高考数学一轮复习 极坐标教学案

专题八 极坐标方程参数方程与绝对值不等式第一讲 极坐标方程与参数方程1、极坐标与直角坐标的互化2．(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．练一练1．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(1)1y x +-=，直线:4l x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出圆C 和直线l 的极坐标方程；2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的直角坐标方程为y x =+曲线C 的参数方程为33cos 3sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和C 的极坐标方程；3．在极坐标系中，圆C 是以点C 11(2,)6π为圆心，2为半径的圆． （1）求圆C 的极坐标方程；4．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；5．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；6．在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出曲线C 的极坐标方程及直线l 的直角坐标方程；8．在平面直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为11x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 是圆心在()1,2，半径为2的圆．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C 的直角坐标系方程与2C 的极坐标方程；9．已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为822x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求1C 和2C 的普通方程；10．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2211x y +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 16πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是122x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为24cos 8sin 100ρρθρθ--+=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；12．极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线:sin 42l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；第二讲 绝对值不等式1、含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集2、|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3、|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ②利用零点分段法求解．13．已知集合{}5A x x =∈<Z ，{}24xB x =≥，则A B =（ ）A ．()2,5B ．[)2,5C ．{}2,3,4D ．{}3,414．已知集合则{}{}240|2A x x x B x x =-<=<，，则AB =（ ）A ．()02，B ．()2,4-C ．()()24-∞⋃+∞，，D ．()()20-∞+∞,-,15．不等式12x -<的解集为________ 16．已知函数()|1||24|f x x x =-++． （1）求不等式()6f x >的解集；17．设()23f x x x =-++. （1）解不等式()7f x >；18．已知函数()121f x x x =++-. （1）求不等式()2f x ≥的解集；19．已知函数()|1||1|f x x x =--+． （1）解不等式|()|1f x >；20．已知函数()16f x x x =-+-． （1）解不等式()12f x >；21．已知函数()413f x x x =-+--． （1）解不等式()1f x ≤；22．已知函数()24f x x x =--+． （1）求不等式()1f x >的解集；。

高中数学极坐标方程教案
教学内容：极坐标方程
一、教学目标：
1. 理解极坐标的概念，掌握极坐标系的基本概念和用法；
2. 掌握极坐标系下的点、曲线、面积等的表示方法；
3. 能够根据题目要求，求解相关的极坐标方程。

二、教学重点和难点：
1. 极坐标系的基本概念和用法；
2. 极坐标方程的求解方法。

三、教学内容及步骤：
1. 极坐标系的概念和表示方法（5分钟）：
- 介绍极坐标系的定义和基本概念；
- 讲解极坐标系下点的表示方法；
- 演示极坐标系下点的坐标计算方法。

2. 极坐标方程的表示和求解（15分钟）：
- 解释极坐标方程的含义和表示方法；
- 示范如何根据题目要求，列出相应的极坐标方程；
- 练习相关题目，让学生熟练掌握求解极坐标方程的方法。

3. 极坐标方程的应用（10分钟）：
- 讲解极坐标方程在求解曲线、面积等问题中的应用；
- 练习相关题目，让学生掌握如何应用极坐标方程解决实际问题。

四、课堂练习及作业布置（10分钟）：
- 布置相关的课堂练习题，并进行答疑；
- 完成相关作业，并提醒及时复习和巩固知识点。

五、教学反思：
本节课主要围绕极坐标系及极坐标方程展开教学，通过理论讲解和实例演练，使学生掌握极坐标系的基本概念和应用方法。

在课堂练习及作业布置方面，应该注意引导学生运用所学知识解决实际问题，巩固和深化对极坐标方程的理解和应用能力。

极坐标与直角坐标的互化
〔二〕、讲解新课：
直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为)
,(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义
可以得到如下两组公式： {θρθ
ρsin cos ==y x
{ x y y x =+=θρtan 2
22
说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。

3、互化公式的三个前提条件
〔1〕. 极点与直角坐标系的原点重合;
〔2〕. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;
〔3〕. 两种坐标系的单位长度相同.
〔三〕、举例应用：
例1、将点M 的极坐标2(5,)3
π 化成直角坐标. 变式训练：以下点的极坐标，求它们的直角坐标： 33(3,),(2,),(1,),(,),(2,)622244
πππππ- 例2：将点M 的直角坐标(3,1)-- 化成极坐标。

变式练习: 点的直角坐标, 求它们的极坐标：
(3,3),(1,3),(5,0),(0,2),(3,3)----
例3 在极坐标系中，两点〔2，3π〕，〔3，2
π〕，求两点间的距离.。

