三角形提高培优经典题
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全等三角形经典习题汇集第一讲全等三角形的性质及判定【例1】 如图,AC DE ∥,BC EF ∥,AC DE =.求证:AF BD =.【补充】如图所示:AB CD ∥,AB CD =.求证:AD BC ∥.【例2】 已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB DC =,BE CF =,B C ∠=∠.求证:OA OD =.【补充】已知:如图,AD BC =,AC BD =,求证:C D ∠=∠.【补充】如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,E 为CD 中点,连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F .求证:FC AD =.FEDCBA【例3】 如图,AB CD ,相交于点O ,OA OB =,E 、F 为CD 上两点,AE BF ∥,CE DF =.求证:FEDCBADCBA F E O D CB AO D CBAAC BD ∥.OF E DCBA【补充】已知,如图,AB AC =,CE AB ⊥,BF AC ⊥,求证:BF CE =.F E CBA【例4】 如图,90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥,,,,垂足分别为A B ,,试说明AD AB BE +=EDCBA【例10】 如图所示, 已知AB DC =,AE DF =,CE BF =,证明:AF DE =.【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点,且BE CF =.求证:AE BF ⊥.PFEDCBAF DC BA【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点,GE EF ⊥,GE EF =.求证:BG CF BC +=.GA BC DEF【例12】 在凸五边形中,B E ∠=∠,C D ∠=∠,BC DE =,M 为CD 中点.求证:AM CD ⊥.【补充】如图所示:AF CD =,BC EF =,AB DE =,A D ∠=∠.求证:BC EF ∥.A BCD EF【例13】 (1)如图,△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ,连结EG ,试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系,并说明理由.(2)园林小路,曲径通幽,如图所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米,这条小路一共占地多少平方米?GFEDCB AMEDC BA【例14】 如图,ABC ∆中,AB BC =,90ABC ∠=︒,D 是AC 上一点,且CD CB AB ==,DE AC ⊥交AB于E 点.求证:AD DE EB ==.CB DEA【例15】 ABC ∆中,90B ∠=︒,M 为AB 上一点,使得AM BC =,N 为BC 上一点,使得CN BM =,连AN 、CM 交于P 点.试求APM ∠的度数,并写出你的推理证明的过程.图3P DM N B C A【例16】 如图,I 是ABC △的内心,且CA AI BC +=.若80BAC ∠=︒,求ABC ∠和AIB ∠的大小.AB CI【例17】 已知:BD CE 、是ABC ∆的高,点P 在BD 的延长线上,BP AC =,点Q 在CE 上,CQ AB =,求证:⑴AP AQ =;⑵AP AQ ⊥.PDQCBEA【例18】 ⑴ 如左下图,在矩形ABCD 中,E 为CB 延长线上一点且AC CE =,F 为AE 的中点.求证:BF FD ⊥.⑵ 如右下图,在ABC ∆中,BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高,D 为BC 的中点,DM EF ⊥于M .求证:FM EM =.F EDCBAMFED CB A18.补充:如图,已知60ABD ACD ∠=∠=︒,且1902ADB BDC ∠=︒-∠.求证:ABC ∆是等腰三角形.【例19】 如图,ABC ∆为边长是1的等边三角形,BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形,以D 为顶点作一个60︒角,角的两边分别交AB 于M ,AC于N ,连接MN ,形成一个AMN ∆.求AMN ∆的周长.AM NBCD【习题1】 已知:如图,AB DE ∥,AC DF ∥,BE CF =. 求证:AB DE =.FEDC B A【习题2】 已知:△DEF ≌△MNP ,且EF =NP ,∠F =∠P ,∠D =48°,∠E =52°,MN =12cm ,求:∠P 的度数及DE 的长.【习题3】如图,矩形ABCD 中,E 是AD 上一点,CE EF ⊥交AB 于F 点,若2DE =,矩形周长为16,且CE EF =,求AE 的长.EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中,AD BC ∥,A ∠的平分线AE 交DC 于E .求证:当BE 是B ∠的角平分线时,有AD BC AB +=.