计数原理与概率统计练习(精华)

第九章 概率与统计初步一、计数原理1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情,有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法，……在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有:n m m m N +++= 21种不同的方法；2、 (分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法，……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法;3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步"主要看能否一步做完,能够一步做完的就是分类(用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）;二、排列与组合1、 排列数公式：从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数,用符号n mA 表示，且：2、 n 的阶乘:自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，记作：!n ,且：3、 组合数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号n mC 表示，且:组合数公式也可写为：4、 组合数的两个性质：()()n m n m n n m n mn n m C C C C C 1121--+-+==5、 排列与组合的区别:排列与顺序有关；组合与顺序无关。

()()()()n m m n n n n A n m ≤+---=,121 ()()10,1221!=⋅--=！规定： n n n n ()()()()()()1,,1221121!0=≤⋅--+---==n n m nmC n m m m m m n n n n m A C 规定： ()!!!m n m n C n m -⋅=()!!m n n A nm -=为：易知排列数公式也可写三、概率1、 基本概念（1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象;（2） 随机试验的特征:可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生；（3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C表示； （4） 必然事件:在一次随机试验中必然要发生的事件，用Ω表示（Ω读作“omiga",Ω对应的小写希腊字母是“ω”）； （5） 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用φ表示(φ读作“fai ”)； （6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件,即：最简单的随机事件；（7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件; 2、 频数与频率（1） 频数：在n 次重复试验中，事件A 发生了m 次()n m ≤≤0，m 叫做事件A 发生的频数；（2） 频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的频数在试验总次数中所占的比例nm ,叫做事件A 发生的频率； 3、 概率（1） 一般地,当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：; （2） 概率的性质：i. 对于必然事件Ω：()1=ΩP ii. 对于不可能事件φ：()0=φP iii. ()10≤≤A P4、 古典概型（1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同,那么称这个随机试验属于古典概型；（2） 概率:设试验共有n 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件发生的概率为:（3） 事件的“交”:“B A ”表示B A 、同时发生,记作：AB ；（4） 事件的“并”：“B A ”表示B A 、中至少有一个会发生,又称为事件A 与事件B 的和事件；()nA A P m==基本事件总数包含的基本事件（5） 事件的“否”：A 表示事件A 的对立事件；（A 读作a bar ，“A 拔”)（6） 互为对立的事件：若事件A 是事件B 的对立面,且Ω==B A B A ,φ；（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件A 与B 有且仅有一个发生） （7） 互斥事件(互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：φ=B A ；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件)（8） 相互独立事件:在随机试验中，如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的可能性的大小，即在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率等于事件B 原来的概率，那么称事件A 与事件B 相互独立;（事件A 发生与否，不影响事件B 的概率) （9） 若A 、B 是互斥事件，则：()()()B P A P B A P +=（10） 若A 、B 是对立事件，则：()()B P A P +=1，即：()()A P A P -=1 （11） 若A 、B 不是互斥事件，则：()()()()B A P B P A P B A P -+= （12） 若A 、B 是相互独立事件，则:()()()()B P A P AB P B A P ⋅==四、总体、样本与抽样方法例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量; 1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体;2、 个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；3、 样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本；4、 样本容量：样本所含个体的数目;例1中“100”是样本容量;5、 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；6、 说明：当总体中的个数比较小时,常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；五、用样本估计总体1、 样本均值：()n x x x nx +++=2112、 样本方差：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-= 3、 样本标准差：()()()[]222211x x x x x x nS n -++-+-=4、 说明：均值反映了样本和总体的平均水平;方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；5、作频率分布直方图的方法:①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图。

专题九计数原理与概率统计——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2023年全国高考真题]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16B.13C.12D.231．答案：D解析：依题意，用1A ，2A 表示高一的2名学生，1B ，2B 表示高二的2名学生，则从4名学生中随机选2名学生的选法有()12,A A ，()12,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共6种，其中2名学生来自不同年级的选法有()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共4种，所以所求概率4263P ==，故选D.2．将甲、乙等5名同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有()A.120种 B.150种 C.180种 D.240种2．答案：B解析：根据题意，分2步进行分析：①先将甲、乙等5名同学分成3组：若分成1，2，2的3组，则有12254222C C C15 A =（种）方法；若分成1，1，3的3组，则有11354322C C C 10 A =（种）方法，故将5人分成3组，每组至少有1人，有151025+=（种）分组方法.②将分好的3组对应三所大学，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有3325A 150=（种）.3．[2023春·高二·四川内江·期中校考]在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数是()A.454B.358-C.358D.73．答案：C解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以8n =，二项式展开项的通项公式为842218811C C 22rrr rr r r r T x x x -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令462r +=，得4r =，所以6x 的系数为448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选C.4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则()P B A =∣()A.112B.29C.13D.234．答案：B解析：易知()()()n AB P BA n A =∣，其中AB 表示“两次的点数均为奇数，且两次的点数之和为8”，共有两种情况，即(3,5)，(5,3)，故()2n AB =.而1133()C C 9n A =⋅=，所以()2()()9n AB P B A n A ==∣.故选B.5．[2023春·高二·江苏盐城·月考联考]已知服从正态分布()2,N μσ的随机变量在区间(],μσμσ-+，(]2,2μσμσ-+和(]3,3μσμσ-+内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布()290,15N ，则此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有()A.477人B.136人C.341人D.131人5．答案：B 解析：根据题意，()()()60120751050.95440.68261051200.135922P X P X P X <≤-<≤-<≤===，则10000.1359135.9136⨯=≈，故此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有136人.故选：B.6．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）99.29.49.69.810销量y （件）1009493908578预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为()参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据：615116iii x y==∑，622160.7i i x x =-=∑.A.9.4元B.9.5元C.9.6元D.9.7元6．答案：B解析：由题意，得1(99.29.49.69.810)9.56x =⨯+++++=，1(1009493908578)906y =⨯+++++=，6162216511669.590ˆ200.76i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===--∑∑，ˆ909.520280a=+⨯=，则ˆ20280y x =-+.设工厂获得利润L 元，则2(5)(20280)20(9.5)405L x x x =--+=--+，当9.5x =时，L 取得最大值.所以当单价定为9.5元时，工厂获得最大利润，故选B.7．[2024春·高一·河南三门峡·期末校考]某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3000名学生每周平均体育运动时长的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据,整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是()A.估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时B.估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10%D.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为6007．答案：C解析：对于A,估计该校学生每周平均体育运动时长为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）,故选项A 正确;对于B,该校高一年级的总人数为430001200433⨯=++,由题中频率分布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为()0.0250.120.25+⨯=,所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为12000.25300⨯=,故选项B 正确;对于C,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为()0.0750.0252100%20%+⨯⨯=,故选项C 错误;对于D,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为300020%600⨯=,故选项D 正确.故选：C.8．甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为12，23，34，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为()A.14B.724C.1124D.17248．答案：D解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是()12P A =，()23P B =，()34P C =，则不获一等奖的概率分别是()11122P A =-=，()21133P B =-=，()31144P C =-=，则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=++1231131211123423423424=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，这三人都获得一等奖的概率为()()()()12312344P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率1111724424P =+=.故选：D.二、多项选择题9．[2020年全国高考真题]我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.根据该折线图，()A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量9．答案：CD解析：由题图可知第8，9天复工指数和复产指数均减小，故A 错误；第1天时复工指数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B 错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过80%，故C 正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D 正确.10．已知()*nx n ⎛+∈ ⎝N 的展开式中共有7项，则该二项展开式中()A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共有4项10．答案：ACD解析：由题意知6n =，则6x ⎛⎝的展开式的通项为3666216C C (0,1,2,,6)2rr rr r r r T x x r --+===⋅ .对于A ，所有项的二项式系数和为6264=，故A 正确；对于B ，令1x =，得6613122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所有项的系数和为632⎛⎫⎪⎝⎭，不为1，故B 错误；对于C，由二项式系数的性质，可知6x ⎛⎝的展开式中第4项的二项式系数最大，为36C 20=，故C 正确；对于D ，当362r-∈Z ，即0,2,4,6r =时，对应的项为有理项，共有4项，故D 正确.故选ACD.11．[2023春·高二·江苏·期中联考]红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫色，等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲同学调配出红色”，B 表示事件“甲同学调配出绿色”，C 表示事件“乙同学调配出紫色”，则下列说法正确的是()A.1()15P A =B.1()4P C A =∣C.4()45P BC =D.事件B 与事件C 相互独立11．答案：AC解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为26C .对于A ，A 表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有22C 种方法，则2226C 1()C 15P A ==，故A 正确；对于B ，事件A 发生需要2瓶颜料均为红色，事件C 发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，在事件A 发生的条件下，事件C 不可能发生，所以()0P CA =∣，故B 错误；对于C ，若事件B 发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则112226C C 4()C 15P B ==，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则1224C 1()C 3P C B ==∣，故414()()()15345P BC P B P C B =⨯=⨯=∣，故C 正确；对于D ，若事件C 发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则21111111222242222264C C C C C C C C 4()C C 15P C ++==，444()()()151545P B P C P BC ⋅=⨯≠=，事件B 与事件C 不相互独立，故D 错误.故选AC.三、填空题12．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）.若,,{1,2,3,4}a b c ∈，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_________.12．答案：12解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个.所以这个三位数为“有缘数”的概率121242P ==.13．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，则随机变量X 方差的最小值为__________.13．答案：18解析：由1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，得1()2P X x ==，所以随机变量X 的数学期望21()4x E X +=，则方差222221123121111()42444442162x x x D X x ⎡⎤+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=⨯-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.当12x =时，()D X 取到最小值18，故答案为18.14．[2023届·西北工业大学附中·模拟考试]将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲、乙两个家庭不能连排在一起（甲、乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑），则这8张门票不同的分配方法有_________种.14．答案：72解析：设8张门票的编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8.若甲选123，则乙可以是56，67，78共3种，此时共有333A 18=种；若甲选234，则乙可以是67，78共2种，此时共有332A 12=种；若甲选345，则乙可以是78共1种，此时共有33A 6=种；若甲选456，则乙可以是12共1种，此时共有33A 6=种；若甲选567，则乙可以是12，23共2种，此时共有332A 12=种；若甲选678，则乙可以是12，23，34共3种，此时共有333A 18=种.综上所述，不同的分配方法有181266121872+++++=种.四、解答题15．[2024春·高一·青海西宁·期末]为了解学生的周末学习时间（单位：小时）,高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查,将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.根据直方图所提供的信息：(1)用分层抽样的方法在[)20,25和[]25,30中共抽取6人成立学习小组,再从该小组派3人接受检测,求检测的3人来自同一区间的概率;(2)估计这40名同学周末学习时间的25%分位数.15．答案：(1)1 5 ;(2)8.75小时.解析：(1)由图可知,40名学生中周末的学习时间在[)20,25的人数为0.035406⨯⨯=人,周末的学习时间在[]25,30的人数为0.0155403⨯⨯=人,从中用分层抽样抽取6人,则周末的学习时间在[)20,25的有4人,记为A,B,C,D;周末的学习时间在[]25,30的有2人,记为a,b;则再从中选派3人接受检测的基本事件有ABC,ABD,ABa,ABb,ACD,ACa,ACb, ADa,ADb,Aab,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,Bab,CDa,CDb,Cab,Dab共有20个,其中检测的3人来自同一区间的基本事件有ABC,ABD,ACD,BCD共有4个,所以检测的3人来自同一区间的概率41205 P==;(2)学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25⨯=<,学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+⨯=>,所以25%分位数在区间[)5,10内,则0.250.1 558.750.30.1-+⨯=-,所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.16．[2024春·高二·宁夏石嘴山·月考校考]2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G ，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G 信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G 信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G 的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G 、中国5G 的底气来自哪里.现在，5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT 公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该IT 公司在1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x 123456收入y （百万元）6.68.616.121.633.041.0（1）根据散点图判断，y ax b =+与e dx y c =⋅(a ，b ，c ，d 均为常数)哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司7月份的5G 经济收入.(结果保留小数点后两位)（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考数据：x yu 621()i i x x =-∑61()()iii x x y y =--∑61()()iii x x uu =--∑ 1.52e 2.66e 3.5021.15 2.8517.70125.35 6.734.5714.30其中，设ln u y =，ln i i u y =(1,2,3,4,5,6i =).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(21,2,3,,)i i x v n = ，其回归直线ˆˆˆvx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii Ri i x x v v x x β==--=-∑∑，ˆˆv x αβ=-16．答案：（1）e dx y c =⋅更适宜（2） 1.520.38e ˆx y +=，65.35百万元（3）分布列见解析，1解析：（1）根据散点图判断，e dx y c =更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型；（2）因为e dx y c =，所以两边同时取常用对数，得ln ln y c dx =+，设ln u y =，所以ln u c dx =+，因为 3.50x =， 2.85u =，所以61621()( 6.73ˆ0.380,17.70(iii ii x x u u dx x ==--==≈-∑∑所以ˆln 2.850.380 3.50 1.52c u dx=-≈-⨯=.所以ˆ 1.520.38u x =+，即ˆln 1.520.38y x =+，所以 1.520.38e ˆx y +=.令7x =，得 1.520.387 1.52 2.66ˆe e e 4.5714.3065.35y +⨯==⨯≈⨯≈，故预测该公司7月份的5G 经济收入大约为65.35百万元.（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X 的取值为0，1，2，2326C 1(0)C 5P X ===，113326C C 3(1)C 5P X ===，2326C 1(2)C 5P X ===，所以X 的分布列为：X 012P153515所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.17．[2024春·高三·内蒙古赤峰·开学考试校考]卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取500件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下：合格品优等品甲生产线250250乙生产线300200（1）判断能否有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关；（2）用频率近似为概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7069.8415.0246.63510.82817．答案：（1）没有；（2）分布列见解析，95解析：（1）补充列联表如下：合格品优等品总计甲生产线250250500乙生产线300200500总计5504501000根据列联表中的数据，经计算得到221000(250200250300)10.10110.828550450500500K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关.（2）由题意，甲生产线生产的产品中抽取优等品的频率为25015002=，乙生产线生产的产品中抽取优等品的频率为20025005=，所以估计从甲、乙生产线生产的产品中各随机抽取优等品的概率分别为12，25，由题意随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，()22139025100P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22211221312331C C 2525510P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2222211221313212372C C 2525525100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22211221212313C C 252555P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2212142525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X 01234P91003103710015125所以X 的期望()933711901234100101003255E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18．[2024春·高二·福建宁德·期末]毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75145～分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，13.σ=现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y ，求随机变量Y 的期望.(结果精确到0.01)；（3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为12；若前一关通过，则本关通过的概率为13，已知甲同学第一关通过的概率为13，记甲同学通过第n 关的概率为n P ，请写出n P 的表达式，并求出n P 的最大值.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.18．答案：（1）0.012；（2）0.23；（3）13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n P 的最大值为49.解析：（1）由频率分布直方图，得()100.0050.0190.030.020.0021a a ⨯++++++=，解得0.012a =.（2）由题意得：800.05900.121000.191100.3μ=⨯+⨯+⨯+⨯1200.21300.121400.02109.2+⨯+⨯+⨯=，()2109.2,13X N ～，()()()122135.220.022752P X P X P X μσμσμσ--<≤+>=>+=≈，()10,0.02275Y B ～，()0.22750.23E Y np ==≈.（3）记甲同学第()*n n ∈N 关通过为事件n A ，依题意，113P =，当2n ≥时，()113n n P A A -=，()112n n P A A -=，()n n P P A =，所以()()()()()1111n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为113P =，则1320721P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为221-，公比为16-的等比数列，所以13217216n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，113213213721672167n n n P --⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n P 随着n 的增大而减小，所以，249n P P ≤=，又4397>，所以n P 的最大值为49.19．[2024春·高二·江苏南通·月考校考]篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的.起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负.在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日.甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p ，且每人、每次进球与否都互不影响.（1）若23p =，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；（2）若1223p ≤≤，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：①设事件C 表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求()P C ；（结果用含p 的式子表示）②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？19．答案：（1）124；（2）①321388p p +；②15解析：（1）设事件i A 表示甲在一轮比赛中投进i 个球，i B 表示乙在一轮比赛中投进i 个球，()0123i =,,,，D 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球所以2031D A B A B =+()()()2031P D P A B P A B =+2332203133331111211C C C C 22323324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⨯⨯⨯⨯⎭⎝⎭⎝⎭（2）①()()()()203031P C P B A P B A P B A =++()3332231323311113C 1C 22288p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦⎝；②设随机变量X 表示n 轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，则有3213,88X B n p p ⎛⎫~+ ⎪⎝⎭，故()321388E X n p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要满足题意，则()3E X ≥，即3213388n p p ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，又12,23p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3231388n p p ≥+，令()321388f x x x =+，12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()3208f x x x '=+>在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()f x 的最大值为211354f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即321388p p +的最大值为1154，于是，3231388p p +的最小值为16211，因162141511<<，故理论上至少要进行15轮比赛.。