极坐标与参数方程【教学目标】1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化 【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．【基本要点】一、极坐标和参数方程：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点．极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.3．极坐标与直角坐标的互化：4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =； 5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y ,rcos a x 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=.椭圆1b y a x 2222=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsin y ,acos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==.抛物线2px y 2=的参数方程可表示为)t (.2pt y ,2pt x 2为参数⎩⎨⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.tsin y y ,tcos x x o o αα（t 为参数）．【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用 例1、（1）点M 的极坐标)32,5(π化为直角坐标为（ ）B A ．)235,25(--B ．)235,25(-C ．)235,25(-D ．)235,25(（2）点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ）B A ．)65,2(π B ．)67,2(π C ．)611,2(πD ．)6,2(π 评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．变式1：（1）点()22-，的极坐标为 ． （2）在极坐标系中，圆心在)4A(1,π，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．例2、（1）曲线的极坐标方程θρsin 4=化 成直角坐标方程为（ ）A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4【解析】将ρ=22y x +，sin θ=22yx y+代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.（2）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. ①把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（1）x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.所以x 2+y 2=4x.即x 2+y 2-4x=0为⊙O 1的直角坐标方程.同理x 2+y 2+4y=0为⊙O 2的直角坐标方程.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==,0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）.过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.变式1：极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆【解析】原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.变式2：在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-【解析】A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切．例3、在极坐标系中，已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度；变式1、在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．变式2、在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．例4、极坐标方程分别为θρcos 2=和θρsin =的两个圆的圆心距为____________；变式1、把极坐标方程cos()16πρθ-=化为直角坐标方程是 ．变式2、在极坐标系中，圆心在)π且过极点的圆的方程为_ .变式3、在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则=||AB _________ _．题型二：参数方程的互化和应用例1、若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = .变式1、设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______变式2、已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。

极坐标教案教案标题：极坐标教案一、教学目标1. 了解极坐标的概念和基本性质；2. 掌握极坐标下点的表示方法；3. 学会在极坐标下进行坐标变换和图形绘制；4. 能够应用极坐标解决实际问题。

二、教学重点和难点重点：极坐标的基本概念和性质，点的极坐标表示方法，极坐标下的坐标变换和图形绘制。

难点：极坐标与直角坐标系的转换，极坐标下的曲线方程的表示和理解。

三、教学过程1. 导入新知识通过展示极坐标系和直角坐标系的对比，引导学生了解极坐标的概念和基本特点。

2. 讲解极坐标的表示方法介绍极坐标下点的表示方法，包括极径和极角的概念，以及极坐标与直角坐标系之间的转换关系。

3. 案例分析通过具体的案例分析，引导学生掌握极坐标下的坐标变换和图形绘制方法，例如绘制简单的极坐标曲线和解决相关实际问题。

4. 练习与讨论设计一些练习题目，让学生在课堂上进行练习，并进行讨论和答疑，加深对极坐标的理解和掌握。

5. 拓展应用引导学生将极坐标应用到实际问题中，例如极坐标下的坐标变换和图形绘制在工程、物理等领域的应用。

6. 总结反思对本节课的内容进行总结，强调极坐标的重要性和应用价值，鼓励学生多加练习和思考。

四、教学资源1. 极坐标系和直角坐标系的对比图；2. 相关极坐标的案例分析题目；3. 极坐标下的图形绘制工具。

五、作业布置布置相关练习题目，巩固学生对极坐标的理解和掌握。

六、教学反思根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略，不断完善教学内容和方法，提高教学效果。

