高中计数原理与概率计数原理

高一数学概率知识点概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机试验中各种可能结果发生的相对频率。

在高一数学中，概率是一个重要的知识点。

本文将从基本概念、概率计算、条件概率以及概率统计等方面介绍高一数学中的概率知识点。

一、基本概念概率是一个描述事件发生可能性的数值。

在概率的基本理论中，有如下几个基本概念：1.试验：试验是指可以在相同条件下重复进行的某一过程。

2.样本空间：样本空间是指试验的所有可能结果构成的集合，用S表示。

3.事件：事件是样本空间的子集，表示试验的某一特定结果或者结果的集合。

通常用大写字母A，B，C等表示事件。

二、概率计算在概率的计算中，我们需要了解如下几个常见概率模型：1.等可能概型：即指在样本空间的每个基本事件（即样本点）发生的可能性相等，它是最简单的概率模型。

2.几何概型：即指交集、并集等概率问题，涉及到图形的面积、体积等概率计算。

3.计数原理：即通过排列、组合等方法计算事件的概率。

三、条件概率条件概率是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

四、概率统计概率统计是概率理论在实际问题中的应用。

具体包括以下几个方面：1.频率与概率的比较：通过大量实验的结果来逼近真实的概率。

2.大数定律：指随着实验次数的增加，频率逐渐接近概率的现象。

3.独立性：独立事件指事件A发生与否不影响事件B发生的概率。

4.贝叶斯定理：是用于在给定其他相关事件的条件下，计算事件的条件概率的一种方法。

综上所述，概率知识是高中数学中重要的一个知识点。

通过理解基本概念、掌握概率计算方法、熟悉条件概率的计算以及了解概率统计的应用，可以帮助我们更好地理解和应用概率知识，解决实际问题。

在学习中要注重理论与实践相结合，通过大量的练习提升自己的概率计算能力。

希望同学们能够认真学习概率知识，掌握解题方法，提高数学水平。

高中数学计数原理计数原理是数学中的一个重要概念，它在解决组合、排列和概率等问题时起着至关重要的作用。

在高中数学教学中，计数原理的应用也是非常广泛的。

本文将对高中数学计数原理进行系统的介绍和讲解，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

一、基本概念。

计数原理是指在一定条件下，通过对个体进行分类、分解、排列和组合等方法，确定事件的总数的一种数学方法。

在实际问题中，常常需要根据计数原理来确定某一事件的发生总数。

在计数原理中，最基本的概念就是排列和组合。

排列是指从给定的n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。

而组合是指从给定的n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，这个过程称为组合。

二、排列。

1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。

2. 排列的计算公式为Anm=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。

在实际问题中，排列常常用于解决有序排列的问题，比如从5个不同的球中取出3个球，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方式。

三、组合。

1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，这个过程称为组合。

2. 组合的计算公式为Cnm=n!/(m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。

在实际问题中，组合常常用于解决不考虑顺序的问题，比如从8个不同的人中选出3个人组成一个委员会，共有多少种不同的组合方式。

四、应用举例。

1. 案例一，某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，问共有多少种不同的组合方式？解答，根据组合的计算公式，Cn3=10!/(3!(10-3)!)=120，所以共有120种不同的组合方式。

二项式定理备考策略主标题：二项式定理备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：二项式定理，二项式系数，项系数，备考策略难度：2重要程度：4考点一 通项公式及其应用【例1】 (1)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. (2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 解析 (1)T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝()x C r rr 6525`51--，令52－56r ＝0，得r ＝3，∴A ＝－C 35＝－10. (2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5， 又(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ，T 3＝C 25x 2.∴展开式中x 2的系数为C 25＋a ·C 15＝5，∴a ＝－1.答案 (1)－10 (2)D【备考策略】 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．考点二 二项式系数的性质与各项系数和【例2】 (1)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )．A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．审题路线 (1)先赋值求a 0及各项系数和，进而求得n 值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．(2)根据二项式系数性质，由C 2n ＝C 6n ，确定n 的值，求出1x 2的系数． 解析 (1)∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6，又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.(2)由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r ， 当8－2r ＝－2时，r ＝5，∴1x 2的系数为C 58＝C 38＝56.答案 (1)B (2)56【备考策略】 (1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a 0与n 的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n 的等量关系表示为C 3n ＝C 7n ，而求错n 的值．(2)求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.考点三 二项式定理的应用【例3】设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )． A ．0 B ．1 C ．11 D ．12解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除． 且512 012＋a 能被13整除，∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除．因此a 可取值12.答案 D【备考策略】 (1)本题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．。

