复变函数期末考试复习题及答案详解
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《复变函数》考试试题(一) 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(二)二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z I d ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ,则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列复数中,位于第三象限的复数是( )A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( ) 3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4.关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ) 6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( )A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =7.在下列复数中,使得ze i =成立的是( ) 8.已知31z i =+,则下列正确的是( ) 9.积分||342z dz z =-⎰的值为( )A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于( ) A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11.以下关于级数的命题不正确的是( )A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上,条件收敛12.0=z 是函数(1cos )ze z z -的( )A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13.1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为( )A. 0.1BC.12D. 12-14.设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于( )A .2πB .2πiC .0D .-2π 15.已知()[()]F f t ω=F ,则下列命题正确的是( ) A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 16. 设121,1z i z =-=,求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导,则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰,则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=,则映射在01z i =+处的旋转角为____________,伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =,则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分) 21.设C 为从原点到3-4i 的直线段,计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域,(2)求).(z f ' 24.已知22(,)4u x y x y x =-+,求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+,并使(0)3f =。
1 复变函数与积分变换(B 卷)(答案写在答题纸上,写在试题纸上无效)一、单项选择题(每小题3分,共30分) 1.设1z =,则( )A .||1,arg 3z z π== B .||2,arg 3z z π==- C .||2,arg 3z z π== D .||4,arg 3z z π==-2.下列等式成立的是( ) A .1i e π=- B .1i eπ--=- C .1i e π-=- D .21ieπ=-3.函数2()||f z z =在复平面上( )A .处处不连续B .处处连续,在点0z =解析C .处处连续,处处不可导D .处处连续,仅在点0z =可导 4.下列复数中为实数的是( )A 3(1)i -B ln iC ii D 5.设C 为从0z =到1z i =+的直线段,则积分Czdz =⎰( )A .-1B .0C .1D .1i +6. 设C 为正向单位圆周||1z =,则积分z Ce dz =⎰( ).A .1B .2πC .0D .2i π7. 设C 是绕点0z 的正向简单闭曲线,则积分53()C z dz z z =-⎰ ( ).A .0B .2i πC .502z i πD .3020z i π8.函数1()2f z z=+ 在点00z =的泰勒展开式为 ( ) A.10(1)2n nnn z +∞=-∑ B. 1(1)2n nn n z ∞+=-∑ C. 02n n n z ∞=∑ D.12nn n z ∞=∑ 9. 0z =是函数3sin ()z zf z z-=的( ) A .本性奇点 B .可去奇点 C .一级极点 D .二级极点课程考试试题学期 学年 拟题学院(系): 适 用 专 业:10.设1()(2)zf z z e =+,则Re [(),0]s f z =( ) A .12 B .32 C .2 D .52二、填空题(每空3分,共15分)1 设复数z 满足(2)3i z +=,则z =__________。
复习题2一.单项选择题1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是()(A)),(y x u 在),(00y x 处连续(B)),(y x v 在),(00y x 处连续(C)),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D)),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为()(A)3-(B)2-(C)1-(D)13.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件4.下列命题中,正确的是()(A)设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x (B)若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C)若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析(D)若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析5.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()(A)iπ2-(B)0(C)iπ2(D)iπ46.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc2)1(cos ()(A)1sin -(B)1sin (C)1sin 2i π-(D)1sin 2i π7.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2()(A)i6561-(B)i 6561+-(C)i 6561--(D)i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()(A)无可导点(B)有可导点,但不解析(C)仅在零点不解析(D)处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是()(A)不存在的(B)唯一的(C)纯虚数(D)实数10.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是()(A)i +-43(B)i +43(C)i -43(D)i --4311.ii 的主值为()(A)0(B)1(C)2πe(D)2eπ-12.ze 在复平面上()(A)无可导点(B)有可导点,但不解析(C)有可导点,且在可导点集上解析(D)处处解析13.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是()(A))(z f 在复平面上处处解析(B))(z f 以π2为周期(C)2)(iziz e e z f --=(D))(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2()(A)i 6561-(B)i 6561+-(C)i 6561--(D)i 6561+15.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()(A)2iπ(B)2i π-(C)0(D)(A)(B)(C)都有可能16.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()(B)i π2-(B)0(C)iπ2(D)iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦().A .()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦().A .()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()(A)0(B)i π2(C)10(D)5i π20.积分21sin z z zdz ==⎰()(A)0(B)61-(C)3i π-(D)iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A .一B .二C .三D .四22.下列等式成立的是().A .Lnz Lnz 77=;B .)1arg()1(r =g A ;C .112=i;D .)z z Re(z z =。
