吉林省长春市2020高三理科数学二模试题含答案

理科数学试题 第1页（共4页）

长春市普通高中2020届高三质量监测（二）

理科数学

本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。

注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘

贴在考生信息条形码粘贴区。

2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签

字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写

的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、

刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1. 已知集合{|(2)0}Axxx=−

≤，{1,0,1,2,3}B=−

，则AB

=

A. {1,3}− B. {0,1,2} C. {1,2} D. {0,1,23}，

2. 若1(1)iza=+−

（aR

）

，||

2z=，则a=

A. 0或2 B. 0 C. 1或2 D. 1

3. 下列与函数1

y

x=

定义域和单调性都相同的函数是

A.

2log

2x

y=

B.

21

log()

2x

y=

C.

21

logy

x= D.1

4yx=

4. 已知等差数列{}

na

中，

5732aa=

，则此数列中一定为0的是

A.

1a

B.

3a

C.

8a

D.

10a

5. 若单位向量

1e

，

2e

夹角为60

，

12=−aee

，且||3=a

，则实数=

A. 1−

B. 2 C. 0或1−

D. 2或1−

6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学

科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的

数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行

了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标

值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是

A. 甲的数据分析素养高于乙

B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养

C. 乙的六大素养中逻辑推理最差

D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 理科数学试题 第2页（共4页）

7. 命题p

：存在实数

0x

，对任意实数x

，使得

0sin()sinxxx+=−

恒成立；:q0a，

()lnax

fx

ax+

=

−为奇函数，则下列命题是真命题的是

A.pq B. ()()pq C. ()pq D. ()pq

8. 在ABC△

中，30C

=，2

cos

3A=−

，152AC=−

，则AC

边上的高为

A. 5

2 B. 2

C. 5

D. 15

2

9. 2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名

干部派遣到A、B、C

三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派

遣到A县的分法有

A. 6

种 B. 12种 C. 24种 D. 36

种

10. 在正方体

1111-ABCDABCD

中，点,,EFG分别为棱

11AD

，

1DD

，

11AB

的中点，给

出下列命题：①

1ACEG⊥

；②//GCED；③

1BF⊥

平面

1BGC

；④EF和

1BB

成角为

4

. 正确命题的个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11. 已知抛物线C

：2

2ypx=

（0p

）的焦点为F，

01

(,)

2My

为该抛物线上一点，

以M

为圆心的圆与C

的准线相切于点A

，120AMF=

，则抛物线方程为

A. 2

2yx=

B. 2

4yx=

C. 2

6yx=

D. 2

8yx=

12. 已知11

()xx

fxeex−−

=−+

，则不等式()(32)2fxfx+−

≤的解集是

A. [1,)+ B. [0,)+ C. (,0]− D. (,1]−

理科数学试题 第3页（共4页）

A

CBA

1

C

1B

1

MNG二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若,xy

满足约束条件22

20

22xy

y

xy+



−





−

≥

≤

≤，则zxy=+

的最大值为____________.

14. 若1

2

05

()

3axdx

−=

，则a=

____________.

15. 已知函数()sin()

6fxx

=+

（0

）在区间[,2)

上的值小于0恒成立，则

的

取值范围是________________.

16. 三棱锥ABCD−

的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O

，且22BD=，则

三棱锥ABCD−体积的最大值为__________；三棱锥ABCD−体积最大时，平面

ABC

截球所得的截面圆的面积为_____________. （本题第一空2分，第二空3分.）

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. （12分）

2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展

冰上体育锻炼. 现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们

的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长

冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：

（Ⅰ）求m

的值；

（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22

列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？

擅长 不擅长 合计

男性 30

女性 50

合计 100

P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(2

2()

()()()()nadbc

K

abcdacbd−

=

++++，其中nabcd=+++

)

18. （12分）

如图，直三棱柱

111ABCABC−

中，底面ABC

为等腰直角

三角形，AB

BC⊥

，

124AAAB==

，M

，N

分别为

1CC

，

1BB

的中点，G

为棱

1AA

上一点，若

1AB⊥

平面MNG

.

（Ⅰ）求线段AG

的长；

（Ⅱ）求二面角BMGN−−

的余弦值. 405060708090频率/组距

成绩(分)0.0050.0150.030

0.020

100m

O理科数学试题 第4页（共4页）

19. （12分）

已知数列{}

na

满足，

11a=

，

24a=

，且

21430

nnnaaa

++−+=

（*

nN

）.

（Ⅰ）求证：数列

1{}

nnaa

+−

为等比数列，并求出数列{}

na

的通项公式；

（Ⅱ）设2

nnbna=

，求数列{}

nb

的前n

项和

nS

.

20. （12分）

已知椭圆C：22

221(0)xy

ab

ab+=

的左、右顶点分别为A

、B

，焦距为2，点P

为椭圆上异于A

、B

的点，且直线PA

和PB的斜率之积为3

4−.

（Ⅰ）求C

的方程；

（Ⅱ）设直线AP

与y

轴的交点为Q

，过坐标原点O

作//OMAP

交椭圆于点M

，试探究

2||||

||APAQ

OM

是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21. （12分）

已知函数()x

fxe=

.

（Ⅰ）求曲线()yfx=

在点(1,(1))f处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意的mR，当0x

时，都有21

(2())221mfxkm

x+−

恒成立，

求最大的整数k

.

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第

一题计分.

22. [选修4-4 坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线

1C

的参数方程为22cos

2sinx

y

=+



=

（

为参数），曲线

2C的参数方程为

3

8cos

4

3

sin

4xt

yt



=+









=



（t

为参数）.

（Ⅰ）求

1C

和

2C

的普通方程；

（Ⅱ）过坐标原点O

作直线交曲线

1C

于点M

（M

异于O

），交曲线

2C

于点N

，

求||

||ON

OM的最小值.

23. [选修4-5 不等式选讲]（10分）

已知函数()|1||1|fxaxx=++−

.

（Ⅰ）若2a=

，解关于x

的不等式()9fx

；

（Ⅱ）若当0x

时，()1fx

恒成立，求实数a

的取值范围.