔE p.三、机械能守恒定律1．内容：在只有重力或(弹簧)弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．2．表达式(1)守恒角度：E1＝E2(2)转化角度：ΔE k＝－ΔE p(3)转移角度：ΔE A＝－ΔE B3．判断：方法1：只有重力或系统内弹簧弹力做功；方法2：只有动能和势能之间转化，没有其他能量参与．答案：一、1.重力高度mgh2．标 3.地球4．初、末位置的高度差二、1.弹性形变【思维辨析】(1)重力势能的大小及变化与零势能面的选取有关．( )(2)重力做功与路径有关．( )(3)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒．( )(4)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒．( )(5)做曲线运动的物体机械能可能守恒．( )答案：(1)(×)(2)(×)(3)(×)(4)(×)(5)(√)考点互动探究考点一机械能守恒的理解和判断题组1.关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( )A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒C．做变速运动的物体机械能可能守恒D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒答案：C [解析] 做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，其动能不变，但物体的重力势能可能变化，所以机械能可能不守恒，如物体在竖直平面内运动，选项A、B错误；物体做变速运动时，受到的合力不为零，但如果运动过程中只有重力做功，则机械能守恒，选项C正确；合外力做功不为零，物体的动能改变，但如果运动过程中只有重力做功，则物体的机械能守恒，选项D错误．2．如图5151所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能不守恒的是( )图5151A．子弹射入物块B的过程B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量达最大的过程C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程答案：A [解析] 子弹射入物块B的过程中，子弹和物块B组成的系统，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机械能转化成了内能，所以机械能不守恒．在子弹与物块B获得了共同速度后一起向左压缩弹簧的过程中，对于A、B、弹簧和子弹组成的系统，由于墙壁给A一个弹力作用，系统的外力之和不为零，但这一过程中墙壁的弹力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能守恒，这一情形持续到弹簧恢复原长为止．当弹簧恢复原长后，整个系统将向右运动，墙壁不再有力作用在A上，这时物块的动能和弹簧的弹性势能相互转化，故系统的机械能守恒．选项A符合题意．3．在如图5152所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角处释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后直角架绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置由静止释放，小球开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )图5152A．甲图中小球机械能守恒B．乙图中小球A的机械能守恒C．丙图中两车组成的系统机械能守恒D．丁图中小球的机械能守恒答案：A [解析] 甲图中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图中P、Q两球通过杆相互影响，轻杆对P的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但以两个小球为系统，该过程中不存在机械能与其他形式的能的转化，所以两个小球组成的系统的机械能守恒；丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变时有部分机械能转化为内能，机械能不守恒；丁图中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，系统机械能守恒．■ 规律总结机械能是否守恒的判断方法有：(1)利用机械能的定义判断：如果物体动能、势能之和不变，则机械能守恒；(2)利用机械能守恒条件判断：只有重力对单一物体做功，则机械能守恒；只有重力和(弹簧、橡皮筋)弹力对系统做功，或重力和弹力以外的其他力对系统做的总功为零，则系统的机械能守恒；(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，或系统内没有机械能与其他形式能的转化，则系统机械能守恒，注意弹簧弹力对物体做功时，弹簧和物体系统的机械能守恒，物体的机械能并不守恒．考点二 单体机械能守恒的应用[2016·兰州诊断考试] 如图5153所示，竖直平面内固定着由两个半径均为R 的四分之一圆弧构成的细管道ABC ，圆心连线O 1O 2水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端靠着质量为m 的小球(小球的直径略小于管道内径)，长为R 的薄板DE 置于水平面上，板的左端D 到管道右端C 的水平距离为R .开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能，重力加速度为g .解除锁定，小球离开弹簧后进入管道 ，最后从C 点抛出(不计小球与水平面和管道间的摩擦)，小球经C 点时对轨道外侧的弹力的大小为mg .(1)求弹簧锁定时具有的弹性势能E p ；(2)试通过计算判断小球能否落在薄板DE 上．图5153[解析] (1)解除弹簧锁定后小球运动到C 点过程，弹簧和小球组成的系统机械能守恒，设小球到达C 点的速度大小为v 1，根据机械能守恒定律可得E p ＝2mgR ＋12mv 21小球经C 点时所受的弹力的大小为mg ，方向向下． 根据向心力公式得mg ＋mg ＝mv 21R解得E p ＝3mgR .(2)小球离开C 点后做平抛运动，设从抛出到落到水平面上的时间为t ，根据平抛运动规律有 2R ＝12gt 2s ＝v 1t ＝22R所以小球不能落在薄板DE 上．如图5154所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，AB 段和BC 段均为半径为R 的四分之一圆弧，CD 段为平滑的弯管．一小球从管口D 处由静止释放，最后能够从A 端水平飞出落到地面上．则管口D 距离地面的高度必须满足的条件是( )图5154A ．等于2RB ．大于2RC ．大于2R 且小于52RD ．大于52R答案：B [解析] 要使小球从A 端水平抛出，其速度v 必须大于零．设管口D 距离地面的高度为H ，由机械能守恒定律得mgH ＝mg ·2R ＋12mv 2，解得H >2R ，选项B 正确．