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案:1.计算下列复数的幂函数:$z=1+i$,$n=3$。
答案:$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数:$z=-2+i$,$n=4$。
答案:$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程:$z^2+4z+5=0$。
答案:可以使用求根公式求解,$(z+2)^2+1=0$,得到两个解:$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式:$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案:$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数:$z=2-i$。
答案:$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式:$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案:$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部:$z=3+2i$。
答案:实部为3,虚部为28.计算下列复数的模长:$z=-4+3i$。
答案:$,z, = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数:$z=-1-i$,$n=2$。
答案:$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数:$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案:$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
一、填空题1、设12z =,则||z = 1 ,Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.(写出象曲线的方程) 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性)6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛,则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。
9、若1()sin f z z =,则0Res ()z f z == 1 。
二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线,(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-,求积分2(281)C z z dz ++⎰.解:由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析,故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛,是否收敛.解:因为:∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散,故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π,∑∞=12sin n n n π都为收敛级数,所以原级数收敛, 故原级数条件收敛。
---《复变函数》考试试题(一)一、判断题( 20 分):1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导,则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛,则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析,且f '( z),则f ( z) C(常数) 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点,则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限,则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数,则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . ()二. 填空题( 20 分)1、|z z 0 |dz__________. ( n 为自然数)1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11,则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n,则 nn______________.Res(e z8.n,0)________,其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点,则z z.三. 计算题( 40 分):f (z)11. 设(z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ,试求 f ' (1 i ).Cz,其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.× 2.√ 3.√ 4.√5.√6.√ 7.×8.×9.× 10.×二.填空题2 in1 2.1 ;3. 2k , ( k z) ;4.z i ; 5.11.n;16. 整函数;7. ; 1 ; 9. 0; 10..8.(n 1)!三.计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题(二)一. 判断题 . (20 分)1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析,则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点,则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导,则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ,则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ,则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n( n 为自然数)---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1,则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分: I| z | dz,积分路径为(1)单位圆( | z | 1)i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证: f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(二)参考答案一.判断题 .1.√2.×3.√4.√ 5.× 6.×7.×8.√9.× 10.× .二.填空题---1.1 ,, i ;2. 3(1sin 2)i ;3.2 i n14. 1;5. m 1 . 0n;216.2k i ,( k z) .7. 