复变函数与积分变换复习题去答题

第一章 一、选择题1. 一个向量顺时针旋转3π，向右平移3个单位，再向下平移1个单位，对应的复数为1，则原向量对应的复数是（A ） A. 2B. 1C.i D.i2. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（B ） A. 34i -+ B. 34i + C. 34i - D. 34i -- 3.方程23z i +-= C ）A. 中心为23i -的圆周 B. 中心为23i -+，半径为2的圆周 C. 中心为23i -+D. 中心为23i -，半径为2的圆周 4. 15()1, 23, 5f z z z i z i =-=+=-则 12()f z z -=（C ） A. 44i -- B. 44i + C. 44i - D. 44i -+5. 设z C ∈，且1z =,则函数21()z z f z z-+=的最小值是（A ）A. -3B. -2C. -1D. 1 二、填空题1.不等式225z z -++<所表示的区域是曲线_________________的内部。

（椭圆2222153()()22x y +=） 2. 复数22(cos5sin 5)(cos3sin 3)θθθθ+-的指数表示式为_______________.（16ieθ）3. 方程2112(1)z ii z--=--所表示曲线的直角坐标方程为__________________.（221x y +=）4. 满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴为25的椭圆，该图形是否为区域 否 .5．复数()i i z --=1132的模为_________，辐角为____________.（5/12π-）6. 曲线()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线为____________.（43v u =）三、对于映射12()w z z=+，求出圆周4z =的像。

表示平面上的椭圆2222u v +=11715()()22一、选择题1.下列函数中，为解析函数的是（C ）A. 222x y xyi -- B. 2x xyi + C. 222(1)(2)x y i y x x -+-+ D. 33x iy + 2. 若函数2222()2()f z x xy y i y axy x =+-++-在复平面内处处解析，那么实常数a=（C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -23. 函数2()ln()f z z z =在0z =处的导数（A ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在 4. 22()f z x iy =+则 (1)f i '+=（A ） A. 2 B. 2i C. 1+I D. 2+2i 5. ii 的主值为（D ） A. 0 B. 1 C. 2e πD. 2eπ-6.设()sin f z z =，则下列命题中，不正确是（C ）A. ()f z 在复平面B. ()f z 以为周期C. ()2iz ize ef z --= D. ()f z 是无界7. 设α是复数则（C ）A. z α是在复平面上处处解析B. z α的模为 zαC. z α一般是多值函数 D . z α的幅角为z 的幅角的α倍 二、填空题1.设(0)1, (0)1f f i '==+，0()1lim z f z z→-=______________(1+i)2. 3322()f z x y ix y =++ 则 33 ()22f i '-+=______________(272748i -)3.复数1i 的模为______________(2(0,1)k e k π-=±)4.方程10ze--=的全部解为______________(2(0,1)k i k π=±)5.i i -+1)1(的值为,1,0)],2ln 4sin()2ln 4[cos(224±=-+-+k i e k ππππ；主值为)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e .三、设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出)1(1627)4343()43,43()43,43(i xv ixu i f +=∂∂+∂∂=+' （2分）四、解方程：sin cos 4z i z i +=一、选择题1. 设C 为从原点沿2y x =至1+i 的弧段，则2()cx iy dz +=⎰（）DA.1566i - B. 1566i -+ C. 1566i -- D. 1566i + 2. 设C 为不经过点1与－1的正向简单闭曲线，则(1)(1)c zdz z z -+⎰为（）DA.2i π B. 2i π-C. 0D. A,B,C 都有可能二、1..解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的________(平均值)2. 积分⎰=1||z zdz z e 的值为i π2，⎰==-2||2)2(sin z dz z zπ 0 .3. 设()2sin2f z d zξπξξξ==-⎰，其中2z ≠，则()1f '=_______.（0）三、计算26(1)(2)z R zdz z z =-+⎰，其中0 1 R R >≠，，且2R ≠。

复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。

2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。

3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。

10125212131i i i i i +-=+-=-。

4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。

5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。

6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。

7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。

8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。

1224(4)2i i -==±。

9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。

11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。

1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。

二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。

（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。

复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。

２.-8i得三个单根分别为：、、。

3.Lｎz在得区域内连续。

4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。

５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。

6. ﻩﻩ。

７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。

１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。

二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。

三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。

五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。

1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。

八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。

)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．的解极域为：。

z z f =)(5．的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若=F [f (t )]，则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数与积分变换试题系别班级学号姓名得分评卷人-------------- 一、填空(每题3分，共24分)1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______1-V3/2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是否为区域—.3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ .4. (l + i)i的值为______________________________________________主值为.5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ .Juw z J izi=2 4)a--)"1 -L6.函数J (z)=——7"-3在Z =。

处Taylor展开式的收敛半径是 ______ .z-l7.设F [<(。

]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=,其中力⑺* /2(0定义为.8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。

是何种类型的奇点？ .Z得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解析函数 f(z) = u + iv.四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z+1Laurent 级数.得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分)1. /(z) = f求/(1 + )J 图7 4-z2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数3. L(f 32产(”。

)4. 尸——二~＜公J 。

1 + sin- x六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下的象.七、(8分)求一映射’将半带形域-恭，＜”，＞。