【备选1】 如图所示:AB AC =,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠.月测备选家庭作业CE O【备选2】 如图所示,在ABC △中,AD BC ⊥于点D ,2B C ∠=∠.求证:AB BD CD +=.【备选3】 如图,△ABC 中,D 是BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F ,交AC 的平行线BG 于G 点,DE ⊥DF ,交AB 于点E ,连结EG 、EF . (1)求证:BG =CF .(2)请你判断BE +CF 与EF 的大小关系,并说明理由.FE DCBAG第二讲 全等三角形与中点问题版块一 倍长中线【例1】 在△ABC 中,9,5==AC AB ,则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么?【补充】已知:ABC ∆中,AD 是中线.求证:1()2AD AB AC <+.C D B ABBC【例2】 已知:如图,梯形ABCD 中,AD BC ∥,点E 是CD 的中点,BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F .求证:BCE FDE ∆∆≌.DFECBA【例3】 如图,在ABC ∆中,D 是BC 边的中点,F ,E 分别是AD 及其延长线上的点,CF BE ∥.求证:BDE CDF ∆∆≌.【例4】 如图,ABC ∆中,<AB AC ,AD 是中线.求证:<DAC DAB ∠∠.【例5】 如图,已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于F ,AF EF =,求证:AC BE =.F E D C BAB C FED CBA【例6】 如图所示,在ABC ∆和A B C '''∆中,AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线,且AB A B ''=,AC A C ''=,AD A D ''=,求证ABC A B C '''∆∆≌.【例7】 如图,在ABC ∆中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交EF于点G ,若BG CF =,求证:AD 为ABC ∆的角平分线.【例8】 已知AD 为ABC ∆的中线,ADB ∠,ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F .求证:BE CF EF +>.【例9】 在Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,点D 为BC 的中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且ED FD ⊥.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形?B F G E DC B AF E A B D CA【例10】 已知△ABC ,∠B =∠C ,D ,E 分别是AB 及AC 延长线上的一点,且BD =CE ,连接DE 交底BC 于G ,求证GD =GE .GEDCBA【例11】 如图所示,在ABC ∆中,D 是BC 的中点,DM 垂直于DN ,如果2222BM CN DM DN +=+,求证()22214AD AB AC =+.(勾股定理的内容,选做)NMDCBA【例10】 在Rt ABC ∆中,F 是斜边AB 的中点,D 、E 分别在边CA 、CB 上,满足90DFE ∠=︒.若3AD =,4BE =,则线段DE 的长度为_________.【习题1】 如图,在等腰ABC ∆中,AB AC =,D 是BC 的中点,过A 作AE DE ⊥,AF DF ⊥,且AE AF =.求证:EDB FDC ∠=∠.【习题2】 如图,已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE AC =,延长BE 交AC 于F ,AF 与EF 相等吗?为什么?【习题3】 如右下图,在ABC ∆中,若2B C ∠=∠,AD BC ⊥,E 为BC 边的中点.求证:2AB DE =.A家庭作业图 6G EF D B C A F ED C BAD FE C B A【备选1】如图,已知AB=DC,AD=BC,O是BD中点,过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E,F.求证:∠E=∠F【备选2】如图,ABC∆中,AB AC=,90BAC∠=︒,D是BC中点,ED FD⊥,ED与AB交于E,FD 与AC交于F.求证:BE AF=,AE CF=.第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC∆中,D为BC边上的点,已知BAD CAD∠=∠,BD CD=,求证:AB AC=.D CBA【例2】已知ABC∆中,AB AC=,BE、CD分别是ABC∠及ACB∠平分线.求证:CD BE=.EDCBA【例3】如图,在ABC∆中,60B∠=︒,AD、CE分别平分BAC∠、BCA∠,且AD与CE的交点为F.求证:FE FD=.AB CDEFFBEDCA【例4】 如图,已知ABC ∆的周长是21,OB ,OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于D ,且3OD =,求ABC ∆的面积.