0;8. i;9.R ;10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值,所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题(三)一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析,则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析,则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .( )8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点,则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ,则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ,则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n( n 为自然数)_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1,则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点,则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分:e zdz,其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个正数 R 及 M ,使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n,证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若复数 \( z = a + bi \)(其中 \( a, b \) 为实数),则\( \bar{z} \) 表示()A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案:A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \),以下说法正确的是()A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案:A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导,则下列说法中正确的是()A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案:C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数,且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点,则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是()A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 若 \( z = x + yi \),且 \( |z| = 2 \),则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案:42. 设 \( f(z) = z^2 \),则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案:-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析,则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
《复变函数》考试试题(一)三 . 计算题( 40 分):dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. ( n 为自然数)f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ,则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n,则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________,其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点,则z z.1. 设( z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71,其中 C { z :| z |3} ,试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数, 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题(二)二. 填空题 . (20 分)1.设z i ,则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C,则lim f (z)________.z1idz_________. (n为自然数)3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0,则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2,则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分: Ii1)单位圆(| z |1)3.| z | dz,积分路径为(i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析,试证:f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(三)二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z),则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n,则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. ( n 为自然数)6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1,则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1,则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点,则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分:e zdz,其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及 M ,使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ,证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下:1. 复数的代数形式和几何解释复数 \( z = a + bi \) 可以表示为平面上的一个点 \( (a, b) \),其中 \( a \) 是实部,\( b \) 是虚部。
复数的模 \( |z| \) 表示该点到原点的距离,即 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
2. 复数的运算两个复数 \( z_1 = a + bi \) 和 \( z_2 = c + di \) 的加法和乘法运算如下:\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \),模为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
4. 复数的指数形式复数 \( z \) 可以表示为指数形式 \( z = re^{i\theta} \),其中\( r = |z| \) 是模,\( \theta \) 是 \( z \) 的辐角,满足\( \cos\theta = \frac{a}{r} \) 和 \( \sin\theta = \frac{b}{r} \)。
5. 复数的对数复数 \( z \) 的对数定义为 \( \log z = \log r + i\theta \),其中 \( r = |z| \),\( \theta \) 是 \( z \) 的主辐角。
6. 复数的导数设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是复函数,其中 \( z = x +iy \),则 \( f(z) \) 的导数为:\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数满足柯西-黎曼方程。
