第一章实数集与函数
§1实数
授课章节：第一章实数集与函数——§1实数
教学目的：使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：
(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）
教学难点：实数集的概念及其应用．
教学方法：讲授．（部分内容自学）
教学程序：
引 言
上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．
[问题]为什么从“实数”开始．
答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．
一、实数及其性质
1、实数
(,q p q p ?≠??????有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.
{}|R x x =为实数--全体实数的集合．
[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：
例： 2.001 2.0009999→L ；
利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？
2、两实数大小的比较
1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L . 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =L 为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2,k k a b k ==L ，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==L ，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．
规定：任何非负实数大于任何负实数．
2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．
定义2（不足近似与过剩近似）：01.n x a a a =L L 为非负实数，称有理数01.n n x a a a =L 为实数x 的n 位不足近似；110
n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =L .
对于负实数01.n x a a a =-L L ，其n 位不足近似011.10n n n x a a a =--
L ；n 位过剩近似01.n n x a a a =-L .
注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012x x x ≤≤≤L ； 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有012x x x ≥≥≥L ．
命题：记01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L 为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．
命题应用
例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．
3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-L L L
；
；
证明：由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()
12n n r x y =
+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．
3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．289302P P -）．
1）封闭性（实数集R 对,,,+-?÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．
2）有序性：,a b R ?∈，关系,,a b a b a b <>=，三者必居其一，也只居其一.
3）传递性：a b c R ?∈，，，,a b b c a c >>>若，则．
4）阿基米德性：,,0a b R b a n N ?∈>>??∈使得na b >．
5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．
6）一一对应关系：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．
例2．设,a b R ?∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．
（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）
二、绝对值与不等式
1、绝对值的定义
实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥?=?-
． 2、几何意义
从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．
3、性质
1）||||0;||00a a a a =-≥=?=（非负性）；
2）||||a a a -≤≤；
3）||a h h a h ；
4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；
5）||||||ab a b =?；
6）
||||a a b b =（0b ≠）．
三、几个重要不等式
1、,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤
2、均值不等式:对,,,,21+∈?R n a a a Λ记 ,1 )(1
21∑==+++=n
i i n i a n n a a a a M Λ (算术平均值) ,)(1121n n i i n n i a a a a a G ???
? ??==∏=Λ (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=n i i n i i n i a n a n a a a n
a H Λ (调和平均值)
有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤即：
1212111n n a a a n
n
a a a +++≤≤+++L L 等号当且仅当n a a a ===Λ21时成立.
3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)
,1->?x 有不等式(1)1, .n x nx n +≥+∈N
当1->x 且0≠x ,N ∈n 且2≥n 时,有严格不等式.1)1(nx x n +>+
证：由01>+x 且>+++++=-++?≠+111)1(1)1( ,01Λn n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+>.1)1( nx x n +>+?
4、利用二项展开式得到的不等式:对,0>?h 由二项展开式 ,!
3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+Λ 有 >+n h )1( 上式右端任何一项.
［练习］P4．5
［课堂小结］：实数：???
一 实数及其性质二 绝对值与不等式. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3
§2数集和确界原理
授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理
教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.
教学要求：
(1)掌握邻域的概念；
(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.
教学难点：确界的定义及其应用.
教学方法：讲授为主.
教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.
引 言
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！
1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥Q （）） （2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）
2、证明：||||||x y x y -≤-.
3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.
4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.
[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.
本节主要内容：
1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；
2、讨论有界集与无界集；
3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.
一 、区间与邻域
1、区间（用来表示变量的变化范围）
设,a b R ∈且a b <.???有限区间区间无限区间
，其中
{}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ?∈<<=???∈≤≤=????∈≤<=?????∈<≤=???开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:
{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.
x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ?∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?无限区间
2、邻域
联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？
（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即
{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.
其中a δ称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.
（2）点a 的空心δ邻域
{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-?+@.