【补充】如图所示:AB AC =,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠.【例5】 已知ABC ∆中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.OED CBA【例6】 如图,已知E 是AC 上的一点,又12∠=∠,34∠=∠.求证:ED EB =.E DC B A4321AOCB A B CD E O【例7】 如图所示,OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线,OA OC =,OB OD =.求证:AB CD =.PDBOCA【例8】 如图所示,已知ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD 上.DE CD =,EF AC =.求证:EF ∥ABFA CD E B【例10】 如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,过C 作CE AB E ⊥于,并且1()2AE AB AD =+,则ABC ADC ∠+∠等于多少?EDCBA【补充】长方形ABCD 中,AB =4,BC =7,∠BAD 的角平分线交BC 于点E ,EF ⊥ED 交AB 于F ,则EF =__________.FEDCBA【补充】在ABC ∆中,AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点.求证:AB AC PB PC ->-.CD B PA【例11】 如图,在ABC ∆中,2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:AB BD AC +=.DC B A【例12】 如图,ABC ∆中,AB AC =,108A ∠=︒,BD 平分ABC ∠交AC 于D 点.求证:BC AC CD =+.AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆,100A ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于D ,则BD AD BC +=.【例13】 如图所示,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=.MD CBACB【例14】 如图,ABC ∆中,AB AC =,BD 、CE 分别为两底角的外角平分线,AD BD ⊥于D ,AE CE⊥于E .求证:AD AE =.HG D AB C E【例15】 如图,180A D ∠+∠=︒,BE 平分ABC ∠,CE 平分BCD ∠,点E 在AD 上.① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系. ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系.EDCB A【习题2】如图,在ABC ∆中,AB BD AC +=,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:2B C ∠=∠.DC B A家庭作业【习题3】AD是ABC∆的角平分线,BE AD⊥交AD的延长线于E,EF AC∥交AB于F.求证:AF FB=.DECFBA【习题4】如图所示,AD平行于BC,DAE=EAB∠∠,ABE=EBC∠∠,AD=4,BC=2,那么AB=________.【习题5】ABC∆中,D为BC中点,DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E,EF AB⊥于F EG AC⊥于G.求证:BF CG=.EGFDCBA【备选1】在ABC∆中,AD平分BAC∠,AB BD AC+=.求:B C∠∠的值.CDBA月测备选【备选2】如图,已知在ABC ∆中,3ABC C ∠=∠,12∠=∠,BE AE ⊥.求证:2AC AB BE -=.21ECBA【备选3】如图所示,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,A ∠的平分线AE 交DC 于E ,求证:当BE 是B∠的平分线时,有AD BC AB +=.EBCDA第四讲 全等三角形与旋转问题【例1】 已知:如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ∆、CBN ∆是等边三角形.(1)求证:AN BM =.A C(2)求证:CD=CE(3) 求证:CF 平分∠MCN(4) 求证:DE ∥AB【例2】 如图,四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG .求证:AE CG .AAC BA CG FEDCBA【例3】 如图,等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点.求证:AE BD =.DECBA【例4】 如图,D 是等边ABC ∆内的一点,且BD AD =,BP AB =,DBP DBC ∠=∠,问BPD ∠的度数是否一定,若一定,求它的度数;若不一定,说明理由.PDC BA【例5】 如图,等腰直角三角形ABC 中,90B =︒∠,AB a =,O 为AC 中点,EO OF ⊥.