考点9 计数原理与概率统计—高考数学一轮复习考点创新题训练1.如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为( )3.中国茶文化是中国制茶､饮茶的文化.中国是茶的故乡，中国人发现并利用茶，据说始于神农时代，至少有4700多年历史中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含物质文化层面，还包含深厚的精神文明层次.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还有杀青､揉捻､干燥等制作流程.现在某茶厂新招聘了6位工人，分配到这三个工序，揉捻工序至少要分配两位工人，杀青､干燥工序各至少分配一位工人，则不同分配方案数为( )A.120B.240C.300D.3604.北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”.随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安.若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有( )A.144种B.204种C.156种D.240种5.为了学习，宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史，知国情，圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生人，女生人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为.记该班成绩的方差为，则下列判断正确的是( )A.M =N =N20302212,s s 2s 2s =2≥2=22212235s s +≥是通路的概率是( )7.《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是华夏文化的源头，也是阴阳五行术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，其中白圆点表示阳数，阳数皆为奇数，黑圆点表示阴数，阴数皆为偶数.若从这10个数中任取2个数，则取出的2个数中至少有1个偶数的概率为( )A.B.8.七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为( )，）表⋅1229*∈N 0,1,,k n =⋅⋅⋅示其中恰有次升高的排列的个数（注：次升高是指在排列中有k 处，，…，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六个，恰有1.则下列结论正确的有( )10.（多选）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visua l Basie 、VisualC ＋＋，VisualFoxpro 三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A 表示事件“甲学习VisualBasic 编程语言”；B 表示事件“乙学习VisualBasic 编程语言”；C 表示事件“乙学习VisualC ＋＋编程语言”，则( )A.事件A 与B 相互独立B.事件A 与C 不是互斥事件C.D.11.2021年我国神舟两次成功发射，2021年6月17日，神舟十二号载人航天飞船成功发射，并与天和核心舱成功完成对接，9月17日聂海胜､刘伯明､汤洪波三位航天员安全回到地面.同年10月16日，神舟十三号将另外三名航天员翟志刚､王亚平､叶光富送上太空.为弘扬他们的优秀事迹，同学们组织一项活动，给六位航天员分别制作一张卡片，每位同学每次随机抽取两张，然后讲述这两位航天员的事迹，则抽到同一艘航天飞船航天员的概率是___________.12.重庆位于中国西南部､长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带.东邻湖北､湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西.现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有__________种涂色方式.()52|1P C A =()16|P B A =k k 12n a a a ⋅⋅⋅1i i a a +<1i =1n -4==11=n n k =--111n n k n k k --=+-13.为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民.若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”.14.如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x 轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p ，移动2个单位的概率均为.（1）记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点；（2）已知，概率为.（i ）求，，；（ii ）证明：是等比数列，并求.15.乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域C 、D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，队员小明回球的不影响.求：（1）小明对落点在A 、B 上的来球回球的得分为0分的概率；（2）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（3）两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率.1p -()f p ()f p 0p p =n n P 8a 2P 3P {}1n n P P +-n P A B 、ξ答案以及解析11.答案：D同时2.答案：B3.答案：D解析：根据题意，新招聘了6位工人，分配到这三个工序，揉捻工序至少要分配两位工人，杀青､干燥工序各至少分配一位工人，可分为三类情况：①若揉捻工序分配2人，有种分配方案；②若揉捻工序分配3人，有种分配方案；③若揉捻工序分配4人，有种分配方案；由分类计数原理可得，共有种分配方案.故选：D.4.答案：C解析：第一步，唐胜杰、江新林2人相邻，有种排法；第二步，分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法；第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法，故总共有种排法.故选：C.5.答案：D，2221264642C C C C A 210+=312632C C A 120=4262C A 30=21012030360++=22A 2=44A 24=113333A A A 54=()22454156⨯+=2222112201[()()()]20s x x x x x x =-+-++-，同理，，6.答案：B7.答案：D解析：由题意知，这10个数中有5个奇数、5个偶数，所以取出的2个数中至少有1个偶数的概率8.答案：A的直角边为2，斜边为()2222122012201[220]20x x x x x x x x =+++-++++ 2222212201[4020]20x x x x x =+++-+ 202222221220111[20]2020i i x x x x x x ==+++-=-∑ 3022221130ii s y y ==-∑20222112020ii x s x =∴=+∑30222213030ii y s y ==+∑1(2030)50x y =+=222203022222212112312323505555i i i i s s x y s x y x x y ==⎛⎫++⎛⎫'∴=+-=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑22212236()525s s x y +=+-≥112555210C C C C p +==故选：A 9.答案：BC解析：对于A ，将1，2，3，4全部排列，恰有3次升高的排列为1234，，A 错误；对于B ，将全部排列，恰有2次升高，排列个数可以如下考虑：1排首位时，共有1324，1423，1342，1243共4个排列符合恰有2次升高；2排首位时，共有2134，2341，2314，2413共4个排列符合恰有2次升高；3排首位时，共有3124，3412共2个排列符合恰有2次升高；4排首位时，共有4123共1个排列符合恰有2次升高；，B 正确；对于C，将1，…，n 全部排列，共有处相邻两数满足或，故如果其中有k 处升高，则其余处必为，将有k 处升高的排列倒序排列，则得到的新排列显然有处升高，且两者排列的个数一样，反之亦然，所以有k 处升高的排列个数等于有对于D ，不妨取，，则，即，D 错误；故选：BC 10.答案：BCD种安排方案，甲学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言，=1=1,2,3,411=1n -1i i a a +<1i i a a +>1n k --1i i a a +>1n k --1n k --n n k =--4n =k ===4=33212418+=43324221≠+111n n k n k k --≠+-33A 36=各有种方案，有种方案，语言，有种方案，对于A ，，事件A 与B 不相互独立，故A 错误；对于B ，，事件A 与C 不是互斥事件，故B正确；对于C ，对于D ，解析：设抽到的两位航天员用表示，则共有{（聂，刘），（聂，汤），（刘，汤），（雀，王），（翟，叶），（王，叶），（聂，翟），（聂，王），（聂，叶），（刘，翟），（刘，王），（刘，叶），（汤，翟），（汤，王），（汤，叶）}15种情况，其中是同一艘飞船的有聂，刘），（聂，汤），（刘，汤），（翟，王），（翟，叶），（王，叶）}共6种情况，故12.答案：120解析：根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则这4种颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色，共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}､{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}､{“四川和湖北”且“贵州和陕西”}､{“四川和湖北”且“湖南和陕西”}､{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”}，共有5种情况，所以不同的涂色共有种.故答案为：120.13.答案：27解析：当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为；当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为，所以可以组成种不同“蔬菜包”种数为，故答案为：27.223323C A +A =12∴(P 22A =2∴()236P AB ==11221C C 5+=∴P ()()()P AB P A P B ≠∴ ()5036P AC =≠∴()()()|P AB P C A P A ==()()()|P AB P B A P A ==(,)x y {(615P ==445A 120⨯=2333C C 3⋅=1221323333C (C C C C )2(3331)24⋅+⋅=⨯+⨯=32427+=解析：（1）由已知，可得5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位在，在（2）（i ）法一：法二：（ii ）由题意，（3）可能的取值为0，1，2，3，4，6；答案见解析()2235C (1)f p p p ∴=-()()210(1)25f p p p p =--'∴()f p ∴20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭Z 2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭]max 2()5f p f ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭025p p ==112P =21312113115,224228P P P P P ∴=+==+=12211,2,n n n a a a a a ++===+ 834a ∴=01234887654C C C C C 34a =++++=211122n n n P P P ++=+()21112n n n n P P P P +++∴-=--{1n n P P +∴-121112n n n P P ++⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭()()()121321n n n P P P P P P P P -∴=+-+-++- 2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1223n⎛⎫+- ⎪⎝⎭=0()A =0()B =ξ解析：（1）记为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”（），则记为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”（），则（2）记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意，，由事件的独立性和互斥性，（3）由题意，可能的取值为0，1，2，3，4，6由事件的独立性和互斥性，得：，i A 013i =，，3()P A =1()A =011()123P A =--=i B 013i =，，3()P B =1()B =013()155P B =--=30100103D A B A B A B A B =+++30100103()()()()()P D P A B P A B P A B P A B =+++=ξ0011(0)()65P P A B ξ===⨯=10011113(1)()()3565P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯=11131(2)()355P P A B ξ===⨯=30031111(3)()()2565P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯31131311(4)()()2535P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯=3311(6)()25P P A B ξ===⨯=。