（3）a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域
{}{}00(;)[,)();
(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+@@
（4）点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域
{}{}00(;)(,]();
(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<@@
（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域
{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分大的正数）
；
{}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-
二 、有界集与无界集
1、 定义1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S
∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.
闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，
集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.
若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.
) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,
集合 ?
?????∈==) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一；
2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：
例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.
解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；
但N +无上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表示不超过的最大整数），则0n N +∈，且0n M >.
综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.
例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.
[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).
三 、确界与确界原理
1、定义
定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈
有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即
η是S 的上界中最小的一个）
，则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η= 从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.
命题1sup M E = 充要条件
1）,x E x M ?∈≤；
2）00,,o x S x M εε?>?∈>-使得.
证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则00,,o x E x M εε?>?∈≤-使得均有，与M 是上界中最小的一个矛盾.
充分性（用反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ?是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ?∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界矛
盾.
定义3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有
x ξ≥（即ξ是S 的下界）
；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.
从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.
命题2 inf S ξ=的充要条件：
1）,x E x ξ?∈≥；
2）ε?＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+
上确界与下确界统称为确界.
例3（1）,) 1(1?
?????-+=n S n 则sup S = 1 ；inf S = 0 . （2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 .
注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.
命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.
证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<
A sup =η?A x ∈?有η≤x
sup A η'=?对ηη'<，0x A ?∈使0x η<，矛盾.
例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈??= ?+?? ，1inf 12
n Z n n +∈??= ?+?? {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.
开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a
例4设S 和A 是非空数集，且有.A S ?则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥. 例5设A 和B 是非空数集.若对A x ∈?和,B y ∈?都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤
证明：,B y ∈?y 是A 的上界,.sup y A ≤?A sup ?是B 的下界,.inf sup B A ≤?
例6A 和B 为非空数集,.B A S Y =试证明:{}. inf , inf m in inf B A S =
证明：,S x ∈?有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有
A x inf ≥或{}. inf , inf m in .inf
B A x B x ≥?≥
即{} inf , inf m in B A 是数集S 的下界,
{}. inf , inf m in inf B A S ≥?又S A S ,??的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ?是A 的下界,;inf inf A S ≤?同理有.inf inf B S ≤
于是有{} inf , inf m in inf B A S ≤.
综上,有{} inf , inf m in inf B A S =.
1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.
2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.
（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.
（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.
（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.
4. 确界原理:
Th1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.
这里我们给一个可以接受的说明 ,E R E ?非空，E x ∈?，我们可以找到一
个整数p ，使得p 不是E 上界，而1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p Λ和1+p ，我们可以找到一个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第二位小数1q ，,Λ如此下去，最后得到Λ210.q q q p ，它是一个实数，即为E 的上确界.
证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得
1）S x ∈?，有n x >；
2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；
把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得 1）S ∈?，有；1.n n x >；
2）存在S x ∈2，使得10
112.+≤n n x ． 再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在2n ，使得 1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；
2）存在2x ，使210
1
212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何Λ,2,1=k ，存在k n 使得
1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10
1
21.->Λ； 2）存在S x k ∈，k k n n n n x Λ21.≤．
因此得到ΛΛk n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．
（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ；
（ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．
［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７
§3函数概念
授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念
教学目的：使学生深刻理解函数概念.
教学要求：
（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；
（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.
教学重点：函数的概念.
教学难点：初等函数复合关系的分析.
教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.
教学程序：
引 言
关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节
将对此作进一步讨论.
一、函数的定义
１．定义１ 设,D M R ?，如果存在对应法则f ，使对x D ?∈，存在唯一的一个数y M ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作
:f D M →
|x y → .
数集D 称为函数f 的定义域，x 所对应的y ，称为f 在点x 的函数值，记为()f x .全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f D .
即{}()|(),f D y y f x x D ==∈.
２．几点说明
（1）函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立D 到M 的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →.习惯上称x 自变量，y 为因变量.
（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法
则.所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈.