■ 规律总结机械能守恒定律是解答能量问题的基本方法之一，分析运动过程中物体的机械能是否守恒是解题的关键，在解决物体的运动问题时应优先考虑用能量方法，如曲线运动、含弹簧类运动问题等．应用时首先要对研究对象进行受力分析和运动分析，以确定在所研究的过程中机械能是否守恒，再选合适的表达式求解．应用机械能守恒定律求解多过程问题时可对全过程应用机械能守恒定律列式求解．考点三(多选)[2016·河南开封二模] 如图5155所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P 连接，另一端与物体A 相连，物体A 置于光滑水平桌面上，A 右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连．开始时托住B ，让A 处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直至B 获得最大速度．下列有关该过程的分析正确的是( )图5155A ．物体B 受到细线的拉力保持不变B ．物体A 与物体B 组成的系统机械能不守恒C ．物体B 机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量D ．当弹簧的拉力等于物体B 的重力时，物体A 的动能最大 答案：BD[解析] 以A 、B 组成的系统为研究对象，有m B g －kx ＝(m A ＋m B )a .由于弹簧的伸长量x 逐渐变大，从开始到B 速度达到最大的过程中B 加速度逐渐减小，由m B g －F T ＝m B a 可知，此过程中细线的拉力逐渐增大，是变力，A 错误．物体A 、弹簧与物体B 组成的系统机械能守恒，而物体A 与物体B 组成的系统机械能不守恒，B 正确．物体B 机械能的减少量等于物体A 机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故物体B 机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，C 错误．当弹簧的拉力等于物体B 的重力时，物体B 速度最大，物体A 的动能最大，D 正确．■ 题根分析系统机械能守恒时，内部的相互作用力分为两类：(1)刚体产生的弹力：如轻绳产生的弹力，斜面产生的弹力，轻杆产生的弹力等．(2)弹簧产生的弹力：系统中有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转化． 轻绳的拉力、斜面的弹力、轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能守恒．虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹簧在内的系统机械能也守恒．对系统应用机械能守恒定律列方程的角度：(1)系统初态的机械能等于末态的机械能；(2)系统中某些物体减少的机械能等于其他物体增加的机械能．■ 变式网络1 (多选)[2015·全国卷Ⅱ] 如图5156所示，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上，a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g .则( )图5156A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功B ．a 落地时速度大小为2ghC ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于gD ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg答案：BD [解析] 首先，把a 、b 看成一个系统，运动中机械能守恒，b 先加速后减速，a 到达地面时b 速度为0，故杆对b 先做正功后做负功，A 错误；根据系统机械能守恒，a 的重力势能的减少量等于a 动能的增加量，即mgh ＝12mv 2，得v ＝2gh ，B 正确；a 下落时，后来受杆的沿杆向下的拉力，故a 的加速度大于g ，C 错误；a 刚开始的一段下落过程中杆对a 做负功，a 的机械能减少，a 的机械能最小时杆对a 的作用力为0，此时杆对b 也没有力的作用，故b 对地面的压力大小为mg ，D 正确．2 如图5157所示，a 、b 两物块质量分别为m 、2m ，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦．开始时，a 、b 两物块距离地面高度相同，用手托住物块b ，然后由静止释放，直至a 、b 物块间高度差为h .在此过程中，下列说法正确的是( )图5157A ．物块a 的机械能守恒B ．物块b 机械能减少了23mghC ．物块b 重力势能的减少量等于它克服细绳拉力所做的功D ．物块a 重力势能的增加量小于其动能增加量答案：B [解析] 物块a 受重力、绳的拉力作用，其中拉力做正功，则a 的机械能增加，选项A 错误；物块b 受重力、绳的拉力作用，其中拉力做负功，则b 的机械能减少，a 、b 系统只有重力做功，其机械能守恒，有(2m －m )g h 2＝12(m ＋2m )v 2，即gh ＝3v 2；b 机械能减少了ΔE ＝2mg ·h 2－12×(2m )v 2＝23mgh ，选项B正确；a 的重力势能的增加量mg ·h 2>12mv 2，选项D 错误；根据动能定理，对b 有－W T ＋W G ＝12mv 2，即W G ＝12mv2＋W T ，选项C 错误．考点四 非质点的机械能守恒问题如图5158所示，AB 为光滑的水平面，BC 是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动．AB 、BC 间用一小段光滑圆弧轨道相连．一条长为L 的均匀柔软链条开始时静止放在ABC 面上，其一端D 至B 的距离为L －a .现自由释放链条，则：(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由； (2)链条的D 端滑到B 点时，链条的速率为多大？图5158[解析] (1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC 和AB 面均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件．(2)设链条质量为m ，选AB 面为零势能面，由机械能守恒定律可得－a L mg ·a 2sin α＝12mv 2－mg ·L2sin α 解得v ＝g L（L 2－a 2）sin α.如图5159所示，粗细均匀，两端开口的U 形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h ，管中液柱总长度为4h ，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )图5159A.18gh B.16gh C.14gh D.12gh 答案：A ■ 规律总结在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒．一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解．