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数值计算方法教材答案

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1 习题一

1．设x>0相对误差为2%，求x，4x的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfx得

（1）()fxx时

11()()'()()*2%1%22xxxxxx；

（2）4()fxx时

444()()'()4()4*2%8%xxxxxx

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1x；（2）12.10x；（3）12.100x。

解：由教材9P关于1212.mnxaaabbb型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算

（1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：（1）31.97+2.456+0.1352

21((0.3197100.245610)0.1352)flfl

=2(0.3443100.1352)fl

=0.3457210

（2）31.97+（2.456+0.1352）

21(0.319710(0.245610))flfl

= 21(0.3197100.259110)fl

=0.3456210

易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210，故（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？

2 解：设该正方形的边长为x，面积为2()fxx，由(())(())'()()()()fxxfxfxxfxfx

解得(())()()'()fxfxxxfx=2(())(())22fxxfxxx=0.5%

5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？

（1）已知1x，（A）11121xyxx，（B）22(12)(1)xyxx；

（2）已知1x，（A）211()yxxxxx，（B）11yxxxx；

（3）已知1x，（A）22sinxyx，（B）1cos2xyx；

（4）（A）980y，（B）1980y

解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。

（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。

（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。

（3）（A）中2sinx使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。

（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。

6．用消元法求解线性代数方程组

1515121210102xxxx

假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？

解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为

1161612111120.100100.100100.10010(1)0.100100.100100.20010(2)xxxx

（1）-（2）得161620.100100.10010x，即120.10010x，把2x的值代入（1）得10.000x；把2x的值代入（2）得110.10010x

3 解1110.1001020.00010xx不满足（2）式，解1110.1001020.10010xx不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。

7．计算函数32()331fxxxx和()((3)3)12.19gxxxxx在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？

解：110657.010480.0310219.010480.0)19.2(1111f

110657.010144.010105.0122

=10.16710

)19.2(g110219.0)310219.0)81.0((11

110219.010123.011=10.16910

即1()0.16710fx，1()0.16910gx

而当2.19x时32331xxx的精确值为1.6852，故()gx的算法较正确。

8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：

（1）6113ii；(2)1613ii。

解：（1）623456111111113333333ii=0.3330.1110.0370.0120.0040.001

489.0

（2）165432611111113333333ii=0.0010.0040.0120.0370.1110.333

489.0

9．已知三角形面积1sin2SabC，其中02C。

证明：()()()()SabC。

证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：1212112(,,,)((,,,))()(,,,)ninniinixfxxxfxxxxfxxxx。 得

(,,)(,,)(,,)((,,))()()()(,,)(,,)(,,)aSabCbSabCCSabCSabCabCSabCaSabCbSabCC()sin()sin()cos()sinsinsinabCSbCaaCbabCCabCabCabC