第十章计数原理概率§10.1概率与统计初步考纲要求1．理解分类计数原理和分步计数原理2．能应用分类计数原理和分步计数原理分析、解决一些简单的问题３．了解概率的定义，以及古典概率的计算知识要点１．分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第一类办法中有ｍ１种不同的方法，在第二类办法中有ｍ２种不同的方法，…，在第ｎ类办法中有ｍｎ种不同的方法。

那么完成这件事共有：Ｎ＝ｍ１＋ｍ２＋…＋ｍｎ种不同的方法。

２．分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第一步有ｍ１种不同的方法，做第二步有ｍ２种不同的方法，…，做第ｎ步有有ｍｎ种不同的方法。

那么完成这件事共有：Ｎ＝ｍ１×ｍ２×…×ｍｎ种不同的方法。

３．对两个原理的理解（１）共同点：两个原理都是将一个事件分成若干个分事件来完成。

（２）区别：两个原理一个与分类有关，一个与分步有关。

若完成一个事件有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是互斥的，无论哪一类办法都能单独完成这一事件，求完成这件事的方法就用分类计数原理；若完成一个事件需要分ｎ步完成，各个步骤都不可缺少，需要依次完成所有的步骤，才能完成这一事件，而完成每一步步骤有若干种不同的方法，求完成这件事的方法就用分步计数原理。

典例分析例１．某单位职工义务献血，Ｏ型血的共有１６人，Ａ型血的共有１２人，Ｂ型血的共有１０人，ＡＢ型血的共有２人。

（１）从中任选一人去献血，有多少种不同的选法？（２）从四种血型的人中各选一人去献血，有多少种不同的选法？分析：从Ｏ型血的人中选1人有16种选法；从A型血的人中选1人有12种选法；从B型血的人中选1人有1０种选法；从AB型血的人中选1人有2种选法。

（１）任选一人献血，即无论选哪种血型的一个人此事已完成，所以用分类计数原理。

（２）要从四种血型中各选一人献血，即选４人。

要从每种血型的人中依次选出１人，这件事情才完成。

所以用分步计数原理。

解：（１）Ｎ＝１６＋１２＋１０＋２＝４０（种）（２）Ｎ＝１６１２×１０×２＝３８４０（种）点评：关键是分清题目涉及的问题是分类还是分步的问题，再选用相应的原理解题。