【教师备用习题】1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( )A.π6 B.π4C.π3 D.5π12[解析] B 由题意可知mgh ＝12mv 20，又由动能定理得 mgh ＝12mv 2－12mv 20，根据平抛运动可知v 0是v 的水平分速度，那么cos α＝v 0v ＝22，其中α为物块落地时速度方向与水平方向的夹角，解得α＝45°，B 正确．2．(多选)[2016·广西质量检测] 如图所示，半径为R 的光滑圆环固定在竖直平面内，C 是圆环最低点．两个质量均为m 的小球A 、B 套在圆环上，用长为2R 的轻杆相连，轻杆从竖直位置由静止释放，重力加速度为g ，则( )A ．当轻杆水平时，A 、B 两球的总动能最大 B ．A 球或B 球在运动过程中机械能守恒C ．A 、B 两球组成的系统机械能守恒D ．B 球到达C 点时的速度大小为gR[解析] ACD 轻杆从竖直位置由静止释放，由于圆环光滑，由机械能守恒定律得，两球组成的系统在运动过程中机械能守恒，当轻杆运动到最低位置，即轻杆水平时，A 、B 两球的总动能最大，选项A 、C 正确．在运动过程中，轻杆对两球有作用力，且作用力做功，所以A 球或B 球在运动过程中机械能不守恒，选项B 错误．轻杆从竖直位置由静止释放，当B 球运动到C 点时，B 球重力势能减少量为mgR (1－cos 45°)，A 球重力势能减少量为mgR cos 45°，由机械能守恒定律，有mgR (1－cos 45°)＋mgR cos 45°＝12mv 2A ＋12mv 2B ，v A cos 45°＝v B cos 45°，联立解得v B ＝gR ，选项D 正确．3．(多选)[2015·南昌十校二模] 如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d ，杆上的A 点与定滑轮等高，杆上的B 点在A 点下方距离为d 处．现将环从A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )A ．环到达B 处时，重物上升的高度H ＝d2B ．环到达B 处时，环与重物的速度大小相等C ．环从A 到B ，环减少的机械能等于重物增加的机械能D ．环能下降的最大高度为43d[解析] CD 环到达B 处时，重物上升的高度H ＝(2－1)d ，选项A 错误；将环在B 处时的速度v B 沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，环沿绳子方向上的分速度等于重物的速度v ′，有v B cos 45°＝v ′，选项B 错误；环和重物组成的系统在运动过程中，只有重力做功，所以系统机械能守恒，环减少的机械能等于重物增加的机械能，选项C 正确；设环下降的最大高度为h ，则此时环和重物的速度均为零，重物上升的高度为h ′＝h 2＋d 2－d ，由机械能守恒定律得mgh －2mgh ′＝0，解得h ＝43d ，选项D 正确．4．[2016·江苏省如皋中学模拟] 飞机迫降后，打开紧急出口，狭长的气囊会自动充气，生成一条连接出口与地面的斜面，乘客可从斜面滑行到地上．乘客在粗糙的气囊上沿斜面下滑过程中( )A ．乘客的机械能减少B ．乘客的机械能守恒C ．乘客的机械能增加D ．乘客重力势能的减少量等于动能的增加量[解析] A 乘客在粗糙的气囊上沿斜面下滑过程中，要克服摩擦力做功，根据功能关系可知，乘客的机械能减少，选项A 正确，选项B 、C 错误．乘客的重力势能转化为动能和内能，所以乘客重力势能的减少量大于动能的增加量．选项D 错误．5．(多选)[2016·苏北四市高三调研] 如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r 的相同小球，各球编号如图．斜面与水平轨道OA 平滑连接，OA 长度为6r .现将六个小球由静止同时释放，小球离开A 点后均做平抛运动，不计一切摩擦．则在各小球运动过程中，下列说法正确的是( )A ．球1的机械能守恒B ．球6在OA 段机械能增大C ．球6的水平射程最小D ．六个球落地点各不相同[解析] BC 当所有球都在斜面上运动时机械能守恒，当有球在水平面上运动时，后面球要对前面的球做功，前面的小球机械能不守恒，选项A 错误；球6在OA 段由于球5的推力对其做正功，其机械能增大，选项B 正确；由于球6离开A 点的速度最小，所以其水平射程最小，选项C 正确；当1、2、3小球均在OA 段时，三球的速度相同，故从A 点抛出后，三球落地点也相同，选项D 错误．。
[考试标准]一、重力势能和弹性势能1．重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．2．重力做功与重力势能变化的关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加；物体从位置A 到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即W G＝－ΔE p.3．弹力做功与弹性势能的关系：弹力对物体做正功，弹性势能减少，弹力对物体做负功，弹性势能增加，弹力对物体做的功等于弹性势能的减少量．二、机械能守恒定律1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．2．条件(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化．[深度思考]判断下列说法是否正确．(1)物体速度增大时，其机械能可能在减小．(√)(2)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．(×)(3)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．(×)(4)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．(√)1．关于重力做功，下列说法不正确的是()A．重力做正功，物体的重力势能一定减小B．重力做负功，重力势能一定增加C．重力做负功，可以说成物体克服重力做功D．重力做正功，物体的动能一定增加答案 D2．关于弹性势能，下列说法中正确的是( ) A ．当弹簧变长时弹性势能一定增大 B ．当弹簧变短时弹性势能一定减小C ．在拉伸长度相同时，k 越大的弹簧的弹性势能越大D ．弹簧在拉伸时弹性势能一定大于压缩时的弹性势能 答案 C3．如图1所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F 作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( ) 图1 A ．弹簧的弹性势能逐渐减少 B ．弹簧的弹性势能逐渐增加 C ．弹簧的弹性势能先增加再减少 D ．弹簧的弹性势能先减少再增加 答案 D4．下列运动中，物体机械能守恒的是( ) A ．做平抛运动的物体 B ．被气球吊着加速上升的物体 C ．在斜面上匀速下滑的物体D ．以45g 的加速度在竖直方向上匀加速下降的物体答案 A5．运动会中的投掷链球、铅球、铁饼和标枪等体育比赛项目都是把物体斜向上抛出的运动，如图2所示，若不计空气阻力，这些物体从被抛出到落地的过程中( )图2A ．物体的机械能先减小后增大B ．