2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(11)

福建省福州第一中学2018-2019学年11月高考数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.2． 若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在12,z z y 12i z =-12z z （）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．3． 满足下列条件的函数中，为偶函数的是（ ）)(x f )(x f A.B.C. D.()||xf e x =2()x xf e e =2(ln )ln f x x =1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.4． 若关于的不等式的解集为，则参数的取值范围为（ ）x 07|2||1|>-+-++m x x R m A ．B ．C ．D ．),4(+∞),4[+∞)4,(-∞]4,(-∞【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度.5． 对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )A1B-1C0D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在横线上）6． 已知函数，则的值是_______，的最小正周期是______.22tan ()1tan x f x x =-()3f π()f x 【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．7． 已知函数，，则 ，的值域21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()21xg x =-((2))f g =[()]f g x 为．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.8． 函数（）满足，且在上的导函数满足，则不等式)(x f R x ∈2)1(=f )(x f R )('x f 3)('>x f 的解集为.123)2(-⋅<x x f 【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.9． 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，{}n a 1a m =n n S 2132n n S S n n ++=+n N *∀∈1n n a a +<恒成立，则的取值范围是_______．m 【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．10．已知向量满足，，，则与的夹角为.,42=2||=4)3()(=-⋅+【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.三、解答题（本大共6小题，共75分。

