几何计数与概率

2．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1，D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合)，且 EH∥A1D1，过 EH 的 平面与棱 BB1，CC1 相交，交点分别为 F，G.设 AB＝2AA1＝2a， EF＝a，B1E＝2B1F.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 内随机选取一点， 则该点取自于几何体 A1ABFE－D1DCGH 内的概率为________．
5．(2017·重庆卷)某校早上
开始上课，假设该校学生
小张与小王在早上
～
之间到校，且每人在该时间段
的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的
概率为________(用数字作答)．
解析：设小张与小王的到校时间分别为
后第 x 分钟、
第 y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面
解 析 ： 点 Q 取 自 △AED 或 △BEC 内 部 的 概 率 P ＝ S△ASE矩D形＋ABSC△DBEC＝12.故选 A.
答案：A
3．已知函数 f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]，则 f(x)为增函数 的概率为( )
1234 A.5 B.5 C.5 D.5
解析：∵f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]． ∴f(x)在[1,4]上是增函数． ∴f(x)为增函数的概率为 P＝4－4－－11＝35. 答案：C
因为2－2a22da＝16a3－22 ＝83，所以阴影部分的面积为 4×2＋83 32
＝332，所以所求概率 P＝4×3 4＝23，故选 D. 答案：D
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下课
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对
称，得 S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率 P＝SS正黑 方形 π

初中求概率的三种方法例题确定事件的方法：1.实验法：通过实验来确定事件发生的概率。

例如，抛一枚硬币，记录正面朝上的次数，通过实验多次后可以得到正面朝上的概率。

2.状态法：通过事件的状态来确定概率。

例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，那么红桃出现的概率是4/523.几何法：通过面积或长度的比例来确定概率。

例如，一个正方形中画一个小圆，如果小圆面积是正方形面积的三分之一，那么在正方形中随机选择一个点，落在小圆内的概率是1/3计数原理方法：1.总数原理：当一个任务可以分解为若干个互不相干的子任务时，若第一个子任务由m1种方式完成，第二个子任务由m2种方式完成……，则整个任务可以完成的方式为m1*m2*…2.直接计数原理：对于一个问题，直接通过数学方法进行计算。

例如，一个班级有40名学生，其中有10名男生和30名女生，那么在班级中随机选择一个学生，男生的概率是10/40=1/43.全面计数原理：对于一个问题，将其分解为多种情况，分别计算每种情况的概率，最后将这些情况的概率相加。

例如，从10个球中随机选择3个，其中有5个红球和5个蓝球，求选择2个红球和1个蓝球的概率。

根据全面计数原理，我们将该问题分解为两种情况：选择2个红球和1个蓝球的情况、选择1个红球和2个蓝球的情况。

第一种情况的概率为(5/10)*(4/9)*(5/8)=5/36，第二种情况的概率为(5/10)*(5/9)*(4/8)=5/36、将两种情况的概率相加，即为所求概率。

条件概率方法：1.定义法：根据条件概率的定义来计算。

条件概率P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。

例如，甲乙两个班级的学生中有70%的学生喜欢足球，其中甲班占总学生人数的40%，那么在所有喜欢足球的学生中，来自甲班的概率是(40%*70%)/(70%)=40%。

2.频率法：通过实验数据来估计条件概率。

例如，出生低于37周的儿童患上特殊疾病的概率是0.05，而在出生低于37周的儿童中，有80%的患者出生重量低于2500克，那么低出生体重和特殊疾病的条件概率是0.05*0.8=0.043.全概率法：根据全概率公式来计算条件概率。

6
x
3 2
k
，k≤6，k∈N，
由 6－32k＝0，解得k＝4，
则 T5＝(－1)4×32×C46＝135，
√A.144种
C.672种
B.336种 D.1 008种
选取的 3 个名称中含有祝融的共有 C29种不同的情况. 分析选取的 3 个名称的不同情况有 A33种， 其中祝融是第 3 个被分析的情况有 A22种， 故祝融不是第 3 个被分析的情况有 C29(A33－A22)＝144(种).
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪
√D.P(A|C)＝P(B|C)
由题知，从 10 个数中随机地抽取 3 个数，共有 C310＝120(种)可能情况， 对于A选项，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”为互斥事 件，则P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A选项错误； 对于 B 选项，P(C)＝CC31290＝13260＝130，故 B 选项错误； 对于 C 选项，P(AB)＝0，P(C)＝130，故 C 选项错误； 对于 D 选项，由于 P(AC)＝P(BC)＝C129＝316，故由条件概率公式得 P(A|C) ＝P(B|C)，故 D 选项正确.
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋
a8(1＋x)8，则a6等于
A.－448
B.－112
√C.112
D.448
(1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8 ＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8， a6＝C28×(－2)2＝112.
③P(B)＝12；④B 与 A1 相互独立.
A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，

几何计数法的原理与应用1. 原理几何计数法是一种用于计算几何对象数量的数学方法。

它基于对几何问题的特性进行分析和计算，通过利用几何对象之间的关系来推导出要求的数量。

几何计数法的原理主要包括以下几个方面：1.1 排列组合排列组合是几何计数法中最基本的原理之一。

排列表示从给定的对象中选择一部分，并按照一定的顺序进行排列；组合表示从给定的对象中选择一部分，并不考虑顺序。

通过排列组合的原理，可以计算出几何对象之间的排列组合数量，进而求解几何计数问题。

1.2 对称性对称性是几何计数法中常用的原理之一。

在一些特定的几何问题中，对象之间存在对称的关系，通过利用对称性，可以减少计算的复杂性。

对称性可以帮助我们找到更有效的解决方法，从而简化计算过程。

1.3 化归法化归法是几何计数法中常用的原理之一。

通过将复杂的几何问题化简为简单的几何问题，通过简化的问题求解，再推导回原问题的解。

化归法可以帮助我们理清问题的思路，从而更好地解决几何计数问题。

2. 应用几何计数法在实际应用中具有广泛的应用，尤其在组合数学、概率统计、图论等领域中有着重要的地位。

以下是一些几何计数法的具体应用场景：2.1 格点多边形计数在二维平面上存在一个由格点组成的多边形，通过对多边形的边数、顶点数等进行计数，可以应用几何计数法来求解多边形的数量。

格点多边形计数是组合数学中的一个经典问题，通过排列组合和对称性等原理，可以求解出不同类型的格点多边形的数量。

2.2 走迷宫计数走迷宫计数是一个经典的几何计数问题。

在给定的迷宫中，通过排列组合的方法，计算从起点到终点的所有路径数量。

通过分析迷宫的特性和利用化归法，可以将复杂的迷宫计数问题转化为简单的几何计数问题，从而求解出路径的数量。

2.3 格点方格数量格点方格数量是几何计数法常用的一种应用场景。

在二维平面上存在一些由格点组成的方格，通过计算不同大小的方格数量，可以应用几何计数法来求解方格的总数量。

通过排列组合和对称性等原理，可以计算出不同类型的格点方格的数量。