七、教学评价通过课堂练习、作业完成情况和学生的表现，对学生的学习情况进行评价，并及时进行指导和辅导。

一道极坐标与参数方程高考题的教学设计*广东省韶关市仁化县仁化中学(512300) 尹杰杰 刘雨旳摘要 针对2019年全国I 卷第22题“极坐标与参数方程”进行例题教学设计.首先通过一题多解的方式，让学生理 解知识的横向联系和纵向发散;其次，通过改编原题,知识点逆向考查和引入参数，培养学生逆向思维，了解学生对例题 知识点的掌握效果，增强学生数学能力和探究意识.最后，通过变式列举了 3道类似知识点的高考题，给学生提供良好的 探究情境，促进学生主动学习，启发学生理解数学本质，提升学生数学核心素养.关键词 极坐标与参数方程;教学设计;一题多解;核心 素养1引言极坐标与参数方程在历年全国卷中是选做题，分值10 分,属于中档题.设置两小问,第一问5分，一般为极直互化或参数方程与普通方程互化，属于简单题.第二问5分，一般 考查以下几种类型：第一，极径p 的几何意义与应用.例如：微课短片的制作方式方法很多，经历了一段时间的实践, 总结几个常用的选材：①本节课程中所插入的微课源微课;②教师课程中精讲的内容，制作成录播微课;③课程的重难点小结内容制作成微课;①优秀学生的解题模板展示制作成PPT 翻页微课.①典例和考点的解题技巧的学法指导制作成微课短片.通过“微信班群” “QQ 班群”等互联网工具直接布置观 看短片任务，打破地域、时空的枷锁，进一步完善巩固复习环 节.微课回放既能指导学生学法，又能达到“温故而知新”的效果，甚至制作的微课极大程度成了下一个线上课程的开场课题引入.微课在数学线上课程中“保驾护航”的操作架构:这个操作架构可以扫除线上课程的复习环节上的学习障碍：(1) 通过知识点归纳总结的微课短片进行巩固复习，可以扫除同学们在课堂上没理解的概念和知识点.(2) 通过学法指导微课短片和优秀学生解题模板，可以解决学生在家自主学习时无人指教，无题可参的困境，促进 无师自通的自主学习；(3)任务驱动的复习模式，纠正学子自主复习时杂乱无章的节奏，有助于加深学生对重点难点的认识.综上所述，微课在数学线上课程中，像雨后春笋般实践成长.我们要充分利用庞大的网络资源,乘载“大数据”的信 息教学之舟.我们依然可以把线上教学及远程教学所用到的微课教学模式迁移到返校的面授教学中，让微课为新时代教学多元化授课夯基铺路.微课既然能驾驭线上课程,也理所 当然能批判继承其优劣点助力我们复课后的多元化教学.让我们深入探究微课走起,让微课促进教师业务水平和教研能力的提高.让我们的莘莘学子得以“人人能学、处处能学、时时能学”.“停课不停学”轻轻地走了，也正如它悄悄地来，作别教师们忙碌敲打键盘的声音.留下那一个个微课里那教师的美丽身影.寄望着新冠一去不返，微课伴我行，祖国花朵依旧随 风飘摇.(特别鸣谢“洋葱数学”制作团队给学生们带来精彩 的微课)参考文献[1] 徐燕京.初中数学微课助学的意义[J].教育-教学科研,2015, (3).[2] 杨丽娟.“微课”让初中数学课堂“翻转”出高效率[J].中小学教师培训,2015, (2).[3] 彭伟坚.微课在初中数学教学中的应用[J].中学数学研究,2014, (9).'本文是韶关市教育科研课题《基于核心素养下高中生数学建模能力培养的策略研究》(立项编号：sgjky19408)2015年全国I 卷,2015年全国II 卷,2016年全国II 卷,2017年全国III 卷;第二，参数的几何意义与应用.例如：2018年全国II 卷、2018年全国III 卷;第三，直线与曲线的位置关系，利 用点参法求最值.例如2016年全国III 卷、2017年全国I 卷、2019年全国I 卷;第四，利用极坐标或者参数方程求曲线的轨迹方程.例如2017年全国II 卷、2019年全国II 卷;第五,利用分类讨论思想求解.例如：2018年全国I 卷、2019年全 国III 卷.下面笔者通过对2019年数学全国I 卷第22题“极坐标与参数方程”进行例题教学设计及例题改编与变式.2例题教学设计例题（2019全国I 卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的（ 1 一 t 2x =-------参数方程为｛ 1 +t t （t 为参数）.以坐标原点O 为极I y =L点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2p cos 0 + sin 0 + 11 = 0.（1） 求C 和l 的直角坐标方程；（2） 求C 上的点到l 距离的最小值.师：这是一个什么问题？第一问主要考查什么知识点？解题的基本程序是什么？（极参问题是学生掌握较好的题型，原因是模型单一，学生熟悉，旨在引导学生将解题思路调控进入自己熟悉的区域,也想进一步巩固极坐标、参数方程、直角坐标方程的转化的 解题程序.）生1：这是一道极坐标与参数方程的题目，第一问主要是 考查坐标系转化和消参.首先通过x 的等式，求岀x 的范围,然后通过代入消元法消去参数t,化简得到了缺了一个点的椭圆方程,然后利用公式对直线l 的极坐标方程，转化为直角坐标方程即可.都是1 + t 2,而分子是1 - t 2,4t, 一个二次，一个一次,我们有 等式（1 + t 2）2 - （1 - t 2）2 — 4t 2,故而可以想到通过平方的形式构造岀与分母相关的完全平方式即可.生2解法：（平方消参法）因为-1 < 帛 Q 1，且x 2 +=（帛）+4t 2 y 21,所以C 的直角坐标方程为x 2 +务一1（x —（1+ t 2）2-1）.师：此法是通过观察式子特征，构造平方,从而大大减少了计算量,但是此法对学生核心素养要求较高，大多数学生 无法想到.