由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.
例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）
2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ=∈（相同，只是对应法则的表达
形式不同）.
（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.
（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.
（5）函数定义中，x D ?∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.
二 、函数的表示方法
1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.
2 可用“特殊方法”来表示的函数.
1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.
例如 1,0sgn 0,01,0x x x x >??==??-
，（符号函数）
（借助于sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）.
2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）
例 １）[]y x =（取整函数）
比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.
常有 [][]1x x x ≤<+, 即[]01x x ≤-<.
与此有关一个的函数[]{}y x x x =-@（非负小数函数）图形
是一条大锯，画出图看一看.
２）狄利克雷（Dirichlet ）函数
1,()0,x D x x ?=??
当为有理数,当为无理数, 这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.
３）黎曼（Riemman ）函数 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q q R x x +?=∈?=??=?
当为既约分数),当和内的无理数.
三 函数的四则运算
给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =U ，并设D φ≠，定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：
()()(),F x f x g x x D
=+∈；()()(),G x f x g x x D =-∈；
()()(),H x f x g x x D =∈.
若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠g ，可在D g 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()
f x L x x D
g x =∈g . 注：１）若12D D D φ==U ，则f 与g 不能进行四则运算.
２）为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g
+-. 四、复合运算
１．引言
在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.
例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率E 为
2221122E mv E mg t v gt ?=??=??=?
. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt =
=，把()v t 代入f ，即得
221(())2
f v t m
g t =
. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.
[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例； 2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.
就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.
2．定义（复合函数） 设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，{}()E x f x D E =∈g I ，若E φ≠g ，则对每一个x E ∈g ，通过g 对应D 内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E g 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈g 或()(),y f g x x E =∈g o .简记为f g o .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变
量.
3. 例子
例 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f =ο并求定义域.
例 ⑴
._______________)( ,1)1(2=++=-x f x x x f
⑵
.1122x x x x f +=??? ?
?+ 则) ( )(=x f A. ,2x B. ,12+x C. ,22-x D. .22+x
例 讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进行复合，求复合函数.
4 说明
１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？
例如：2sin ,1y u u v x ===-，复合成：
[1,1]y x =∈-.
２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.
①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-
②2arcsin , 1.y y u u v x ====+
③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===
五、反函数
１.引言
在函数()y f x =中把x 叫做自变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量
与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是自变量，但对t 来讲，u 是因变量.
习惯上说函数()y f x =中x 是自变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现
时变化.但有时我们不仅要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.
２.反函数概念
定义设→X f :R 是一函数，如果?1x ，X x ∈2, 由
)()(2121x f x f x x ≠?≠
(或由2121)()(x x x f x f =?=)，则称f 在X 上是 1-1 的.
若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.
若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.
→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y 至多有一个解
x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有且仅有一个
解x .
定义 设Y X f →:是1-1对应.Y y ∈?, 由)(x f y =唯一确
定一个X x ∈, 由这种对应法则所确定的函数称为)(x f y =的反
函数，记为)(1y f x -=.
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域
Y X f →:
X Y f →-:1
显然有
X X I f f
→=-:1ο
(恒等变换） Y Y I f f →=-:1ο (恒等变换) Y X f f →=--:)(11.
从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯
上我们还是把反函数记为 )(1x f y -=, 这样它的图形与
)(x f y =的图形是关于对角线x y =对称的.
严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.
但 1-1
???≤≤-<≤=21,310,)(x x x x x f 它的反函数即为它自己.
实际求反函数问题可分为二步进行：
1. 确定 Y X f →:的定义域X 和值域Y ，考虑 1-1对应条件.解方程 y x f =)( 得出 )(1y f x -=.
2. 按习惯，自变量
x 、因变量y 互换，得 )(1x f y -=.
例 求 2
)(x x e e x sh y --== ：R → R 的反函数.