1. 设t 是实参数，则下列方程中表示圆周的是（ ）A 、(1)z i t =+B 、cos sin (0,0,)z a t b t a b a b =+>>≠C 、i z t t=+ D 、(0)it z a e b a =+≠2. i i 的辐角主值是（ ）A 、0B 、2π C 、2π- D 、π 3. 设210z z ++=，则1173z z z ++=( )A 、0B 、iC 、i -D 、1 4. 11(1)n i nn ∞=+∑的敛散性为（ ） A .发散 B .条件收敛 C .绝对收敛 D . 无法确定5．设C 是任意实常数，那么由调和函数22(,)v x y x xy y =+-确定的解析函数()f z u iv =+是（ ）A 、2122i z C ++B 、2122i z iC ++ C 、222i z C -+ D 、222i z iC -+ 6.(- )A 、无定义 B、等于3 C、是复数，其实部等于3 D、是复数，其模等于37. 若曲线C 为|z|=1的正向圆周，5()C dz z i π=-⎰（ ） A .i 12π B .1 C .0 D .π1. 在复数范围内，方程30z z +=的根的个数是 .2. 31z =的全部解是： ， ， .3. 复数()1Ln -的主值为 .4. ()()()()20142015201320142013201420152014i i z i i +-=+-，则=z _________ . 5. 若曲线C 为|z|=1的正向圆周，则3(2)C dz z =-⎰________. 6. 级数212!!n z z z n +++++在|z |<1时的和函数是________.7.若221()(1)f z z z =-，则Re [(),0]s f z =________. 1. 3232()m ()f z y nx y i x lxy =+++在全平面解析，求m n l 、、.（7分）2.计算积分arg CI zdz =⎰，其中C ：从原点到1+i 的直线段.（6分） 3. dz z ze z z⎰=-2||21（积分沿正向圆周进行）.（6分） 4. 3sin C z dz z ⎰（其中C 为正向圆周|z|=1）.（6分） 5. 求函数(,)2v x y xy =的共轭调和函数(,)u x y 和由它们构成的解析函数()f z ，使(0)1f =.（6分）1. 求函数0()sin f t t ω=的傅里叶变换.2. 在圆环1||z <<∞内将函数1()(1)f z z z =-展为洛朗级数.。

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数与积分变换 试题一、填空、判断题（共24分）(a ) 填空 （每空2分）1、，=+8)1(i ， ln （－3 i ）=2、把点z = 1，i ，-1 分别映照成点w = 1，0，-1 的分式线性映照 w = f (z) 把单位圆 |z| < 1 映照成 。

3、4sinz )(z z f =的孤立奇点的类型是 ，奇点处的留数是 。

4、积分dz )z 1cosz e (2|z |z ⎰=-+π= 。

（b ）判断题 （每题3分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、arg z 1z 2 = arg z 1 + arg z 2 （ ）2．若()f z 在0z 解析，则()()n f z 也在0z 解析。

（ ）3、若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数， 则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函（ ） 4．因为|sin |1z ≤，所以在复平面上f (z) = sin z 有界。

（ ） 二、解答题（ ）1、设 1i 11e r z θ= ， 2i 22e r z θ= 证明： ( a ) |z ||z ||z z |2121= ( b ) 2121z z )z z (=2、设 )pxy x (i y n my )(2323+++=x z f 是解析函数，试确定 m , n , p 的值。

3、将 )z 2)(1(1)(--=z z f 在 0 < | z - 1 | < 1 上展开成罗朗级数。

三、计算题（8分+12分=20分）1、计算⎰+cdz iy x )(2，其中 C 是沿曲线 2x y = 由点 0=z 到点 i z +=12、用两种方法（含留数方法）计算积分⎰-+cz z dz )2)(1(z 的值。

其中 C ：| z | = 3 。

3、求 方程 01z 4=+ 的全部根 4、求把上半平面Im ( z ) >0 ，保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足f （i ）=0，0)i (arg ='f的分式线性映照。

吉林师范成人教育期末考试试卷《复变函数与积分变换》A 卷年级 专业 姓名 分数一、填空题(每空2分，共16分)1.复数-2是复数________的一个平方根。

2.设y 是实数，则sin(iy)的模为________。

3.设a>0，则Lna=________。

4.记号Res z=af(z)表示________。

5.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件。

6.方程z=t+i t(t 是实参数)给出的曲线为________。

7.设幂级数∑c z a n n n ()-=+∞∑0，在圆K:|z-a|<R 上收敛于f(z),则c n =______(n=0,1,…)。

8.cosz 在z=0的幂级数展式为________。

二、判断题(判断下列各题，正确的在题干后面的括号内打“√”，错误的打“×”。

每小题2分，共14分)1.lim z 0→e z =∞.( ) 2.设z 0为围线C 内部的一点，则∫c dz z z -0=2πi.( ) 3.若函数f(z)在围线C 上解析，则∫c f(z)dz=0.( )4.z=0是函数124-e z x的4级极点。

( )5.若z 0是f(z)的本性奇点，则z 0是f(z)的孤立奇点。

( )6.若f(z)在|z|≤1上连续，在|z|<1内解析，而在|z|=1上取值为1，则当|z|≤1时f(z)≡1.( )7.若f(z)与f(z)都在区域D 内解析，则f(z)在D 内必为常数。

( )三、完成下列各题(每小题5分，共30分)1.求复数z=1-i 1+i的实部、虚部、模和辐角。

2.试证：复平面上三点a+bi,0,1-a +bi 共直线。

3.计算积分∫c (x-y+ix 2)dz,积分路径C 是连接由0到1+i 的直线段。

4.说明函数f(z)=|z|在z 平面上任何点都不解析。

5.将函数z +1z (z -1)2在圆环1<|z|<+∞内展为罗朗级数。