那我们是否还有它法求解呢？（学生激烈讨论中）师：通过生2的观察法,是否发现曲线C 的参数方程和某一类公式很像？（小部分同学说岀答案）师:再看看x 的取值范围，和哪个函数的取值范围很像？生3：三角函数，曲线C 的参数方程结构很像万能公式. 师：很好，是通过万能公式进行代换，请写岀你们的解答过程，生3板演过程.生3解法：（万能公式法）(x = 1 - t 2因为-1 <x < 1,令 t — tan 詈,代入("1 +t t2 '[y = L '” n x — cos a,化简得<I y — 2 sin a,所以评析本问题的三种解法各有特色.代入消元法，思路清晰，容易落笔，但过程繁杂，计算量大;平方消参法，过程简短, 计算量小，但素养要求过高,学生思维定势，不易想到；万能生1解法：（代入消元法）对于曲线C,由题意知x 21- t 2公式法，是此类题型的通法，但教学过程中，由于大纲要求不高,故而对此法讲解较少，学生掌握不熟练，易岀现计算失误.2— =—1----------1 +12 1+ 1 +12'21+12，因为y = 2t - l ，所以y 代入到”.—4t 有1+12，有一 1 < x W 1,所以x 十1=2(x +1)，把 t = 2(x +1)，代入到 y 4 x 2-y -) 22(x +” 2,化简得 x 2 + y = 1,-1 <x < 1.易24师：下面进行第二问，主要考查什么知识点，我们应该从哪里入手得到 t y =—1 +y2(x + 1) _知l 的直角坐标方程为2x + a /S ” + 11 = 0.生4：主要考查直线与曲线的位置关系，求曲线上的点到 直线的距离最小值,利用点参法与点到直线的距离公式，然 后通过辅助角公式，转化正弦型函数求最值即可.生4解法：（点参法）师：对于曲线C,除了代入消元法，还有其他方法吗？曲 线C 的结构有什么特征？（旨在引导学生观察式子特征，并联想到平方公式.）直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程为2pcos 0 +sin 0 + 11x = cos 0y — 2 sin 0= 0， 将 曲 线 C 化 成 参 数 方 程 形 式 为：（0为参数，-n < 0 < n ）,则曲线C 上的生2：可以通过观察法，看岀x,y 式子的特征，发现分母点可以设为M （cos 0, 2 sin 0）,所以由点到直线的距离公式可得：|2cos e + 2^3sin 0 + 11| |4sin （° +彳）+n d =不= 不 '因为-n<e<n,所以一竽<e + n <耳,所以当且仅当6 6 6e + n = — n ,此时 e =—竽,有 d m in = V 7.6 2 3师：生4主要通过点到直线的距离公式，进行求解.是否还有其他解法？生5:可通过设岀与直线l 平行且与曲线C 相切的直线11,然后联立曲线C 与l i ,利用判别式求解即可.生5解法：（判别式法）设与直线l 平行的直线方程为l i : 2x + V 3y + m = 0,故由题可知，当且仅当直线l i 与曲线相切时，切点到直线的!2x + Wy + m = 0,y 2x 2 + 务=化简可得 4y 2 + 2 J3my + m 2 — 4 = 0,由△ =（2 J3m ）2 —4 X 4 x （m 2 - 4）= 0,得 m = ±4.显然可知，当 m = —4时，直线l i 与曲线相切的切点到直线l 的距离最大，故d max = I 4厂111 = 15彳,所以当 m = 4时，直线l i 与曲线“7 7相切的切点到直线l 的距离最小，故dmrn = |4~<!11 = 77­V7师：本问是否还有其他解法呢？师：当我们对曲线的参数方程无从下手时，我们可以如何求解曲线上的点到直线的最小值呢？我们是否可以不用化 简的参数方程求解呢？生6:硬解.师：是的,很好！本问题还有一个暴力解法，就是直接将 曲线c 上的点设为（,厂+臣），然后通过点到直线2x + V 3y + 11 = 0的距离公式，变为一个关于参数t 的式子,然后转化为二次一次方程,利用判别式求岀参数t 的范 围，进而求岀最小值.生6解法：（暴力硬解法）设曲线C 上的点M 的坐标为（!+£，厂+茬），则点 M 到直线2x + V 3y + 11 = 0的距离为2 X 舟 + 73 X 令 + 11d旳+(网22 —2t 2 +4j3t+ 11V7 =—2 (1 + t 2) +4 + 4临 + 111 + t 21 + t 24+ 5 +9令 A = 11++t 31，则可知 At 2 - 73t + （A - 1）=0 至少 13有一个解，所以 4 = 3 - 4A （A 一 1） > 0,解得 一 < A < ，1 + t 2 = 4 护 1 1 + 阿 977 = —11 +12 + 4所以 d min =学| — 2 + 4 = 77.师：通过以上解法，我们可以发现,本题主要体现了哪几个数学核心素养？（同时引导学生总结以上方法.）生：（齐答）数学运算和直观想象.评析本问一个是几何法,两个是代数法.几何法过程简 洁,代数法，通法运算量大，但思路清晰，尤其在学习了解析几何后，部分学生更热衷于通过联立方程求解.本题主要考查学生对极坐标、参数方程与直角坐标方程的转化，和利用椭圆的参数方程解决“距离”问题，难点在于参数方程的消参,对于分式消参，大多数学生方法掌握不熟 练和运算能力不强，以致于对难度较小的第二问没有作答, 从而导致失分严重.高考试题一般是来源于教材，又高于教材.大多是依据 课本例题、课后习题、探究问题等进行加工重组改编，由浅入 深，循序渐进.