高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ;设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()mP A n =求值;答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝kn k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kk n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．[解答过程]0.3提示:1335C 33.54C 102P ===⨯例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．[解答过程]1.20提示:51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.故填0.94.离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C kn k k n =- .（2） 几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：例1．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-=（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===， ()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=．所以商家拒收这批产品的概率为2795．例12．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望. （注：本小题结果可用分数表示）[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=， 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴的分布列为11235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =．∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=． （Ⅱ）同解法一．离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则p E 1=ξ，D ξ =2p q 其中q=1-p.例1．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ，891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ；工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 例2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η．[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线. 典型例题例1.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程：A 种型号的总体是210，则样本容量n=1016802⨯=.例2．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 ．解答过程：第K 组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+，…，(1)109k -+，当m=6时，第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质（1）正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为 222)(21)(σμπσ--=x ex f ，x R ∈ 其中σ、μ为常数，并且σ＞0，则称ξ服从正态分布，记为~N ξ（μ，2σ）.（2）期望E ξ =μ，方差2σξ=D .（3）正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方，并且关于直线x ＝μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.三σ原则即为数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6526 数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544 数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974 （4）标准正态分布当μ=0，σ=1时ξ服从标准的正态分布，记作~N ξ（0，1） （5）两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.（6）2(,)N μσ与(0,1)N 二者联系.若2~(,)N ξμσ，则~(0,1)N ξμησ-=;②若2~(,)N ξμσ，则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-.2.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来，对n 个样本数据（11,x y ），（22,x y ），…，（,n n x y ），其回归直线方程，或经验公式为：a bx y+=ˆ.其中,,)(1221x b y a x n xyx n yx b ni ini ii⋅-=--=∑∑==，其中y x ,分别为|i x |、|i y |的平均数.例1.如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3，D ξ=1，则P （－1＜ξ≤1＝等于( ) A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2） C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）解答过程：对正态分布，μ=E ξ=3，σ2=D ξ=1，故P （－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）. 答案：B例2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N （d ，0.52）. （1）若d=90°，则ξ<89的概率为 ； （2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，则d 至少是 ?（其中若η～N （0，1），则Φ（2）=P （η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P （η<－2.327）=0.01）.解答过程：（1）P （ξ<89）=F （89）=Φ（5.09089-）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.（2）由已知d 满足0.99≤P （ξ≥80），即1－P （ξ<80）≥1－0.01，∴P （ξ<80）≤0.01.∴Φ（5.080d-）≤0.01=Φ（－2.327）.∴5.080d -≤－2.327.∴d ≤81.1635.故d 至少为81.1635.小结：（1）若ξ～N （0，1），则η=σμξ-～N （0，1）.（2）标准正态分布的密度函数f （x ）是偶函数，x<0时，f （x ）为增函数，x>0时，f （x ）为减函数.。

理科数学复习专题统计与概率排列组合一．基本计数原理1．加法原理：做一件事有n类办法，完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n步完成，完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：要求做一件事有多少种方法，一般先分类，再分步。

例：用ABCD四个字母和1-9九个数字中各取一个给教室的座位编号，可以编出几种号码？练：从3名老师，8名男生，5名女生中选人参加活动。

（1）活动只需一人参加，有几种选法？（2）活动需一名老师，一名男生，一名女生参加，有几种选法？（3）活动需一名老师，一名学生参加，有几种选法？题型总结※重排问题（元素可以重复选取）例：(1)将5本书分给3个不同的学生，有几种分法?(2)将3个人分到5个不同的车间工作，有几种分法？练：甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科的冠军，每门学科一名冠军，可能出现几种结果？※组数问题（特殊位置、特殊元素优先考虑）例：（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位偶数?（2）用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?（3）用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?C B AD ※选取问题（优先安排“全能者”）例：艺术小组共有9人，每人至少会钢琴和小号一种乐器，其中会钢琴的有7人，会小号的有3人。