解 固定y ，为解 2
x x e e y --=，令 z e x =，方程变为
122-=z zy
0122=--zy z
12+±=y y z ( 舍去12+-y y )
得)1ln(2++=y y x ，即)()1ln(12x sh x x y -=++=，称为反双曲正弦.
定理 给定函数)(x f y =，其定义域和值域分别记为X 和Y ，
若在Y 上存在函数)(y g ，使得 x x f g =))((, 则有)()(1y f y g -=.
分析：要证两层结论：一是)(x f y =的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证1()()g y f y -=.
证 要证)(x f y =的反函数存在，只要证)(x f 是X 到Y 的 1-1 对应.
?1x ，X x ∈2，若)()(21x f x f =， 则由定理条件，我们有
11))((x x f g = 22))((x x f g =
21x x =?，即 Y X f →: 是 1-1 对应.
再证1()()g y f y -=.?Y y ∈，?X x ∈，使得)(x f y =.
由反函数定义 )(1y f x -=，再由定理条件
()(())g y g f x x ==.1()()g y f y -?=
例 :f R R →，若))((x f f 存在唯一（|?）不动点，则)(x f 证 存在性，设)]([* * x f f x =，)]([)(* * x f f f x f ο=，
即)(* x f 是f f ο的不动点，由唯一性* * )(x x f =，
即存在)(x f 的不动点* x .
唯一性： 设)(x f x =，))(()(x f f x f x ==，
说明 x 是f f ο的不动点，由唯一性，x =* x .
从映射的观点看函数.
设函数(),y f x x D =∈.满足：对于值域()f D 且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上
的函
数，称
这个函
数为f
的反函
数，记
作
1:(),(|)f f D D y x -→→或1(),()x f y y f D -=∈.
３、注释
a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f 有反函数，意味着f 是Ｄ与()f D 之间的一个一一映射，称1f -为映射f 的逆映射，它把()f D D →；
b) 函数f 与1f -互为反函数，并有:1(()),,f f x x x D -≡∈ 1(()),().f f x y y f D -≡∈
c) 在反函数的表示1(),()x f y y f D -=∈中，是以y 为自变量，x 为因变量.若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数f 的反函数1f -可以改写为
1(),().y f x x f D -=∈
应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.
六 、初等函数
1.基本初等函数（６类）
常量函数 y C =（Ｃ为常数）；
幂函数 ()y x R αα=∈；
指数函数(0,1)x y a a a =>≠；
对数函数 log (0,1)a y x a a =>≠；
三角函数 sin ,cos ,,c y x y x y tgx y tgx ====；
反三角函数 arcsin ,arccos ,,y x y x y arctgx y arcctgx ====.
注：幂函数()y x R αα=∈和指数函数(0,1)x y a a a =>≠都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.
定义２．给定实数0,1a a >≠，设x 为无理数，我们规定：
{}{}sup |,1|,01r x r x
r a r a a a r a ?=?<
为有理数当时,inf 为有理数当时. 这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义x
a 的缺陷．
[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？” ２．初等函数
定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数
如：22112sin cos ,sin(),l g ,||.a e y x x y y o x y x x x -=+==+= 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数.
注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.
例２．求下列函数的定义域.
（１）
y = （２） ln |sin |.y x = 3.初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则
（1） )( x f 是初等函数, 因为 ().)( )( 2x f x f =
（2）{})( , )(m ax )(x g x f x =Φ 和 {})( , )(m in )(x g x f x =φ都是初等函数,
因为 {})( , )(m ax )(x g x f x =Φ[])()()()(2
1x g x f x g x f -++=
, {})( , )(m in )(x g x f x =φ [])()()()(21x g x f x g x f --+= . （3）幂指函数 ()
()0)( )()(>x f x f x g 是初等函数,因为 ()
(). )()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g ==
［作业］ 15P ： 3；4:（２）、（３）； 5:（２）； 7:（３）；11
§4具有某些特性的函数
授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数
教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.
教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定
义；
会求一些简单周期函数的周期.