2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（）A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R 2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜03．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣487．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+48．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为．14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（）A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R【解答】解：集合A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，B={x|（）x＜1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜2}，A∪B=R．故选：D．2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0【解答】解：由z+3i=a+ai，得z=a+（a﹣3）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=0．故选：B．3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，由题意c=5，∵大方形的边长为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴满足题意的概率值为：1﹣=．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6π==9a5，∴a5=．则tan a5=tan=﹣．故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增【解答】解：当a≤0时，函数f（x）=x+在区间（0，+∞）内单调递增，当a＞0时，函数f（x）=x+在区间（0，]上单调递减，在[，+∞）内单调递增，故A，B均错误，∀a∈R，f（﹣x）=﹣f（x）均成立，故f（x）是奇函数，故C错误，故选：D．6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48=•24﹣r（﹣x）r，【解答】解：∵（2﹣x）4展开式的通项公式为T r+1∴（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为﹣•23+24=﹣16，故选：A．7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．其直观图如下所示：其表面积S=2×π•12+2××2×1++﹣2×1=2π+4+4，故选：B8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b【解答】解：根据对数函数的单调性可得log2018a＞log2018b正确，log b a＜log c a正确，∵a＞1，0＜c＜b＜1，∴a c＜a b，a﹣c＞0，∴（a﹣c）a c＜（a﹣c）a b，故C不正确，∵c﹣b＜0，∴（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b正确，故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？【解答】解：第1次执行循环体，S=3，应不满足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是S＜4095？，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，根据+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，可得，消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得x P+x Q=6，x P x Q=1，|PF|=x P+1，|QF|=x Q+1，|PF||QF|=x Q+x P+x P x Q+1=6+1+1=8，则+===1．故选：C．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1﹣a n）=a n+1，﹣（n+1）a n=1，即na n+1则有﹣==﹣，则有=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（a2﹣a1）+a1 =（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，＜2t2+at﹣1即3﹣＜2t2+at﹣1，∵对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，∴2t2+at﹣1≥3，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）=2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为0．【解答】解：向量=（1，λ），=（3，1），向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1），∵向量2﹣与=（1，2）共线，∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=（1，﹣），∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞===0．故答案为：0．14．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣3y+1的最大值是．【解答】解：实数x，y满足，对应的可行域如图：线段AB，z=x﹣3y+1化为：y=，如果z最大，则直线y=在y轴上的截距最小，作直线l：y=，平移直线y=至B点时，z=x﹣3y+1取得最大值，联立，解得B（，）．所以z=x﹣3y+1的最大值是：．故答案为：﹣．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为．【解答】解：过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则|AB|=，以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，可得：，∴c2﹣a2﹣2ac=0，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，e=1﹣舍去．故答案为：1+．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为4．【解答】解：设该项长方体底面边长为x米，由题意知其高是：=6﹣2x，（0＜x＜3）则长方体的体积V（x）=x2（6﹣2x），（0＜x＜3），V′（x）=12x﹣6x2=6x（2﹣x），由V′（x）=0，得x=2，且当0＜x＜2时，V′（x）＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜3时，V′（x）＜0，V（x）单调递减．∴体积函数V（x）在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为6﹣2x=2，∴其外接球的直径2R==2，∴R=，∴其外接球的体积V==4．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．【解答】解：（1）∵2acosA=bcosC+ccosB，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosA=，∴A=．（2）在△ABC中，由余弦定理的cosA==，解得AC=1+或AC=1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴=，∴AD=AC=．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵AD=DB，AE=EB，∴DE∥BB1，ED=，又M为CC1的中点，∴．∴四边形CDEM是平行四边形．∴CD∥EM，又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1∴CD∥平面MAB1；解（2）∵CA，CB，CC1两两垂直，∴以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，可得∠MAC为直线AM与平面ABC所成的角，设AC=1，tan，得CM=∴C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），M（0，0，）设AMB1的法向量为，可取又平面B1C1CB的法向量为．cos==．∵二面角A﹣MB1﹣C1为钝角，∴二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值为﹣．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．【解答】解：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为=，∴该校这次测试成绩在70分以上的约有：3000×=2000人．（2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是：82，88，93，94，共1种；另一类是：76，88，93，94，共3种．∴P（X≥87）==．②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：ξ01234 P∴E（ξ）==2．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）显然当点P位于短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，∴，解得，∴椭圆的方程为=1．（2）联立方程组，消元得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0，∵直线l恒过点（0，2），∴直线l与椭圆始终有两个交点，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，设MN的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=kx0+2=．∵|GM|=|GN|，∴GE⊥MN，设G（m，0），则k GE==﹣，∴m==，当k＞0时，9k+≥2=12．当且仅当9k=，即k=时取等号；∴﹣≤m＜0，当k＜0时，9k+≤﹣2=﹣12，当且仅当9k=，即k=﹣时取等号；∴0＜m≤．∴点G的横坐标的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，∴f′（x）=e x﹣≥0在区间[0，+∞）恒成立，即a≥e﹣x﹣x在[0，+∞）恒成立，记g（x）=e﹣x﹣x，则g′（x）=﹣e﹣x﹣1＜0恒成立，故g（x）在[0，+∞）递减，故g（x）≤g（0）=1，a≥1，故实数a的范围是[1，+∞）；（2）∵0＜a＜，f′（x）=e x﹣，记h（x）=f′（x），则h′（x）=e x+＞0，知f′（x）在区间（﹣a，+∞）递增，又∵f′（0）=1﹣＜0，f′（1）=e﹣＞0，∴f′（x）在区间（﹣a，+∞）内存在唯一的零点x0，即f′（x0）=﹣=0，于是x0=﹣ln（x0+a），当﹣a＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）min=f（x0）=﹣2a﹣ln（x0+a）=x0+a+﹣3a≥2﹣3a，当且仅当x0+a=1时取“=”，由0＜a＜得2﹣3a＞0，∴f（x）min=f（x0）＞0，即函数f（x）无零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，则其参数方程为，（α为参数）；直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，即ρsinθ+ρcosθ=3，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）若g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．【解答】（1）解：不等式f（x）+f（2+x）≤4，即为|x﹣2|+|x|≤4，当x≥2时，2x﹣2≤4，即x≤3，则2≤x≤3；当0＜x＜2时，2﹣x+x≤4，即2≤4，则0＜x＜2；当x≤0时，2﹣x﹣x≤4，即x≥﹣1，则﹣1≤x≤0．综上可得，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}；（2）证明：g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）=|x﹣2|﹣|x|，由|x﹣2|﹣|x|≤|x﹣2﹣x|=2，当且仅当x≤0时，取得等号，即g（x）≤2，则m=2，任意不相等的正实数a，b，可得af（b）+bf（a）=a|b﹣2|+b|a﹣2|=|ab﹣2a|+|ab﹣2b|≥|ab﹣2a﹣ab+2b|=|2a﹣2b|=2|a﹣b|=m|a﹣b|，当且仅当（a﹣2）（b﹣2）≤0时，取得等号，即af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．。