从中选一人参加钢琴比赛，一人参加小号比赛。

总共有几种选取方案？练：艺术小组共有9人，只会钢琴有5人，只会小号有2人，全能的有2人，从中选一个参加钢琴比赛，一个参加小号比赛。

总共有几种选取方案？※涂色问题例：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图的五个区域内，要求相邻的两个区域颜色都不相同，则有几种不同的涂色方法练：如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数是_______二、排列：例：从甲、乙、丙3个人中选2个人打扫卫生，1个上午，1个下午，几种选法？总结：从n 个元素中选出m 个进行排列，总共有几种选法？1． 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．【说明】排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L （,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!n nA n n n n =--⋅=L （叫做n 的阶乘） 题型总结※ 计算排列数计算：42128642A A A A -++※ 用排列解决的计数问题（1）特殊优先原则（2）相邻元素捆绑法（3）不相邻元素插空法（4）定序问题倍缩法例：①用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?②用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?例：用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)偶数数字从左向右从小到大排列．练：3个男生4个女生站成一排（1） 甲只能排在中间或排在两端（2）甲和乙只能站在两端(3) 甲不站最左端，乙不站最右端 ( 4) 所有男生站一起(5) 所有男生站一起，所有女生站一起 (6)男生不能相邻(7) 甲乙中间有两人 (8)甲在乙的右边排列问题 综合练习1、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 ( )A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种2、有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种3、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起的不同坐法种数为（ ）A 、333A ⨯B 、333)(3A ⨯ C. 433)(A D. 99A4、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任两名学生不能相邻，那么不同的排法有（ ）A 、36种B 、72种C 、108种D 、120种5、张、王两家夫妇各带1个小孩一起去动物园游玩，购票后需要排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法数共有 （ ）A 、12B 、24C 、36D 、486、公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有（ ）A 、15种B 、24种C 、360种D 、480种7、在学校的一次演讲比赛中，高一，高二，高三分别有1名，2名，3名同学获奖，将这6名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有（ ）A 、6种B 、36种C 、72种D 、120种8、由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是_____A ．72 B.96 C.108 D.1449、电视台某段时间连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种10、甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）A.12种B.18种C.24种D.96种11、某中学一天的课表有6节课， 其中上午4节， 下午2节， 要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )A ．600种B ．480种C ．408种D ．384种12、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个13、6位同学排成三排，每排2人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法有__种14、A ，B ，C ，D ，E 五个元素排成一列，若A 在B 的前面且D 在E 的前面，则有_____种不同的排法.15、安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班1天，其中甲乙二人都安排在10月1日和10月2日，不同的安排方法共有________种。