物体的机械能先增大后减小C ．物体的动能先增大后减小，重力势能先减小后增大D ．物体的动能先减小后增大，重力势能先增大后减小 答案 D命题点一 机械能守恒的判断和应用例1 如图3所示，小球质量为m ，大小不计，右边圆轨道半径为R ，小球从h ＝3R 处沿斜面滑下后，又沿圆轨道滑到最高点P 处，不计任何摩擦．求： (1)小球通过P 点的速度大小．(2)小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力．图3解析 (1)根据机械能守恒定律：mg (h －2R )＝12m v 21 解得小球通过P 点的速度v 1＝2gR (2)设小球通过最低点的速度为v2 根据机械能守恒定律mgh ＝12m v 22根据牛顿第二定律F N －mg ＝m v 22R解得F N ＝7mg ，由牛顿第三定律可知故小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg ，方向竖直向下．答案 (1)2gR (2)7mg ，方向竖直向下用机械能守恒解题的三种观点 1．守恒观点(1)表达式：E k1＋E p1＝E k2＋E p2或E 1＝E 2.(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面． 2．转化观点(1)表达式：ΔE k ＝－ΔE p .(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能． 3．转移观点(1)表达式：ΔE A 增＝ΔE B 减．(2)意义：若系统由A 、B 两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A 部分机械能的增加量等于B 部分机械能的减少量． 题组阶梯突破1．如图4所示，一小球从光滑圆弧轨道顶端由静止开始下滑，进入光滑水平面又压缩弹簧．在此过程中，小球重力势能和动能的最大值分别为E p 和E k ，弹簧弹性势能的最大值为E p ′(以水平面为零势能面)，则 图4 它们之间的关系为( )A ．E p ＝E k ＝E p ′B ．E p >E k >E p ′C ．E p ＝E k ＋E p ′D ．E p ＋E k ＝E p ′答案 A2．如图5所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，不计空气阻力，下列关于能量的叙述中正确的是( ) A ．重力势能和动能之和总保持不变 B ．重力势能和弹性势能之和总保持不变 C ．动能和弹性势能之和保持不变图5D ．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变 答案 D解析 在弹簧压缩到最短的整个过程中，小球受到了重力和弹簧的弹力，且只有这两个力在做功，系统满足机械能守恒的条件，故重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变，选项D 正确，选项A 、B 、C 错误．3．如图6所示，在水平桌面上的A 点有一个质量为m 的物体，以初速度v 0被抛出，不计空气阻力，当它到达B 点时，其动能为( ) A.12m v 20＋mgH图6B.12m v 20＋mgh 1 C ．mgH －mgh 2 D.12m v 20＋mgh 2 答案 B解析 不计空气阻力，只有重力做功，从A 到B 过程，由机械能守恒定律可得：mgh 1＝E k B －12m v 20，所以E k B ＝12m v 20＋mgh 1，故选B.4．(2016·温州期末)如图7所示，把质量为0.5 kg 的石块从离地面10 m 高处以30°角斜向上方抛出，初速度为v 0＝8 m/s .不计空气阻力，以地面为零势能参考平面，g 取10 m/s 2.求： (1)石块抛出时的动能； (2)石块落地时的机械能；图7(3)石块的动能恰好等于重力势能时，石块离地的高度． 答案 (1)16 J (2)66 J (3)6.6 m解析 (1)石块抛出时的动能为：E k ＝12m v 20＝12×0.5×82 J ＝16 J ； (2)根据机械能守恒定律知，石块落地时的机械能等于抛出时的机械能，为： E ＝12m v 20＋mgh ＝16 J ＋0.5×10×10 J ＝66 J ； (3)石块的动能恰好等于重力势能时，设石块离地的高度为H ，速度大小为v ，由机械能守恒定律有：E ＝mgH ＋12m v 2据题有：mgH ＝12m v 2解得：H ＝6.6 m.命题点二 含弹簧类机械能守恒问题例2 如图8所示，半径为R 的光滑半圆形轨道CDE 在竖直平面内与光滑水平轨道AC 相切于C 点，水平轨道AC 上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧自由端B 与轨道最低点C 的距离为4R ，现用一个小球压缩弹簧(不拴接)，当弹簧的压缩量为l 时，释放小球，小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E ；之后再次从B 点用该小球压缩弹簧，释放后小球经过BCDE 轨道抛出后恰好落在B 点，已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧始终处在弹性限度内，求第二次压缩时弹簧的压缩量．图8解析 设第一次压缩量为l 时，弹簧的弹性势能为E p .释放小球后弹簧的弹性势能转化为小球的动能，设小球离开弹簧时速度为v 1 由机械能守恒定律得E p ＝12m v 21设小球在最高点E 时的速度为v 2，由临界条件可知 mg ＝m v 22R，v 2＝gR由机械能守恒定律可得12m v 21＝mg ×2R ＋12m v 22 以上几式联立解得E p ＝52mgR设第二次压缩时弹簧的压缩量为x ，此时弹簧的弹性势能为E p ′小球通过最高点E 时的速度为v 3，由机械能守恒定律可得：E p ′＝mg ·2R ＋12m v 23 小球从E 点开始做平抛运动，由平抛运动规律得4R ＝v 3t,2R ＝12gt 2，解得v 3＝2gR ，解得E p ′＝4mgR由已知条件可得E p ′E p ＝x 2l 2，代入数据解得x ＝2105l .答案 2105l含弹簧类机械能守恒的处理方法1．物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中，在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，物体的机械能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．2．若还有其他外力和内力做功，这些力做功的代数和等于系统机械能改变量．做功之和为正，系统总机械能增加，反之减少．题组阶梯突破5.(2015·浙江9月选考·11)如图9所示，轻质弹簧下悬挂一个小球，手掌托小球使之缓慢上移，弹簧恢复原长时迅速撤去手掌使小球开始下落．不计空气阻力，取弹簧处于原长时的弹性势能为零．撤去手掌后，下列说法正确的是()A．刚撤去手掌瞬间，弹簧弹力等于小球重力B．小球速度最大时，弹簧的弹性势能为零图9 C．弹簧的弹性势能最大时，小球速度为零D．小球运动到最高点时，弹簧的弹性势能最大答案 C6．如图10所示，置于足够长斜面上的盒子A内放有光滑球B，B恰与A前、后壁接触，斜面光滑且固定于水平地面上．