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析、 ( )2、有界整函数必在整个复平面为常数、 ( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )4、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)、 ( )5、若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、 ( )6、若z 0就是)(z f 的m 阶零点,则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0就是函数f(z)的可去奇点、 ( )8、若函数f(z)在就是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f 、( )10、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数、( ) 二、填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________、(n 为自然数)2、=+z z 22cos sin _________、 3、函数z sin 的周期为___________、4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________、5、幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________、6、若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是__________、7、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________、8、=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数、9、 zz sin 的孤立奇点为________ 、10、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、三、计算题(40分):1、 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式、2、 .cos 11||⎰=z dz z3、 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4、 求复数11+-=z z w 的实部与虚部、四、 证明题、(20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值、 《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1、 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2、 1; 3、 2k π,()k z ∈; 4、 z i =±; 5、 16、 整函数;7、 ξ;8、 1(1)!n -; 9、 0; 10、 ∞、三.计算题、1、 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑、 2、 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-、 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰、 3、 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰、所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+、 4、 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++、 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++、 四、 证明题、1、 证明 设在D 内()f z C =、令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则、两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-、 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩、 消去x u 得, 22()0x u v v +=、 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数、2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =、 所以12,u c v c ==、 (12,c c 为常数)、 所以12()f z c ic =+为常数、2、证明()f z =0,1z =、 于就是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支、由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π、 所以()f z =2π、 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==、《复变函数》考试试题(二)一. 判断题、(20分)1、 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续、 ( )2、 cos z 与sin z 在复平面内有界、 ( )3、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 有界整函数必为常数、 ( )5、 如z 0就是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在、 ( )6、 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析、 ( )7、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f 、( )8、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析、 ( )10、 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________、3、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数)4、 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ 、5、 若z 0就是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0就是)('z f 的_____零点、6、 函数e z 的周期为__________、7、 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________、 8、 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________、 9、 函数||)(z z f =的不解析点之集为________、10、 ____)1,1(Res 4=-zz 、 三、 计算题、 (40分)1、 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式、2、 在复平面上取上半虚轴作割线、 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值、3、 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆、4、 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π、四、 证明题、 (20分)1、 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、 试用儒歇定理证明代数基本定理、《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题、1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×、 二、 填空题1、1,2π-, i ; 2、 3(1sin 2)i +-; 3、2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4、 1; 5、 1m -、 6、 2k i π,()k z ∈、 7、 0; 8、 i ±; 9、 R ; 10、 0、 三、 计算题1、 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑、2、 解 令i z re θ=、则22(),(0,1)k if z k θπ+===、又因为在正实轴去正实值,所以0k =、所以4()if i eπ=、3、 