2023-2024学年高考数学专项复习——计数原理与概率统计决胜2024年高考数学专项特训:计数原理与概率统计（解答题篇）1．镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；(2)现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10 颗板栗中随机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.2．杭州第19届亚运会，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，标志着我国体育运动又有了新的突破.某大学从全校学生中随机抽取了130名学生，对其日常参加体育运动情况做了调查，其中是否经常参加体育运动的数据统计如下：经常参加不经常参加男生6020女生4010(1)利用频率估计概率，现从全校女生中随机抽取5人，求其中恰有2人不经常参加体育运动的概率；(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否经常参加体育运动与性别有关联.0.1α=2χ参考公式.()()()()22(),n ad bc n a b c da b c d a c b d χ-==+++++++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.8283．某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得cm 男生样本的均值为170，方差为17，女生样本的均值为160，方差为30．(1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吧？4．一个问题，甲正确解答的概率为，乙正确解答的概率为.记事件甲正确解答，事0.80.7:A 件乙正确解答.假设事件与相互独立.:B A B (1)求恰有一人正确解答问题的概率；(2)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下：解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为.A B +所以.()()()0.80.7 1.5P A B P A P B +=+=+=请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程.5．某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得010-分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为，且甲、乙答对与否互不影响，12,23每次答题的结果也互不影响．(1)求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望；X (2)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．6．为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：运动鞋款式A B C D E 回访顾客（人数）700350300250400满意度0.40.50.60.50.6注：1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；(2)从A 、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的X X 分布列和数学期望；(3)用“”和“”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对1ξ=0ξ=1η=0η=B 款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）()D ξ()D η7．某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二A B n 条路线上有个路口.m (1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路2n =2m =23口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，3435哪条路线更好？请说明理由.(2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，i X ()()110ii i P X P X p ==-==11ni i n ii E X p ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率()2112,1,2,3,,n ni i i i i j i j E X p p p i j n ==≠⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ i 为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.12i8．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；(3)计划安排A 、B 、C 、D 、E 五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A 不任教“围棋”课程，教师B 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．9．根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：(1)2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？(2)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？10．绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：喜欢旅游不喜欢旅游总计男性203050女性302050x A(1)求月份与商品的月销售量(2)若规定月销售量大于35的月份为合格月，在合格月中月销售量低于分，月销售量不低于50的视为优秀，记12．聊天机器人（chatterbot ）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.X X k =0,1,,8k = ()P X k =()P X k =k 13．某班社会实践小组在寒假去书店体验图书销售员工作，并对某图书定价x (元)与当天销量y (本/天)之间的关系进行调查，得到了一组数据，发现变量大致呈线性关系，数据如下表,x y 所示定价x （元）681012销量y （本/天）141187参考数据：，1()()24nii i xx y y =--=-∑参考公式：回归方程中斜率的最小二乘估计值公式为y bx a =+$$$121()()()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ (1)根据以上数据，求出y 关于x 的回归直线方程；(2)根据回归直线方程，预测当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价是多少元？14．俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出1ξ=的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，0ξ=1ξ=则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为．35310(1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；ξ(2)求张老师当天穿西装的概率．15．已知一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外全部相同.每次从盒子中随机取出1个球，并换入1个黑球，记以上取球换球活动为1次操作.设次操作后盒子中所剩黑n 球的个数为.ξ(1)当时，求的分布列；3n =ξ(2)当时，求的分布列和数学期望.(3)n k k =≥ξ()E ξ16．数字乡村是乡村振兴的战略方向，也是建设数字中国的重要内容.从乡村民宿到旅游演艺，(2)估计这100名员工各项素质分数的平均数与方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(3)若该平台准备挑选成绩较好的员工组建少？17．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出18．某超市计划按天从厂家订购酸奶，每瓶进价为4元，零售价为6元，若进货不足，则该超市以每瓶5元的价格进行补货，若销售有余，则厂家以3元回购，为此该超市收集并整理了30天这种酸奶的销售记录，得到了如下数据：销售瓶数2030405060频数361263以频率代替概率，记为这家超市每天销售该酸奶的瓶数，表示超市每天购进该酸奶的瓶X n 数.(1)求的分布列和数学期望；X (2)以销售该酸奶所得的利润的期望为决策依据，在和之中选一个，应选用哪个？55n =60n =答案：1．(1)57.5(2)分布列见解析，85【分析】（1）先通过分析确定中位数在内；再设中位数为，列出方程求解即可.[)50,60m （2）先根据分层抽样确定从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗[)40,506[]70,80中抽取颗；再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式4X 可得出答案．【详解】（1）因为，()0.0080.018100.260.5+⨯=<0.260.032100.580.5+⨯=>所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．[)50,60设该板栗园的板栗质量的中位数为，m 则，解得，()500.0320.260.5m -⨯+=57.5m =所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取[)40,50颗，从质量在内的板栗中抽取颗．0.0181060.0180.012⨯=+[]70,800.0121040.0180.012⨯=+的所有可能取值为．X 0,1,2,3,4，()()431664441010C C C 180,1C 14C 21P X P X ======，()()22136464441010C C C C 342,3C 7C 35P X P X ======．()44410C 14C 210P X ===从而的分布列为X X01234P114821374351210故．()1834180123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2．(1)；128625(2)经常参加体育运动与性别没有关联.【分析】（1）由题设知抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，应用二项1(5,)5X B 分布概率求法求概率；（2）写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验基本思想得到结论.【详解】（1）由表格知：经常参加与不经常参加体育运动的女生比例为，4:1所以，抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，1(5,)5X B 故恰有2人不经常参加体育运动的概率.232541128C ()()55625=（2）由题设得列联表如下：22⨯经常参加不经常参加男生602080女生40105010030130故，22130(60104020)0.433 2.706100308050χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以，依据小概率值的独立性检验认为经常参加体育运动与性别没有关联.0.1α=3．(1)不能，因为题目没有给出男、女生的样本量(2)均值为166，方差为46.2【分析】（1）由于不知道男、女生的样本量，故无法得到总样本的均值和方差；（2）根据男、女样本量按比例分配，得到总样本的均值，再根据公式得到总样本的方差.【详解】（1）不能，因为题目没有给出男、女生的样本量．（2）总体样本的均值为，300200170160166500500⨯+⨯=总体样本的方差为．2230020017(170166)30(160166)46.2500500⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦4．(1)0.38(2)答案见解析【分析】（1）分析可知，事件“恰有一人正确解答”可表示为，利用互斥事件和独立AB AB +事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）指出该同学作答的错误之处，分析可知，“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求AB AB AB ++得所求事件的概率，或利用对立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）解：事件“恰有一人正确解答”可表示为，AB AB +因为、互斥，与相互独立，AB AB A B 所以.()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+0.20.70.80.30.38=⨯+⨯=（2）解：该同学错误在于事件、不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.A B 正确的解答过程如下：“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为，且、、两两互斥，与相互独立，AB AB AB ++AB AB AB A B 所以()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++.()()()()()()0.20.70.80.30.80.70.94P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯=或者.()()()()11P A B P AB P A P B +=-=-()()110.810.70.94=---=5．(1)分布列见解析，()53E X =-(2)55108【分析】（1）由题意知，取值可能为，分别求出对应的概率，写出分布列，再X 10,0,10-由数学期望公式即可.（2）由独立事件乘法公式及互斥事件的概率即可求出结果.【详解】（1）取值可能为，X 10,0,10-；()121101233P X ⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；()1212101123232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121101236P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭所以的分布列为X X10-010P131216．()1115100103263E X =-⨯+⨯+⨯=-（2）由（1）可知在一局比赛中，乙获得10分的概率为，乙获得0分的概率2111323⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭为，乙获得分的概率为．121211123232⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10-1211236⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭在3局比赛中，乙获得30分的概率为；3111327P ⎛⎫==⎪⎝⎭在3局比赛中，乙获得20分的概率为；2223111C 326P ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭在3局比赛中，乙获得10分的概率为，2212333111111C C 323636P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以乙最终获胜的概率为．12311115527636108P P P P =++=++=6．(1)顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．C 9100(2)的分布列见解答．的期望是1X X (3)()()D D ξη<【分析】（1）求出款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是款C C 式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率．（2）的取值为0，1，2，设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对X M A 该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运N E 动鞋满意”，说明事件与相互独立．然后求解的概率，得到分布列，然后求解期M N X 望．（3）由两点分布的方差公式计算比较与的大小．()D ξ()D η【详解】（1）由题意知，是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为，C 3000.6180⨯=故从所有的回访顾客中随机抽取1人，此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．18092000100=（2）的取值为0，1，2．设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对X M A 该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，N E 且事件与相互独立．M N 根据题意，，．()0.4P M =()0.6P N =则，(0)()(1())(1())0.60.40.24P X P MN P M P N ===--=⨯=，()()(1)()()()1()1()()0.40.40.60.60.52P X P MN P MN P M P N P M P N ==+=-+-=⨯+⨯=，(2)()()()0.40.60.24P X P MN P M P N ====⨯=所以的分布列为：X X012P0.240.520.24的期望是：．（3）都服从两点分布，X ()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=,ξη，，()10.4P ξ==()10.5P η==，，()()0.410.40.24D ξ=⨯-=()()0.510.50.25D η=⨯-=所以.()()D D ξη<7．(1)应选择第一条路线，理由见解析(2)2113342n n+-⋅【分析】（1）由题意，，分别求出相应的概率然后，结合期望公式即可10,1,2X =20,1,2X =比较，得出结论.（2）结合所给的均值方差性质，以及等比数列前项和公式即可求解.n 【详解】（1）应选择第一条路线，理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、，1X 2X 则，，10,1,2X =20,1,2X =，，，()2111039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()1122141C 339P X ==⨯⨯=()2212242C 39P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭所以；()1484993E X =+=又，，，()212104510P X ==⨯=()2321391454520P X ==⨯+⨯=()233924520P X ==⨯=所以；()299272202020E X =+⨯=因为，所以应选择第一条路线.427320<（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为，X 所以；，()11nni i i i E X E X p ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑()22112n n i i i ji i i j E X E X p p p ==≠⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑设随机变量，取值为，其概率分别为，且，Y Y ()1,2,3,,i Y i n =L i q 11ni i q ==∑()(){}21ni i i D Y Y E Y q ==-⎡⎤⎣⎦∑()(){}2212n i i i i ii Y q E Y Y q E Y q ==⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦∑()()()()()22221112nnni i i i i i i i Y q E Y Y q E Y q E Y E Y ====⋅-⋅+⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑∑所以()()()()22D X E X E X =-2112nn i i j i i i j i p p p p =≠=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑，21122nn i i j i i j i i j i i j p p p p p p =≠=≠⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑()21ni i i p p ==-∑又因为，所以.12i i p =()1111111111224411241124n nn n i i i i D X ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---∑∑2113342n n =+-⋅8．(1)480(2)360(3)1140【分析】（1）采用插空法，先拍其余四科，再插空；（2）特殊的先排，再用分步乘法；（3）按甲所教科目的数量分类，然后由分类加法计数原理求解.【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况；44A 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；25A 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；4245A A 480⨯=（2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；26A 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；14C 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；23C 因此，所有选课种数为.212643A 6C C 30⨯⨯=（3）①当A 只任教1科时：先排A 任教科目，有种；再从剩下5科中排B 的任教科目，15C 有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以15C 2343C A 当A 只任教1科时，共有种；1123554343C C C A 5532190021⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯②当A 任教2科时：先选A 任教的2科有中，这样6科分为4组共有25C 种，245454C A 432124021⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯所以，当A 任教2科时，共有种，9002401140+=综上，A 不任教“围棋”的课程安排方案有1140种．9．(1)48(2)72【分析】（1）捆绑法结合分步计数原理即可；（2）插空法结合分步计数原理即可；【详解】（1）根据题意，先将2名女教师排在一起，有种坐法，22A 2=将排好的女教师视为一个整体，与3名男教师进行排列，共有种坐法，44A 24=由分步乘法计数原理，共有种坐法．22448⨯=（2）根据题意，先将3名男教师排好，有种坐法，33A 6=再在这3名男教师之间及两头的4个空位中插入2名女教师，有种坐法，24A 12=由分步乘法计数原理，共有种坐法．61272⨯=10．(1)有的把握认为喜欢旅游与性别有关95%(2)分布列见解析，()45E ξ=【分析】（1）将表中数据代入的计算公式并将计算结果与比较大小，由此可知结果；2K 3.841（2）根据条件判断出，然后计算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，22,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:ξ根据分布列可求.()E ξ【详解】（1）因为，22100(20203030)4 3.84150505050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关.95%（2）由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为，202505=由题意可知：，的可能取值为0,1,2.22,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:ξ所以，()222290C 15525P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111222121C 15525P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()02222242C 15525P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的分布列为：ξξ12P9251225425所以（或者）.()912440122525255E ξ=⨯+⨯+⨯=()24255E ξ=⨯=11．(1)ˆ523yx =+(2)分布列见解析，()21E X =【分析】（1）由题意先分别算出，，结合已知参数即可算出，4x =721140ii x==∑ˆ5b =，从而即可得解.ˆ23a=（2）合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，由超几何分布的概率公式即可求出分布列，进一步得出数学期望.【详解】（1），，()112345674,437x y =++++++==711344i i i x y ==∑，72222222211234567140ii x==++++++=∑所以，，213447443ˆ514074b -⨯⨯==-⨯ˆˆ435423a y b x =-⋅=-⨯=所以.ˆ523yx =+（2）由题可知，合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，所以，()()()21123232333555C C C C 113315,20,25C 10C 5C 10P X P X P X =========所以的分布列为X X152025P11035310数学期望.()1331520252110510E X =⨯+⨯+⨯=12．(1)0.75(2)6【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，A B 由题意，，，则()0.1P A =()0.8P B A =()0.3P B A =，()1()0.9P A P A =-=.()()()()()()()0.90.80.10.30.75P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+=⨯+⨯=（2）依题意，，，3(8,)4X B 8831()()()44k k kP X k -==C 当最大时，有()P X k =()()()()1,1,P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩即解得：，，8171888191883131C C ,44443131C C ,4444k k k k k k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩232744k ≤≤k ∈N 故当最大时，.()P X k =6k =13．(1)；1.220.ˆ8yx =-+(2).14【分析】（1）利用最小二乘法直接计算求回归直线方程即可；（2）利用回归直线方程代入计算即可.【详解】（1）由表格可知，6810121411879,1044x y ++++++====则，()()()()4222221()698910912920ii x x =-=-+-+-+-=∑所以，41421()()1.2()ˆiii ii x x y y bx x ==--==--∑∑则，故；1.2.8ˆ20ˆy x aa =-+⇒= 1.220.ˆ8y x =-+（2）由（1）知，当时，，1.220.ˆ8yx =-+4y =14x =即当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价是元.1414．(1)分布列见解析；，()13E ξ=()29D ξ=(2)25【分析】（1）结合古典概型即可写出分布列，进而可求期望与方差；（2）结合条件概率即可求解.【详解】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种，6636⨯=掷出的点数之和是3的倍数有：，12种；(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)则掷出的点数之和不是3的倍数有24种，随机变量的取值为0，1，ξ，()2420363P ξ===()1211363P ξ===所以的分布列为：ξξ1P2313．()21101333E ξ=⨯+⨯=；()22111221033339D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装．A AB B 根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为，()13P A =()23P A =穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为，()30.65P B A ==()310P B A =则当天穿西装的概率为．()()()()()13232353105P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=所以张老师当天穿西装的概率为．2515．(1)分布列见解析(2)分布列见解析，数学期望为2323k⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）首先分析题意，列出，即3次摸换球后的可能取值为1，2，3，3n =ξ再一次计算可能即可.（2）利用（1）中题意，进行分析即可，最后算出答案.【详解】（1），即3次摸换球后的可能取值为1，2，3.3n =ξ当，即3次摸球都摸到黑球，1ξ=1111(1)33327P ξ==⨯⨯=当，即3次摸球中有且仅有2次摸到黑球，1次白球，2ξ=()()()(2)P P P P ξ==++黑黑白黑白黑白黑黑112122222333333333=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1427=当，即3次摸球中有且仅有1次摸到黑球，2次白球，3ξ=()()()(3)P P P P ξ==++黑白白白黑白白白黑12122121133333333=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.1227=分布列为∴ξ122P12714271227（2）时，即次摸球换球后，黑球个数可能取值为1，2，3(3)n k k =≥k ξ同（1）当，即次摸球都摸到黑球，1ξ=k 1(1)3kP ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭当，即次摸球有且仅有“”次摸到黑球，1次摸到白球，2ξ=k 1k -()()()(2)P P P P ξ==+++白黑黑黑黑黑黑黑白黑白12122122123333333k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯++⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112223kk k -=+++ .当，()2121312kk -=⋅-2123k k -=⋅3ξ=(3)1(1)(2)P P P ξξξ==-=-=，，()2211133k kk -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12113k k +-=-()()14213211()3333k k k k k E ξ+--⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭2233kk ⋅=-2323k⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由题知，平均数为65x =方差为20.1(6582)0.3S =⨯-+⨯（3）因为从100名员工中挑选工组建“数字乡村发展部”，所以应选成绩为70百分位数及其后的分数的员工，所以被挑选的员工分数不低于.87.517．(1)12(2)方案二，理由见解析【分析】（1）由古典概型结合组合数公式求解；（2）分别求解两方案的均值和方差比较可得结果【详解】（1）设顾客的奖励额为X,依题意得()111324C C 160C 2P X ===（2）根据方案一，设顾客的奖励额为其可能取值为30，，30m60，901,X ，，()22124C 130C 6P X ===()1122124C C 4260C 63P X ====()22124C 190C 6P X ===()112130609060636E X =⨯+⨯+⨯=()()()()2221121306060609060300636D X =-⨯+-⨯+-⨯=根据方案二，设顾客的奖励额为其可能取值为40，60，802,X ，，()22224C 140C 6P X ===()1122224C C 4260C 63P X ====()22224C 180C 6P X ===()212140608060636E X =⨯+⨯+⨯=()()()()22221214004060606080606363D X =-⨯+-⨯+-⨯=商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二18．(1)分布列见解析，数学期望为40；(2).55n =【分析】（1）直接根据表格计算离散型随机变量的分布列及期望即可；（2）分类计算两种情形的分布列及期望，比较大小决定即可.【详解】（1）根据表格可知的所有可能取值为：，X 20,30,40,50,60且，()()36200.1,300.23030======P X P X，()()()1263400.4,500.2,600.1303030=========P X P X P X 所以分布列为：X2030405060P0.10.20.40.20.1.()200.1300.2400.4500.2600.140E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）①当时，设为“超市销售该酸奶所得的利润”，55n =1Y 则当时，；当时，；20X =12201355Y =⨯-⨯=30X =123012535Y =⨯-⨯=当时，；当时，；40X =124011565Y =⨯-⨯=50X =12501595Y =⨯-⨯=当时，；60X =125515115Y =⨯+⨯=所以的分布列为：1Y 1Y 5356595115P0.10.20.40.20.1，()150.1350.2650.4950.21150.164E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=②当时，设为“超市销售该酸奶所得的利润”，则60n =2Y 当时，；20X =22201400Y =⨯-⨯=当时，；30X =223013030Y =⨯-⨯=当时，；40X =224012060Y =⨯-⨯=当时，；50X =225011090Y =⨯-⨯=当时，；60X =2260120Y =⨯=所以的分布列为：2Y 2Y 0306090120P0.10.20.40.20.1，()200.1300.2600.4900.21200.160E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故应选.()()12E Y E Y >55n =。