【高三】计数原理与概率专题（1）：分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作，若济南至少安排2人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数是( )A. 120B. 150C. 35D. 652.某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为( )A. 9B. 12C. 18D. 243. 若m ，n 均为非负整数，在做ᵅ+ᵅ的加法时各位均不进位(例如：2019+100=2119)，则称(ᵅ,ᵅ)为“简单的”有序对，而ᵅ+ᵅ称为有序对(ᵅ,ᵅ)的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是() A. 100 B. 96 C. 60 D. 304.现有4种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色，要求有公共边的两部分不能用同一颜色，则不同的涂色方法有( )种A. 24B. 30C. 48D. 505.某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )A. ᵃ62×ᵃ54种 B. ᵃ62×54种 C. ᵃ62×54种 D. ᵃ62×ᵃ54种 6.数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型ᵃᵅᵄᵅᵅᵄᵅᵅᵅ(斐波那契数列):1，1，2，3，5，8，13，21…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共8级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是( )A. 20B. 34C. 42D. 557.将数字1，2，3，4填入表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有( )种A. 432B. 576C. 720D. 8648. 从集合{1,2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有_____个．9.某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是_____．10. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1∼9的一种方法．例如：137可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1∼9这9个数字表示三位数的个数为_____．11. 任取集合{1,2，3，4，…，10}中三个不同数ᵄ1，ᵄ2，ᵄ3，且满足ᵄ2−ᵄ1≥2，ᵄ3−ᵄ2≥3，则选取这样的三个数的方法种数共有( ) A. 27 B. 30 C. 35 D. 4812. 把2支相同的晨光签字笔，3支相同的英雄钢笔，全部分给4名优秀学生，每名学生至少1支，则不同的分法有( )A. 24种B. 28种C. 32种D. 36种13. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6．若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有___种(请用数字作答)．14. 如图，矩形的对角线把矩形分成A ，B ，C ，D 四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_____种不同的涂色方法(用数字作答)．15. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，那么共有_____种不同的志愿者分配方案.(用数字作答) 16. 将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为( )A. 180B. 192C. 204D. 26417. 已知x ，ᵆ∈N ∗，满足1ᵆ−1ᵆ=12 019，则所有数对(ᵆ,ᵆ)的个数是_____.18. 如图，在由若干个同样小的平行四边形组成的大平行四边形内有一个★，则含有★的平行四边形共有_____个．(用数字作答)考点1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作，若济南至少安排2人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数是()A. 120B. 150C. 35D. 65【答案】C【解析】解：6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2人，青岛至少安排3人，分两类，第一类，青岛安排3人，济南安排3人，有ᵃ3=20种;6第二类，青岛安排4人，济南安排2人，有ᵃ4=15种．6根据分类计数原理可得20+15=35种．故选C．2.某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为()A. 9B. 12C. 18D. 24【答案】C【解析】解：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有23−2=6种情况，则他获得奖次的不同情形种数为3×6=18种．故选C．3.若m，n均为非负整数，在做ᵅ+ᵅ的加法时各位均不进位(例如：2019+100=2119)，则称(ᵅ,ᵅ)为“简单的”有序对，而ᵅ+ᵅ称为有序对(ᵅ,ᵅ)的值，那么值)为2019的“简单的”有序对的个数是(A. 100B. 96C. 60D. 30【答案】C【解析】解：由题意可知，只要确定了m，n即可确定，则可确定一个有序数对(ᵅ,ᵅ)，则对于数m，利用分步计数原理，第一位取法有3种：0，1，2;第二位取法有1种：0;第三位取法有2种：0，1;第四位取法有10种：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9;所以值为2019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10=60．故选C．4.现有4种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色，要求有公共边的两部分不能用同一颜色，则不同的涂色方法有()种A. 24B. 30C. 48D. 50【答案】C【解析】解：根据题意，对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法;对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法;对于区域C，与区域A，B相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法;对于区域D，与区域A，C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法．则不同的涂色方法有4×3×2×2=48种．故选C ．5. 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )A. ᵃ62×ᵃ54种 B. ᵃ62×54种 C. ᵃ62×54种 D. ᵃ62×ᵃ54种 【答案】C【解析】解：因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有ᵃ62种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据分步乘法计数原理可得共有ᵃ62×54种情况． 故选C ．6. 数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型ᵃᵅᵄᵅᵅᵄᵅᵅᵅ(斐波那契数列):1，1，2，3，5，8，13，21…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共8级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是( )A. 20B. 34C. 42D. 55【答案】B【解析】解：递推：登上第1级：1种; 登上第2级：2种;登上第3级：1+2=3种(前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来);登上第4级：2+3=5种(前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来); 登上第5级：3+5=8种; 登上第6级：5+8=13种; 登上第7级：8+13=21种;登上第8级：13+21=34种． 故选B ．7. 