求证:BE BF+为定值.OB ECF A【补充】如图,正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转,其交点为E 、F ,求证:AE CF AB +=.54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004河北)如图,已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点,点F 是CB 的延长线上一点,且EA AF ⊥. 求证:DE BF =.FED CBA【补充】如图所示,在四边形ABCD 中,90ADC ABC ∠=∠=︒,AD CD =,DP AB ⊥于P ,若四边形ABCD的面积是16,求DP 的长.PDCBA【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,且45EAF =︒∠,AH EF ⊥,H 为垂足,求证:AH AB =.【巩固】如图,正方形ABCD 的边长为1,点F 在线段CD 上运动,AE 平分BAF ∠交BC 边于点E .⑴求证:AF DF BE =+.⑵设DF x =(01x ≤≤),ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值?若存在,求出此时x 的值及S .若不存在,请说明理由.FEDC BA【补充】(1)如图,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B =∠D =90︒,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF=12∠BAD .求证:EF =BE +FD ;FED CBAC HF E D BA(2) 如图,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B+∠D =180︒,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF=12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立?不用证明.FEDCB A【习题1】 如图,已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形,B 、C 、D 在一条直线上,试说明CE 与AC CD+相等的理由.EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知:如图,点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点,过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F .求证:DE DF =.FEDCBA【习题3】 在梯形ABCD 中,AB CD ∥,90A ∠=︒,2AB =,3BC =,1CD =,E 是AD中点,试判断EC 与EB 的位置关系,并写出推理过程.家庭作业CD【习题4】 已知:如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ∆、CBN ∆是等边三角形.CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高.求证:CG CH =.HG NM CBA【备选1】 在等腰直角ABC ∆中,90ACB ∠=,AC BC =,M 是AB 的中点,点P 从B 出发向C 运动,MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ,试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化.【备选2】 如图,正方形ABCD 中,FAD FAE ∠=∠.求证:BE DF AE +=.FEDCBA月测备选APMCQ B【备选3】 等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1,E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点,F 是CD 上一点,满足1AE CF +=,当E F 、移动时,试判断BEF ∆的形状.DFE CBA第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】 在ABC ∆中,AB AC =,BC BD ED EA ===.求A ∠.【补充】在ABC ∆中,AB AC =,BC BD =,AD ED EB ==.求A ∠.EDCB A【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ,若150BAC DAE ∠+∠=︒,求BAC ∠.【例3】 如图,点O 是等边AO AD =内一点,110AOB ∠=,BOC α∠=.将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △,连接OD ,则COD △是等边三角形;当α为多少度时,AOD △是等腰三角形?【例4】 如图,在ABC ∆中,B C ∠=∠,D 在BC 上,50BAD ∠=,在AC 上取一点E ,使得ADE AED ∠=∠,求EDC ∠的度数.