计数原理与概率统计大题综合1．已知()12n x n N x *⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为64(1)求n 的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项．2．已知2nx ⎛ ⎝展开式中第3项和第7项的二项式系数相等.(1)求展开式中含2x 的项的系数；(2)展开式系数的绝对值最大的项是第几项？3．已知22⎛ ⎝nx 的展开式中第9项为常数项.(1)求该二项展开式中含5x 项的系数；(2)求该二项展开式中二项式系数最大的项.4．在二项式12nx ⎛ ⎝的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式的常数项；(3)求展开式中项的系数最大的项.5．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（算出具体数字）(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体排成一排，女生必须站在一起；(3)全体排成一排，男生互不相邻；(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.6．把1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数.(1)可以组成多少个五位偶数？(2)可以组成多少个2,3不相邻的五位数？(3)可以组成多少个数字1,2,3按由大到小顺序排列的五位数？7．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本.8．快毕业了，7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法?（每题都要用数字作答）(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站.9．已知567234012377546(12)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++.求下列各式的值：(1)0127a a a a +++⋅⋅⋅+；(2)0127a a a a +++⋅⋅⋅+；(3)1357a a a a +++.10．某校夏令营有3名男同学,,A B C 和2名女同学,X Y ，现从这5名同学中随机选出2人参加知识竞赛.(1)写出试验的样本空间；(2)设M 为事件“选出的2人恰有1名男生和1名女生”，求事件M 发生的概率.11．对同时从,,,,A B C D E 五个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取11件样品进行检测．地区A B C D E 数量804012040160(1)求抽出的11件商品中，来自,,A B C 各地区的数量；(2)在,,A B C 三个地区被抽检的几件样品中，再随机取2件，做进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．12．已知甲箱的产品中有2件正品和3件次品，乙箱的产品中有3件正品和2件次品.(1)若从甲箱中取出2件产品，求在2件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品的概率；(2)若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1件产品，求取到一件正品的概率.13．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．分组频数频率40.0850.560.50.1660.570.50.2070.580.51680.590.590.5100.5合计50 1.00(1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；(2)补全频数分布直方图；(3)若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？14．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列；(2)以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(10,12](单位：小时)内的概率，其中0,1,2,,20k =⋅⋅⋅.求当20()P k 最大时，k 的取值.15．某学生社团为了解本校学生喜欢球类运动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查，要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类运动，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)则参加调查的人数共有__________人；在扇形图中，m __________；将条形图补充完整；（不需要写过程）(2)该社团计划从篮球､足球和乒乓球中，随机抽取两种球类组织比赛，请用树状图或列表法，求抽取到的两种球类恰好是“篮球”和“足球”的概率．16．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是34，乙猜对歌名的概率是23，丙猜对歌名的概率是12，甲、乙、丙猜对与否互不影响.(1)求该小组未能进入第二轮的概率；(2)该小组能进入第三轮的概率；(3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率.17．从甲地到乙地要经过3个十字路口，各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234．(1)求一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯的概率；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．18．第56届世界乒乓球锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分.(1)已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1 3，且每局比赛的结果相互独立.求甲乙两人只需要再进行三局比赛就能结束本场比赛的概率.(2)已知某局比赛中双方比分为8:8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为35，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11:9获胜的概率；19．2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根据调研结果数据显示，我国大中小学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120(1)根据所给数据，完成下面22⨯列联表，并据此判断：能否依据小概率值0.05α=的独立性检验下认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计(2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X，求X的分布列及数学期望.α0.0500.0100.001xα 3.8416.63510.828附：22()=()()()()n ad bca b c d a c b d χ-++++20．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160165,，…，第八组[]190195,，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校800名男生的身高的中位数和众数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件{}5E x y =-≤，求()P E ．21．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为34，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为34，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为12．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．(1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．22．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[)50,60，[)60,70，…，[]90,100分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）组别分组频数频率第1组[)50,6080.16第2组[)60,70a ■第3组[)70,80200.40第4组[)80,90■0.08第5组[]90,1002b 合计■■解决下列问题：(1)求a ，b ，x ，y 的值；(2)试估计受调查者满意度评分值的80%分位数；(3)若在满意度评分值为[]80,100的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率．23．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14．若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．24．某企业计划新购买100台设备，并将购买的设备分配给100名年龄不同（视为技术水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量x 表示不同技工的年龄，变量y 为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且y关于x 的线性回归方程为ˆ 1.240.6yx =+.(1)试预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益；(2)试根据r 的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱（0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；||0.75r <，则认为y 与x 线性相关性不强）；(3)若这批设备有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.求这批设备增加的生产成本的期望.参考数据：()()1001002211121225i i i i x x y y ==-=-=∑∑；参考公式：回归直线ˆˆˆy a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，1221ˆni i i n i i x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，()()ni i x x y y r --=∑25．高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在历史、物理2个学科中自主选择1个科目，在政治、地理、化学、生物4个学科中自主选择2个科目参加考试，称为“312++”模式，为了解学生选科情况，东莞某中学随机调查了该校的300名高三学生，调查结果为选历史的100人.(1)从该中学高三学生中随机抽取1人，求此人是选考历史的概率；(2)以这．．300．．．名高三学生选历史的频率作为全校高三学生选历史的概率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.现从该中学高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考历史的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.26．2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策．某市为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了50名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图，如图所示．(1)由频率分布直方图估计小学生课外活动时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t （分钟）近似服从正态分布()2,13.4N μ，其中μ为样本中课外活动时间的平均数．用频率估计概率，在该市随机抽取10名学生，记课外活动时间在(35.7,75.9]内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望（精确到0.1）．参考数据：当t 服从正态分布()2,N μσ时，()0.6827P t μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P t μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P t μσμσ-<≤+=．27．某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1,2,3,4的四批疫苗，供全市所辖的,,A B C三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．(1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；(2)记,,A B C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求X的分布列．28．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和32p-，其中34p<<.(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，求p的值；(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列.29．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处问题中，解决下面两个问题．已知()123*0123(21)N n n n x a a x a x a x a x n -=++++⋅⋅⋅+∈，若(21)n x -的展开式中，______．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)在()()()342111n x x x +++++⋅⋅⋅++的展开式中，求含2x 项的系数（结果用数字表示）．30．已知()(23)()N n f x x n *=-∈展开式的二项式系数和为512，且2012()(1)(1)(1)n n f x a a x a x a x =+-+-++- .(1)求12n a a a +++ 的值；(2)设(20)206,f k r -=+其中k r ，，N ∈且6r <，求r 的值.。