一轻质弹簧的一端与固定在斜面上的木板P拴接，另一端与A相连，整个装置处于静止状态．图10今用外力沿斜面向下推A使弹簧处于压缩状态，然后由静止释放，则从释放盒子直至其获得最大速度的过程中()A．弹簧弹性势能的减少量大于A和B的机械能的增加量B．弹簧的弹性势能一直减小直至为零C．A所受重力和弹簧弹力做功的代数和小于A的动能的增加量D．A对B做的功等于B的机械能的增加量答案 D解析 弹簧、盒子A 、光滑球B 和地球组成的系统机械能守恒，从释放盒子直至其获得最大速度的过程中，弹簧弹性势能的减少量等于A 和B 的机械能的增加量，弹簧的弹性势能一直减小，但速度最大时弹簧弹性势能不等于零，故选项A 、B 均错误；由动能定理可知，A 所受重力、B 对A 的弹力和弹簧弹力做功的代数和等于A 的动能增加量，又由于B 对A 的弹力做负功，所以A 所受重力和弹簧弹力做功的代数和大于A 的动能的增加量，故选项C 错误；A 对B 做的功等于B 的机械能的增加量，故选项D 正确．7．如图11所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m 的小球A ，若将小球A 从弹簧原长位置由静止释放，小球A 能够下降的最大高度为h .若将小球A 换为质量为2m 的小球B ，仍从弹簧原长位置由静止释放，已知重力加速度为g ，不计空气阻力，则小球B 下降h 时的速度为( )图11A.2ghB.ghC.gh 2D ．0答案 B解析 对弹簧和小球A ，根据机械能守恒定律得弹性势能E p ＝mgh ；对弹簧和小球B ，根据机械能守恒定律有E p ＋12×2m v 2＝2mgh ，得小球B 下降h 时的速度v ＝gh ，只有选项B 正确．8．如图12所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB 与水平面BC 平滑连接于B 点，BC 右端连接内壁光滑、半径r ＝0.2 m 的四分之一细圆管CD ，管口D 端正下方直立一根劲度系数为k ＝100 N /m 的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D 端平齐．一个质量为1 kg 的小球放在曲面AB 上，现从距BC 的高度h 处静止释放小球，小球进入管口C 端时，它对上管壁有F N ＝2.5mg 的相互作用力，通过CD 后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能为E p ＝0.5 J ．取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图12(1)小球到达C 点时的速度大小； (2)在压缩弹簧过程中小球的最大动能E km . 答案 (1)7 m/s (2)6 J解析 (1)小球刚过C 点时，由牛顿第二定律有： F N ＋mg ＝m v 2Cr代入数据解得：v C ＝7 m/s(2)在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零．设此时小球离D 端的距离为x 0，则有：kx 0＝mg由机械能守恒定律有：mg (r ＋x 0)＋12m v 2C ＝E km ＋E p得：E km ＝6 J.(建议时间：40分钟)1．下列关于机械能守恒的说法中正确的是( ) A ．做匀速运动的物体，其机械能一定守恒 B ．物体只受重力，机械能才守恒C ．做匀速圆周运动的物体，其机械能一定守恒D．除重力做功外，其他力不做功，物体的机械能一定守恒答案 D解析匀速运动所受合外力为零，但除重力外可能有其他力做功，如物体在阻力作用下匀速向下运动，其机械能减少了，A错．物体除受重力或弹力也可受其他力，只要其他力不做功或做功的代数和为零，机械能也守恒，B错．匀速圆周运动物体的动能不变，但势能可能变化，故C错．由机械能守恒条件知，选项D正确．2．(2016·衢州市调研)如图1所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是()图1A．重力势能减少，弹性势能增大B．重力势能增大，弹性势能减少C．重力势能减少，弹性势能减少D．重力势能不变，弹性势能增大答案 A解析弹簧向下压缩的过程中，弹簧压缩量增大，弹性势能增大；重力做正功，重力势能减少，故A正确．3．(2015·温州十校联合体联考)如图2所示，质量均为m的两个物体甲和乙从同一水平面下降相同高度h，甲物体竖直向下运动，乙物体沿斜面下滑l.下列说法正确的是()A ．重力对甲做功mghB ．重力对乙做功mglC ．甲的重力势能增加mgh图2D ．乙的重力势能减少mgl答案 A解析 由功的概念和重力做功的特点可知，两种情况下重力做功均为mgh ，A 正确，B 错误；甲、乙的重力势能均减少了mgh ，C 、D 错误．4．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( ) A ．一样大 B ．水平抛的最大 C ．斜向上抛的最大 D ．斜向下抛的最大 答案 A解析 由机械能守恒定律mgh ＋12m v 21＝12m v 22知，落地时速度v 2的大小相等，故A 正确． 5．如图3所示，A 、B 两球质量相等，A 球用不能伸长的轻绳系于O 点，B 球用轻弹簧系于O ′点，O 与O ′点在同一水平面上，分别将A 、B 球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则( )图3A ．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等B ．两球到达各自悬点的正下方时，A 球动能较大C ．两球到达各自悬点的正下方时，B 球动能较大D ．两球到达各自悬点的正下方时，受到的拉力相等 答案 B解析 整个过程中两球减少的重力势能相等，A 球减少的重力势能完全转化为A 球的动能，B 球减少的重力势能转化为B 球的动能和弹簧的弹性势能，所以A 球的动能大于B 球的动能，所以B 正确，A 、C 错误；在悬点正下方位置根据牛顿第二定律，小球所受拉力与重力的合力提供向心力，则A 球受到的拉力较大，所以D 错误．6．如图4是娱乐场所中的一种滑梯，滑梯在最底端是处于水平切线方向，质量为M 、可看成质点的一名滑梯爱好者从高为h 的滑梯顶端静止下滑，忽略所有摩擦及阻力，则下列关于滑梯爱好者在下滑过程中的说法正确的是( )图4A ．机械能不守恒B ．滑梯爱好者滑到底层末端时的速度大小为v ＝2ghC ．滑梯爱好者滑到底层末端时对滑梯的压力为MgD ．滑梯爱好者到达底层末端时处于失重状态 答案 B解析 由于忽略所有摩擦及阻力，在运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，A 错误；因为Mgh ＝12M v 2，可知滑梯爱好者滑到底端时的速度大小为v ＝2gh ，B 正确；由于到达底端时是圆弧，合力用来提供做圆周运动的向心力，因此支持力大于重力，C 错误；由于合力向上，因此滑梯爱好者到达底层末端时处于超重状态，D 错误．7．物体做自由落体运动，E k 代表动能，E p 代表势能，h 代表下落的距离，以水平地面为零势能面(不计一切阻力)，下列图象能正确反映各物理量之间关系的是( )答案 B解析 由机械能守恒定律得E p ＝E －E k ，可知势能与动能关系的图象为倾斜的直线，C 错；由动能定理得E k ＝mgh ，则E p ＝E －mgh ，故势能与h 关系的图象也为倾斜的直线，D 错；E p ＝E －12m v 2，故势能与速度关系的图象为开口向下的抛物线，B 对；E p ＝E －12mg 2t 2，势能与时间关系的图象也为开口向下的抛物线，A 错．