【例5】 如图,ABC ∆为等边三角形,延长BC 到D ,又延长BA 到E ,使AE BD =,连接,CE DE ,求证:CDE ∆为等腰三角形.E D C B A O D C B AAB CD EE【例6】 如图,在ABC ∆中,B ∠,C ∠为锐角,,,M N D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点,满足AM AN =,BD DC =,且BDM CDN ∠=∠.求证:AB AC =.板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点A 在直线l 外,点P 为直线l 上的一个动点,探究是否存在一个定点B ,当点P 在直线l 上运动时,点P 与A 、B 两点的距离总相等,如果存在,请作出定点B ;若不存在,请说明理由.【例8】 如图,在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ,现需要建一货物中转站,要求到A 、B 两仓库的距离和最短,这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理?aBA【例9】 如图,45AOB ∠=︒,角内有点P ,在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点),求作Q 、R ,使得PQR ∆的周长的最小.ABCD MNPl【补充】如图,M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点,在AB 上求一点P ,使PMN ∆的周长最短.【例10】 已知如图,点M 在锐角AOB ∠的内部,在OB 边上求作一点P ,使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小.【补充】已知:A 、B 两点在直线l 的同侧, 在l 上求作一点M ,使得||AM BM -最小.【补充】已知:A 、B 两点在直线l 的同侧,在l 上求作一点M ,使得||BM AM -最大.【例11】 如图,正方形ABCD 中,8AB =,M 是DC 上的一点,且2DM =,N 是AC 上的一动点,求DN MN +的最小值与最大值.M BO A lBA NM D A【补充】例题中的条件不变,求DN MN -的最小值与最大值.【补充】如图,已知正方形ABCD 的边长为8,M 在DC 上,且2DM =,N 是AC 上的一个动点,则DN MN +的最小值是MD CBA【习题1】 (2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9,则第三边长为 . 【习题2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )A .17cmB .5cmC .17cm 或5cmD .无法确定【习题3】 已知等腰三角形的周长为20,腰长为x ,求x 的取值范围.【习题4】 (2004天津)在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )【习题5】 判断下列图形(图)是否为轴对称图形?如果是,说出它有几条对称轴.⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼家庭作业【备选1】 ABC ∆的一个内角的大小是040,且A B ∠=∠,那么C ∠的外角的大小是( )A .140︒B .80︒或100︒C . 100︒或140︒D . 80︒或140︒【备选2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分,求腰长和底长. 【备选3】 (四川省竞赛题)如图,在等腰Rt ABC ∆中,3CA CB ==,E 的BC 上一点,满足2BE =,在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小.PECBA【备选4】 在正方形ABCD 中,E 在BC 上,2BE =,1CE =,P 在BD 上,求PE 和PC 的长度之和的最小值.E PDCB AE‘E PDCB A月测备选第六讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.【例2】 如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作60DMN ∠=︒,射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ,CB ⊥AB ,DM =CM =a ,AD =h ,CB =k ,∠AMD =75°,∠BMC =45°,则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例4】 已知:如图,ABCD 是正方形,∠FAD =∠FAE . 求证:BE +DF =AE .D OECB ANEB M A DF DA【例5】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆,连结CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DOE ∠.FABCDEOOEDCBA【例6】 (北京市数学竞赛试题,天津市数学竞赛试题)如图所示,ABC ∆是边长为1的正三角形,BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形,以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠,点M 、N 分别在AB 、AC 上,求AMN ∆的周长.