概率统计精选练习题及答案练题一- 问题：有一袋子里面装有5个红球和3个蓝球，从袋子里随机取两个球，求取出的两个球颜色相同的概率。

- 解答：首先，我们计算取两个红球的概率。

从5个红球中取出2个红球的组合数为C(5, 2) = 10。

总的取球组合数为C(8, 2) = 28。

所以，取两个红球的概率为10/28。

同理，取两个蓝球的概率为C(3, 2)/C(8, 2) = 3/28。

因为取球的过程是相互独立的，所以取出的两个球颜色相同的概率等于取两个红球的概率加上取两个蓝球的概率，即(10/28) + (3/28) = 13/28。

练题二- 问题：某商场每天的顾客数量服从均值为100，标准差为20的正态分布。

求该商场下一个月（30天）的总顾客数量的期望值和标准差。

- 解答：下一个月的总顾客数量等于每天顾客数量的总和。

因为每天的顾客数量服从正态分布，所以总顾客数量也服从正态分布。

总顾客数量的期望值等于每天顾客数量的期望值的总和，即30 * 100 = 3000。

标准差等于每天顾客数量的标准差的总和，即sqrt(30) * 20 ≈ 109.544。

练题三- 问题：某城市的交通事故发生率为每年100起。

求在下一个月内该城市发生至少一起交通事故的概率。

- 解答：在下一个月内，发生至少一起交通事故的概率等于1减去没有发生交通事故的概率。

没有发生交通事故的概率可以用泊松分布来计算。

假设一个月内发生交通事故的平均次数为100/12 ≈ 8.333，那么没有发生交通事故的概率为P(X = 0)，其中X服从参数为8.333的泊松分布。

计算得到P(X = 0) ≈ 0.。

所以，在下一个月内该城市发生至少一起交通事故的概率为1 - P(X = 0) ≈ 0.。

以上是概率统计的精选练习题及答案，希望能对您的学习有所帮助。

计数原理与概率统计高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表：（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，33+科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定A、B、C、D、E五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．3.中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++ （1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人.记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望. 4.一只红玲虫的产卵数y 和温度t 有关．现收集了7组观测数据如表：先建立y 与t 的指数回归方程0.272 3.849(1)t y e ∧-=，然后通过对数变换ln u y =，把指数关系变为u 与t 的线性回归方程：(1)0.272 3.849u t =-；模型②：先建立y 与t 的二次回归方程(2)20.367202.543y t =-，然后通过变换2x t =，把二次关系变为y 与x 的线性回归方程：(2)0.367202.543y x =-．（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在40°时产卵数的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．（参考数据：模型①的残差平方和11550.538Q =，模型①的相关指数210.98R =；模型②的残差平方和215448.431Q =，模型②的相关指数220.8R =；7.03178113110962981ln7 1.946e e e ====，，，，ln11 2.398ln21 3.045==，，ln24 3.178ln66 4.190ln 15 4.745ln325 5.784l ====，，，）5.某公司举办了一场新产品推介会，为了进一步了解产品的消费群体的年龄和性别特征，销售人员拟从参加现场会的人员中抽取一个容量为200的样本.（1）你认为销售人员应该采用哪种抽样方法，能使样本更好具有代表性，简要说明理由； （2）经过调查，销售人员获得了如下数据你是否有99%的把握认为是否喜欢该产品和年龄有关； （3）根据以上信息，你对该公司这款产品销售策略有何建议. 参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++6.已知函数e 2f x x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)是否存在()12,0,2x x ∈，使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直？说明理由.(参考数据：e 2.72≈，ln20.69≈) 7.已知(2n x 的展开式中各项的二项式系数之和为32.（1）求n 的值； （2）求(2n x 的展开式中2x 项的系数；（3）求(2n x x ⎛⎝展开式中的常数项. 8.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，2019年12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数如下表所示：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的经验回归方程ˆˆˆybx a =+； （3）若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的经验回归方程是可靠的，试问（2）中所得的经验回归方程是否可靠？参考公式：经验回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆˆˆ,niii nii x x yy b ay bx x x ==--==--∑∑. 9.互联网使我们的生活日益便捷,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分,某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查,调查结果如下表：（2）据统计表明，y 与x 之间具有线性相关关系，请用样本相关系数r 对y 与x 之间的相关性强弱进行判断.（若||0.75r >，则可认为y 与x 有较强的线性相关关系， r 的值精确到0.001） 10.某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在某年的连续6个月内，对月份i x 和关注人数i y （单位：百）（1,2,3,,6i =）的数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值如表所示.66判断两个变量x ,y 是否线性相关，计算样相关系数r ，并说明它们的相关程度.参考公式：样木相关系数()()nii xx y y r --=∑，若||0.95r >，则y 与x 的线性相关程度相当高.36.5≈.11.在新中国成立七十周年之际,赤峰市某中学的数学课题研究小组在某一个社区做了一个关于在每天晚上7:30~10:00共2.5小时内,居民浏览“学习强国”的时间的调查.如果这个社区共有成人10 000人,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国App ”的概率均为P (某人在某一时刻打开“学习强国App ”的概率,01p p =<<学习时长调查总时长),并且每人是否打开进行学习是相互独立的.他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国”的时间(单位：min ),得到下面的频数表,以样本中100名成人每天晚上的平均学习时长作为该社区每个人的学习时长.(2)设X 表示这个社区每天晚上打开“学习强国App ”进行学习的人数. ①求X 的数学期望()E X 和方差()D X ； ②若随机变量Z 满足Z =,则可认为()~0,1Z N .假设当49505100X ≤≤时,表示该社区处于最佳学习氛围,试由此估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长(结果保留整数). 附：若()2~,Z N μσ,则()0.683,(22)0.954P Z P Z μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈,(33)0.997P Z μσμσ-≤≤+≈.12.为了加强对环保知识的宣传,某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动活动.设置了四个箱子,分别写着“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、其他垃圾”，另有卡片若干张,每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张,按照自己的判断,将每张卡片放入对应的箱子中.按规则,每正确投放一张卡片得5分,投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得5分,放入其他箱子,得0分.从所有参赛选手中随机选取20人,将他们的得分按照[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分组,并绘成频率分布直方图如图所示.(1)分别求出所选取的20人中得分落在[0,20]和(20,40]内的人数;(2)从所抽取的20人中得分落在[0,40]内的选手中随机选取3名选手,以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数,求X 的分布列和数学期望.13.某学校要招聘志愿者，参加应聘的学生要从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为34，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. （1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为Y ，求Y 的分布列数学期望和方差.14.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X . （1）求X 的分布列;（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，()0,18p i =，，表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则08110,1,(1,2,,7)i i i i p p p ap bp cp i -+===++=，其中(1),(0),(1)a P X b P X c P X ==-====.假设0.50.8αβ==，.（i ）证明：{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为等比数列；（ii ）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.15.某企业向国内100家大型农贸市场提供大米.据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：t ），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中x 的值和年平均销售量的众数和中位数；（2）在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组大型农贸市场中，用分层随机抽样的方法抽取11家大型农贸市场.求应在年平均销售量在[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]内的农贸市场中各抽取多少家.参考答案1.答案：（1）根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是1500.75200=，乙机床生产的产品中一级品的频率是1200.6200=. （2）根据题表中的数据可得22400(1508050120)40010.2562701302020039K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.因为10.256 6.635>，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 解析：2.答案：(1)90分（2）40名学生中，地理赋分为90分有4015%6⨯=人，这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分有4035%14⨯=人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人，分别为76，76，77，78；∵小明的地理成绩最后得分为80分，且原始成绩为70多分， ∴小明的原始成绩的可能值为76，77，78．（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为,,,,A a b c d ，∴小明从这五科中任选两科的所有可能选法有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共10种，而其中包括地理的有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d 共4种，∴小明选考科目包括地理的概率为：42105P ==．解析： 3.答案：（1）23.941 3.84142584060203K ==≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关” （2）因为随机选一高三女生，对此事关注的概率1234010P == 又因为3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为显然，()10E X np == 解析：4.答案：解：（1）对于模型①，当40t C =︒时，0.27240 3.8497.031u =⨯-=， 由ln u y =可得7.0311131u y e e ===，即根据模型①，可预测1只红玲虫在40C ︒时产卵1131个．对于模型②，当40t C =︒时，2401600x ==，0.3671600202.543385y =⨯-≈． 即根据模型②，可预测1只红玲虫在40C ︒时产卵385个． （2）因为12Q Q ＜，且2212R R ＞， ∴模型①得到的预测值更可靠． 解析：5.答案：（1）由于总体数据存在较大差异，所以采用分层抽样的方法抽取校本更具有代表性. （2）根据题意得221200(30405080)16.498 6.6351109012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%以上的把握认为喜欢该产品和性别有关.22200(90404030)13.187 6.6351208070130K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%以上的把握认为喜欢该产品和年龄有关（3）根据以上信息可知：喜欢该产品和年龄、性别都有关系，由于统计表中女性喜欢新产品的比例明显高于男性：50岁以上人员喜欢新产品的比例明显高于50岁以下人员.因此，建议该产品销售群体要偏向50岁以上女性. 解析：6.答案：解：(1)()'e 4x f x x =-，()'01f =，()01f =， 则切线方程为：()110y x -=-，即1y x =+. (2)令()()'e 4x g x f x x ==-，若存在()12,0,2x x ∈，使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直，则存在()12,0,2x x ∈，()()121g x g x ⋅=-.()'e 4x g x =-，令()'0g x =，解得：()ln 40,2x =∈.所以()g x 在()0,ln 4上单调递减，在()ln 4,2上单调递增.()01g =，()ln 444ln 4 1.42g =-≈-，()22e 80.6016g =-≈-故()[)1.42,1g x ∈-，所以存在()12,0,2x x ∈，使得()()121g x g x ⋅=-，例如()()1265,56g x g x =-=.解析：7.答案：（1）由题意结合二项式系数的性质可得232n =，解得5n =. （2）由（1）得5n =，5(2x的通项为35552155C (2)2C r r rr rr r T x x---+==，令3522r-=，得2r =， 所以5(2x+的展开式中2x 的系数为3252C 80⨯=. （3）由（2）知，5(2x的展开式的通项为3552152C r rrr T x--+=，令3512r-=-，得4r =； 令31522r -=，得3r =， 故5(x x-+展开式中的常数项为544533552C 2C 104030---=-=-.解析：8.答案：（1）设取到不相邻2组数据为事件A .因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况有4种，所以43()1-105P A ==，故选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率为35.（2）利用12月2日至12月4日的数据，求得11(111312)12,(253026)2733x y =⨯++==⨯++=，()()31(1)(2)130(1)5ii i xx y y =--=-⨯-+⨯+⨯-=∑，()322221(1)102i i x x =-=-++=∑，所以()()()313215ˆˆˆ,-32ii i ii xx y y bay bx xx ==--===-=-∑∑. 所以y 关于x 的经验回归方程为5ˆ32yx =-. （3）当10x =时，5ˆ10322,222322y =⨯-=-<，同样地，当8x =时，5ˆ83172y =⨯-=，|1716|2-<，所以（2）中所得到的经验回归方程是可靠的.解析：9.答案：(1)由题可知52981175x ++++==，231051575y ++++==，外卖甲的日接单量的方差222222(57)(27)(97)(87)(117)=105s -+-+-+-+-=甲，外卖乙的日接单量的方差222222(27)(37)(107)(57)(157)23.65s -+-+-+-+-==乙，因为x y =，22s s <甲乙，即外卖甲的平均日接单量与外卖乙的平均日接单量相同，但外卖甲的日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好.（2）因为()()nii xx y y r --=∑易得()()5166i i i x x y y =--=∑，77≈，所以代入计算可得，样本相关系数660.8570.7577r ≈≈>，所以可认为y 与x 有较强的线性相关关系.解析：10.答案：由题图可知,变量x ,y 线性相关. 1(111316152021)166y =+++++=，()62176i i y y =∴-=∑.又()()()6621117.5,35ii i i i xx x x y y ==-=--=∑∑，∴样本相关系数()()60.96ii xx y y r --===≈∑.0.960.95>，∴x 与y 这两个变量成正相关，且相关程度相当高.解析：11.答案：(1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为()550.1650.2750.4850.2950.175min ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 而调查总时长为()150min ,故7511502p ==. (2)①根据题意,1~10000,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故1()1000050002E X np ==⨯=, 11()(1)10000250022D Xnp p =-=⨯⨯=.②110050Z X ==-. 当49505100X ≤≤时,1201)(,~,Z Z N -≤≤, 0.9540.683(12)(2)0.9540.81852P Z P Z μσμσ--≤≤=-≤≤+≈-=.故()()49505100120.8185P X P Z ≤≤=-≤≤≈.()1500.8185123min ∴⨯≈,即该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长约为123 min . 解析：12.答案：(1)由题意知,所选取的20人中得分落在[0,20]内的人数为0.005020202⨯⨯=,得分落在(20,40]内的人数为0.007520203⨯⨯=.因此,所选取的20人中得分落在[0,20]内的人数有2人,得分落在(20,40]内的人数有3人. (2)由题意可知,随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,则3122132323333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P X P X P X =========,所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. 解析：13.答案：（1）由题意得，甲通过初试的概率314626144x 8C C C 11C C 14P =+=, 乙通过初试的概率31434244313189C C 444256P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 1118914256>,∴甲通过初试的可能性更大. （2）设乙答对试题的个数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4,且3~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭,4431()C (0,1,2,3,4)44k kk P X k k -⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知5Y X =,Y ∴的分布列为()54154E Y =⨯⨯=, 3175()254444D Y =⨯⨯⨯=. 解析：14.答案：（1）X 的所有可能取值为1-，0，1. (1)(1)P X αβ=-=-， (0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-.所以X 的分布列为因此110.40.50.1i i i i p p p p -+=++， 故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-， 即()114i i i i p p p p --=--. 又因为1010p p p -=≠，所以{}()10,1,27i i p p i +-=，，为公比为4， 首项为1p 的等比数列.（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+()()()877610p p p p p p =-+-++-81413p -=.由于81p =，故18341p =-， 所以()()()()444332211014113257p p p p p p p p p p -=-+-+-+-==. 4p 表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 解析：15.答案：（1）由频率分布直方图的性质得，(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=,解得0.0075x =. 年平均销售量的众数是2202402302+=. (0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<， ∴年平均销售量的中位数在[220,240)内.设中位数为a ，则(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=, 解得224a =，∴年平均销售量的中位数为224.（2）年平均销售量在[220,240)内的农贸市场有0.01252010025⨯⨯=（家）, 年平均销售量在[240,260)内的农贸市场有0.00752010015⨯⨯=（家）， 年平均销售量在[260,280)内的农贸市场有0.0052010010⨯⨯=（家）， 年平均销售量在[280,300]内的农贸市场有0.0025201005⨯⨯=（家），∴抽取比例为111 25151055=+++,∴应在年平均销售量在[220,240)内的农贸市场中抽取12555⨯=（家）,应在年平均销售量在[240,260)内的农贸市场中抽取11535⨯=（家），应在年平均销售量在[260,280)内的农贸市场中抽取11025⨯=（家），应在年平均销售量在[280,300]的农贸市场中抽取1515⨯=（家）,故应在年平均销售量在[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]内的农贸市场中各抽取5家，3家，2家，1家.解析：。