4 =()()()CabCtgC

()()()abC

（当02C时，CtgC），命题得证。

习题二

1．找出下列方程在0x附近的含根区间。

5 （1）cos0xx；（2）3cos0xx；

（3）sin()0xxe；（4）20xxe；

解：（1）设()cosfxxx，则(0)1f，(1)-0.4597f，由()fx的连续性知在1,0x内，()fx=0有根。

同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为0,1；0,2；0,1

2．用二分法求方程sin10xx在0,2内的根的近似值并分析误差。

解：令()sin1fxxx，则有(0)10f，(2)0.81860f，'()sincos0fxxxx，0,2x

所以函数()fx在0，2上严格单调增且有唯一实根x。

本题中求根使得误差不超过410，则由误差估计式

12||kkabx，所需迭代次数k满足4110202k，即取28.13k便可，因此取14k。

用二分法计算结果列表如下：

k ka kb kx )(kxf

0 0 2 1 -0.1585

1 1 2 1.5 0.4962

2 1 1.5 1.25 0.1862

3 1 1.25 1.125 0.015051

4 1 1.125 1.0625 -0.0718

5 1.0625 1.125 1.09375 -0.02835

6 1.09375 1.125 1.109375 -0.00664

7 1.109375 1.125 1.1171875 0.004208

8 1.109375 1.1171875 1.11328125 -0.001216

9 1.11328125 1.1171875 1.115234375 0.001496

10 1.11328125 1.115234375 1.1142578125 0.001398

11 1.11328125 1.1142578125 1.11376953125 -0.000538

12 1.11376953125 1.1142578125 1.114013671875 -0.000199

13 1.114013671875 1.1142578125 1.1141357421875 -0.0000297

14 1.1141357421875 1.1142578125 1.11419677734375 0.000055

6 由上表可知原方程的根7343751.1141967714x

该问题得精确解为08711.11415714，故实际误差为0000396.0

3．判断用等价方程()xx建立的求解的非线性方程32()10fxxx在1.5附近的根的简单迭代法1()kkxx的收敛性，其中

（A）2()11/xx；（B）32()1xx；（C）1()1xx

解：取1.5附近区间1.3,1.6来考察。（A）21()1xx，显然当0x时，()x单调递减，而(1.3)1.59171596， (1.6)1.390625，

因此，当1.3,1.6x时， ()1.3,1.6x。

又当1.3,1.6x时，3322'()0.9211.3xx，

由迭代法收敛定理，对任意初值1.3,1.6x，迭代格式1211kkxx， (0,1,2,)k收敛。

（B）132()(1)xx，则(1.3)1.390755416， (1.6)1.526921344，

22312'()03(1)xxx (0)x，

所以当1.3,1.6x时， ()1.3,1.6x。

又当1.3,1.6x时，222233221.6'()0.552133(1)(11.3)xxx，

由迭代法收敛定理，对任意初值1.3,1.6x，迭代格式1231(1)kkxx，(0,1,2,)k收敛。

（C）1()1xx，由于当1.3,1.6x时，有

332211'()1.07582870612(1)2(1.61)xx，

所以对任意初值1.3,1.6x（原方程的根除外），迭代格式111kkxx (0,1,2,)k发散。

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李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。

第一章 误差

1.1 绝对误差与相对误差

在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。

1.2 舍入误差与有效数字

在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。

第二章 插值与多项式逼近

2.1 插值问题的提出

插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。 2.2 拉格朗日插值法

拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。

2.3 牛顿插值法

牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。

第三章 数值积分与数值微分

3.1 数值积分的基本思想

数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。

3.2 复合求积公式

复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。

3.3 数值微分的基本思想

数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。

数值计算方法A卷标准答案

数值计算方法A卷标准答案

1 一. 填空题（每空2分，共34分）

1. 设 *2.40315x 是真值 2.40194x的近似值，则 *x有 3 位有效数字。

2.求方程coxx根的牛顿迭代格式是1cos_____________1sinkkkkkxxxxx。

3． 迭代法12213kkkxxx收敛于*3__3________x，此迭代格式是__2__阶收敛的。

5. 形如

0()()nbkkakfxdxAfx 的插值型求积公式, 其代数精度至少可

达_________n次，至多可达___21______n次。

6. 向量 (3,2)TX，, 矩阵 7231A，则

1AX___36____，Cond)___90_____A。

7．对矩阵A作如下的LU分解：

6001032211012001542774322baA，则 ___2____a，___3____b

8. 设 100aAb，要使lim0kkA，a与b应满足 ___1,1____ab。

10. 设(0,1,2,3,4,5)ixi为互异节点，()ilx为对应的5次Lagrange插值基函数，则5540((ln2)1)()iiiixxlx=54__(ln2)1_________xx

二. (12分)

设函数)(xf在区间[0,2]上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(xH，并写出其余项()()()RxfxHx 的表达式

x 0 1 2 2 ()fx 1 2 9

'()fx 4

解： 2()(0)[0,1]()[0,1,2]()(1)Nxffxfxx

213(1)321xxxxx （5分）

《数值计算方法》试题集及答案(1-6)#优选.

《数值计算方法》试题集及答案(1-6)#优选.

word.

1 / 16word. 《计算方法》期中复习试题

一、填空题：

1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(fff，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得31_________)(dxxf,用三点式求得)1(f 。

答案：2.367，0.25

2、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1， )2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL

3、近似值*0.231x关于真值229.0x有( 2 )位有效数字；

4、设)(xf可微,求方程)(xfx的牛顿迭代格式是( )；

答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx

5、对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f( 1 ),]4,3,2,1,0[f( 0 )；

6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

7、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( 12nab )；

8、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )；

11、 两点式高斯型求积公式10d)(xxf≈(10)]3213()3213([21d)(ffxxf )，代数精度为( 5 )；

12、 为了使计算 32)1(6)1(41310xxxy 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11,))64(3(10xtttty ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为 199920012 。 word.

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

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第一章：数值分析导论

1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。

2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。

3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。

4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。

第二章：数值误差分析 1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。

2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。

3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。

4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。在实际应用中，由于误差的产生是无法避免的，因此需要确定一个合理的误差限度来判断数值计算结果的可接受性。误差限度的选择要考虑到具体的应用需求和实际情况。