8．如图5，一棵树上与A 等高处有两个质量均为0.2 kg 的苹果，其中一个落入B 处的篮子里，另一个落到沟底的D 处．若以B 处为零势能参考面，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2)( )图5A ．落入篮子时苹果的重力势能为2.8 JB ．落入沟底时苹果的重力势能为－6.0 JC ．刚落入篮子时的苹果动能等于刚落入沟底时的苹果动能D ．刚落入篮子时的苹果机械能等于刚落入沟底时的苹果机械能 答案 D解析 不计空气阻力，两苹果只有重力做功，机械能分别守恒，故刚落入篮子时苹果的机械能等于刚落入沟底时苹果的机械能，选项D 正确；落入篮子时苹果的重力势能E p ＝mgh ＝0，选项A 错误；落入沟底时苹果的重力势能E p ′＝mgh ′＝－mgh BD ＝－8.8 J ，选项B 错误；因苹果落入沟底的过程重力做功大于苹果落入篮子的过程重力做功，由动能定理可知刚落入篮子时苹果的动能小于刚落入沟底时苹果的动能，选项C 错误．9．(2015·浙江10月选考·8)质量为30 kg 的小孩坐在秋千板上，秋千板离系绳子的横梁的距离是2.5 m ．小孩的父亲将秋千板从最低点拉起1.25 m 高度后由静止释放，小孩沿圆弧运动至最低点时，她对秋千板的压力约为( ) A ．0 B ．200 NC ．600 ND ．1 000 N答案 C解析 小孩运动到最低点的过程中， 由机械能守恒定律：mgh ＝12m v 2①在最低点，有F N －mg ＝m v 2L ②由①②得：F N ＝600 N.由牛顿第三定律知，小孩对秋千板的压力F N ′＝F N ＝600 N.10．如图6所示，细绳一端固定于O 点，另一端系一质量为m 的小球．现将小球从离地h 高处的A 点由静止释放，运动到最低点B 时，小球的速度大小为v .若以地面为参考平面，不计空气阻力，小球运动到最低点时的机械能为( )图6A ．mgh B.12m v 2 C.12m v 2＋mgh D.12m v 2－mgh答案 A解析 小球从A 点运动到B 点的过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，根据机械能守恒定律得，小球在B 点的机械能等于在A 点的机械能，即E B ＝mgh ，选项A 正确，选项B 、C 、D 错误．11．取水平地面为重力势能零面．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( ) A.π6 B.π4C.π3D.5π12答案 B解析 设物块水平抛出的初速度为v 0，高度为h ，由题意知12m v 20＝mgh ，即v 0＝2gh .物块在竖直方向上的运动是自由落体运动，落地时的竖直分速度v y ＝2gh ＝v x ＝v 0，则该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角θ＝π4，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．12.如图7所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A．圆环的机械能守恒图7 B．弹簧弹性势能变化了3mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案 B解析圆环在下落过程中弹簧的弹性势能增加，由能量守恒定律可知圆环的机械能减少，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，故A、D错误；圆环下滑到最大距离时速度为零，但是加速度不为零，即合外力不为零，故C错误；圆环重力势能减少了3mgL，由能量守恒定律知弹簧弹性势能增加了3mgL，故B正确．13．(2016·乐清市期末)如图8所示，平台离水平地面的高度为H＝5 m，一质量为m＝1 kg 的小球从平台上A点以某一速度水平抛出，测得其运动到B点时的速度为v B＝10 m/s.已知B 点离地面的高度为h＝1.8 m，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，以水平地面为零势能面．问：图8(1)小球从A点抛出时的机械能为多大？(2)小球从A点抛出时的初速度v0为多大？(3)B点离竖直墙壁的水平距离L为多大？答案 (1)68 J (2)6 m/s (3)4.8 m解析 (1)小球在运动的过程中，机械能守恒，则A 点的机械能与B 点的机械能相等， 则E A ＝E B ＝12m v 2B ＋mgh ＝(12×1×100＋10×1.8) J ＝68 J.(2)根据E A ＝mgH ＋12m v 20得，代入数据解得v 0＝6 m/s.(3)根据H －h ＝12gt 2得，t ＝2(H －h )g＝2×(5－1.8)10s ＝0.8 s ， 则B 点离竖直墙壁的水平距离L ＝v 0t ＝6×0.8 m ＝4.8 m.14.如图9所示，质量为m 的物体，以某一初速度从A 点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B 时的速度为3gR ，求： (1)物体在A 点时的速度大小； (2)物体离开C 点后还能上升多高． 答案 (1)3gR (2)3.5R图9解析 (1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B 点为零势能点．设物体在B 处的速度为v B ，则mg ·3R ＋12m v 20＝12m v 2B ，得v 0＝3gR .(2)设从B 点上升到最高点的高度为H B ， 由机械能守恒可得mgH B ＝12m v 2B ， H B ＝4.5R所以离开C 点后还能上升H C ＝H B －R ＝3.5R .15．如图10所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R ＝0.4 m 的半圆形轨道CD ，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与竖直半圆轨道在C 点平滑连接．置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B 处为弹簧的自然状态．将一个质量为m ＝0.8 kg 的小球放在弹簧的右侧后，用力水平向左推小球而压缩弹簧至A 处，然后将小球由静止释放，小球运动到C处时对轨道的压力大小为F 1＝58 N ．水平轨道以B 处为界，左侧AB 段长为x ＝0.3 m ，与小球间的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC 段光滑．g ＝10 m/s 2，求：图10(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；(2)小球运动到轨道最高处D 点时对轨道的压力． 答案 (1)11.2 J (2)10 N ，方向竖直向上解析 (1)对小球在C 处，由牛顿第二定律及向心力公式得F 1－mg ＝m v 21R，v 1＝(F 1－mg )Rm ＝(58－0.8×10)×0.40.8m /s ＝5 m/s.从A 到B 由动能定理得E p －μmgx ＝12m v 21，E p ＝12m v 21＋μmgx ＝12×0.8×52 J ＋0.5×0.8×10×0.3 J ＝11.2 J. (2)从C 到D ，由机械能守恒定律得： 12m v 21＝2mgR ＋12m v 22， v 2＝v 21－4gR ＝52－4×10×0.4 m /s ＝3 m/s ，由于v 2＞gR ＝2 m/s ，所以小球在D 处对轨道外壁有压力．小球在D 处，由牛顿第二定律及向心力公式得F 2＋mg ＝m v 22R ，F 2＝m ⎝⎛⎭⎫v 22R －g ＝0.8×⎝⎛⎭⎫320.4－10 N ＝10 N.由牛顿第三定律可知，小球在D点对轨道的压力大小为10 N，方向竖直向上．。