高中数学《计数原理与概率统计》练习题（含答案解析）一、单选题1．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（ ） A ．35B ．40C ．45D ．602．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,,6.6x 的65百分位数是4.5，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[4.5,)+∞ B ．[4.5,6.6) C ．(4.5,)+∞D ．(4.5,6.6]3．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ）A ．15B ．310 C ．35D ．124．已知随机变量X 服从二项分布(),XB n p ，若()54E X =，()1516=D X ，则p =（ ）A ．14B ．13C ．34D ．455．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A ．27B ．26C ．25D ．196．已知随机变量X 的分布列为设23Y X =+，则()D Y 等于（ ） A ．83B ．53C ．23D ．137．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.88．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在[)25,35内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（ ）A ．0.38B ．0.61C ．0.122D ．0.759．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立10．在一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，记M 表示事件“取到红桃”，N 表示事件“取到J”，有以下说法：①M 与N 互斥；①M 与N 相互独立；①M 与N 相互独立.则上述说法中正确说法的序号为（ ） A ．①B ．①C ．①①D ．①①二、填空题11．已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(01)0.4P X <≤=，则(2)P x >=_______.12．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________. 13．已知随机变量X ，Y 分别满足(),X B n p ，()5,4Y N ，且均值()()E X E Y =，方差()()D X Y D =，则p =________.14．若随机变量X 服从二项分布115,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =取得最大值时，k =______．三、解答题15．某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x （千元）和销售量y （千件）之间的一组数据如下表所示：（1）试根据1至5月份的数据，建立y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过065．千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中i ii 122ii 1ˆnnx y n x yb xnx==-⋅⋅=-∑∑.参考数据：5i i i 1392x y ==∑，52i i 1502.5x ==∑.16．某中学要从高一年级甲、乙两个班级中选择一个班参加市电视台组织的“环保知识竞赛”．该校对甲、乙两班的参赛选手(每班7人)进行了一次环境知识测试，他们取得的成绩(满分100分)如下： 甲班：75、78、80、89、85、92、96． 乙班：75、80、80、85、90、90、95．求甲、乙两班学生成绩的方差，并从统计学角度分析该校应选择甲班还是乙班参赛．17．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下： 我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II ）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X 表示这2人中优秀人数，求X 的分布列与期望.18．某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入，制成表格如下：表1由表1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型2y bx a =+（b 和a 均为常数）来拟合y 和x 的关系，这时，可以令2t x =，得y bt a =+，由表1可得t 与y 的相关数据如表2(1)根据表2中数据，建立y 关于t 的回归直线方程（系数精确到个位数）；(2)根据（1）中得到的回归直线方程估计2023年的营业收入以及营业收入首次超过4000亿元的年份．参考公式；回归直线方程ˆˆˆvu βα=+中，()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 参考数据：38.5t =，703.45y =，()102411.05110i i t t=-=⨯∑，()()10512.32710i i i t ty y =--=⨯∑．参考答案与解析：1．C【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可 【详解】由题意可得男生抽取的人数是8003508045800-⨯=． 故选：C 2．A【分析】根据%p 分位数的定义判断求解.【详解】因为65%8 5.2⨯=，第65百分位数是4.5，故这组数据的第65百分位数是第六个数，所以x 的取值范围是[4.5,)+∞， 故选：A. 3．B【分析】由古典概率模型的计算公式求解.【详解】样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为310. 故选：B. 4．A【分析】由二项分布的均值和方差公式列方程组求解． 【详解】由题意5415(1)16np np p ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 故选：A ． 5．D【分析】根据随机数表法的步骤即可求得答案.【详解】由题意，取出的数有23,20,80（超出范围，故舍去），26,24,26（重复，故舍去），25,25（重复，故舍去），36（超出范围，故舍去），99（超出范围，故舍去），72（超出范围，故舍去），80（超出范围，故舍去），19. 故选：D. 6．A【分析】根据分布列求出()E X ，()D X ，再根据条件得()()4D Y D x =，计算答案即可. 【详解】由X 的分布列得()1110121333E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()22211120111213333D X =-⨯+-⨯+-⨯=，因为23Y X =+， 则()()843D Y D x == 故选：A. 7．C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610， 故选：C. 8．B【分析】利用频率=频率组距⨯组距，即可得解. 【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在[)25,35内的概率()0.0800.04250.12250.61P =+⨯=⨯=故选：B 9．B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ， 1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙， 故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立 10．D【分析】根据互斥事件和相互独立事件的定义逐一判断即可得出答案. 【详解】解：因为M 表示事件“取到红桃”，包括“取到红桃J ”， N 表示事件“取到J”， 包括“取到红桃J ”， 所以事件,M N 可以同时发生，所以事件,M N 不是互斥事件，故①错误； 52张扑克牌中有13张红桃，4张J ， 所以()()()1314113,,1524521344P M P N P M =====-=， 事件M N ⋂表示“取到红桃J ”，有1张， 事件MN 表示“取到除了红桃J 的J ”，有3张，所以()()()152P M N P M P N ⋂==，()()()352P M N P M P N ⋂==， 所以M 与N 相互独立，M 与N 相互独立， 故①①正确. 故选：D. 11．0.1【分析】利用正态分布对称性可求解. 【详解】由正态分布密度曲线对称性可知， (1)(01)(0)0.5P X P X P X ≤=<≤+<=，所以(0)0.1P X <=，所以(2)P x >=(0)0.1P X <=，故答案为:0.1. 12．4【分析】直接列举基本事件即可.【详解】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种. 故答案为：4.13．15##0.2【分析】由二项分布和正态分布的期望、方差公式建立方程，求解即可. 【详解】解：因为随机变量X ，Y 分别满足(),XB n p ，()5,4Y N ，所以()()5E X np E Y ===，()()()14D X np p D Y =-==， 解得125,5n p ==，故答案为：15.14．3或4【分析】先求得()P X k =的表达式，利用列不等式组的方法来求得使()P X k =取得最大值时k 的值. 【详解】依题意015,N k k ≤≤∈，依题意()1515151515151********C 1C C 344444kkk k k kk k k P X k ----⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()15150151141515151513130C 3,1C 354444P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()151154P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()()1501P X P X P X =<=<=，所以()0P X =、()15P X =不是()P X k =的最大项， 当114k ≤≤时，由1511615151515151141515151511C 3C 34411C 3C 344k k k k k k k k ----+-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩，整理得1151511515C 3C 3C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，即()()()()()()15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪⨯--⨯-⎪⎨⎪⨯≥⎪⨯-+⨯-⎩， 整理得131631151k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，163343315k k k k k -≥⎧⇒≤≤⎨+≥-⎩， 所以当k 为3或4时，()P X k =取得最大值. 故答案为：3或415．（1）ˆ3240y x =-+．；（2）是.【分析】（1）先由表中的数据求出,x y ，再利用已知的数据和公式求出,b a ，从而可求出y 关于x 的回归直线方程；（2）当8x =时，求出y 的值，再与15比较即可得结论 【详解】（1）因为()199.51010.511105x =++++=，()1111086585y =++++=，所以23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯，得()ˆ8 3.21040a=--⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为 3.240ˆyx =-+； （2）当8x =时，ˆ 3.284014.4y=-⨯+=， 则ˆ14.4150.60.65yy -=-=<， 故可以认为所得到的回归直线方程是理想的. 16．该校应该选择乙班参赛．【分析】设有n 个数据为i x (1≤i≤n ，*i ∈N )，则其平均数为11n i i x x n ==∑，其方差为()2211n ii s x x n ==-∑，据此代入题干数据即可计算求解． 【详解】由题意，知75788089859296857x ++++++==甲，75808085909095857x ++++++==乙．①()()()2222136075857885968577s ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦甲，()()()2222130075858085958577s ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦乙． ①x x =乙甲，22s s >乙甲．即两班平均成绩相同，但乙班成绩较甲班成绩稳定，故应该选择乙班参赛． 17．（1）395；（2）分布列见详解；()25E X =.【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由题意可得0,1,2x =，再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数学期望. 【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为A ，则()242206319095C P A C ===. （2）抽到一名优秀学生的概率为41205p ==， X 的取值为0,1,2，()2002411605525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()111241815525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()022241125525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故X 的分布列为：()168120122525255E X =⨯+⨯+⨯= 18．(1)ˆ22144yt =- (2)3574亿元，2024年【分析】(1)根据所给数据先求出ˆ22b≈，再利用ˆˆa y bt =-求得ˆ144a ≈-，即可得回归方程；第 11 页 共 11 页 (2) 2023年对应的13169x t =⇒=，代入回归方程计算即可；再令221444000t ->，解得188.4t >，即2188.4x >，即可求得所对应的年份.【详解】（1）解：易得()()()105110421 2.32710ˆ221.05110i i i i i t ty y b tt ==--⨯=≈≈⨯-∑∑， ˆˆ703.452238.5144ay bt =-≈-⨯≈-， 故y 关于t 的回归直线方程为ˆ22144yt =-． （2）解：2023年对应的t 的值为169，故该年的营业收入为ˆ221691443574y =⨯-=（亿元），所以估计2023年的营业收入为3574亿元．依题意，有221444000t ->．解得188.4t >，即2188.4x >．因为1314<，所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14．即2024年．。

计数原理与概率统计一、单选题1．（2024·全国）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在[)900,1200之间，单位：kg）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（）A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间2．（2024·全国）甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．233．（2024·北京）(4x的二项展开式中3x的系数为（）A．15B．6C．4-D．13-4．（2024·天津）下列图中，相关性系数最大的是（）A．B．C．D．二、多选题5．（2024·全国）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u s ，()0.8413P Z u s <+»）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><三、填空题6．（2024·全国）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.7．（2024·全国）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．8．（2024·全国）1013x æö+ç÷èø的展开式中，各项系数的最大值是．9．（2024·全国）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是．10．（2024·天津）,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为．11．（2024·上海）在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为．12．（2024·上海）某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．13．（2024·上海）设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．四、解答题14．（2024·全国）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j £<£，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ³时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．15．（2024·全国）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？16．（2024·全国）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：(1)填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247»）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++17．（2024·北京）已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．18．（2024·上海）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++c 其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P c ³»．）。

专题10计数原理与概率统计一、单选题1．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90B．100C．180D．300二、解答题2．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．3．某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3w =时，估计该市居民该月的人均水费．三、单选题4．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（ ）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D．当360P=时，二氧化碳处于超临界状态T=，7295．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油四、填空题6．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是.②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是.7．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班的3位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是.五、单选题8．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为A．15B．25C．825D．9259．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛10．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多六、解答题11．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）12．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；p，假设该校一年级有500名男生和300（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p，试比较0p与1p的大小．（结论不要求证明）13．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．14．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．15．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）16．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；ξ=”表示（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1kξ=”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，第k类电影得到人们喜欢，“0k6）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．17．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）18．A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：（Ⅰ）试估计C 班的学生人数；（Ⅱ）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）19．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？20．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅱ）如果25（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）21．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望()E X；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中()E X估计值的大小．（结论不要求证明）22．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m．以上（含950m．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）23．在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是试卷第11页，共11页 检测的总次数，试判断数学期望E(Y )与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)七、单选题24．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．6B ．6-C ．12D ．12- 25．在512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ）A ．40-B ．40C ．80-D ．80 26．若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（） A ．40 B ．41 C ．40-D ．41- 27．在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．10八、填空题28．在341()x x -的展开式中，常数项为．29．在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为.（用数字作答)。