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤、所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰、4、 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0、四、 证明题、1、 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-、 (12,c c 为实常数)、 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-、 则0x y y x u v u v ====、 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析、 (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-、比较等式两边得 0x y y x u v u v ====、 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数、2、 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”、证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<、()f z =、由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相 同个数的根、 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =、 因此n 次方程在z R <内有n 个根、《复变函数》考试试题(三)一、 判断题、 (20分)、1、 cos z 与sin z 的周期均为πk2、 ( ) 2、 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析、 ( )3、 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )5、 若函数f (z )就是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数、 ( )6、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导、 ( )7、 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 、 ( )8、 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、( )9、 若z 0就是)(z f 的m 阶零点, 则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( ) 10、 若z 就是)(z f 的可去奇点,则)),((Res 0=z z f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________、2、 函数e z的周期为_________、3、 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________、4、 =+z z 22cos sin ___________、5、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数) 6、 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________、7、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________、8、 设1-=ze ,则___=z 、9、 若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、10、 ____)0,(Res =n zze 、三、 计算题、 (40分)1、 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数、2、 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径、3、 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 就是1||=z 、4、 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数、四、 证明题、 (20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 设)(z f 就是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 就是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是复变函数的定义?A. 函数表达式包含复数部分和常数部分。
B. 函数的定义域为复数集合。
C. 函数表达式只包含实数。
D. 复变函数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
答案:C2. 设函数 f(z) = z^2 - 2z。
那么 f(z) 在 z = 1 处的导数是多少?A. 0B. -1C. 2D. 4答案:B3. 设函数 f(z) = sin(z)。
则它的周期是多少?A. 2πB. πC. 2D. 1答案:A二、填空题1. 复数的共轭是指实数部分相等,虚数部分______的两个复数。
答案:相反2. 设 z = a + bi 是一个复数,其中 a 和 b 分别表示实部和虚部。
那么实部 a = ______,虚部 b = ______。
答案:a,b三、计算题1. 计算复数 z = 2 + 3i 和 w = -1 - 4i 的和 z + w。
解答:z + w = (2 + 3i) + (-1 - 4i)= 1 - i答案:1 - i2. 计算复数 z = 1 + 2i 和 w = 3 - i 的乘积 z × w。
解答:z × w = (1 + 2i)(3 - i)= 3 + 6i - i - 2i^2= 3 + 5i + 2= 5 + 5i答案:5 + 5i四、问答题1. 复数的解析函数具有什么特点?答:复数的解析函数具有以下特点:- 函数的实部和虚部都是解析函数。
- 函数的导数在定义域内处处存在。
- 函数满足柯西-黎曼方程。
2. 复数在数学和实际应用中有什么作用?答:复数在数学和实际应用中具有广泛的作用,包括但不限于以下几个方面:- 复数可以用于表示电路中的交流电信号。
- 复数可以用于解决数学方程中的平方根问题。
- 复数可以用于描述波的传播和干涉现象。
- 复数可以用于解析几何中的向量运算。
以上为复变函数期末试题及答案,希望能对您有所帮助。
复变函数试题及答案解析一、选择题(每题3分,共15分)1. 若复数z满足|z|=1,则z的辐角的取值范围是()。
A. [0, 2π)B. [0, π]C. [0, π/2]D. [π/2, 3π/2]答案:A解析:复数z的模长|z|=1表示z在复平面上位于单位圆上,因此其辐角可以取遍[0, 2π)范围内的所有值。
2. 函数f(z)=1/z在z=0处()。
A. 可导B. 不可导C. 连续D. 间断答案:B解析:函数f(z)=1/z在z=0处没有定义,因此不可导。
3. 函数f(z)=z^2在z=i处的导数为()。
A. 2iB. -2iC. -2D. 2答案:A解析:根据复变函数的导数定义,f'(z)=2z,代入z=i得到f'(i)=2i。
4. 若f(z)是解析函数,则以下哪个选项是正确的()。
A. f(z)的实部和虚部都是调和函数B. f(z)的实部和虚部都是解析函数C. f(z)的实部和虚部都是连续函数D. f(z)的实部和虚部都是可导函数答案:A解析:解析函数的实部和虚部都是调和函数,这是解析函数的基本性质之一。
5. 以下哪个函数不是解析函数()。
A. f(z)=sin(z)B. f(z)=e^zC. f(z)=z^2D. f(z)=|z|答案:D解析:解析函数在其定义域内处处可导,而函数f(z)=|z|在z=0处不可导,因此不是解析函数。
二、填空题(每题4分,共20分)6. 复数z=3+4i的共轭复数为______。
答案:3-4i解析:复数z=a+bi的共轭复数为a-bi,因此z=3+4i的共轭复数为3-4i。
7. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则f(z)的实部为______,虚部为______。
答案:u(x,y);v(x,y)解析:根据复变函数的表示,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),其中u(x,y)为实部,v(x,y)为虚部。
8. 若f(z)在区域D内解析,则f(z)满足柯西-黎曼方程,即______。