福建省福州第一中学2018-2019学年11月高考数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 2． 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 3． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.4． 若关于x 的不等式07|2||1|>-+-++m x x 的解集为R ，则参数m 的取值范围为（ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．)4,(-∞ D ．]4,(-∞【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度. 5． 对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )A1 B-1 C0 D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在横线上）6． 已知函数22tan ()1tan x f x x =-，则()3f π的值是_______，()f x 的最小正周期是______. 【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．7． 已知函数21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21x g x =-，则((2))f g = ，[()]f g x 的值域为 ．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 8． 函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f ，且)(x f 在R 上的导函数)('x f 满足3)('>x f ，则不等式123)2(-⋅<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.9． 已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +< 恒成立，则m 的取值范围是_______．【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．10．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.三、解答题（本大共6小题，共75分。

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题参考答案和评分标准本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A x x−=≤ − 集合2{20}Bx x x m =++≤。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。

答案 3m ≤− 解 集合11,2A xx=<≤要使A B ⊆，则21210m +×+≤，解得3m ≤−。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 []()1()f f x f x −=，则这样的函数有_______个. 答案：10 解 令()1{1,2,3}yf x =−∈，则()1f y y =+。

对(1)2f =以下三种情况都满足条件(2)(3)2;(2)(3)3;(2)(3)4f f f f f f ======，共3种。

同理对(2)3,(1)(3)f f f ==有3种情况；(3)4,(1)(2)f f f ==也有3种情况。

又(1)2,(2)3,(3)4f f f ===显然满足条件。

所以满足已知条件的函数共有331×+= 10个。

（可以看出这种映射的限制仅在值域上，因此也可对值域大小分类讨论。

）3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。

答案：34解 令sin ,11t x t =−≤≤ ，原式变形11,1y t t=++当0t ≠时13,22y ≤≤。

当0t =时，1y =。

所以y 的最大、最小值分别为3122，，其积为34。

4.已知数列{}n x满足：111n x x x n +=≥，则通项n x =__________。

答案解 将已知条件变形得22111111n n x x n n +−=−+，将上式从1到n 叠加得到 2211111n x x n−=−，即n x =。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，若1,60BC BDC =∠= ，球心到平面BDC 的距离为______________。

福建省莆田一中2018届高三数学模拟试卷（二）一：选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集是实数集R ，M },,21|{R x x x ∈+≤=N={1，2，3，4}，则（C R M ）∩N 等于（ ） A ．{4} B ．{3，4} C ．{2，3，4} D ．{1，2，3，4} 2．函数)](2cos[)2sin(2ππ+-=x x y 是 （ ）A ．周期为4π的奇函数B ．周期为4π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数3．已知函数x a y =和x ay 1=，其中10≠>a a 且，则它们反函数的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．直线x y =对称D ．原点对称4．已知双曲线的离心率e=2，且与椭圆182422=+y x 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．x y 31±=B ．x y 33±= C ．x y 3±=D ．x y 32±= 5. 若0,021,x y x y ≥≥+=且则223x y +的最小值为 （ ）A ．2B ．43C ．32D ．06. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）两点，如果x 1+x 2=6，则|AB|的长是 （ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 7．直线a 与平面α成θ角，a 是平面α的斜线，b 是平面α内与a 异面的任意直线，则a 与b 所成的角（ ）A ．最小值为θ，最大值为π－θB ．最小值为θ，最大值为2πC ．最小值为θ，无最大值D ．无最小值，最大值为2π8．【理】设n x x x x f )1()1(1)(2++++++= 的展开式中x 项的系数为nn T T n n n +∞→2lim ,则（ ）A ．81B ．41C ．21D ．1【文】定义在R 上的函数)(x f 的导数b kx x f +=')(，其中常数k>0，则函数)(x f 在 （ ）A ．（－∞，+∞）上递增B ． ],(kb--∞上递增C ． ),[+∞-kb上递增 D ．（－∞，+∞）上递减9．为宣传党的十六大会议精神，一文艺团体下基层进行宣传演出，准备的节目表中原有4个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添加2个小品节目,则不同的排列的方法有（ ） A ．20种 B ．25种 C ．30种 D ．32种 10．已知8079--=n n a n ，（+∈N n ），则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ） A.501,a a B.81,a aC. 98,a aD.509,a a11．已知关于x 的方程)0(024≠=+⋅+⋅a c b a x x 中，常数a 、b 同号而b 、c 异号，则下列结论中正确的是 （ ） A ．此方程无实根 B ．此方程有两个互异的负实根 C ．此方程有两异号实根 D ．此方程仅有一个实根 12．若]),[(||b a x e y x ∈=的值域为[1，e 2]，则点（a ，b ）的轨迹是图中的（ ） A ．线段AB 和OA B ．线段AB 和BC C ．线段AB 和DC D ．点A 和点C二:填空题 (本大题共有4小题，每小题4) 13. 如图所示，在两个椭圆盘中，指针在两个指针同时落在奇数所在 区域的概率是 。

