你中有我动静相映

你中有我 动静相映

——谈“函数与方程思想”专题复习

舒晓懿（湖北宜昌兴山一中）

摘要：函数与方程思想是高中重要思想方法之一，针对学生理解障碍的分析，探讨帮助学生理解函数与方程思想方法的途径，使得学生能够把握这一思想方法的本质并能熟练应用这一思想方法求解数学试题。

关键词：函数思想；方程思想；理解障碍；专题复习。

1997年开始将数学思想方法正式列入《高考考试说明》之中，函数与方程的思想是中学数学的基本思想方法之一，也是历年高考考查的考查重点，以2012年湖北数学高考考试题为例：

思想方法 科别 客观题（序号） 解答题(序号)

函数思想 文科 1、6、14、17 18、22

理科 3、9、13、14 17、19、22

方程思想 文科 1、3、5、7、12 20、21、22

理科

1、5、6、7、9、10、11、14、16 18、21

函数与方程思想的内涵及基本应用屡见报刊，文[1]有很好的讨论，本文不再赘述，本文主要从学生一些常见错误根源入手，来谈谈笔者的看法，愿与同行商榷。

一、多元表征，把握实质——准确把握函数与方程思想应用的基础

在函数应用中，很多学生狭隘的将x定义为自变量，y定义为变量；在方程应用中，学生片面的认为就是解方程、求零点等。关注所研究对象的非数学特征，对函数概念狭隘的理解，不能用联系和变化的观点抽象其数学本质，是学生不能很好理解函数与方程思想的根源。

例1：（经典试题）设不等式0122mxmx对于满足22m的一切m的值都成立，求x的取值范围。

解法一：（变换主元法）设),22(12)1()(2mxmxmf则0)(mf恒成立等价于：

0)2(f且0)2(f

所以271231x

解法二：（分离变量法）将不等式转化为)(mgx或)(mgx，再求解。

变式1：设不等式0122mxmx对于满足22x的一切x的值都成立，求m的取值范围。

例题解析及教学建议：对于解法1，众说纷纭：“此解法学生只停留在欣赏层面”、“此解法不具备通性，可以用分离变量法”（文[2]等）。。。。。。等等不一而足，但文[2]指出这些评论都没有回答一个事实：学生为何不能掌握这种解法？文[3]进一步指出：把第一种方法抽象为原象集：]2,2[，象集：负实数集；对应法则为：12)1(2xmxm。那么变式1和例题不仅形似，实质也一样了；解法2的实质也就是求解函数)(mgy的值域了。文[3]从如何解释解法一、二进行了深入的讨论，笔者对例2进行讨论，笔者力图寻找学生思维障碍形成的根源。

例2：（2012年浙江文科T21）已知a∈R，函数aaxxx24)(f3.

（1）略；（2）证明：当10x时，02)(axf。

解析：原式有两个变量]1,0[,xRa，解题时学生习惯性将x作为主元，a作为参数进行讨论，此高考参考解法在此不再展开。那么，选择a作为主元，x作为参数呢？就得到如下解法2：

解2(文[4])：要证明当0≤x≤1时，f(x)+ 2a＞0，不妨设

3422)(xaaxaag=

因为]1,0[x,)(ag在]2,(a上是减函数，在),2(a上是增函数，

因为,244)(3minxxag 2,223aaxxa

2,24)1(23axax

再设]1,0[,244)(3xxxxh

求导求得函数)(xh在]33,0[是减函数，在),33(是增函数

所以09382)33()(minhxh，则命题得证。

变式2：（2012年浙江理科T22）已知,,0Rba函数babxaxxf24)(3

（1）证明：02)(,10abaxfx；（2）略。

例题解析及教学建议：第一轮复习已经完成，学生初步具备了理解数学的素材。在专题复习中，教师要将这些素材有机的结合在一起，进一步从数学试题中抽象出数学概念（如例1）的本质，帮助学生建立知识与思想的网络。数学是由符号语言、文字语言、图形语言构成，长期以来，教材、教师教学中多用x表示自变量，y表示变量,使学生形成了思维定势，对变式1学生可以自然的选取“讨论单调性法”、“分离变量法”来求解试题，而对例1却一筹莫展或者只是记忆性的求解，认为字母a,b,c„等只能是参数，函数就是关于“字母x”的表达式，这是学生理解函数与方程思想障碍的根源之一，进而妨碍了学生自觉应用函数思想分析、求解试题。例2实测难度值为0.18，变式2的得分更低，这就是一个很好的例证。函数与方程都是分析和研究数量关系的一种数学模型，例2有2个未知量，变式2有三个未知量，其实质都是变量之间的对应关系，因此，在专题复习中，帮助学生建立量与量的对应思想，合理的选择变量之间的对应关系有利于学生建立函数与方程思想。在例题教学中，要引导学生思考：哪些是变量？那些不是变量？能否把变量ab看成变量t的函数等？只有不唯x是自变量，对变式2才能展开深入分析，才能创造出新解法。