教学重点：函数的有界性、单调性.
教学难点：周期函数周期的计算、验证.
教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序：
引 言
在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.
一、有界函数
1、有上界函数、有下界函数的定义
定义1设f 为定义在D 上的函数，若存在数()M L ，使得对每一个x D ∈有()(())f x M f x L ≤≥，则称f 为D 上的有上（下）界函数，()M L 称为f 在D 上的一个上（下）界.
注：（1）f 在D 上有上（下）界，意味着值域()f D 是一个有上（下）界的数集；
（2）又若()M L 为f 在D 上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f 在D 上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：sin y x =，1是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界；
（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；
（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：
f 在D 上有界?()f D 是一个有界集?f 在D 上既有上界又有下界?f 在D 上的有上界函数，也为D 上的有下界函数.
2、有界函数定义
定义2设f 为定义在D 上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个x D ∈有|()|f x M ≤，则称f 为D 上的有界函数.
注：（1）几何意义：f 为D 上的有界函数，则f 的图象完全落在y M =和y M =-之间；
（2）f 在D 上有界?f 在D 上既有上界又有下界；例子：sin ,cos y x y x ==；
（3）关于函数f 在D 上无上界、无下界或无界的定义.
3、例题
例 1 证明:f X R →有界的充要条件为：?M ,m ，使得对X x ∈?,M x f m ≤≤)(.
证明 如果:f X R →有界，按定义?M >0，X x ∈?有()f x M ≤，即
()M f x M -≤≤,取M m -=,M M =即可.
反之如果?M ,m 使得,()x X m f x M ?∈≤≤，令{}0max 1,M M m =+，则0()f x M ≤，即?00M >，使得对x X ?∈有0()f x M ≤，即:f X R →有界.
例2．证明 1()f x x
=为(0,1]上的无上界函数. 例3．设,f g 为D 上的有界函数.证明：（1）{}inf ()inf ()inf ()()x D x D x D
f x
g x f x g x ∈∈∈+≤+； （2）{}sup ()()sup ()sup ()x D x D x D
f x
g x f x g x ∈∈∈+≤+.
例4验证函数 3
25)(2+=x x x f 在R 内有界. 解法一 由,62322)3()2(32222x x x x =?≥+=+当0≠x 时,有 .36
25625325325 )( 22≤=≤+=+=x x x x x x x f 30 )0( ≤=f ,
∴ 对 ,R ∈?x 总有 ,3 )( ≤x f 即)(x f 在R 内有界.
解法二 令 ,3252?+=
x x y 关于x 的二次方程 03522=+-y x yx 有实数根.
22245 y -=?∴.2 ,42425 ,02≤?≤≤
?≥y y 解法三 令 ??
? ??-∈=2,2 ,23ππt tgt x 对应). , (∞+∞-∈x 于是 ==+=+???
? ??=+=
t t t t tg tgt tgt tgt x x x f 2222sec 1cos sin 65123353
232235325)( .6252sin 625 )( ,2sin 625 ≤=?=t x f t 二、单调函数
定义3设f 为定义在D 上的函数，1212,,,x x D x x ?∈< （1）若12()()f x f x ≤，则称f 为D 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为D 上的严格增函数.（2）若12()()f x f x ≥，则称f 为D 上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为D 上的严格减函数.
例5．证明：3y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数.