2018年福州市高考模拟试卷（一）数学试题（文科）( 完卷时间：120 分钟 满分：150 分 )参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=- 球的表面积公式 S ＝24R π,其中R 表示球的半径 球的体积公式 V ＝343R π,其中R 表示球的半径注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．lg164lg5+的值为A ．2B ．4C ．－2D ．－42．已知()1{|10},{|(),1},2xM x x x N y y x =-<==>则 M N =A ．φB ．MC ．ND ．（1,12）3．等比数列}{n a 中，23a =，49a =，则8a =A ．81B ．81-C ． 2187D ． 2187-4．直线y =与圆22()12x a y -+=相切，则实数a 的值是 A ． 2 B ． 4C ．2或－2D ．4或- 45．设0,0x y >>, 则命题P ：1xy >是命题Q ：2x y +>的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6． 函数()22cos 14f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数7．若球内接正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，则球的表面积为A ．π3B ．π34C ． 12πD ． π48 8．已知函数()2f x ax bx =+的导函数图象如图所示，则A ．0,0a b <>B ． 0,0a b <<C ． 0,0a b >>D ． 0,0a b >< 9．已知函数)(x f y =的反函数112()log (1)fx x -=+，则方程1)(=x fA ．{}1B ．{}2 Ｃ．{}1- D ．{}2-10．从某校5名学生干部中选出4人参加福州市“环保”、“生态”、“资源”三个夏令营， 要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同方法 的种数为A ． 3445A C ⨯B ． 2445C C ⨯ C ． 331335A C C ⨯⨯D ． 332445A C C ⨯⨯ 11．在平面四边形ABCD 中，AB BC BC CD CD DA DA AB =⋅=⋅⋅=⋅,则四边形ABCD是A ．等腰梯形B ．菱形C ．矩形D ． 正方形 12．如图，已知F 1、F 2是双曲线222(0)x y a a -=>的两焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过焦点F 2作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，若1OA =，则双曲线的焦距等于A ．1BC ．D ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，满分 16 分．请把答案填在下面横线上． 13．8)2(-x 的展开式中，7x 的系数为_______________________；（用数字作答）14．直角坐标平面内，不等式组⎩⎨⎧≤-≥31||2y x y 所表示的平面区域的面积为 ；15．一个工厂生产了某种产品n 件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，其中乙生产线生产了80件产品．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则此产品件数n= ． 16．对于函数1()13xf x x+=-，设1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x +=，则2006(0)f = .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边的长，且32)4tan(--=+πB ．（1）求角B 的大小； （2）若b =c =ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某宾馆有16间客房，可分为四类：A 类客房有n 间且2n ≥,B 类客房有4间，C 类客房有6间，余下的是D 类客房．现有3位旅游者要入住宾馆，他们每人住一间客房，且入住各房间是等可能的．若3位旅游者入住同一类客房但不是D 类客房的概率是370，试求： （1）n 的值；（2）3位旅游者中至少有一人入住A 类客房的概率． 19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，AC BD O ⋂=,PA ＝2．（1）求证BD ⊥平面PAC ；（2）求PC 与平面PBD 所成角的大小（用反三角函数表示）；（3）求点C 到平面PBD 的距离．BP20．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10,a ≠公差0d ≠，且211S S =，242S S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设11,1n n b S +=-求证：数列{}n b 的前n 项和n T 34<．