本题中曲线C 的参数方程就是人教B 版选修4-4第二章第二节的课本里练习原题,这也透露岀我们在备考过程中，不能忽视教材中的重点例题、练习、探究问题的复 习回顾.为了让学生更好的掌握本题知识点，下面笔者对本题进行了适当改编.改编1在其他条件不变的前提下，把第二问改为求直 线上的点的坐标到曲线C 的最小值.设计意图：原题求点距值最小值，改编之后，求取到点距 最小值时点的坐标，这样主要是让学生更直观清楚的知道点的具体位置，能更好的理解本题考查知识点,检验学生对例题的掌握程度.解：（点参法）直线l 的极坐标方程为2pcos e + 73p sin e + 11 = 0,化 为直角坐标方程为2x + 73y + 11 = 0,将曲线C 化成参数{x cos e （e 为参数,—n < e < n ）,则曲y = 2 sin e线C 上的点可以设为M （cose, 2 Sine ）,所以由点到直线的距离公式可得：|2cose + 273sine + 11| ]4sin （e + 6） + 叫d =77= 77 '因为—n<e<n,所以一竽<e + n < 7n ,所以当 且仅当e + 6 = -£,此时e =-警,m （-1, —73）有d min = a /7-改编2在其他条件不变的前提下，直线l的极坐标方程改为2p cos0+sin0+a—0,且C上的点到l的距离的最小值为护,求a.设计意图：本题的改编与2017年全国理科I卷第22题极为相似，通过逆向思维设问，引入参数a,考查分类讨论思想与数形结合思想，可以很好的提升学生数学核心素养.解：（点参法）直线l的极坐标方程为2pcos0+^3^sin0+a—0,化为直角坐标方程为2x+73y+a—0,将曲线C化成参数方{x—cos0=（0为参数,-n<0<n）,则曲线y—2sin0C上的点可以设为M（cos0,2sin0）,所以由点到直线的距离公式可得：d|2cos0+2皿sin0+a||4sin（0++a|厉d min=F=V7•所以"sin（0+彳）+a]—7,故当a>0时,有|一4+a|=7有，解得a—11,或a—-3（舍去）.当a<0时，有|4+a|—7有，解得a—-11,或a—3（舍去）.综上可知，当a—11,或a—-11时,C上的点到l距离的最小值为茁.下面再看三个与2019年全国1卷相似度极高的变式练习.变式1（2017江苏）在平面坐标系xOy中，已知直线l{x—-8+t t（t为参数）,曲线C的参数方y=2{x=2s2（s为参数）.设P为曲线C上的动点，求y—2血s点P到直线l的距离的最小值.变式2（2017全国I卷）在直角坐标系xOy中，曲线Cf x3cos0（0为参数），直线l的参数方y—sin0f x—a+4t,（t为参数）.y—1-1（1）若a—-1,求C与l的交点坐标；⑵若C上的点到l距离的最大值为冈,求a.变式3（2016年全国III卷）在直角坐标系xOy中，曲线f x—\13cos a（a为参数），以坐标原点y—sin a为极点，以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p sin（0+4）—2^2.（I）写岀C i的普通方程和C2的直角坐标方程；（II）设点P在C i上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.评析通过历年高考题，我们不难发现在高考题中极参题目考查的知识点与题型相识度极高，由于篇幅有限仅列岀以上三道高考真题，所以研究历年高考题是我们一线教师把握高考动态方向最有效的方法.改编l主要是让学生更直观清楚的知道点的具体位置，能更好的理解本题考查知识点,检验学生对例题的掌握程度.改编2引入参数a,其目的是使学生掌握分类讨论思想,引导学生巧用椭圆的参数方程解决“距离问题”.增强数学能力和探究意识.提高学生数学核心素养.两个改编，三个变式层层深入，这无疑是本节课的一个亮点，给学生提供了良好的探究情境,促进学生主动学习.通过以上改编和变式，我们可以启发学生理解数学本质，掌握数学思想.因为在学生的“最近发展区”设计恰当的具有针对性、符合本节课程要求的改编题目，并给给学生提供了探究和交流的机会，让学生在自主探究、合作交流的过程中提升数学核心素养.3总结与反思本节课例题第一问主要是极参与直角系转化问题，第二问主要是直线与椭圆的位置关系问题求距离.一方面考查了学生对极坐标与参数方程的基础知识掌握程度，另一方面考查了学生数学运算与逻辑推理素养，培养了学生数学问题的探究意识.例题的难点主要体现在消参与参数范围的确定.所以本例题的教学设计思路也是根据学生的最近发展区，引导学生思考，循序渐进、层层深入，强化学生的基础知识和基本技能，培养学生系统归纳知识的能力，增强探究问题的意识，符合学生的思维发生发展过程.在教学过程中，与学生交流互动，为学生创设轻松的学习环境，通过设问的形式，对数学的思想方法进行了适当的引导，使得学生在解题的过程中，能发散思维，一题多解，帮助学生理解知识的横向联系、纵向发散.通过在多解中求简、在修正中优化，能够让学生体验解决问题的思维过程，将能力的提高落到实处，可以很好地提升学生的数学核心素养.本节课在引导学生思考时，既从代数法，又从几何法两个方面着手,学生有章可循，这样能够激发学生的学习热情,拓展学生的思维，提高教学效率.同样,本节课也存在以下几点需要改进的地方：第一,课堂容量较大，难以关注到全体学生的习得情况;第二，引导较多,可采用互助学习小组合作讨论的方式进行部分数学活动等.纵观整堂课,虽然存在个别不足之处,但是整体来说，亮点较多，同时能很好的培养学生的数学核心素养，所以仍是一堂非常成功的课.。