复变函数复习题及答案一、判断题(红色的是错误的)1.0的幅角为0.2.i i 2<.3.z z ln 2ln 2=. 4.Lnz Lnz 22=.5.Lnz z Ln 21=. 6.0=-Lnz Lnz .7.z z Re ||>. 8.z z z Im Re ||+≤.9.Lnz Lnz z Lnz Lnz +=+=ln 2.10.函数()()231z z f +=在复平面内没有奇点. 11.若0z 是函数()z f 的奇点,则()0/z f不存在.12.设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数,函数则()y x u ,也是()y x v ,的共轭调和函数. 13.设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数,则22v u +一定是调和函数.14.函数()zzz f =的奇点只有一个0=z . 15.设C 是不经过原点的简单闭曲线,则⎰=Cdz z 012. 16.解析函数的导数还是解析函数. 17.Argz nArgz n11=. 18.1|cos |≤z . 19.1cos sin 22=+z z .20.∑+∞==-011n n z z .21.0sin lim=∞→zzz .22.若c z f z z =→)(lim 0,则z 0是函数的可去奇点.23.若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 24. 若∞=z 是函数)(z f 的可去奇点,则[]0),(Re =∞z f s .25. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.二、选择题1.下列各式中表示有界区域的是( C ).A.0Re >zB.0Im >zC.2|2|<-zD.2||>z 2.在映射2z w =下,双曲线122=-y x 在w 平面上的象是(A ). A.平行于u 的直线 B.平行于v 的直线 C.双曲线 D.圆3.方程2|||1|=+++i z z 所表示的曲线是( B ).A .圆 B.椭圆 C .双曲线 D.直线4.下列方程中表示直线的是( C ).A.1Re 2=z B.1=z z C.1=+z z D.1||||=+z z5.复数iiz -+=21在第( A )象限. A.一 B.二 C.三 D.四 6.=Lni ( A ),其中k 是整数. A.i k ⎪⎭⎫⎝⎛+ππ22 B.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ22 C.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ24 D. i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ24 7.对于幂级数,下列命题中正确的是( B ).A.在收敛圆内,其条件收敛B.在收敛圆内,其绝对收敛C.在收敛圆上,其处处收敛 D 在收敛圆上,其处处发散8.0=z 是()zz z f 2sin =的( D ).A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点 9.在复平面内,关于z sin 的命题中,错误的是( C ).A.z sin 是周期函数B.z sin 是解析函数C.1|sin |≤zD.()z z cos sin /=10.设C 为正向曲线1||=z ,则()=--⎰Ci z dz21( A ).A.0B.iπ1C.i πD. i π2 11.设()zz z z f 222-+=,则()[]=0,Re z f s ( C ).A.0B.1C.1-D. 212.函数()zz f 1=将z 平面上的曲线1=x 映射成w 平面内的一条( A ). A .圆 B.椭圆 C .双曲线 D.直线13. 下列积分中,值不为零的是( D )(其中C 是正向曲线1||=z ). A.⎰Czdz B.⎰C dz z z sin C.()⎰-C dz z z 5.01 D.()⎰-Cdz z z 2114. 下列级数中,绝对收敛的级数为( D ). A.∑∞=1n )1(1n i n + B.∑∞=1n ]2)1([n n i n +- C.∑∞=2n n i n ln D. ∑∞=1n nni 2 15. 2lim1n n nini→∞+-=( A ).A.12i -+B.12i +C.2i +D.∞16. 0=z 为函数()()zz z z z f 1sin11)(+-=的( A ).A.非孤立奇点B.极点C.本性奇点D.可去奇点17.下列式子中成立的是( D ).A.i i 2<B.1sin ≤zC.z z ln 2ln 2=D.z Lnz Lnz ln 2+=18.若幂级数∑+∞=0n nn z c 在点12i +收敛,则∑+∞=1n nn n z c 在点2=z 处的敛散性为( A ).A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定(∑+∞=1n nn n z c 与∑+∞=0n n n z c 收敛半径是一样的,再根据阿贝尔定理)19.0=z 是函数()zzz f 1sin =的( D ).A.可去奇点B.极点C.本性起点D.非孤立奇点 20.下列级数中条件收敛的是( B ).A. nn i ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛+021 B. ∑+∞=0n n n i C. ∑+∞=02n n n i D. ∑+∞=+021n n n i21.下列级数绝对收敛的是( B ).()()()()()221111112nnnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑22、级数∑∞=++-111)1(n n n nz 的收敛半径R 和和函数为( B ). A.1),1ln(=+R z B.1),1ln(=+R z z C.1),1ln(=-R z D.1),1ln(=-R z z (∑∞=++-111)1(n n n n z =∑⎰∑∑∞=∞=++∞=+-=+-=-0001211d )1(1)1()1(n z n nn n n n n n z z z n z z n z z()z z dz zz dz z z z z zzz n n n znn +=+=-=-=⎰⎰∑∑⎰∞=∞=+1ln 11)(d )1(001) 23.设C 为椭圆1422=+y x ,则积分⎰Cz z d 1= ( A ). A.i π2 B.π C.0 D.i π2-24.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则( B )为D 内解析函数.A.),(),(y x iu y x v +B.),(),(y x iu y x v -C.),(),(y x iv y x u -D.xvi x u ∂∂-∂∂ 25. 级数∑∑+∞=+∞=+01n n nn n n bz z a b a ,(是复常数),则其收敛域是( D ).A.||||a z <B.||||b z <C.+∞<<||0zD.当||||b a <时||||||b z a << 三、填空题 1. 设42πiez -=,则=z Re 12. ()()112-+=z z z z f 在奇点0=z 附近的洛朗级数的收敛圆环域为1||0<<Z .3. 方程0=chz 的根是i k π⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 4.=-⎰=1||12sin z dz z zπ____i π_________. 5. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,sin Re 4z z z s 61. 6.=⎰=1||z dz z i π2.7. ()()by x i ay x z f +++=在复平面内解析,则=a 1-,=b 1 .8.设i e z +=1,则=z Im i k ⎪⎭⎫⎝⎛+24π;9.函数2z w =将z 平面内的曲线222=-y x 映射成w 平面内曲线的方程为2=u . 10.=⎰+idz z 102()3131i +. 11.设()12-=z ze z f z,则()=0///f__-9_____________.(()12-=z ze z f z zz z e zz e z z z ze 222111--=-=-= ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++-=...!31 (3)253z z z z z z z = (2)332----=z z z ()()()()()32///!3002100z f z f z f f z f '''+++=所以()()9!3230,23!30-=-='''-='''f f ) 12.设()∑+∞=-=+02111n nn z c z ,则此幂级数的收敛半径是2 .13.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+0,1sin Re 6z chz z s 1201. 14.=-⎰=3||24z dz z i π2 15. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,11Re 3z s ___0_______. 