考点八：计数原理与概率统计四年高考数学真题专项汇编【新高考版】1.【2023年新课标Ⅱ卷】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )A.4515400200C C ⋅种 B.2040400200C C ⋅种C.3030400200C C ⋅种D.4020400200C C ⋅种2.【2022年新高考Ⅰ卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A.16B.13C.12D.233.【2022年新高考Ⅱ卷】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )A.12种B.24种C.36种D.48种4.【2021年新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立5.【2020年新高考Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A.120种B.90种C.60种D.30种6.【2021年新高考Ⅱ卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是( )A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等7.【2020年新高考Ⅱ卷】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( ) A.2种B.3种C.6种D.8种8.【2023年新课标Ⅰ卷】（多选）有一组样本数据1x ，2x ，…，6x ，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则( )A.2x ，3x ，4x ，5x 的平均数等于1x ，2x ，…，6x 的平均数B. 2x ，3x ，4x ，5x 的中位数等于1x ，2x ，…，6x 的中位数C. 2x ，3x ，4x ，5x 的标准差不小于1x ，2x ，…，6x 的标准差D. 2x ，3x ，4x ，5x 的极差不大于1x ，2x ，…，6x 的极差9.【2023年新课标Ⅱ卷】（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).( )A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D.当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率10.【2021年新高考Ⅰ卷】（多选）有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中(1,2,,)i i y x c i n =+=L ，c 为非零常数，则( )A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同11.【2021年新高考Ⅱ卷】（多选）下列统计量中，能度量样本1x ，2x ，…，n x 的离散程度的是( )A.样本1x ，2x ，…，n x 的标准差B.样本1x ，2x ，…，n x 的中位数C.样本1x ，2x ，…，n x 的极差D.样本1x ，2x ，…，n x 的平均数12.【2020年新高考Ⅰ卷】（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 所有可能的取值为12n L ,,，且1()0,(1,2,)1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，，定义X 的信息熵21log ()ni i i H X p p ==-∑，( )A.若1n =，则()=H X 0B.若2n =，则()H X 随着i p 的增大而增大C.若1=(1,2,)i p i n n=L ，则()H X 随着n 的增大而增大D.若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,m L ，且21()1,2(...)j m j p p j P Y j m +-=+==，，则()()H X H Y ≤13.【2020年新高考Ⅱ卷】（多选）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是()A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量14.【2023年新课标Ⅰ卷】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）.15.【2022年新高考Ⅰ卷】81()y x y x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________（用数字作答）.16.【2022年新高考Ⅱ卷】已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=__________.17.【2023年新课标Ⅰ卷】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率.(2)求第i 次投篮的人是甲的概率.(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X q ==-==，1,2,,i n = ，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ，求()E Y .18.【2023年新课标Ⅱ卷】某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c .假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+，当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.19.【2022年新高考Ⅰ卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（ⅱ）利用该调查数据，给出(|)P A B ，(|)P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值.附：2K =20.【2022年新高考Ⅱ卷】在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图.（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.21.【2021年新高考Ⅰ卷】某学校组织知识比赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，回答错误得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，回答错误得0分.已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.22.【2021年新高考Ⅱ卷】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===.（1）已知00.4p =，10.3p =，20.2p =，30.1p =，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x+++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.23.【2020年新高考Ⅰ卷】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3m gμ），得下表：[0,50](50,150]150,(475][]0,3532184(]35,756812(]75,1153710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：[]0,150(]150,475[]0,75(]75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.0013.8416.63510.828k答案以及解析1.答案：D解析：根据分层随机抽样方法，易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生，根据分步计数原理，得不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种.故选D.2.答案：D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，取法总数为27C 21=.其中2个数互质的情况为，{2,5}，，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，取法总数是14.因此，从2至8的7个整数字随机取2个不同的数，这2个数互质的概率为142213=.故正确选项为D.3.答案：B解析：解法一（间接法）：丙和丁相邻共有2424A A ⋅种站法，甲站在两端且丙和丁相邻共有123223C A A ⋅⋅种站法，所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有2412324223A A C A A 24⋅-⋅⋅=种站法.解法二（直接法）：因为丙和丁相邻，所以先把丙和丁捆线，看成一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有33A 种排列方式；又甲不站在两端，所以甲只需在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙和丁两人的顺序可交换，有2种排列方式.故共有33A 2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选B.4.答案：B解析：本题考查独立事件的概念.由于有放回的取球，则1()6P =甲，1()6P =乙，5()36P =丙，1()6P =丁，()0P =甲丙，1()36P =甲丁，1()36P =乙丙，()0P =丙丁，其中()()()P P P =甲丁甲丁，故甲与丁相互独立.5.答案：C解析：第一步：安排甲场馆的志愿者，则甲场馆的安排方法有16C 6=种，第二步：安排乙场馆的志愿者，则乙场馆的安排方法有25C 10=种，第三步：安排丙场馆的志愿者，则丙场馆的安排方法有33C 1=种.所以共有610160⨯⨯=种不同的安排方法.故选C.6.答案：D{2,3}{2,7}解析：对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.7.答案：C解析：方法共有122322C C A 6⋅⋅=种.故选C.8.答案：BD解析：对于选项A ：设2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为m ，1x ，2x ，…，6x 的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()162x x +，5234x x x x +++的大小关系，所以无法判断m ，n 的大小，例如：1，2，3，4，5，6，可得 3.5m n ==；例如1，1，1，1，1，7，可得1m =，2n =；例如1，2，2，2，2，2，可得2m =，116n =；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2x ，3x ，4x ，5x 的中位数等于1x ，2x ，…，6x 的中位数，均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2x ，3x ，4x ，5x 的波动性不大于1x ，2x ，…，6x 的波动性，即2x ，3x ，4x ，5x 的标准差不大于1x ，2x ，…，6x 的标准差，例如：2，4，6，8，10，12，则平均数1(24681012)76n =+++++=，标准差1s ==，4，6，8，10，则平均数1(46810)74m =+++=，标准差2s ==>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当12x x =，56x x =时，等号成立，故D 正确；故选BD.9.答案：ABD解析：由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1α-；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1β-.对于A ，发1收1的概率为1β-，发0收0的概率为1α-，发1收1的概率为1β-，所以所求概率为2(1)(1)αβ--，故A 选项正确.对于B ，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为2(1)(1)(1)βββββ--=-，故B 选项正确.对于C ，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为22332333C (1)C (1)3(1)(1)ββββββ-+-=-+-，故C 不正确.对于D ，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率223323133C (1)C (1)3(1)(1)P αααααα=-+-=-+-；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率21P α=-，当00.5α<<时，23123(1)(1)(1)(1)(12)0P P ααααααα-=-+---=-->，故D 选项正确.综上，选ABD.10.答案：CD解析：本题考查统计知识.因为i i y x c =+，所以两组样本数据的平均数和中位数发生变化，极差和标准差不发生变化.11.答案：AC解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.12.答案：AC解析：对于选项A ，若1n =，则11p =，2log 10=，1212()log log 10H X p p ∴=-=-=，A 正确.对于选项B ，当114p =时，()21212222211133()log log log log log 4444ni i i H X p p p p p p =⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭∑，当134p =时， ()21212222213311()log log log log log 4444ni i i H X p p p p p p =⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭∑，由此可得，当114p =与134p =时，信息熵相等，∴B 不正确.对于选项C ，若1i p n=，则222221log 1111()log log log log ni i i n H X p p n n n n n n n =⎛⎫=-=-++=⨯= ⎪⎝⎭∑L ，()H X ∴随着n 的增大而增大，C 正确.对于选项D ，若2n m =，随机变量Y 的可能取值为12m ⋯，，，，由21()(12)j m j P Y j p p j m +-==+=L ，，，知，12(1)m P Y p p ==+；221(2)m P Y p p -==+；322(3)m P Y p p -==+；L ；1()m m P Y m p p +==+.()()()121222222212212121()log log log log log log m m m m m m m m H X p p p p p p p p p p p p --++⎡⎤=-++++++⎣⎦L ，()()()()()()122122212221121()log log log m m m m m m m m H Y p p p p p p p p p p p p --++⎡⎤=-+++++++++⎣⎦L ，()()()(1221212()()log log m m m m m H Y H X p p p p p p p +⎡-=-++++++⎣L )11212222121log log log log m m m m m m m p p p p p p p p p +++⎤+++++⎦L 2112221212log log m m m mp p p p p p p p =++⋅+⋅+L .易知11201m p p p <<+，L ，21201m m p p p <<+，1212log 0m pp p ∴<+，L ，2212log 0m mpp p <+，()()H Y H X ∴<，故D 错误.13.答案：CD解析：由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误；由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确；由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确；故选：CD.14.答案：64解析：解法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有1144C C 种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有1244C C 种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有2144C C 种方案.综上，不同的选课方案共有111221444444C C C C C C 64++=（种）.解法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有222844C C C 16--=（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有333844C C C 48--=（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有164864+=（种）.15.答案：-28解析：8()x y +展开式的通项818C r r r r T x y -+=，0,1,,7,8r = .令6r =，得626618C T x y +=，令5r =，得535518C T x y +=，所以81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为6588C C 28-=-.16.答案：0.14解析：随机变量X 的均值为2，所以由对称性，可得(2)(2)0.5P X P X >=≤=，因此( 2.5)(2)(2 2.5)0.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=.17.答案：(1)0.6(2)1112365i -⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭(3)52[1()]3185n n +⨯-解析：(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A ，“第1次投篮的人是甲”为事件B ，则A BA BA =+，所以()()()()P A P BA BA P BA P BA =+=+()()(()0.5(10.6)0.50.80.6P B P A B P B P A B =+=⨯-+⨯=∣∣.(2)设第i 次投篮的人是甲的概率为i p ，由题意可知，112p =，()10.61(10.8)i i i p p p +=⨯+-⨯-，即1210.40.255i i i p p p +=+=+，所以1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又111113236p -=-=，所以数列13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16为首项，25为公比的等比数列，所以1112365i i p -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，所以1112365i i p -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭.(3)设第i 次投篮时甲投篮的次数为i X ，则i X 的可能取值为0或1，当0i X =时，表示第i 次投篮的人是乙，当1i X =时，表示第i 次投篮的人是甲，所以()1i i P X p ==，()01i i P X p ==-，所以()i i E X p =.123n Y X X X X =++++ ，则()123123()n n E Y E X X X X p p p p =++++=++++ ，由(2)知，1112365i i p -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，所以211231222[1((]36555n n n p p p p -++++=+⨯++++ 21()1525[1(]236318515nn n n -=+⨯=+⨯--.18.答案：（1）97.5c =；() 3.5%q c =（2）0.0080.82,95100,()0.010.98,100105,c c f c c c -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩；0.02解析：（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为50.0020.5%⨯>，所以95100c <<，所以(95)0.0020.5%c -⨯=，解得97.5c =，()0.01(10097.5)50.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==.（2）当[95,100]c ∈时，()()()(95)0.002(100)0.0150.0020.0080.820.02f c p c q c c c c =+=-⨯+-⨯+⨯=-+≥；当(100,105]c ∈时，()()()50.002(100)0.012(105)0.0020.010.980.02f c p c q c c c c =+=⨯+-⨯+-⨯=->，故0.0080.82,95100,()0.010.98,100105,c c f c c c -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩所以()f c 在区间[95,105]的最小值为0.02.19、（1）答案：有解析：22002410010015050K ⨯==⨯⨯⨯.因为2 6.635K >，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）答案：（ⅰ）证明见解析（ⅱ）6解析：（ⅰ）()()()()P B A P B A R P B A P B A =⋅∣∣∣∣()()()()()()()()P B A P A P B A P A P B A P A P B A P A =⋅∣∣∣∣()()()()P AB P AB P AB P AB =⋅()()P A B P A B =∣∣0.4=，()P A B ∣的估计值为0.6，(P A B ∣的估计值为0.9，0.960.1=.20、（1）答案：47.9解析：根据频率分布直方图，该地区这种疾病患者的平均年龄为.故该地区这种疾病患者的平均年龄的估计值为47.9.10(50.001150.002250.012350.017450.023⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯550.020650.017750.006850.002)47.9+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）答案：0.89解析：解法一：根据频率分布直方图，该地区这种疾病患者的年龄位于区间的频率为.故该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率估计值为0.89.解法二：由于患者的年龄位于区间是由患者的年龄位于区间，，，，组成的，且相互独立，所以所求概率.（3）答案：0.0014解析：设从该地区任选一人，年龄位于区间为事件A ，患这种疾病为事件B ，则，，由频率分布直方图得，故所求概率为.21.答案：（1）分布列见解析（2）小明应选择先回答B 类问题解析：（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100.；；.所以X 的分布列为：（2）由（1）知，.若小明先回答B 类问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100.；；.所以.因为，所以小明应选择先回答B 类问题.[)20,70(0.0120.01720.0230.020)100.89+⨯++⨯=[20,70)[20,70)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)1(0.0010.0020.0060.002)100.89P =-+++⨯=[40,50)()0.16P A =()0.001P B =()0.023100.23P AB =⨯=∣()()()0.230.001()0.0014()()0.16P AB P A B P B P BA P A P A ⨯===≈∣∣(0)10.80.2P X ==-=(20)0.8(10.6)0.32P X ==-=(100)0.80.60.48P X ==⨯=()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=(0)10.60.4P Y ==-=(80)0.6(10.8)0.12P Y ==-=(100)0.80.60.48P Y ==⨯=()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=54.457.6<22.答案：（1）由题意知0123()0123E X p p p p =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由题意知0123123()012323E X p p p p p p p =⋅+⋅+⋅+⋅=++.设，则()0f p =，，0123(1)10f p p p p =+++-=，.方程()0f x '=的判别式，不妨设其两根分别为α，，且αβ<，由根与系数的关系得，，0αβ<，则p α<，且0αβ<<，且123(1)231()1f p p p E X '=++-=-.当()1E X ≤时，(1)()10f E X '=-≤，所以01αβ<<≤，故()0f x =的最小实数根为1，即1p =（如图1）.当()1E X >时，(1)()10f E X '=->，所以01αβ<<<，即存在0(0,)x β∈使得()00f x =（如图2），即01x p =<.（3）由（2）可知，当()1E X ≤时，1p =，即1个微生物个体繁殖下一代的个数期望不大于1，则该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率为1，即该微生物会灭绝.当()1E X >时，1p <，即1个微生物个体繁殖下一代的个数期望大于1，则该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率小于1，即该种微生物可通过多代繁殖而不至于灭绝.解析：23.答案：（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数为32186864+++=，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率的估计值为640.64100=.（2）根据抽查数据，可得22⨯列联表：00.410.320.230.11⨯+⨯+⨯+⨯=230123()f x p p x p x p x x =+++-0(0)0f p =>2123()231f x p p x p x '=++-()223144310p p p ∆=-⨯⨯->β0αβ+<[]0,150(]150,475 []0,756416 (]75,1151010（3）根据（2）的列联表得22100(64101610)7.48480207426K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于7.484 6.635>，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关.。