姓名，年级：时间：选考部分选修4－4 坐标系与参数方程第一节错误!知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′(x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．（选修4－4P4例题改编）设平面内伸缩变换的坐标表达式为错误!则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为y＝3sin2x.解析：由已知得错误!代入y＝sin x,得错误!y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sin x的方程变为y＝3sin2x。

知识点二极坐标系1．极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O 点引一条射线Ox，叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系．如图，设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ。

有序数对（ρ,θ）叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ）．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y)，极坐标为（ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝错误!.2．（选修4－4P11例4改编）点P的直角坐标为（1,－错误!),则点P的极坐标为错误!.解析：因为点P(1，－错误!)在第四象限，与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为－π3，所以点P的极坐标为错误!.3．（选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1）的极坐标方程为( A )A．ρ＝错误!，0≤θ≤错误!B．ρ＝错误!，0≤θ≤错误!C．ρ＝cosθ＋sinθ,0≤θ≤错误!D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤错误!解析：∵y＝1－x(0≤x≤1），∴ρsinθ＝1－ρcosθ（0≤ρcosθ≤1,0≤ρsinθ≤1）；∴ρ＝错误!错误!.知识点三常见曲线的极坐标方程4．（选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( B )A。

高三数学一轮复习教案5篇作为一名无私奉献的老师，通常需要准备好一份教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。

那么教案应该怎么写才合适呢?以下是小编整理的高三数学一轮复习教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