16. 设i z 22-=,则z arg =4π-,z ln =i 48ln π-.17.dz zez z⎰=11= i π18.设i z 432+=,则=||z 5.19. 若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a ____-3 .20. 0=z 是函数()121sin z e z z f z --=的__10__级极点.21. =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞,Re 1z e 0 .22.函数()4ln 2-=z zz f 的奇点的集合是}2{]0,( -∞ 23. 若n n ni n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __-1+ie________. 24.()1-=z zz f 将区域2||=z 映射成___________________.25. z=0为()()122-=z e z z f 的 4 级零点.四、计算题1. 计算()i -1ln ,()1sin -i π和21的值解:()()i i i i i 42ln 211arg |1|ln 1ln π-=-+-=- ()i ee sh i ch i 211cos 1sin sin 2--=+=+πππ(()xshy i xchy iy x cos sin sin +=+)()()ππππ2sin 2cos 12)1(ln 2122i eeeii Ln +====+2. 求解析函数()iv u z f +=其中()01,22=+=f y x yu解:()()()222222222/2ziy xy x iy x xy y u i x u z f =+-++=∂∂-∂∂= ()()c zidz z fz f +-==⎰/由()01=f 得到,i c = 3. 求满足方程i y iix 21+=++的x 和y 的值。
复变函数考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 复变函数中,以下哪个选项是解析函数的必要条件?A. 函数在定义域内连续B. 函数在定义域内可导C. 函数在定义域内满足柯西-黎曼方程D. 函数在定义域内处处有界答案:C2. 如果函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析的,则以下哪个等式成立?A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = -∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案:B3. 在复平面上,以下哪个区域是单连通的?A. 整个复平面B. 去掉原点的复平面C. 去掉实轴的复平面D. 去掉单位圆的复平面答案:A4. 复变函数的柯西积分定理适用于以下哪种情况?A. 函数在整个复平面上解析B. 函数在简单连通域内解析C. 函数在任意区域解析D. 函数在任意区域连续答案:B5. 对于解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),以下哪个等式是正确的?A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = -∂v/∂x答案:D二、填空题(每题3分,共15分)1. 如果f(z)是解析函数,且f(z)=z^2,则f'(z)=________。
答案:2z2. 函数f(z)=1/z在z=0处是________。
答案:无定义的3. 函数f(z)=e^z的导数是________。
答案:e^z4. 函数f(z)=z^n(n为正整数)的n阶导数是________。
答案:n!5. 函数f(z)=sin(z)的解析延拓是________。
答案:sin(z)三、计算题(每题10分,共20分)1. 计算积分∮_C z^2 dz,其中C是由z=1和z=i围成的矩形的边界。
答案:02. 计算积分∮_C (z^2-1)/z dz,其中C是单位圆|z|=1的正向边界。
答案:2πi四、证明题(每题15分,共30分)1. 证明如果f(z)是解析函数,且f(z)在某个区域内有界,则f(z)在该区域内是常数函数。
《复变函数与积分变换》复习题一、判断题1、cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )2、若{}n z 收敛,则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )3、若函数()f z 在0z 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )4、若()f z 在区域D 内解析,且'()0f z ,则()f z C (常数).( )5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0Cf z dz .( )6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导,则函数()f z 在0z 解析. ( )7、若{}n z 收敛,则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )8、若()f z 在区域D 内解析,且'()0f z ,则()f z C (常数).( )9、若0z 是()f z 的m 阶零点,则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( )10、若0lim ()zz f z 存在且有限,则0z 是函数()f z 的可去奇点.( )二、选择题 1.arg13i ( )A.-3π B.3πC.32πD.3n 2π+2 2.2z 在0z 复平面上( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z xyi ,则下列函数为解析函数的是( )A.22()2f z x y xyB.()f z x iyC. ()2f z x i yD.()2f z xiy7.0z 是3sin zz 的极点,其阶数为( ) A.1 B.2 C.3 D.410.整数0k 则Res[cot ,]z =( )A.1kB.0C.1kD.k11、设复数1cossin33z i ,则arg z ( )A.-3B.6C.3D.2312、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的( )A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴13、下列说法正确的是( )。
《复变函数》考试试题(一)1、__________.(为自然数)2。
_________。
3.函数的周期为___________.4.设,则的孤立奇点有__________。
5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________。
7.若,则______________.8。
________,其中n为自然数.9。
的孤立奇点为________。
10.若是的极点,则。
三.计算题(40分):1. 设,求在内的罗朗展式.2.3. 设,其中,试求4. 求复数的实部与虚部.四。
证明题.(20分)1。
函数在区域内解析. 证明:如果在内为常数,那么它在内为常数。
2。
试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题(二)二。
填空题. (20分)1。
设,则2。
设,则________。
3. _________。
(为自然数)4. 幂级数的收敛半径为__________ 。
5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0,则z0是的_____零点。
6. 函数e z的周期为__________.7. 方程在单位圆内的零点个数为________.8. 设,则的孤立奇点有_________。
9。
函数的不解析点之集为________。
10. .三。
计算题. (40分)1。
求函数的幂级数展开式。
2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值。
3。
计算积分:,积分路径为(1)单位圆()的右半圆。
4. 求。
四。
证明题。
(20分)1. 设函数f(z)在区域D内解析,试证:f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析。
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分)1. 设,则f(z)的定义域为___________.2。
函数e z的周期为_________。
3。
若,则__________。
4。
___________.5。
_________.(为自然数)6。
幂级数的收敛半径为__________.7。
设,则f(z)的孤立奇点有__________。
8.设,则。
9。