【例7】 五边形ABCDE 中,AB =AE ,BC +DE =CD ,∠ABC +∠AED =180°,求证:AD 平分∠CDEN MDCB A板块二、全等与角度【例10】 如图,在ABC ∆中,60BAC ∠=︒,AD 是BAC ∠的平分线,且AC AB BD =+,求ABC ∠的度数.【例11】 在正ABC ∆内取一点D ,使DA DB =,在ABC ∆外取一点E ,使DBE DBC ∠=∠,且BE BA =,求BED ∠.CEDB AD CBAD E CBA。
《三角形培优专题》参考答案【例题讲解】例题1.已知等腰三角形的周长为24,试求腰长x 的取值范围和底边长y 的取值范围.【解答】解:依题意有2x +y = 24 ;对于腰长,有:y < 2x < 24 ,即:24 - 2x < 2x < 24 ,解得:6 <x < 12 ;对于底长,有:0 <y < 2x ,即:0 <y < 24 -y ,解得:0 <y < 12 .故腰长x 的取值范围是 6 <x < 12 ,底边长y 的取值范围是0 <y < 12 .例题2.如图,已知∠B =∠C =∠BAD ,∠ADC =∠DAC ,AE ⊥BC ,求∠DAE 的度数.【解答】解: ∠ADC =∠B +∠BAD ,∠B =∠C =∠BAD ,∠ADC =∠DAC ,∴∠B +∠C +∠BAD +∠DAC = 180︒,∴ 5∠B = 180︒,解得∠B = 36︒,∴∠ADC = 72︒.AE ⊥BC ,∴∠DAE = 90︒-∠ADE = 90︒- 72︒= 18︒.例题3.(1)如图1,这是一个五角星ABCDE,你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗?为什么?(必须写推理过程)(2)如图2,如果点B 向右移动到AC 上,那么还能求出∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E 的大小吗?若能结果是多少?(可不写推理过程)(3)如图,当点 B 向右移动到AC 的另一侧时,上面的结论还成立吗?(4)如图4,当点B 、E 移动到∠CAD 的内部时,结论又如何?根据图3 或图4,说明你计算的理由.【解答】解:(1)如图,由三角形的外角性质,∠A+∠C=∠1,∠B+∠D=∠2,∠1 +∠2 +∠E = 180︒,∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒;(2)如图,由三角形的外角性质,∠A +∠D =∠1 ,∠1 +∠DBE +∠C +∠E = 180︒,∴∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E = 180︒;(3)如图,由三角形的外角性质,∠A +∠C =∠1,∠B +∠D =∠2 ,∠1 +∠2 +∠E = 180︒,∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒;(4)如图,延长CE 与AD 相交,由三角形的外角性质,∠A +∠C =∠1,∠B +∠E =∠2 , ∠1 +∠2 +∠D = 180︒,∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒.例题4.Rt∆ABC 中,∠C = 90︒,点D 、E 分别是∆ABC 边AC 、BC 上的点,点P 是一动点.令∠PDA =∠1,∠PEB =∠2 ,∠DPE =∠α.(1)若点 P 在线段 AB 上,如图(1)所示,且∠α= 50︒,则∠1 +∠2 =140 ︒;(2)若点P 在边AB 上运动,如图(2)所示,则∠α、∠1、∠2 之间有何关系?(3)若点P 在Rt∆ABC 斜边BA 的延长线上运动(CE <CD) ,则∠α、∠1、∠2 之间有何关系?猜想并说明理由.【解答】解:(1)如图,连接PC ,由三角形的外角性质,∠1 =∠PCD +∠CPD ,∠2 =∠PCE +∠CPE ,∴∠1+∠2 =∠PCD +∠CPD +∠PCE +∠CPE =∠DPE +∠C ,∠DPE =∠α= 50︒,∠C = 90︒,∴∠1+∠2 = 50︒+ 90︒=140︒,故答案为:140︒;(2)连接PC ,由三角形的外角性质,∠1 =∠PCD +∠CPD ,∠2 =∠PCE +∠CPE ,∴∠1+∠2 =∠PCD +∠CPD +∠PCE +∠CPE =∠DPE +∠C ,∠C = 90︒,∠DPE =∠α,∴∠1+∠2 = 90︒+∠α;(3)如图1,由三角形的外角性质,∠2 =∠C +∠1+∠α,∴∠2 -∠1 = 90︒+∠α;如图2,∠α= 0︒,∠2 =∠1+ 90︒;如图3,∠2 =∠1-∠α+∠C ,∴∠1-∠2 =∠α- 90︒.例题 5.如图 1,在 ∆ABC 中, BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACB ,若∠A = 82︒,则∠BEC = 131︒;若∠A =a︒,则∠BEC = .