高三数学一轮复习教案1一、夯实基础。

今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。

扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1、注重课本的基础作用和考试说明的导向作用;2、加强主干知识的生成，重视知识的交汇点;3、培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯;4、加强反思，完善复习方法。

二、解决好课内课外关系。

课内：1)例题讲解前，留给学生思考时间;讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正;讲解后，对解法进行总结。

对题目尽量做到一题多解，一题多用。

一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目让学生领会知识间的联系。

2)学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。

3)每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。

课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。

三、注重师生互动1、多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。

2、让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题;3、每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点;②怎样审题，怎样打开解题思路;③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里;④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。

《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A 版理科一轮复习教学案：4－4坐标系与参数方程 考纲要求1．明白得坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情形．3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，明白得在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系与直角坐标系中的方程，明白得用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．5．了解参数方程，了解参数的含义．6．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．1．极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做____；自极点O 引一条射线Ox ，叫做____；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，如此就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的____，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线O M 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作________．极坐标系的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范畴是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立________关系，约定极点的极坐标是极径______，极角可取任意角．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；也可化为关系式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x(x ≠0)．3．直线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α(t 为参数)，通常称该方程为直线l 的参数方程的标准形式，其中t 表示P0(x0，y0)到l 上一点P(x ，y)的有向线段P0P →的数量．t ＞0时，P0P →的方向向上；t ＜0时，P0P →的方向向下；t ＝0时，P 与P0重合． (2)直线l 的参数方程的一样形式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋at ，y ＝y0＋bt (t 为参数)，该直线倾斜角α的正切为tan α＝b a (α＝0°或α＝90°时例外)．当且仅当a2＋b 2＝1且b ＞0时，上式中的t 才具有(1)中的t 所具有的几何意义． 4．圆的参数方程圆心在M0(x0，y0)，半径为r 的圆的参数方程为______________________．[来源:1]5．椭圆的参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为__________________． 1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，求常数k 的值． 2．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝－1－2t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)求圆心C 到直线l 的距离；(2)若直线l 被圆C 截得的弦长为655，求a 的值．3．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求通过两圆交点的直线的极坐标方程．一、平面直角坐标系下的伸缩变换【例1】 在同一直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．方法提炼求满足图象变换的伸缩变换，可先求出变换公式，分清新旧坐标，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得变换规则．请做演练巩固提升1二、如何求曲线的极坐标方程【例2】过原点的一动直线交圆x2＋(y－1)2＝1于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于|PQ|.用极坐标法求动直线绕原点一周时P点的轨迹方程．方法提炼求曲线极坐标方程的差不多步骤是：(1)建立适当的极坐标系；(2)在曲线上任取一点P(ρ，θ)；(3)依照曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．请做演练巩固提升2三、极坐标方程的应用【例3】已知极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ－2sin θ，曲线l的极坐标方程是ρ(cos θ－2sin θ)＝2.(1)求曲线C和l的直角坐标方程并画出草图；(2)设曲线C和l相交于A，B两点，求|AB|.方法提炼1．极坐标与直角坐标互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ成立的条件是直角坐标的原点为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．2．用极坐标法可使几何中的一些问题得出更直截了当、简单的解法，但解题的关键是选取适当极坐标系，如此能够简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．专门提醒：极坐标与直角坐标的区别有：多值性：在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系．在极坐标系中，由于终边相同的角有许多个，即点的极角不唯独，因此点与极坐标是“一对多”的关系．但不同的极坐标能够写出统一的表达式．假如(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z)都能够作为点M 的极坐标．请做演练巩固提升3四、参数方程及其应用 【例4】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，求直线l 被曲线C 所截得的弦长． 方法提炼1．直线的参数方程的应用专门广泛，要紧用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，充分利用直线参数方程中参数t 的几何意义，能够幸免通过解方程组找交点等繁琐的运算，使问题得到简化．直线的参数方程有多种形式，只有标准式中的参数才具有明确的几何意义．2．把参数方程化为一般方程，消参数的方法有：代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法等．一般方程化为参数方程：关键是如何引入参数．若动点坐标x ，y 与旋转角有关时，通常选择角为参数；与运动有关的问题，通常选择时刻为参数等．在参数方程与一般方程的互化中，必须使x ，y 的取值范畴保持一致．提醒：将曲线的参数方程化为一般方程要紧消去参数，简称为“消参”．把参数方程化为一般方程后，专门容易改变变量的取值范畴，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与一般方程的等价性．请做演练巩固提升4极坐标与参数方程的综合应用【典例】 (10分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t(t 为参数)． (1)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程； (2)若将曲线C 上任意一点保持纵坐标不变，横坐标缩为原先的12后，得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M(x ，y)，求x ＋2y 的最小值．规范解答：(1)直线l 的直角坐标方程为3x －y －3＋2＝0，曲线C 的一般方程为x2＋y2＝1.(4分)(2)曲线C ′的一般方程为4x2＋y2＝1.令x ＝12cos θ，y ＝sin θ，∴x ＋2y ＝12cos θ＋2sin θ＝172sin(θ＋φ)．(8分)[来源:学,科,网]∴x ＋2y 的最小值为－172.(10分)答题指导：1.研究含有极坐标方程和参数方程的题目时，可先将它们同时化为直角坐标方程，再借助于直角坐标方程研究它们的性质．2．本题第(2)问还可利用线性规划及直线与椭圆相切等知识来解决． 1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，求在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程． 2．将极坐标系的极轴与直角坐标系的x 轴的非负半轴重合，并取相同的单位长度和角度，求过曲线ρcos θ＋ρsin θ＝1和曲线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ＋1，x ＝t (t 为参数)的交点且与极轴平行的直线的极坐标方程． 3．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标；(2)若直线l 与曲线C 相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 4．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θ1－sin2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，M 点坐标为(0,2)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)线段MA ，MB 长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．极点 极轴 极径 M(ρ，θ) 一一对应 ρ＝0 4.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x0＋rcos θ，y ＝y0＋rsin θ(θ为参数) 5.⎩⎪⎨⎪⎧ x acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数) 基础自测 1．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 化为一般方程y ＝－32x ＋72，该直线的斜率为k 1＝－32；当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率为k2＝－4k ，由k1·k2＝－1，得k ＝－6.当k ＝0时，明显不成立． 2．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝－1－2t 化为一般方程为x ＋2y ＋2－a ＝0，把ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为一般方程为x2＋y2－2x ＋2y ＝0， ∴圆心到直线的距离为5|1－a|5. (2)由已知，⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|52＝(2)2， ∴a2－2a ＝0，a ＝0或a ＝2. 3．解：(1)∵ρ＝2，∴ρ2＝4，即x2＋y2＝4.∵ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， ∴ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. ∴x2＋y2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得通过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 22. 考点探究突破【例1】 解：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0，可将其代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，把x －2y ＝2化为2x －4y ＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4. 现在，⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ，y ′＝4y ，即把直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原先的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.【例2】 解：以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如图所示，过P 作PR 垂直直线y ＝2，[来源:学,科,网]则|PQ|＝|PR|. 设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.∵|PR|＝|PQ|，∴|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|.[来源:Z,xx,k ]∴ρ＝±2或sin θ＝±1.即为点P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4或x ＝0.【例3】 解：(1)由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得曲线C 直角坐标方程(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，l 的直角坐标方程x －2y －2＝0.(2)设圆C 的圆心C(1，－1)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|1－2×(－1)－2|5＝55， 因此|AB|＝2(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝655. 【例4】 解：将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)化为一般方程3x ＋4y ＋1＝0，将方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为一般方程x2＋y2－x ＋y ＝0，此圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r2－d2＝212－1100＝75. 演练巩固提升 1．解：由⎩⎨⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.将其代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin 2x ′，即y ′＝3sin 2x ′. 2．解：曲线ρcos θ＋ρsin θ＝1在直角坐标系下的方程为x ＋y ＝1，曲线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ＋1，x ＝t 的一般方程为y ＝x ＋1，两直线的交点坐标为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝－x ＋1，即得(0,1)，与极轴平行的方程为y ＝1，则该直线的极坐标方程为ρsin θ＝1. 3．解：(1)直线l 的方程：y －1＝－1(x ＋1)，即y ＝－x ， C ：ρ＝4cos θ，即x2＋y2－4x ＝0，联立方程得2x2－4x ＝0，∴A(0,0)，B(2，－2)；极坐标为A(0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. (2)d ＝r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1， C ：(x －2)2＋y2＝4，[来源:Z&xx&k ]设直线l 的方程为kx －y ＋k ＋1＝0，∴|2k ＋k ＋1|k2＋1＝1. ∴k ＝0或k ＝－34. ∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．4．解：(1)直线l 的一般方程为3x －y ＋2＝0. ∵ρcos2θ＝sin θ，∴ρ2cos2θ＝ρsin θ.∴曲线C 的直角坐标方程为y ＝x2. (2)将⎩⎨⎧ x ＝12t ，y ＝2＋32t 代入y ＝x2得t2－23t －8＝0， 由参数t 的几何意义知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝8.。