证明：设21x x <，))((2221212132
31x x x x x x x x ++-=- 如021
原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； 2 （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反；
（2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 函数 知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
第一章有理数 （一）正负数 1．正数：大于0的数。 2．负数：小于0的数。 3．0即不是正数也不是负数。 4．正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 （二）有理数 1．有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。可以写成两个整之比的形式。（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π） 2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。 3．分数：正分数、负分数。 （三）数轴 1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。） 2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。 （四）有理数的加减法 1．先定符号，再算绝对值。
2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。 3．加法交换律：a+b= b+ a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 4．加法结合律：（a+b）+ c = a +（b+ c ）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 5． a?b = a +（?b）减去一个数，等于加这个数的相反数。 （五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小） 1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。2．乘积是1的两个数互为倒数。 3．乘法交换律：ab= b a 4．乘法结合律：（ab）c = a （b c） 5．乘法分配律：a（b +c）= a b+ ac （六）有理数除法 1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。 2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 3．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。 （七）乘方 1．求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。写作a n 。（乘方的结果叫幂，a 叫底数，n叫指数） 2．负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是
高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 （答：，，）-? ?? ???1013 3. 注意下列性质： （3）德摩根定律： 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是_____________。[] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ ∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ∴a的最大值为3） 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、知识点： 本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。 本章知识结构 1、集合的概念 教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。 对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。 整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。 确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。 不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义 有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。 我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”
的关系。 几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法 （1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合： ①元素不太多的有限集，如{0，1，8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100) ③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。 （2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。 另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。 ●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算 集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。 一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质
人教版七年级下册数学课本知识点归纳 第五章相交线与平行线 一、相交线两条直线相交，形成4个角。 1．邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。 2．对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条 边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种 关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。 3．对顶角相等。 二、垂线 1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。 4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1．同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。 2．内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。 3．同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧， 具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。 四、平行线 (一)平行线 1.平行：两条直线不相交。互相平行的两条直线，互为平行线。a∥b （在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。） 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理推论：①平行于同一直线的两条直线互相平行。 ②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 (二)平行线的判定： 1.同位角相等，两直线平行。 2.内错角相等，两直线平行。 3.同旁内角互补，两直线平行。 (三)平行线的性质 1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 4.两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =
高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。