【探究】(1)如图2,在∆ABC 中,B D ,B E 三等分∠ABC ,CD ,CE 三等分∠ACB ,若∠A =a︒,则∠BEC = ;(2)如图3,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点,试分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系?请说明理由;(3)如图4,O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点,则∠BOC 与∠A 有怎样的关系?请说明理由.【解答】解: ∠A = 82︒,∴∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A = 180︒- 82︒= 98︒, BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACB ,∴∠EBC =1∠ABC ,∠ECB =1∠ACB ,2 2∴∠EBC +∠ECB =1(∠ABC +∠ACB) =1⨯ 98︒= 49︒,2 2∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- 49︒= 131︒;由三角形的内角和定理得,∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A = 180︒-a︒, BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACB ,∴∠EBC =1∠ABC ,∠ECB =1∠ACB ,2 2∴∠EBC +∠ECB =1(∠ABC +∠ACB) =1⨯ (180︒-a︒) = 90︒-1a︒,2 2 2∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- (90︒-1a︒) = 90︒+1a︒;2 2故答案为:131︒,90︒+1a︒;2探究:(1)由三角形的内角和定理得,∠ABC+∠ACB=180︒-∠A=180︒-a︒, BD ,BE 三等分∠ABC ,CD ,CE 三等分∠ACB ,∴∠EBC =2∠ABC ,∠ECB =2∠ACB ,3 3∴∠EBC +∠ECB =2(∠ABC +∠ACB) =2⨯ (180︒-a︒) = 120︒-2a︒,3 3 3∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- (120︒-2a︒) = 60︒+2a︒;3 3故答案为:60︒+2a︒;3(2)∠BOC =1∠A .2理由如下:由三角形的外角性质得,∠ACD =∠A +∠ABC ,∠OCD =∠BOC +∠OBC ,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点,∴∠ABC = 2∠OBC ,∠ACD = 2∠OCD ,∴∠A +∠ABC = 2(∠BOC +∠OBC ) ,∴∠A = 2∠BOC ,∴∠BOC =1∠A ;2(3)∠BOC = 90︒-1∠A .2理由如下: O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点,∴∠OBC =1(180︒-∠ABC) = 90︒-1∠ABC ,∠OCB =1(180︒-∠ACB) = 90︒-1∠ACB ,2 2 2 2在∆OBC 中,∠BOC =180︒-∠OBC -∠OCB =180︒- (90︒-1∠ABC) - (90︒-1∠ACB) =1(∠ABC +∠ACB) 2 2 2,由三角形的内角和定理得,∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A ,∴∠BOC =1(180︒-∠A) = 90︒-1∠A .2 2【巩固练习】1.已知线段AB = 3cm ,BC =1cm ,则线段AC 的长度为( )A .一定是4cmB .一定是2cmC .一定是2cm 或4cmD .以上都不对【解答】选:D.2.如图,∠ABC =∠ACB ,AD ,BD ,CD 分别平分∆ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF .以下结论:①AD / / B C ;②∠ACB = 2∠ADB ;③DB 平分∠ADC ;④∠ADC = 90︒-∠ABD ;⑤∠BDC =1∠BAC .其中正确的结论有( ) 2A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【解答】解: AD 平分∠EAC ,∴∠EAC = 2∠EAD ,∠EAC =∠ABC +∠ACB ,∠ABC =∠ACB ,∴∠EAD =∠ABC ,∴AD / / BC ,∴①正确;AD / / BC ,∴∠ADB =∠DBC ,BD 平分∠ABC ,∠ABC =∠ACB ,∴∠ABC =∠ACB = 2∠DBC ,∴∠ACB = 2∠ADB ,∴②正确;BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =∠DBC ,∠ADB =∠DBC ,∠ADC = 90︒-1∠ABC ,2∴∠ADB 不等于∠CDB ,∴③错误; AD 平分∠EAC ,CD 平分∠ACF ,∴∠DAC =1∠EAC ,∠DCA =1∠ACF ,2 2∠EAC =∠ACB +∠ACB ,∠ACF =∠ABC +∠BAC ,∠ABC +∠ACB +∠BAC = 180︒,∴∠ADC = 180︒- (∠DAC +∠ACD)= 180︒-1(∠EAC +∠ACF ) 2= 180︒-1(∠ABC +∠ACB +∠ABC +∠BAC) 2= 180︒-1(180︒+∠ABC) 2= 90︒-1∠ABC ,∴④正确;2∠BDC =∠DCF -∠DBF =1∠ACF -1∠ABC =1∠BAC ,∴⑤正确,2 2 2故选:D .3.