苏教版高中数学必修四：第3章-三角恒等变换3.1.1课时作业(含答案)

3.1.2 两角和与差的正弦一、填空题1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是________．2．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是________． 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为________．4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为________． 5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是________三角形．6．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是______． 7．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C ＝________. 8．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________． 二、解答题9．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β. 10．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)． 三、探究与拓展12．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．答案1．－12 2.725 3.±1 4．2 5．等腰 6.137 7.33658. 3 9．解 ∵α为锐角，sin α＝55， ∴cos α＝255. ∵－π2<α－β<π2且sin(α－β) ＝－1010， ∴cos(α－β)＝31010， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝1010×255＋31010×55＝22， ∵β为锐角，∴β＝π4. 10．解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－5665. 11．解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－3365. 12．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β.∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.。

第3章 三角恒等变换(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是______． 2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝________.3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)＝__________. 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是________．5．化简：sin (60°＋θ)＋cos 120°sin θcos θ的结果为______． 6．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a ＝________. 8．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是______． 9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于______．10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为________．11．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边一定落在直线________上． 12．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________. 13．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________．14．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的所有θ的集合为______． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)． (1)求sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值； (2)求cos(2α－3π4)的值．16．(14分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x － 3.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．17．(14分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[－π3，π4]． (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．18．(16分)已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b 且a ，b 满足：a ·b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角．(1)求角B ；(2)求sin(B ＋θ)．19．(16分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2. (1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求sin (α＋π4)cos (4π＋2α)的值．20．(16分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)． (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．第3章 三角恒等变换(B)1.π2解析 ∵f (x )＝12[1－cos(4x －π2)] ＝12－12sin 4x ∴T ＝2π4＝π2. 2．1解析 原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.3.17解析 ∵α∈(π2，π)，sin α＝35， ∴cos α＝－45， tan α＝sin αcos α＝－34. ∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17. 4．[－π6，0] 解析 f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)． 令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )， 令k ＝0得－π6≤x ≤5π6. 由此可得[－π6，0]符合题意． 5.32解析 原式＝sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－12sin θcos θ＝sin 60°cos θcos θ＝sin 60°＝32. 6．1解析 ∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1. 7. 3 解析 f (x )＝sin(x ＋π3)－a sin(π6－x ) ＝sin(x ＋π3)－a cos(π3＋x ) ＝1＋a 2sin(x ＋π3－φ) ∴f (π2)＝sin 5π6＋a sin π3＝32a ＋12＝1＋a 2. 解得a ＝ 3.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 解析 y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∵x ∈R ，∴－1≤sin(2x －π4)≤1， ∴y ∈[－22＋12，22＋12]． 9.75解析 ∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝13. cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋2tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝1＋2×13－191＋19＝75. 10．－4 解析 3cos(2α＋β)＋5cos β＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0， ∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α，∴tan(α＋β)tan α＝－4.11．24x －7y ＝0解析 cos θ2＝35，sin θ2＝－45，tan θ2＝－43， ∴tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝－831－169＝247. ∴角θ的终边在直线24x －7y ＝0上．12.429解析 cos β＝－13，sin β＝223， sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223， 故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－223)×(－13)＋223×13＝429. 13．1解析 令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°，∴y ＝sin α＋cos(α＋30°)＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)．∴y max ＝1.14.⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|θ＝2k π＋2π3，k ∈Z 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝sin θ＋3cos θ＝0.∴tan θ＝－ 3.∴θ＝k π－π3，(k ∈Z )． ∴f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3) ＝2sin(2x ＋k π)．当k 为偶数时，f (x )＝2sin 2x ，不合题意；当k 为奇数时，f (x )＝－2sin 2x ，函数在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数． ∴f (x )＝－2sin 2x ，∴θ＝2π3＋2k π，k ∈Z . 15．解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π) ⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255. sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13. (2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45， cos 2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210. 16．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2(12sin 2x ＋32cos 2x ) ＝2(sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3)∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2. 当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2. (3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． ∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )． 17．解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x 2)2 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈[－π3，π4]，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32. ∵x ∈[－π3，π4]．∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1. 18．解 (1)2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，即4cos 2B －8cos B ＋3＝0，得cos B ＝12. 又B 为△ABC 的内角，∴B ＝60°.(2)∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－35， ∴sin θ＝45. ∴sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 19．解 (1)由题意，得m ·n ＝0，所以 f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13. (2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326. 解得cos α＝513. 因为α是第一象限角，故sin α＝1213. 所以sin (α＋π4)cos (4π＋2α)＝sin (α＋π4)cos 2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝22(cos α－sin α)＝－13214. 20．解 (1)因为f (x )＝1sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ1π＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2×π6－φ)， 即cos(π3－φ)＝1， 又0<φ<π，所以φ＝π3. (2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)， 因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]， 因此4x －π3∈[－π3，2π3]， 故－12≤cos(4x －π3)≤1. 所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式[课时作业] [A 组 基础巩固]1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32解析：原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－12.答案：B2．已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－210 B.210 C ．－25D.25解析：因为α是锐角，sin α＝35，所以cos α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.答案：B3．设A ，B ，C 为三角形的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实根，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：因为tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实根， 所以tan A ＋tan B ＝53，tan A tan B ＝13，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝5313－1＝－52<0，所以π2<C <π，故选D.答案：D4．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－17D.17解析：因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，所以tan α＋1tan α－1＝12，解方程得tan α＝－3.又tan α＋1tan α－1＝tan α＋tanπ4tan αtan π4－1＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12. tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π41－tan α×tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7. 答案：B 5．如果α＋βα－β＝m n ，那么tan βtan α等于( ) A.m －nm ＋n B.m ＋nm －n C.n －mn ＋mD.n ＋mn －m解析：si α＋βα－β＝sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β＝m n， 所以n sin αcos β＋n cos αsin β ＝m sin αcos β－m cos αsin β，所以(m －n )sin αcos β＝(m ＋n )cos αsin β， 所以cos αsin βsin αcos β＝m －n m ＋n ，即tan βtan α＝m －n m ＋n .答案：A 6．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝________. 解析：因为α，β为锐角，sin α＝55，所以cos α＝255，又因为－π2<α－β<π2且sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010，所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝1010×255＋31010×55＝22. 因为β为锐角，所以β＝π4. 答案：π47．tan 27°＋tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝________.解析：ta n 27°＋tan 33°＝tan(27°＋33°)(1－tan 27°·tan 33°)＝ tan 60°(1－tan 27°tan 33°)＝3－3tan 27°·tan 33°， 所以tan 27°＋tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝ 3－3tan 27°tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝ 3. 答案： 38．已知在锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，则tan Atan B ＝________.解析：∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇔tan Atan B＝2. 答案：29．若tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值． 解析：由根与系数的关系可得，tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－－＝34. sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)＝sin 2α＋β－α＋βα＋β－3cos2α＋βsin 2α＋β＋cos 2α＋β＝tan 2α＋β－α＋β－3tan 2α＋β＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342－3×34－3⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝－3.10．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解析：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. [B 组 能力提升]1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π的值是( )A ．－235B.235C ．－45D.45解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos α＋cos π6sin α ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin(α＋π6＋π)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：C2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A tanC ，则角B ＝( ) A ． 30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以tan(A ＋C )＝－tan B ， 又tan A ＋tan B ＋tan C ＝33， 所以tan A ＋tan C ＝33－tan B ， 又tan 2B ＝tan A tanC ，所以由tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C 1－tan A tan C 得－tan B ＝33－tan B1－tan 2B ， 所以－tan B (1－tan 2B )＝33－tan B ， 所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝ 3. 又0°<B <180°，所以B ＝60°. 答案：C3．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，则tan(α＋β)＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12×tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4tan π4＝－2＋11－－2×1＝22－3. 答案：22－34．不查表求值：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝________. 解析：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝tan(15°＋30°)(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝t an 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1. 答案：15．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，求sin α的值．解析：(1)∵a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， ∴|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)， ∴cos(α－β)＝513.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，∴cos β＝35且0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝1213×35＋513×(－45)＝1665.。

1 3.1.1 两角和与差的余弦
课前导引
问题导入
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上（如下图），小山高BC 约为30米.在地平面上有一点A ，测得A 、C 两点间距离约为67米，从A 观测电视发射塔的视角（∠CAD）约为45°,请同学们想想这座电视发射塔有多高？
思路分析：设电视发射塔高CD=x 米，∠CAB=α,则sinα=
6730.在Rt△ABD 中， tan(α+45°)=60
30 x .(AB≈60) 如果能由sinα=67
30求得tan(45°+α)的值，那么就会得到关于x 的一元一次方程，由此解得电视发射塔的高就十分容易了.
这样，问题就转化为能不能由sinα=67
30求得tan(45°+α)的值呢？或者说能不能用sinα把tan(45°+α)表示出来呢？
这一章我们将学习解决这类问题的方法.
知识预览
1.两角差的余弦公式C α-β:cos(α-β)=cosα·cosβ+sinαsinβ.
2．两角和的余弦公式C α+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
3．在公式C α+β、C α-β中，解α、β都是任意的,这两个公式的共同点是都是运用单角的三角函数值表示复角，不同点是加减符号不同.。