专题6.2 机械能守恒定律及其应用（五）高效演练1．下列关于机械能守恒的说法中，正确的是()A．若只有重力做功，则物体机械能一定守恒B．若物体的机械能守恒，一定是只受重力C．做匀变速运动的物体机械能一定守恒D．物体所受合力不为零，机械能一定守恒【答案】A.2．不计空气阻力，下列运动的物体中机械能不守恒的是()A．起重机吊起物体匀速上升B．物体做平抛运动C．圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动D．一个轻质弹簧上端固定，下端系一个重物，重物在竖直方向上下振动(以物体和弹簧整体为研究对象)【答案】A.【解析】起重机吊起物体匀速上升，物体的动能不变而势能增加，故机械能不守恒，A正确；物体做平抛运动，只有重力做功，机械能守恒，B错误；圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动，没有力做功，机械能守恒，C错误；一个轻质弹簧上端固定，下端系一个重物，重物在竖直方向上下振动，只有重力和弹力做功，机械能守恒，D错误．3. 在一次课外趣味游戏中，有四位同学分别将四个质量不同的光滑小球沿竖直放置的内壁光滑的半球形碗的碗口内侧同时由静止释放，碗口水平，如图所示．他们分别记下了这四个小球下滑速率为v时的位置，则这些位置应该在同一个()A．球面B．抛物面C．水平面D．椭圆面【答案】C【解析】.因半球形碗的内壁光滑，所以小球下滑过程中机械能守恒，取小球速率为v时所在1 的平面为零势能面，则根据机械能守恒定律得mgh＝mv2，因为速率v相等，所以高度相等，2- 1 -与小球的质量无关，即这些位置应该在同一个水平面上，C正确．4. 如图所示，在离水平地面一定高处水平固定一内壁光滑的圆筒，筒内固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度．现将一小球从地面以某一初速度斜向上抛出，刚好能水平进入圆筒中，不计空气阻力．下列说法中正确的是()A．弹簧获得的最大弹性势能小于小球抛出时的动能B．弹簧获得的最大弹性势能等于小球抛出时的动能C．小球从抛出到将弹簧压缩到最短的过程中机械能守恒D．小球抛出的初速度大小仅与圆筒离地面的高度有关【答案】A.【解析】小球从抛出到弹簧压缩到最短的过程中，只有重力和弹力做功，因此小球和弹簧组成1 1的系统机械能守恒，即mv20＝mgh＋E p，由此得到E p＜mv20，选项A正确，B、C错误；斜上抛2 2运动可分解为竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动，在竖直方向上有2gh＝v20sin2θ－2gh0(θ为v0与水平方向的夹角)，解得v0＝，由此可知，选项D错误．sin θ5．有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一根不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为()4v2 3v2A. B.g g2v2 4v2C. D.3g3g【答案】D.6. 如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg 的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝- 2 -0.1 m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是()A．整个下滑过程中A球机械能守恒B．整个下滑过程中B球机械能守恒2C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为J32D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为J3【答案】D7. (多选)如图所示，质量分别为m和2m的两个小球a和b，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在b球顺时针摆动到最低位置的过程中()A．b球的重力势能减少，动能增加，b球机械能守恒B．a球的重力势能增加，动能也增加，a球机械能不守恒C．a球、b球组成的系统机械能守恒D．a球、b球组成的系统机械能不守恒【答案】BC【解析】.b球从水平位置下摆到最低点过程中，a球升至最高点，重力势能增加，动能也增加，机械能增加．由于a、b系统只有重力做功，则系统机械能守恒，既然a球机械能增加，b球机械能一定减少．可见，杆对a球做了正功，杆对b球做了负功．所以，本题正确答案为B、C.(认为杆对小球的力沿杆的方向，对小球不做功，故两球机械能均守恒，从而错选A.)18.(多选)如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为4m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小．开始时a球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是()- 3 -A．a球下滑过程中机械能保持不变B．a、b两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变C．a、b滑到水平轨道上时速度为2gRmgRD．从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为2【答案】BD【解析】.由机械能守恒的条件得，a球机械能不守恒，a、b系统机械能守恒，所以A错误，B1正确．对a、b系统由机械能守恒定律得：mgR＋2mgR＝2×mv2，解得v＝3gR，C错误．对a21 mgR由动能定理得：mgR＋W＝mv2，解得W＝，D正确．2 29．(多选)如图所示，一根长为L不可伸长的轻绳跨过光滑的水平轴O，两端分别连接质量为2m 的小球A和质量为m的物块B，由图示位置释放后，当小球转动到水平轴正下方时轻绳的中点正好在水平轴O点，且此时物块B的速度刚好为零，则下列说法中正确的是()A．物块B一直处于静止状态B．小球A从图示位置运动到水平轴正下方的过程中机械能守恒C．小球A运动到水平轴正下方时的速度大于gLD．小球A从图示位置运动到水平轴正下方的过程中，小球A与物块B组成的系统机械能守恒【答案】CD10．(多选)重10 N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝1 m，bc＝0.2 m，那么在整个过程中()- 4 -A．