将数字1，2，3，4填入表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有( )种A. 432B. 576C. 720D. 864【答案】B【解析】解：对符合题意的一种填法如图，行交换共有ᵃ44=24种，列交换共有ᵃ44=24种，所以根据分步乘法计数原理得到不同的填表方式共有24×24=576种． 故选B ．8. 任取集合{1,2，3，4，…，10}中三个不同数ᵄ1，ᵄ2，ᵄ3，且满足ᵄ2−ᵄ1≥2，ᵄ3−ᵄ2≥3，则选取这样的三个数的方法种数共有( ) A. 27B. 30C. 35D. 48【答案】C【解析】解：第一类，ᵄ3−ᵄ1=5，ᵄ1，ᵄ3的值有5种情况，则ᵄ2只有1种情况，共有5×1=5种情况;第二类，ᵄ3−ᵄ1=6，ᵄ1，ᵄ3的值有4种情况，则ᵄ2有2种情况，共有4×2=8种情况;第三类，ᵄ3−ᵄ1=7，ᵄ1，ᵄ3的值有3种情况，则ᵄ2有3种情况，共有3×3=9种情况;第四类，ᵄ3−ᵄ1=8，ᵄ1，ᵄ3的值有2种情况，则ᵄ2有4种情况，共有2×4=8种情况;第五类，ᵄ3−ᵄ1=9，ᵄ1，ᵄ3的值有1种情况，则ᵄ2有5种情况，共有1×5=5种情况;则选取这样的三个数方法种数共有5+8+9+8+5=35种．故选C．9.把2支相同的晨光签字笔，3支相同的英雄钢笔，全部分给4名优秀学生，每名学生至少1支，则不同的分法有()A. 24种B. 28种C. 32种D. 36种【答案】B【解析】解：第一类，有一个人分到一支钢笔和一支签字笔，这种情况下的分法：先将一支钢笔和一支签字笔分给一个人，有4种分法，将剩余的2支钢笔，1支签字笔分给剩余3名同学，有3种分法，共有3×4=12种不同的分法;第二类，有一个人分到两支签字笔，这种情况下的分法：先将两支签字笔分给一个人，有4种情况，将剩余的3支钢笔分给剩余3个人，只有1种分法，共有4×1=4种不同的分法;第三类，有一个人分到两支钢笔，这种情况的分法：先将两支钢笔分给一个人，有4种情况，再将剩余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的3个人，有3种分法，那共有3×4=12种不同的分法．综上所述，总共有12+4+12=28种不同的分法．故选B．10.将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为()A. 180B. 192C. 204D. 264【答案】C【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①个位数字为0，在前面5个数位中任选2个，安排2个数字4，有ᵃ2=10种情况，5将剩下的3个数字全排列，安排在其他的数位，有ᵃ3=6种情况，3则此时有10×6=60个偶数．②个位数字为2，0不能在首位，有4种情况，在剩下的4个数位中任选2个，安排2个数字4，有ᵃ2=6种情况，4将剩下的2个数字全排列，安排在其他的数位，有ᵃ2=2种情况，2则此时有4×6×2=48个偶数．③个位数字为4，0不能在首位，有4种情况，将剩下的4个数字全排列，安排在其他的数位，有ᵃ4=24种情况，4则此时有4×24=96个偶数.共有60+48+96=204个不同的偶数．故选C．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.从集合{1,2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有_____个．【答案】32【解析】解：由题意，将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．从每一小组中取一个，有ᵃ1=2种，共有2×2×2×2×2=32个．2故答案为32．12. 某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是_____． 【答案】252【解析】解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有ᵃ31，然后再确定完成的工作，其方法有ᵃ42，然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有ᵃ21，故当3名教师确定时，完成工作的方法有ᵃ31·ᵃ42·ᵃ21种． 因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，故有三种方法选择教师，第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有ᵃ31种，第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有ᵃ32种，第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有ᵃ33种;故最终选派的方法为(ᵃ31+ᵃ32+ᵃ33)·ᵃ31·ᵃ42·ᵃ21=252种． 故答案为252．13. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1∼9的一种方法．例如：137可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1∼9这9个数字表示三位数的个数为_____．【答案】38【解析】解：分情况讨论：当百位数为1时，十位数为1有2种，十位数为2有2种，十位数为3有2种，十位数为4有1种，为6有2种，为7有2种，为8有1种;当百位数为2时，十位数为1有2种，为2有2种，为3有1种，为6有2种，为7有1种;当百位数为3时，十位数为1有2种，十位数为2有1种，为6有1种;当百位数为4时，只有1种;当百位数为6时，十位数为1有2种，为2有2种，为3有1种，为6有2种，为7有1种;当百位数为7时，十位数为1有2种，为2有1种，为6有1种;当百位数为8，只有一种，一共有38种．故答案为38．14. 现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6．若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有___种(请用数字作答)．【答案】52【解析】解：因为24=6×4×1×1=6×2×2×1=4×3×2×1=3×2×2×2，对于上述四种情形掷这四个骰子时，分别有ᵃ42=12，ᵃ41×ᵃ32=12，ᵃ44=24，ᵃ41=4种情形，综上共有12+12+24+4=52种情形．故答案为52．15. 如图，矩形的对角线把矩形分成A ，B ，C ，D 四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_____种不同的涂色方法(用数字作答)．【答案】260【解析】解：由题意，区域A 有5种涂色方法;区域B 有4种涂色方法;区域C 的涂色方法可分2类：若C 与A 涂同色，区域D 有4种涂色方法;若C 与A 涂不同色，此时区域C 有3种涂色方法，区域D 也有3种涂色方法.所以共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色方法．故答案为260．16. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，那么共有_____种不同的志愿者分配方案.(用数字作答)【答案】21【解析】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C 项目，乙只能参加A 项目，有3种方法;若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C 项目，有ᵃ32=6种方法; 若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A 项目，有ᵃ32=6种方法; 若甲不参加，乙不参加，有ᵃ33=6种方法． 根据分类计数原理，共有3+6+6+6=21种．故答案为21．17. 已知x ，ᵆ∈N ∗，满足1ᵆ−1ᵆ=12 019，则所有数对(ᵆ,ᵆ)的个数是_____.【答案】4【解析】解：因为1ᵆ−1ᵆ=12 019，即2 019ᵆ−2 019ᵆ=ᵆᵆ，所以(ᵆ−2 019)(ᵆ+2 019)=−2 0192．因为已知x ，ᵆ∈N ∗，所以ᵆ+2 019>0，ᵆ−2 019<0．又2 019=3×673，故有以下情况：若ᵆ−2 019=−3，ᵆ+2 019=673×2 019，得ᵆ= 2 016，ᵆ= 1 356768，若ᵆ−2 019=−9，ᵆ+2 019=6732，得ᵆ= 2 010，ᵆ=450910，若ᵆ−2 019=−673，ᵆ+2 019=3×2 019，得ᵆ= 1 346，ᵆ= 4 038，若ᵆ−2 019=−1，ᵆ+2 019= 2 0192，得ᵆ= 2 018，ᵆ= 2 019×2 018，即(ᵆ,ᵆ)的值共4个．故答案为4．18.如图，在由若干个同样小的平行四边形组成的大平行四边形内有一个★，则含有★的平行四边形共有_____个．(用数字作答)【答案】48【解析】解：含有★的平行四边形的左上角的顶点有4种可能，右下角的顶点有12种可能．由一个左上角顶点和一个右下角顶点就能构成一个平行四边形，所以共有48个含有★的平行四边形．故答案为48．。