七年级下册数学知识点总结(人教版) 一、相交线相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。如直线A B、CD相交于点O。ADCOB对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线、，满足这种关系的角，互为对顶角，对顶角相等。对顶角是成对出现的。邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线、满足这种关系的两个角，互为领补角。邻补角与补角的区别与联系v 1、邻补角与补角都是针对两个角而言的，而且数量关系都是两角之和为180v 2、互为邻补角的两个角一定互补，但是互为补角的两个角不一定是邻补角即：互补的两个角只注重数量关系而不谈位置，而互为邻补角的两个角既要满足数量关系又要满足位置关系。领补角与对顶角的比较 二、垂线垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。baO从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直例如：如图，a、b互相垂直,O叫垂足、a叫b的垂线，b也叫a的垂线。则记为：
a⊥b或b⊥a；若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O、垂直的书写形式： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90时，AB⊥CD，垂足为O。书写形式：DAO∵∠AOD=90（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90。C书写形式：∵ AB⊥CD （已知）B∴ ∠AOD=90 （垂直的定义）应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90垂线的画法：BAl如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线、则所画直线AB 是过点A的直线l的垂线、工具：直尺、三角板1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;3移:移动三角板到已知点;4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线、垂线的性质： 1、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、 2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。F EDCBA87654321 三、同位角、内错角、同旁内角（出现在一条直线与两条直线分别相交的情形）同位角：一边都在截线上而且同向，另一边在截线同侧的两个角。如∠1和∠5，∠4和∠8。内错角：一边都在截线上而且反向，另一边在截线两侧的两个角。（两个角在两条截线内）如∠3和∠5，∠4和∠6。同旁内角：一边都在截线上
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称； c.求)(x f -； d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-
第五章相交线与平行线 一、相交线 相交线:如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,该公共点叫做两直线的交点。如直线AB、CD相交于点O。 A D C O B 对顶角:两条直线相交出现对顶角。顶点相同,角的两边互为反向延长线、,满足这种关系的角,互为对顶角,对顶角相等。对顶角就是成对出现的。 邻补角:有一条公共边,角的另一边互为反向延长线、满足这种关系的两个角,互为领补角。 邻补角与补角的区别与联系 ?1、邻补角与补角都就是针对两个角而言的,而且数量关系都就是两角之与为180° ?2、互为邻补角的两个角一定互补,但就是互为补角的两个角不一定就是邻补角即:互补的两个角只注重数量关系而不谈位置,而互为邻补角的两个角既要满足数量关系又要满足位置关系。 领补角与对顶角的比较 二、垂线 垂直:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角就是直角时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足。 从垂直的定义可知,判断两条直线互相垂直的关键:要找到两条直线相交时四个交角中一个角就是直角。 垂直的表示:用“⊥”与直线字母表示垂直 例如:如图,a、b互相垂直,O叫垂足、a叫b的垂线, b也叫a的垂线。则记为:a⊥b或b⊥a; 若要强调垂足,则记为:a⊥b, 垂足为O、 垂直的书写形式:如图,当直线AB与CD相交于O点,∠ 为O。 b a O
书写形式: ∵∠AOD=90°(已知) ∴AB ⊥CD(垂直的定义) 反之,若直线AB 与CD 垂直,垂足为O,那么,∠AOD=90°。 书写形式: ∵ AB ⊥CD (已知) ∴ ∠AOD=90° (垂直的定义) 应用垂直的定义:∠AOC=∠BOC=∠BOD=90° 垂线的画法: 如图,已知直线 l 与l 上的一点A ,作l 的垂线、 则所画直线AB 就是过点A 的直 线l 的垂线、 工具:直尺、三角板 1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线、 垂线的性质: 1、同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、 2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。 三、同位角、内错角、同旁内角(出现在一条直线与两条直线分别相交的情形) 同位角:一边都在截线上而且同向,另一边 在截线同侧的两个角。 如∠1与∠5,∠4与∠8。 内错角:一边都在截线上而且反向, 另一边在截线两侧的两个角。 (两个角在两条截线内) 如∠3与∠5,∠4与∠6。 同旁内角:一边都在截线上而且反向, 另一边在截线同旁的两个角。 (两个角在两条截线内) 如∠3与∠6,∠4与∠5。 同位角、内错角、同旁内角的比较 A O C B A l 1 2 4 3 5 7 6 C B D A 8 E F
高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????
[全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-?????? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。
()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335305555015392522∈--
高中数学必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系
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2、在同一平面，不相交的两条直线叫平行线。 如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直 线没有公共点，称这两条直线平行。 3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共 边的两个角是邻补角。 邻补角的性质邻补角互补。 如图 1 所示，与互为邻补角，与互为邻补角。 +=180°；+=180°；+=180°；+=180°。 4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一 个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。 对顶角的性质对顶角相等。 如图 1 所示，与互为对顶角。 =；=。 5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或 90°时，称 这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 如图 2 所示，当=90°时，⊥。 垂线的性质性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最 短。 性质 3 如图 2 所示，当⊥时，====90°。 点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到 直线的距离。
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6、同位角、错角、同旁角基本特征①在两条直线被截线的同一 方，都在第三条直线截线的同一侧，这样的两个角叫同位角。
图 3 中，共有对同位角与是同位角；与是同位角；与是同位角； 与是同位角。
②在两条直线被截线之间，并且在第三条直线截线的两侧，这样 的两个角叫错角。
图 3 中，共有对错角与是错角；与是错角。 ③在两条直线被截线的之间，都在第三条直线截线的同一旁，这 样的两个角叫同旁角。 图 3 中，共有对同旁角与是同旁角；与是同旁角。 7、平行公理经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条 直线也互相平行。 平行线的性质性质 1 两直线平行，同位角相等。 如图 4 所示，如果∥，则=；=；=；=。 性质 2 两直线平行，错角相等。 如图 4 所示，如果∥，则=；=。 性质 3 两直线平行，同旁角互补。 如图 4 所示，如果∥，则+=180°；+=180°。 性质 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 如果∥，∥，则 ∥
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整理全面《高中数学知识点归纳总结》
教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用