21．(本小题满分12分)1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆221182x y +=上的两点，且1212,,033x x y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， O 为坐标原点．（1）若点A 坐标为(3,1),求点B 的坐标；（2）在(1)的条件下,若点P 、Q 为椭圆上的两点，且PQ ∥OB,试问：线段PQ 能否被直线OA 平分? 若平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由.22．（本小题满分14分）已知函数3()y f x x ax ==-在x ∈[)∞+,1是一个单调函数， （1） 函数y=f(x)在x ∈[)∞+,1上能否是单调递减函数？请说明理由； （2） 若 f(x)在区间[)∞+,1上是单调递增函数，试求出实数a 的取值范围； （3） 设01x ≥，()01f x ≥且()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，求证：()00f x x =.2018年福州市高考数学（文科）模拟试卷（一）参考答案一、选择题13．-16 ； 14．8； 15．240； 16．－1. 三、解答题 17．（本小题满分12分） 【解】（1）∵32)4tan(--=+πB ，∴32tan 11tan --=-+BB ，解得3tan =B ，（4分） ∵),0(π∈B ，∴3B π=． （6分）（2）由正弦定理有,sin sin b c B A =又sin B =， ∴sin 2C ==，（8分）∵b c >，∴ B C >，∴4C π=，（9分）∴ABC ∆的面积()11sin sin 22S bc A bc B C ==+ ()1sin cos cos sin 21122bc B C B C =+⎫=⨯+⎪⎪⎝⎭=(134+ （12分）18．（本小题满分12分）【解】设（1） “3位旅游者入住A 类客房”为事件A ，“3位旅游者入住B 类客房”为事件B ，“3位旅游者入住C 类客房”为事件C ．由于3位旅游者入住客房的种数为316A ， （1分） 3364331616420(),()560560A A PB PC A A ====， （3分） 又 ∵A 、B 、C 为互斥事件，∴)()()()(C P B P A P C B A P ++=++， （5分）即3420()()070560560P A P A =++∴= （7分） ∴入住A 类客房旅游者不足3个，即3n <，∵2≥n ，∴2=n ． （8分） （2）记“3位旅游者入住的客房中至少有一间是A 类客房”为事件M ，则M 为“3位旅游者入住的客房中没有一间是A 类客房”．则3143167()1()120A P M P M A =-=-=（12分） 或()P M 12321321432143316720C C A C C A A ⋅+⋅== 注：若只考虑旅游者入住的房间的类型，用组合数求解概率也正确. 19．（本小题满分12分）【解】法一：(1) ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴PA ⊥BD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵A AC PA =⋂,∴BD ⊥平面PAC ． （3分） （2）∵BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC ，∴PC 在平面PBD 的射影是PO ，即PC 与平面PBD 所成角是CPO ∠， （5分） 由已知显然有CO=在Rt △P AC 中，PC=== 在Rt △P AO 中，PO==∴cos CPO ∠＝2222PO PC CO PO PC +-⋅=3=， ∵20π≤∠≤CPQ ，∴CPO∠=即PC 与平面PBD 的成角为CPO∠=（8分）（3）过C 作CE ⊥PO ，垂足为E ，∵平面PBD ⊥平面PAC ，且两平面相交于直线PO ，CE PBD ∴⊥平面. （10分） 在Rt PCE ∆中，cos CPE∠= ∴sin CPE∠==13=．∴C 到平面的距离CE sin PC CPE =⋅∠=（12分）【解】法二：（１）显然AP 、AB 、AD 两两垂直，故可分别以AP 、AB 、AD 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵(2,0,0),AP = (0,2,2)BD =-，∴0AP BD ⋅= ，∴AP BD ⊥ ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，∵AC 与AP 相交于点A ，∴BD ⊥平面PAC ． （3分）（２）由(0,2,2)C 知(2,2,2)PC =- ，设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，∵(2,2,0)PB =- ，(2,0,2)PD =-，n PB ⊥ ，n PD ⊥ ，∴220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，解得x yx z =⎧⎨=⎩，取1x =，(1,1,1)n = ． （6分）设PC 与n 所成角为θ，则cos n PC n PCθ⋅=⋅13=， ∴θ1arccos 3=，∴PC 与平面PBD 所成角为1arccos 23π-． （8分）（３）由（２）知平面PBD 的法向量为(1,1,1)n = ，而(2,2,2)PC =-，∴点C 到平面PBD的距离3PC n d n⋅===． （12分）20．