滑块动能的最大值是6 JB．弹簧弹性势能的最大值是6 JC．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 JD．整个过程系统机械能守恒【答案】BCD.11．离心轨道是研究机械能守恒和向心力效果的一套较好的器材．如图甲所示，某课外研究小组将一个压力传感器安装在轨道圆周部分的最低点B处，他们把一个钢球从轨道上的不同高处由静止释放．得到多组压力传感器示数F和对应的释放点的高度h的数据后，作出了如图乙所示的Fh图象．不计各处摩擦，取g＝10 m/s2.(1)求该研究小组用的离心轨道圆周部分的半径；(2)当h＝0.6 m，小球到达圆周上最高点C点时，轨道对小球的压力多大？【答案】(1)0.2 m(2)4 Nmv2B【解析】(1)小钢球从A点滚至B点的过程中，由机械能守恒定律得mgh＝2小钢球在B点时，由牛顿第二定律得mv2BF－mg＝R2mgh 解得F＝＋mgR由题图乙可知：当h＝0时，F＝mg＝4 N；当h＝0.6 m时，F＝28 N，代入上式可得R＝0.2 m.(2)小钢球从A点运动至C点的过程中机械能守恒，则mv2Cmgh＝2mgR＋2小钢球在C点时，由牛顿第二定律得- 5 -mv2Cmg＋F N＝R解得F N＝4 N112．如图所示，一个半径为R的圆周的轨道，O点为圆心，B为轨道上的一点，OB与水平方4向的夹角为37°.轨道的左侧与一固定光滑平台相连，在平台上一轻质弹簧左端与竖直挡板相连，弹簧原长时右端在A点．现用一质量为m的小球(与弹簧不连接)压缩弹簧至P点后释放．已知重力加速度为g，不计空气阻力．(1)若小球恰能击中B点，求刚释放小球时弹簧的弹性势能；(2)试通过计算判断小球落到轨道时速度能否与圆弧垂直；(3)改变释放点的位置，求小球落到轨道时动能的最小值．4 3【答案】(1) mgR(2)不能垂直击中圆弧(3) mgR15 2- 6 -3 1解得E k＝mgR( 4sin θ)sin θ＋43 3 当sin θ＝时，取最小值E k＝mgR.3 2- 7 -。
第3讲机械能守恒定律及其应用一、重力做功与重力势能1．重力做功的特点(1)重力做功与运动路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能(1)表达式：E p＝mgh。
(2)重力势能的特点：①系统性：重力势能是物体和地球共有的；②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。
3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增加。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即W G＝－(E p2－E p1)＝－ΔE p。
二、弹性势能1．物体由于发生弹性形变而具有的能，叫弹性势能，弹性势能的大小与形变量和劲度系数有关。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加，即W弹＝－ΔE p。
三、机械能守恒定律1．内容在只有重力(或弹簧的弹力)做功的物体系统内，动能与重力势能(或弹性势能)可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2．表达式：E k1＋E p1＝E k2＋E p2。
3．机械能守恒的条件对单个物体，只有重力做功；对系统，只有重力或系统内的弹簧弹力做功。
(判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。
)1．被举到高处的物体的重力势能一定不为零。
(×)2．重力做正功物体的重力势能反而是减小的。
(√)3．弹簧弹力做正功时，弹性势能增加。
(×)4．物体受到的合外力为零，物体的机械能一定守恒。
(×)5．物体除受重力外还受其他力作用，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。
(√)1．(重力做功与重力势能变化的关系)有关重力势能的变化，下列说法中不正确的是( )A．物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1 J，但物体重力势能的增加量有可能不是1 JB．从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化是相同的C．从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的D．物体运动中重力做功是－1 J，但物体重力势能一定不是1 J解析根据重力做功特点与经过路径无关，与是否受其他力无关，只取决于始末位置的高度差，再根据重力做功等于重力势能的减少量可知B、C两项正确，且重力势能与零势能面选取有关，所以D项错误；当物体加速运动时克服重力做功少于1 J，重力势能增加少于1 J。
乐陵一中机械能守恒定律及其应用一、单选题（本大题共5小题，共30分）1.如图所示，小车静止在光滑水平面上，AB是小车内半圆弧轨道的水平直径，现将一小球从距A点正上方h高处由静止释放，小球由A点沿切线方向经半圆轨道后从B点冲出，在空中能上升的最大高度为0.8h，不计空气阻力．下列说法正确的是（）A. 在相互作用过程中，小球和小车组成的系统动量守恒B. 小球离开小车后做竖直上抛运动C. 小球离开小车后做斜上抛运动D. 小球第二次冲出轨道后在空中能上升的最大高度为0.6h【答案】B【解析】解：A、小球与小车组成的系统在水平方向不受外力，水平方向系统动量守恒，但系统所受的合外力不为零，所以系统动量不守恒，故A错误；BC、小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，可知系统水平方向的总动量保持为零．小球由B点离开小车时系统水平方向动量为零，小球与小车水平方向速度为零，所以小球离开小车后做竖直上抛运动，故B正确，C错误；D、小球第一次车中运动过程中，由动能定理得：mg（h-0.8h）-W f=0，W f为小球克服摩擦力做功大小，解得：W f=0.2mgh，即小球第一次在车中滚动损失的机械能为0.2mgh，由于小球第二次在车中滚动时，对应位置处速度变小，因此小车给小球的弹力变小，摩擦力变小，摩擦力做功小于0.2mgh，机械能损失小于0.2mgh，因此小球再次离开小车时，能上升的高度大于0.8h-0.2h=0.6h，故D错误；故选：B水平地面光滑，系统水平方向不受外力，系统的水平动量守恒，则小球离开小车后做竖直上抛运动，下来时还会落回小车中，根据动能定理求出小球在小车中滚动时摩擦力做功，第二次小球在小车中滚动时，对应位置处速度变小，因此小车给小球的弹力变小，摩擦力变小，摩擦力做功变小，据此分析．本题考查了动量守恒定律的应用，分析清楚小球与小车的运动过程是解题的关键，要知道系统水平方向动量是守恒，但总动量并守恒．应用动量守恒定律与能量守恒定律可以解题．2.一物体沿竖直方向运动，以竖直向上为正方向，其运动的v-t图象如图所示．下列说法正确的是（）A. 0～t1时间内物体处于失重状态B. t1～t2时间内物体机械能守恒C. t2～t3时间内物体向下运动D. 0～t2时间内物体机械能一直增大【答案】D【解析】解：A、以竖直向上为正方向，在v-t图象中，斜率代表加速度，可知0～t1时间内物体向上做加速运动，加速度的方向向上，处于超重状态。