二、目标引领，构建函数——深入理解函数与方程思想求解的思路

在求解诸如单调性、对称性、方程、求根等试题时学生可以自觉应用函数与方程的思想与方法，学生思维往往只停留在试题的表面形态上，如下例3（1）解题困难在于学生思维只停留在数列方法中，对于（2）学生高度一致的选择均值不等式来求解，求解（3）时想不起构建函数，学生多将此题的难点归结为向量知识理解不透所致。

例3、（1）（2010年浙江高考理科）设da、1为实数，首项为1a，公差为d的等差数列na的前n项和为nS，满足01565SS，则d的取值范围为

（2）（2011年浙江高考理科）设yx,实数，若,1422xyyx，则yx2的最大值是

（3）（2009年安徽高考理科）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°。如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OByOAxOC，其中Ryx，，则x+y的最大值是 .

解析：（1）学生应用等差数列的基本公式将条件01565SS转化为

0110922121ddaa

①

面对表达式①多数学生束手无策，从题目“d的取值范围”而言构造关于d的函数——)(df应该是解题方法之一，求根公式不失为一种对应关系，从而应该考虑判别式不小于0，既有：

0)110(8)9(22dd解得22d或22d，等号成立条件略。

此题得分率为0.06，据该试卷22道题中倒数第二位，与学生函数与方程思想的缺失不无关系。

（2）文[5]采用“降元”、“升幂”、“换元”、“引入辅助向量”四个策略共17种方法进行求解，但从学生课堂解答的情况来看，值得思考的是学生高度一致的应用均值不等式来求解，如“2012年高考（浙江文））若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 ”的求解也强化了学生这种习惯。为何会这样呢？学生认知缺陷是什么呢？究其原因，学生缺乏“变量的认识”——如把2x和y作为两个变量，可以把2x与y理解为方程的两个实根，见解法2；如把“2x+y”作为一个变量，就可以构建这一变量的函数，见解法1；缺乏“目标意识”——求“最大值”构造关于目标的函数是基本方法之一。现摘录其中两种解法：

解法1：令yxz2得xzy2，代入已知条件得

016322xxzz， ②

所以0)1(24922zz解得51025102z

当且仅当xz4即1022xy时右边等号成立；同理1022xy时左边等号成立。

解法2： 由xyz312得zyxzxy2),1(3222

所以0)1(32222zzttyx是方程和 ③ 的两个实根

所以58,0)1(38222zzz即，后同解法1。

（3）向量是高中数学的重要知识点,包含了代数(坐标运算)和几何(平行四边形法则、三角形法则)两方面知识，众多报刊对此进行了讨论。从学生反馈的情况来看，主要是在考虑几何意义求解时陷入困境的，下面仅展示其中三种代数解法：

法1：由条件OByOAxOC两边平方得

221yxyx ④

后解略。

法2：以O为原点，直线OA为x轴建立直角坐标系转化为函数求解。

法3：设AOC

,,OCOAxOAOAyOBOAOCOBxOAOByOBOB，即01cos21cos(120)2xyxy

所以02[coscos(120)]cos3sin2sin()26xy

变式3、（1）（08年天津理科）设1a，若仅有一个常数c使得对于任意的aax2,，都有2,aay满足方程cyxaaloglog，这时，a的取值的集合为 .

（2）已知45,2,3Aba，判断三角形解的个数。

例题解析及教学建议：“数学的发现的本质就在于做出正确的选择”（彭加勒语）。学生思维定势的形成与教师在教学中只注重试题解法的一招一式是分不开的，在数列教学中只选择数列方法，向量教学中反复训练几何意义，对于不同的解法只注重“呈现”，不讲明“为何这样思考”、“不同解法之间内在联系或者差异”，不能站在整个高中数学体系上对试题进行分拆、重组、构建，这是不利于学生思想方法形成。函数是分析和研究数量关系的一种数学模型，探索变量之间的数量关系和最值问题是高考常见的题型之一，解决这类问题的基本策略就是运用函数与方程思想。例3的载体虽然分别为数列、二元二次式、向量，但本质是函数与方程之间的互相转化，那么在解法中出现①、②、③、④这些同样的表达式就不是偶然的了。在二轮复习中，选择“形同质异”、“形异质同” 变式题组帮助学生理解数学思想方法是可行的。可见，在二轮复习中教师要强化目标意识，在指导学生解题时，要引导学生思考：只能用试题本身体现的知识点求解吗？是否可以转化为其它方法如函数与方程思想方法求解？只有具备了目标意识，主动分析量之间对应关系，变式3（1）就可以构造关于a的函数求解，变3（2）就可以构造关于c的函数求解！看透实质才是解法的根源！

三、图形为线，具体入微——准确把握函数与方程思想的互相转化

)(xfy是函数，0)(xfy是方程，这种相互转化关系是函数与方程思想具体体现，这种转化几乎渗透到高中数学的每一个章节，在每一年高考试题中都有大量的体现。