力学量算符之间的对易关系
讨论微观态ψ中某一力学量F 时，总是以∧
F 的本征质谱作为力学量F 的可能值。若我们同时观测状态ψ中的一组不同力学量 ,,
G F ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。主要内容有：
一个关系：力学量算符之间的对易关系
三个定理⎪⎩
⎪
⎨⎧力学量守恒定理不确定关系逆定理）共同本征态定理（包括
1 算符之间的对易关系
1.1 算符的基本运算关系
（1）算符之和：算符∧
F 与∧
G 之和∧
∧+G F 定义为
ψψψ∧
∧∧∧+=+G F G F )( （1）
ψ为任意函数。一般∧
∧
∧
∧
+=+F G G F ，例如粒子的哈密顿算符)()(22
r U T r U p
H +=+=∧∧∧
μ
是
动能算符∧
T 与势能算符)(r U 之和。 （2）算符之积：算符∧
F 与∧
G 之积定义为
)()(ψψ∧
∧∧∧=G F G F （2）
显然，算符之积对函数的作用有先后作用次序问题，一般不能颠倒，即∧
∧∧
∧≠F G G F 常记为 ∧
∧
∧
∧≠-0F G G F （3）
n 个相同算符∧F 的积定义为算符∧
F 的n 次幂
例如 dx d F =∧
，则 222dx d F =∧，n n n
dx
d F =∧
。
为了运算上的方便，引入量子括号
∧
∧∧∧∧∧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡F G G F G F , （5）
若 0,≠⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∧∧G F （6）
称算符∧F 与∧G 是不对易的（不能交换位臵），即∧
∧∧∧≠F G G F 。
若 0,=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∧∧G F （7）
称算符∧F 与∧G 是对易的，即∧
∧∧∧=F G G F 。
下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+-=∧∧∧∧∧∧∧
∧∧∧
∧∧∧∧∧∧
∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧
∧)
11(],[],[],[)10(],[],[],[)9(]
,[],[],[)8(],[],[G
M F M G F M G F M
G F M F G M G F M F G F M G F F G G F
1.2 坐标算符与动量算符的对易关系
坐标算符是乘数因子，相互对易
[]0],[0],[0
,===x z z y y x （12）
动量算符是微分算符，因为 x
y y x ∂∂∂=
∂∂∂2
2 ，则 0,0,0
,=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧x z z y y x p p p p p p （13） 坐标算符与动量算符：设ψ为任意函数
⎪⎩
⎪⎨⎧
∂∂
--=∂∂-=∂∂-=∧∧ψ
ψψψψψx x i i x x i x p x x i p x x x )( 比较后可得 ψψψ i x p p x x x =-∧
∧，即
i p x x =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∧, （14a ）
但是 0,0
,=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∧∧z y p x p x （14b ） 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为
ij j i i p x δ =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∧
, (14c)
其中 ),,()3,2,1(z y x i x i ≡== ),,()3,2,1(∧
∧∧∧≡=z y x j p p p j p
※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由
此导出。
1.3 角动量算符的对易关系
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-====-=-===∧∧∧
∧∧∧
∧
∧∧
0],[,],[,],[],[,0],[,],[],[,],[,0],[z L x i y L y i x L x i z L y L z i x L y i z L z i y L x L z z z y y y x x x (15)
只证明其中一个，请注意证明方法
z
i y p z p y z y p z p y y y p y y p z y p y y p z p y y L y y y z z y z y z x =-=--+=-=-=∧
∧
∧∧∧∧
∧∧∧∧],[],[],[],[],[]
,[],[],[],[ 记忆方法：从左至右以x z y x →→→依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-====-=-===∧∧∧∧∧∧∧
∧∧
∧∧∧∧∧∧
∧∧
∧∧∧∧∧∧
∧0],[,],[,],[],[,0],[,],[],[,],[,0],[z z x y z y x z x z y y y z x y y
z x z y x x x p L p i p L p i p L p i p L p L p i p L p i p L p i p L p L （16）
另外有 ∧∧∧=z y x L i L L ],[ ∧∧∧=x z y L i L L ],[ ∧
∧∧=y x z L i L L ],[ （17） ∧
∧
∧
=⨯L i L L （18） 1.4 几个重要的推论（请大家自行导出） 0],[],[],[],[)
1(2222
=++=∧
∧∧
∧∧
∧∧
∧z z
z y
z x
z L L L L L L L L
),,()3,2,1(,0],[2
z y x j L L j ===∧
∧ （19）
0],[,0],[,0],[)
2(2
2
2
2
===∧∧∧∧
∧∧
p L p L p L j （20）
（3）球坐标下∧
L 是ϕθ,的函数，若有径向函数算符)(r U ，则
0)](,[,0)](,[2
==∧∧
r U L r U L （21）
0],[,0],[)
4(22
==∧∧
r L r L i （22）
2 共同本征函数完备系
2.1共同本征函数完备系带来算符对易
设两个算符∧
F 和∧
G 有一个共同的本征函数n ϕ，则必有n a n F ϕλϕ=∧及n b n G ϕλϕ=∧
，即在n ϕ态中可以同时确定这两个力学量的数值，那么
0)()(=-=-∧
∧∧
∧n b a b a n F G G F ϕλλλλϕ