第21练 计数原理与概率1．(2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种D ．48种2．(2022·新高考全国Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( ) A.16 B.13 C.12D.233．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( ) A ．60种 B ．120种 C ．240种D ．480种4．(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( ) A.13 B.25 C.23D.455．(2022·北京)若(2x －1)4＝a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 0＋a 2＋a 4等于( ) A ．40 B ．41 C ．－40D ．－416．(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立7．(2022·新高考全国Ⅰ)在⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)． 8．(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．9．(2022·淄博模拟)(2x ＋a )⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6的展开式中x 2的系数为－120，则该二项式展开式中的常数项为( ) A ．320 B ．－160 C ．160D ．－32010．(2022·宣城模拟)2022年冬季奥林匹克运动会于2月4日在北京开幕，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市，这也是中国历史上第一次举办冬季奥运会．此前，冬奥会组委会招募6名志愿者为四个馆区提供志愿服务，要求A ，B 两个馆区各安排一人，剩下两个馆区各安排两人，不同的安排方案共有( ) A ．90种 B ．180种 C ．270种D ．360种11．(2022·桂林模拟)甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A ，B ，C 三种医用外科口罩，甲、乙购买A ，B ，C 三种医用口罩的概率分别如下：购买A 种医用外科口罩购买B 种医用外科口罩购买C 种医用外科口罩甲 0.2 0.4 乙 0.30.3则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为( ) A ．0.44 B ．0.40 C ．0.36D ．0.3212．(2022·泸州模拟)《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻)．若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为( )A.356B.328C.314D.1413．(多选)(2022·重庆模拟)甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．A 1表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A 2表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是( ) A ．A 1，A 2为对立事件 B ．P (B |A 1)＝411C ．P (B )＝722D ．P (B |A 1)＋P (B |A 2)＝114．(多选)(2022·杭州质检)已知(1＋2x )n ＋a (3－x )7＝a 0＋a 1x ＋…＋a 6x 6(a ≠0)，则( ) A ．n ＝6 B ．a ＝128C.a 037＋a 136＋…＋a 63＝⎝⎛⎭⎫737 D ．a 1＋2a 2＋…＋6a 6＝－6415．(2022·德州模拟)某一电子集成块由a ，b ，c 三个元件并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为________．16．(2022·武汉质检)(1＋x ＋x 2)6展开式中x 4的系数为________．[考情分析] 1.高考中主要考查两个计数原理、排列与组合的应用，对二项式定理的考查以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，常以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏下.2.高考中对此概率内容多以实际材料为背景，主要考查随机事件的概率及古典概型、条件概率的计算，也考查概率与统计的综合应用，选择题、填空题或解答题中均有出现，难度中等偏下．一、排列与组合问题核心提炼1．两个计数原理(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．2．解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．练后反馈题目13410正误错题整理：二、二项式定理核心提炼1．二项式定理的常用结论(1)(a－b)n＝C0n a n－C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋(－1)k C k n a n－k b k＋…＋(－1)n C n n b n.(2)(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋…＋C k n x k＋…＋C n n x n.2．求解二项式有关问题时，一定要注意“二项式系数”与“项的系数”之间的区别与联系．练后反馈题目5791416正误错题整理：三、概率核心提炼1．古典概型的概率公式 P (A )＝m n ＝事件A 中所含的样本点试验的样本点总数.2．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率：P (B |A )＝P (AB )P (A ). 3．相互独立事件同时发生的概率：若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )． 4．若事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，P (A )＝1－P (A )． 5．全概率公式一般地，设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑i ＝1nP (A i )·P (B |A i )．练后反馈题目 2 6 8 11 12 13 15 正误错题整理：1．[T3补偿](2022·郑州模拟)志愿团安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，最后确定了不能先去甲和不能最后去丁．他们共有多少种不同的安排方法( ) A ．14 B ．12 C ．24 D ．282．[T13补偿](多选)(2022·广州模拟)一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是( ) A ．P (A )＝12B ．事件A 和事件B 互为对立事件C ．P (B |A )＝12D ．事件A 和事件B 相互独立3．[T10补偿](2022·邵阳模拟)国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作，组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为( ) A ．65 B ．125 C ．780 D ．1 5604．[T14补偿](多选)(2022·福建省永春第一中学模拟)杨辉三角把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．根据杨辉三角判断，下列说法正确的是( )A ．(x －1)6＝x 6－6x 5＋15x 4－20x 3＋15x 2－6x ＋1B ．C 27＋4C 37＋6C 47＋4C 57＋C 67＝C 611C ．已知(1－3x )n 的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为212D ．已知(x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝315．[T15补偿](2022·鹰潭模拟)小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A 为“4个人去的景点互不相同”，事件B 为“只有小赵去了龙虎山景点”，则P (B |A )＝________. 6．[T16补偿](2022·重庆调研)⎝⎛⎭⎫1＋2x －y28的展开式中x 2y 2项的系数是________．。

一、单项选择题1．某市场一摊位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为( )A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.82．2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，也带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒备受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个冰墩墩盲盒，买到隐藏款的概率为( )A.13B.27C.37D.253．飞沫传播是呼吸系统疾病传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为23，假设甲、乙两患者是否通过飞沫传播被感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为( )A.23B.1112C.34D.894．若⎝⎛⎭⎫ax ＋1x ⎝⎛⎭⎫3x －2x 5的展开式中各项系数的和为2，则展开式中的常数项为( ) A ．－720 B ．－360 C ．360 D ．1 0805．(2023·长沙模拟)学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，承担本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中已知至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为( )A.45B.34C.35D.12256．(2023·大庆模拟)重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”．它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度．其锅具抽象成数学形状如图(同一类格子形状相同)：“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热可以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物(足够量)，其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物(不考虑位置)，则不同的放法种数为()A．108 B．36 C．9 D．67．小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字．比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入表格中(没有放入火柴棒的空位表示数字“0”)，那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为()A．8 B．12 C．16 D．208．西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建都．图为唐长安城(西安古称)示意图，城中南北向共有9条街道，东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐的街道把唐长安城划分成了108坊，各坊有坊墙包围．下列说法错误的是()A．从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条B ．甲、乙两人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若两人的选择互不影响，则两人从同一城门进城的概率为13C ．用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色(街道忽略)，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有60种不同的染色方法D ．若将街道看成直线，则图中矩形ABCD 区域中共有不同矩形150个二、多项选择题9．分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)，设事件M ＝“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N ＝“第二枚骰子的点数为偶数”，则( )A ．M 与N 互斥B ．P (M )＝12C ．M 与N 相互独立D ．P (M ∪N )＝1410．已知(x －3)8＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 8(x －2)8，则下列结论正确的有( )A ．a 0＝1B ．a 6＝－28C.a 12＋a 222＋…＋a 828＝－255256D ．a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝12811．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是( )A ．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件B ．事件“该家庭3个小孩都是男孩”和事件“该家庭3个小孩都是女孩”是对立事件C ．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为38D ．当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为4712．(2023·合肥质检)有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B ．任取一个零件是次品的概率为0.052 5C ．任取一个零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为27D ．任取一个零件是次品，则它是第3台车床加工的概率为27三、填空题13．盒子中装有编号为0,1,2,3,4的五个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________．14．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，x 2的系数为________． 15．(2023·长沙模拟)有甲、乙2位女生和4位男生共6位同学排成一排，甲同学不能站在最左边，4位男生中恰有3位相邻的排法有________种．16．用标有1克、2克、4克的砝码各一个，在某架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么该天平所能称出的不同克数(正整数)至多有________种；若再增加15克、40克的砝码各一个，所能称出的不同克数(正整数)至多有________种．。

数学《计数原理与概率统计》知识点练习一、选择题1．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A ．18 B ．28C ．38D ．42【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【详解】根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有2887282C ⨯==种不同的放法， 即有28个不同的符合题意的放法； 故选B ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．2．若不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ） A ．4π B ．8π C ．5π D ．10π 【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 【详解】作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域Ω，不等式222210x y x y +--+≤化为()()22111x y -+-≤ 它表示的区域为T ，如图所示；则区域Ω表示ABC V ，由240230x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得点()12B -，； 又()20A -，，30B （，），∴()132252ABC S =⨯+⨯=V ， 又区域T 表示圆，且圆心()11M ，在直线230x y +-=上，在ABC V 内的面积为21122ππ⨯=；∴所求的概率为2510P ππ==，故选D ．【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.3．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A ．2267A A B ．3247A AC ．322367A A AD ．362467A A A【答案】D 【解析】 【分析】采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是34A 种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可. 【详解】采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是34A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是27A 种．综上所述，不同的排法共有362467A A A 种. 故选D. 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．4．下列等式不正确的是（ ）A ．111m mnn m C C n ++=+ B ．12111m m m n n n A A n A +-+--= C ．11m m n n A nA --=D ．1(1)k k kn n n nC k C kC +=++【答案】A 【解析】 【分析】根据排列和组合公式求解即可. 【详解】根据组合公式得11!1(1)!1!()!1(1)!()!1mm n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；根据排列公式得122111(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!m mm n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=-=+-=⋅=----，则B 正确；根据排列公式得11!(1)!()!()!mm n n n n A n nA n m n m ---==⋅=--，则C 正确；根据组合公式得()()1!!(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦[]!!()!()!!(1)!k kn n n n nC kC n k k n k k n k -⋅=--+-=即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；故选:A 【点睛】本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.5．已知59290129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（ ）A ．9B ．36C ．84D ．243【答案】B 【解析】 【分析】()()59x 1x 2++-等价变形为[()][()()]59x 12x 11-++-+-，然后利用二项式定理将其拆开，求出含有7(1)x -的项，便可得到7a ．【详解】解：55(1)[(1)2]x x +=-+展开式中不含7(1)x -；()[()()]99x 2x 11-=-+-展开式中含7(1)x -的系数为()729C 136-=所以，7a 36=，故选B 【点睛】本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题．6．设*N n ∈，n a 为()()41nnx x +-+的展开式的各项系数之和，7c t =-，R t ∈，1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L （[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.则()()22n n t b c -++的最小值为( )A ．12B ．2C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】令1x =可得，52n n n a =-，求出n b ，则22()()n n t b c -++的几何意义为点(n ，2)(*)2n nn N -∈到点(,7)t t -的距离的平方，最小值即(3,3)到7y t =-的距离d 的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案． 【详解】令1x =可得，52nnn a =-，2[][]55nn n n na n n =-g ，设25n n n n c =g ，所以1+11(1)22223()()055555n n n n n n n n n c c n +++-=-=-<g g ，所以数列{}n c 单调递减，所以数列2{}5nn n n -g 是单调递增数列，(增函数+增函数=增函数）当n →+∞时，20,5n n n →g 且20,5nn n >g 所以2[][]155n n n n na n n n =-=-g .21222[][][]12(1)5552n n n na a a n nb n -=++⋯+=++⋯+-=，则22()()n n t b c -++的几何意义为点(n ，2)(*)2n nn N -∈到点(,7)t t -的距离的平方， 即求点(n ，2)(*)2n nn N -∈到7y t =-的距离d 的最小值，所以222|7|157|14||()|4424n n n d n n n -+-==+-=+-， 当1n =时，957||=4444d =-； 当2n =时，2557||=4444d =- 当3n =时，4957||=2=44442d =-； 当4n =时，8157||=6=44442d =-； 由函数的图象可知当5,6,7,n =L时，d >所以点(n ，2)(*)2n nn N -∈为(3,3)时，它到7y t =-的距离d 最小，d ==Q ，∴2．∴()()22n n t b c -++的最小值为12. 故选：A ． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7．已知()1nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，()20121nn n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则()0121nn a a a a -+-+-L 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】Q ()1nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，∴23n n C C =，∴5n =，令0x =，则051a =，令1x =，则()0155212422431a a a a λ+=++=+=++L ，∴2λ=，令1x =-，则()05251112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.8．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3C ．0.58D ．0.958【答案】D 【解析】分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.9．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．10．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144【答案】D 【解析】 【分析】按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生的情况去掉，录取方案数为2263C C ，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为24C 、22C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。

【高中数学】数学复习题《计数原理与概率统计》知识点练习一、选择题1．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（）A．60 B．66 C．72 D．126【答案】A【解析】【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解.【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C+=种取法.故选：A【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.2．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有A．96种B．124种C．130种D．150种【答案】D【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2当按照1、1、3来分时共有C53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有22532215C CA=种分组方法；则一共有101525+=种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有336A=种对应方法；则安排方法共有256150⨯= 种； 故选D ． 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．3．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．35B ．13C ．415D ．15【答案】C 【解析】 【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615C p C ==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115C p C ==；故12415p p p =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.4．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144【答案】D 【解析】 【分析】按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生的情况去掉，录取方案数为2263C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为24C 、22C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。