若是的极点,则.10. .三. 计算题. (40分)1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数。
2。
试求幂级数的收敛半径.3. 算下列积分:,其中是.4。
求在|z|<1内根的个数.四。
证明题. (20分)1. 函数在区域内解析. 证明:如果在内为常数,那么它在内为常数.2。
设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R及M,使得当时,证明是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(四)二。
填空题。
(20分)1. 设,则.2. 若,则______________.3。
函数e z的周期为__________。
4。
函数的幂级数展开式为__________5。
若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________。
6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________.7. 设,则。
8. 的孤立奇点为________. 9. 若是的极点,则.10。
_____________.三. 计算题. (40分)1。
解方程.2。
设,求3. .4。
函数有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它的阶数)。
四. 证明题。
(20分)1.证明:若函数在上半平面解析,则函数在下半平面解析。
2. 证明方程在内仅有3个根。
《复变函数》考试试题(五)二. 填空题。
(20分)1。
设,则.2。
当时,为实数。
3. 设,则.4. 的周期为___.5. 设,则。
6. 。
7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________。
8. 函数的幂级数展开式为_________.9. 的孤立奇点为________.10。
设C是以为a心,r为半径的圆周,则。
(为自然数)三. 计算题. (40分)1. 求复数的实部与虚部。
2。
计算积分:,在这里L表示连接原点到的直线段.3.求积分:,其中0<a〈1.4.应用儒歇定理求方程,在|z|〈1内根的个数,在这里在上解析,并且.四. 证明题. (20分)1。
证明函数除去在外,处处不可微。
2。
设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个数R及M,使得当时,证明:是一个至多n次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题(六)1.一、填空题(20分)1.若,则___________。
2.设,则的定义域为____________________________.3.函数的周期为_______________________.4._______________________.5.幂级数的收敛半径为________________。
6.若是的阶零点且,则是的____________零点。
7.若函数在整个复平面处处解析,则称它是______________.8.函数的不解析点之集为__________。
9.方程在单位圆内的零点个数为___________。
10.公式称为_____________________。
二、计算题(30分)1、。
2、设,其中,试求。
3、设,求.4、求函数在内的罗朗展式。
5、求复数的实部与虚部。
6、求的值.三、证明题(20分)1、方程在单位圆内的根的个数为6.2、若函数在区域内解析,等于常数,则在恒等于常数。
3、若是的阶零点,则是的阶极点.6.计算下列积分.(8分)(1);(2).7.计算积分.(6分)8.求下列幂级数的收敛半径.(6分)(1);(2).9.设为复平面上的解析函数,试确定,,的值.(6分)三、证明题.1.设函数在区域内解析,在区域内也解析,证明必为常数.(5分)2.试证明的轨迹是一直线,其中为复常数,为实常数.(5分)试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题(一)参考答案二.填空题1.;2. 1;3。
,; 4. ; 5. 16. 整函数;7。
; 8. ;9。
0;10. . 三.计算题。
1。
解因为所以.2。
解因为,.所以.3。
解令,则它在平面解析,由柯西公式有在内,.所以.4. 解令, 则。
故, .四. 证明题。
1。
证明设在内.令。
两边分别对求偏导数, 得因为函数在内解析,所以. 代入(2)则上述方程组变为。
消去得, .1)若,则为常数。
2)若, 由方程(1)(2) 及方程有,。
所以。
(为常数)。
所以为常数。
2. 证明的支点为。
于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到时,只有的幅角增加. 所以的幅角共增加。
由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此分支在的幅角为,故.《复变函数》考试试题(二)参考答案二. 填空题1.1,,;2。
; 3. ; 4。
1; 5. 。
6。
,。
7。
0; 8。
; 9. ;10。
0。
三。
计算题1。
解。
2. 解令。
则.又因为在正实轴去正实值,所以。
所以。
3. 单位圆的右半圆周为, .所以。
4. 解=0.四. 证明题.1。
证明(必要性) 令,则。
(为实常数)。
令。
则.即满足,且连续, 故在内解析。
(充分性)令, 则,因为与在内解析, 所以,且.比较等式两边得。
从而在内均为常数,故在内为常数。
2。
即要证“任一次方程有且只有个根"。
证明令,取, 当在上时, 有。
.由儒歇定理知在圆内, 方程与有相同个数的根。
而在内有一个重根. 因此次方程在内有个根.《复变函数》考试试题(三)参考答案二。
填空题。
1.;2. ;3. ;4. 1;5. ;6。
1;7。
;8. ; 9。
; 10. . 三。
计算题.1. 解。
2. 解。
所以收敛半径为。
3. 解令,则.故原式。
4。
解令,.则在上均解析,且, 故由儒歇定理有. 即在内, 方程只有一个根.四. 证明题。
1。
证明证明设在内。
令。
两边分别对求偏导数, 得因为函数在内解析,所以。
代入(2)则上述方程组变为. 消去得, .1) ,则为常数.2)若, 由方程(1) (2)及方程有, 。
所以。
(为常数).所以为常数。
2. 证明取, 则对一切正整数时,.于是由的任意性知对一切均有.故, 即是一个至多次多项式或常数.《复变函数》考试试题(四)参考答案.二. 填空题.1。
,; 2. ;3。
; 4. ; 5. 整函数;6。
亚纯函数;7。
0;8. ;9。
;10. . 三。
计算题。
1.2. 解, 。
故原式.3. 解原式。
4。
解 =,令,得,而为可去奇点当时,而为一阶极点.四。
证明题。
1. 证明设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点,考虑.而,在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此,从而在下半平面内解析。
2. 证明令, , 则与在全平面解析,且在上, ,故在内.在上,,故在内.所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.《复变函数》考试试题(五)参考答案一。
判断题。
1.√2.√3.×4.√5.× 6.×7.×8.√9.√ 10.√。
二. 填空题.1.2, , ; 2。
;3。
, ; 4. ; 5. 0; 6. 0;7。
亚纯函数; 8. ;9. 0;10. .三。
计算题。
1。
解令, 则。
故,。
2。
解连接原点及的直线段的参数方程为,故.3. 令, 则. 当时,故, 且在圆内只以为一级极点, 在上无奇点,故,由残数定理有.4. 解令则在内解析,且在上,,所以在内,, 即原方程在内只有一个根。
四。
证明题.1. 证明因为,故。
这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件,故只在除了外处处不可微.2。
证明取, 则对一切正整数时,。
于是由的任意性知对一切均有.故, 即是一个至多次多项式或常数。
《复变函数》考试试题(六)参考答案二、填空题:1。
2。
3。
4. 1 5. 16. 阶7. 整函数8.9. 0 10. 欧拉公式三、计算题:1.解:因为故.2。
解:因此故.3。
解:4。
解:5.解:设, 则。
6.解:四、1。
证明:设则在上,即有.根据儒歇定理,与在单位圆内有相同个数的零点,而的零点个数为6,故在单位圆内的根的个数为6。
2。
证明:设,则, 由于在内解析,因此有,。
于是故,即在内恒为常数.3。
证明:由于是的阶零点,从而可设,其中在的某邻域内解析且,于是由可知存在的某邻域,在内恒有,因此在内解析,故为的阶极点.《复变函数》模拟考试试题《复变函数》考试试题(一)一、判断题(4x10=40分):1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域内可导。
()2、有界整函数必在整个复平面为常数。