（本小题满分12分）【解】（１）依题意有 211242,,S S S S ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=.)2122(2344,211211d a d a a a （3分）由①得10a =或11a =．∵10a ≠．∴ 11a =， ∵公差0d ≠，将11a =代入②式得2d =．∴数列{}n a 的通项公式1(1)21n a a n d n =+-=-; （6分） （2）∵21n a n =-，∴2135(21)n S n n =++++-= ，∴n b =111n S +-21(1)1n =+-1111()(2)22n n n n ==-++, （9分） ∴n T 111111111111[(1)()()()()()]23243546112n n n n =-+-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++3111()4212n n =-+++34<． （12分） ① ②21.(本小题满分12分) 【解】（1）∵1212,,033x x y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴121209x x y y += ，∵A (3,1) , ∴22309x y +=，即223x y =-， （2分） 又∵22221182x y +=， ∴ 222291182y y +=， 解得22y =1, ∴ 2y =±1 ,∴当2y =1时23x =-，当2y =-1时23x =，∴点B 的坐标为()3,1-或()3,1-; （5分）（ 2 ）由(1)13OB k =-, ∵PQ ∥OB ∴13PQ OB k k ==-. （6分）假设直线PQ 方程为13y x m =-+,点P 、Q 的坐标分别为()33,x y 、()44,x y ,由方程组221,18213x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ,得22269180x mx m -+-=,∴∆0,≥ 且343x x m +=. （9分）设PQ 的中点坐标为M ()00,x y 则340322x x mx +==, ∴ 0013y x m =-+=12m ， 又直线OA 的方程为13y x =,∴M 31,22m m ⎛⎫⎪⎝⎭在直线OA 上， （12分） 故线段PQ 能否被直线OA 平分.法二：设点()()1122,,,P m n Q m n ,则()2121,PQ m m n n =--,且22111182m n +=，22221182m n +=, ∴()()()()121212120182m m m m n n n n -+-++=,∴ ()1212,m m n n --⋅1212,09m m n n +⎛⎫+=⎪⎝⎭. (7分)∵PQ ∥OB而OB =(3,1)-或(1,3)-∴ (3,1)-⋅1212,09m m n n +⎛⎫+=⎪⎝⎭（9分）∴ 12123()m m n n +=+ （10分） ∴1212,22m m n n ++⎛⎫=⎪⎝⎭()123,12n n +, 故 线段PQ 被直线OA 平分. (12分) 22．（本小题满分14分）【解】（解：(1) a x x f y -==23)(''，若)(x f 在),1[+∞上是单调递减函数，则须0'＜y ，即23x a ＞，这样的实数a 不存在，故)(x f 在),1[+∞上不可能是单调递减函数. ……… 4分. (2) 若)(x f 在),1[+∞上是单调递增函数，则a ≤23x ，由于),1[+∞∈x ，故23x ≥3.从而3a ≤ ……….8分 (3) 由（1）、（2）可知)(x f 在),1[+∞上只能为单调增函数，若)(100x f x ＜≤，则000))(()(x x f f x f =＜矛盾， ………..10分 若00)(1x x f ＜≤，则)())((00x f x f f ＜，即)(00x f x ＜矛盾， 12分 故只有00)(x x f =成立. ………..14分证法二：设u x f =)(0，则0)(x u f =，∴u ax x =-030， 03x au u =-， 两式相减得00330)()(x u u x a u x -=--- ∴0)1)((20200=-+++-a u u x x u x ，∵110≥≥u x ，∴2020u u x x ++≥3，又a ≤3，∴012020＞a u u x x -+++∴00=-u x ，即0x u =，亦即00)(x x f =，证毕.。