计数原理概率随机变量及其分布总结计数原理是一种概率理论中的基本原理，用于计算一个事件集合中具有某些性质的元素的数量。

在概率论中，计数原理用于确定样本空间中每个事件的概率，从而计算总体的概率。

计数原理包括排列、组合和多重集合。

排列是指从一个集合中选取若干元素，按照一定的顺序进行排列的方法数，可以表示为n!/(n-k)!。

组合是指从一个集合中选取若干元素，不考虑它们的排列顺序的方法数，可以表示为n!/[(n-k)!k!]。

多重集合是指一个集合中每个元素出现的次数不限，选取若干元素的组合总数。

概率随机变量是指随机试验中，对于每一个结果赋予一个数字的函数。

它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。

离散型随机变量是指随机变量只能取到有限个或可数个值的情况，如掷骰子的点数；连续型随机变量是指随机变量可以取到无限个值的情况，如身高、体重等。

概率分布是指随机变量取不同值时，对应的概率值的分布情况。

常见的离散型概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续型概率分布有正态分布、指数分布、卡方分布等。

伯努利分布是指只有两种结果的随机试验，成功的概率为p，失败的概率为1-p。

其概率分布函数为f(x) = p^x(1-p)^(1-x)，其期望为E(x) = p，方差为Var(x) = p(1-p)。

二项分布是指进行n次相互独立的伯努利试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p，成功的次数为X，则X的概率分布函数为f(x) = C(n,x)p^x(1-p)^(n-x)，其期望为E(x) = np，方差为Var(x) = np(1-p)。

泊松分布是指某个时间段内某个事件发生的次数，假设每个事件发生的概率相等，但是发生次数是不确定的，符合泊松分布。

其概率分布函数为f(x) = e^(-λ)λ^x/x!，其中λ为事件发生的平均次数，其期望为E(x) = λ，方差为Var(x) = λ。

正态分布是指连续型随机变量最常用的分布，其概率密度函数为f(x) = 1/(σ√(2π))e^-((x-μ)^2/2σ^2)，其中μ为期望，σ为标准差，其期望和方差分别为E(x) = μ，Var(x) = σ^2。