极坐标教案极坐标教案教学目标：1. 了解极坐标的概念；2. 理解极坐标与直角坐标之间的转换关系；3. 掌握在极坐标下表示点的方法；4. 能够用极坐标表示平面上的图形。

教学重点与难点：1. 极坐标与直角坐标之间的转换关系；2. 如何在极坐标下表示图形。

教学准备：1. 学生教材：包括极坐标的相关知识点和例题；2. 教师准备：教案、例题、练习题。

教学过程：一、导入新知识（5分钟）1. 教师简要介绍直角坐标系与极坐标系的概念，引导学生思考它们的异同点。

2. 导入问题：如何用直角坐标表示一个平面上的点？学生用大脑思考并回答。

二、极坐标的引入（15分钟）1. 教师呈现一个平面上的点，并告诉学生要用极坐标表示这个点，然后让学生思考，提问：如何表示？2. 学生思考一会儿后，教师引导学生发现，可以用点到原点的距离（极径）以及与正半轴的夹角（极角）来表示点。

3. 引导学生观察示例图，进一步理解极径和极角的意义。

可以通过多次示例讲解，让学生更好地理解极坐标的概念。

三、极坐标与直角坐标的转换关系（20分钟）1. 教师用一些例题来讲解极坐标与直角坐标之间的转换关系。

2. 分析示例题中的极坐标和直角坐标，让学生找出规律和转换关系。

3. 教师引导学生总结：极坐标与直角坐标之间的转换关系为：x = r*cosθ，y = r*sinθ。

四、用极坐标表示点的方法（20分钟）1. 教师通过几个实际问题，引导学生运用极坐标表示点的方法。

2. 通过练习题让学生掌握用极坐标表示点的方法。

3. 教师帮助学生解决疑惑，巩固学生的理解。

五、用极坐标表示图形（20分钟）1. 教师通过几个实际问题，引导学生应用极坐标表示图形的方法。

2. 分析示例题中的步骤和方法，让学生找出规律和方法。

3. 教师通过练习题让学生掌握用极坐标表示图形的方法。

六、小结与拓展（10分钟）1. 教师简要复习教学的重点和难点，并给出解答。

2. 教师提出进一步拓展问题，激发学生的思考。

《极坐标与直角坐标的互化》教学设计一、教材分析《极坐标与直角坐标的互化》是高中新教材人教版选修4-4第一讲第二节的内容，是在学生已经学习过平面极坐标系的前提下，通过生活实例、学生之间相互讨论进行探究，在老师的引导下自主完成极坐标与直角坐标的互化的公式，并进行极坐标与直角坐标的互化.为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定基础.二、学情分析通过前面对极坐标的学习，学生已经对极坐标系以及点的极坐标表示有了了解.用坐标表示方位的思想已经普遍存在于日常生活中，所以学生对于极坐标与直角坐标的互化学习应该很容易接受.三、教学目标分析1.知识与技能：能够写出极坐标平面内点的极坐标的表示；学生自己探究出平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化公式，能够利用互划公式解决相关习题.2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生合作、观察、分析、比较和归纳能力.3.情感态度与价值观：通过数学家的浪漫故事引入，提升学生的学习兴趣，通过生活中的具体事例引入极坐标与平面直角坐标的互化，使学生认识极坐标与平面直角坐标的互化来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值.通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦.四、教学重难点：重点：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．难点：实现极坐标和直角坐标之间的互化．五、教学方法：情境引入法，体会数学之美实际问题设问，贴近生活小组合作研究法，解决相关问题谈话式教学法，老师提问学生回答六、教学基本流程七、教学过程1、复习引入：情境1：百岁山矿泉水广告情境2： 17 世纪著名的法国哲数学家笛卡尔，美丽的瑞典公主拉夏贝尔的爱情故事引出心形曲线)sin 1(θρ-=a .师生活动：讲述百岁山矿泉水广告里含有的故事，从而引出心型曲线，如果有学生知道就让学生来讲.设计意图：情境引入，引起学生的兴趣，渗透数学史.情境3：每一年的四月都会在安宁区仁寿山举行“桃花节”,会吸引来自于各地的游客前去观赏，某天，一旅客到达仁寿山顶入口处想去八卦台和寿台游览，但不认识路，刚巧遇到了两个当地人，分别询问了八卦台和寿仙台的位置. 甲回答：从入口处向东走3200米，再向北走200米就到八卦台了.乙回答：从入口处向东偏北︒60方向走400米就到寿仙台了.请问(1)甲、乙两人分别用到了什么数学思想回答旅客的问路？(2)我们如何能知道这名从入口出发游览两处景点后再回到入口共走了多少路程呢？师生互动：分别请两名同学在黑板上画出直角坐标系下和极坐标系下甲乙两人为游客所指的路，从而引出课题极坐标系和直角坐标系下的坐标互划问题.设计意图：通过现实生活中的实际问题引入问题，引发学生思并引入课题.2、新课探究：探究问题1：（1）极坐标与直角坐标互化时需要满足什么条件？（2）可以有几种方案解决上述问题？请你给出具体的解题过程.（3）请你总结出第一象限点的直角坐标和极坐标的互划公式.结论：直角坐标系的原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： {θρθρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222说明（1）上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式（2）通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2.（3）互化公式的三个前提条件（1）极点与直角坐标系的原点重合;（2）极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;（3）两种坐标系的单位长度相同.设计意图：通过引例中的问题的探究让同学们感受到直角坐标和极坐标的不同，具体解决问题中需要统一形式，从而引发学生研究解决问题的兴趣，小组合作学习提高学习效率，能很好的提升学习效果，解决问题的过程中培养和提高学生的发现能力和总结归纳能力.探究问题2：上面推导出来的公式是否适合平面内任意一个位置的点呢？师生互动：教师提问，学生小组讨论回答.设计意图：利用类比的思想将公式推广平面内任意的点.在活动中培养学生小组互动探究学习的合作精神.3.举例应用：例1、【课本P10页例2题】把M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标.例2、【课本P11页例3】已知M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.师生互动：学生板演，教师针对问题讲评.设计意图：本环节设计帮助学生更好的理解点的极坐标和直角坐标互划公式，在具体的操作中体会数形结合的思想、在板演中规范学生的答题格式.4.课堂练习：课本练习4、5师生互动：学生完成课本练习并回答，教师做出相应的点评.设计意图：学生练习，熟悉并记忆公式.5.拓展提高：在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -.判断P N M ,,三点是否在一条直线上. 师生互动：学生完成并回答，教师做出相应的点评.设计意图：学生练习，树立一题多解的解题模式.6.当堂小结：（1）极坐标与直角坐标互换的前提条件；（2）互换的公式；（3）互换的基本方法.7.课后作业：（1）课本P 12页习题1.2 第4、5题（2）ρ=2表示什么图形？（3）课后思考题：我们之前已经学习了圆的直角坐标方程，圆有极坐标方程么？是什么样的呢？7.板书设计：《极坐标与直角坐标互划》点评一、本节课能够体现先进的教育教学思想、教育观念。