如图,要使六边形木架(用六根木条钉成)不变形,至少要再钉上木条的根数是( )A .1B .2C .3D .4【解答】解:过六边形的一个顶点作对角线,有6 - 3 = 3 条对角线, 所以至少要钉上 3 根木条. 故选: C .4.如图,在 ∆ABC 中, ∠ABC 的平分线与 ∠ACD 的平分线交于点 A 1 , ∠A 1BC 的平分线与∠A CD 的平分线交于点 A ,依此类推 .已知∠A = α,则∠A 的度数为α(用含12n 、α的代数式表示).n2n【解答】解: ∆ABC 中, ∠A = ∠ACD - ∠ABC , A 1 是 ∠ABC 角平分与 ∠ACD 的平分线的交点, ∠A = α,∴∠A = ∠A CD - ∠A BC = 1 (∠ACD - ∠ABC ) = 1∠A ;1 1 12 2同理可得, ∠A = 1 ∠A = 1∠A ,22 1 22∠A = 1 ∠A = 1∠A , 32 2 23依此类推, ∠A = 1∠A ,即∠A = α .n 2n 故答案为: α.2nn2n5.如图,线段 AB 、CP 相交于点O ,连接 AD 、CB , ∠DAB 、∠BCD 的平分线 AP 、CP 相交于点 P ,并且为CD 、 AB 分别相交于 M 、N 两点,若∠D = 40︒ ,∠B = 30︒ ,则∠P 的度数为 35︒ .【解答】解:在∆AOD 中,∠AOD =180︒-∠OAD -∠D ,在∆BOC 中,∠BOC = 180︒-∠B -∠OCB ,∠AOD=∠BOC(对顶角相等),∴180︒-∠OAD -∠D = 180︒-∠B -∠OCB ,∴∠OAD +∠D =∠B +∠OCB ,∠D = 40︒,∠B = 30︒,∴∠OAD + 40︒=∠OCB + 30︒,∴∠OCB -∠OAD = 10︒,AP 、CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线,∴∠1 =1∠OAD ,∠3 =1∠OCB ,2 2又 ∠1 +∠D =∠3 +∠P ,∴∠P =∠1 +∠D -∠3 =1(∠OAD -∠OCB) +∠D =1⨯ (-10︒) + 40︒= 35︒.2 2故答案为:35︒.6.在∆ABC 中,AB =AC ,AC 边上的中线BD 把三角形ABC 的周长分为9cm 和12cm 的两部分,求三角形各边的长.【解答】解:根据题意画出图形,如图,设等腰三角形的腰长AB =AC = 2x ,BC =y ,BD 是腰上的中线,∴AD =DC =x ,若AB +AD 的长为12,则2x +x = 12 ,解得x = 4cm ,则x +y = 9 ,即 4 +y = 9 ,解得y = 5cm ;若AB +AD 的长为9,则2x +x = 9 ,解得x = 3cm ,则x +y = 12 ,即3 +y = 12 ,解得y = 9cm ;所以等腰三角形的腰长为8 厘米,底边长为 5 厘米.或腰长为6cm ,底长为9cm .7.已知a,b,c 是△ABC 的三边长,a=4,b=6,设三角形的周长是x.(1)直接写出c 及x 的取值范围;(2)若x 是小于18 的偶数①求c 的长;②判断△ABC 的形状.【解答】解:(1)因为a=4,b=6,所以2<c<10.故周长x 的范围为12<x<20.(2)①因为周长为小于18 的偶数,所以x=16 或x=14.当x 为16 时,c=6;当x 为14 时,c=4.②当c=6 时,b=c,△ABC 为等腰三角形;当c=4 时,a=c,△ABC 为等腰三角形.综上,△ABC 是等腰三角形.8.如图,四边形ABCD 中,BE 、CF 分别是∠B 、∠D 的平分线.且∠A =∠C = 90︒,试猜想BE 与DF 有何位置关系?请说明理由.【解答】解:BE / / DF ,理由是: 四边形内角和等于360︒,∠A =∠C = 90︒,∴∠ABC +∠ADC = 180︒,BE 、CF 分别是∠B 、∠D 的平分线,∴∠1 =1∠ABC ,∠2 =1∠ADC ,2 2∴∠1 +∠2 = 90︒,在Rt∆DCF 中,∠3 +∠2 = 90︒,∴∠1 =∠3 ,∴BE / / DF .9.如图,∆ABC 中,三条内角平分线AD 、BE 、CF 相交于点O ,OG ⊥BC 于点G .(1)若∠ABC = 40︒,∠BAC = 60︒,求∠BOD 和∠COG 的度数.(2)若∠ABC =α,∠BAC =β,则∠BOD 和∠COG 相等吗?请说明理由.【解答】解:(1)∠BOD=∠OAB+∠OBA=1∠BAC +1∠ABC = 50︒2 2∠COG = 90︒-∠OCG= 90︒-1(180︒-∠ABC -∠BAC) 2= 90︒- 40︒= 50︒;(2)∠BOD 和∠COG相等. 理由: ∠BOD =∠OAB +∠OBA=1∠BAC +1∠ABC 2 2=1(α+β) 2=1(180︒-∠ACB) 2= 90︒-1∠ACB 2= 90︒-∠OCG =∠COG .10.如图1 ,在∆ABC 中,∠B = 90︒,分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线,且两条角平分线所在的直线交于点 E .(1)∠E = 45 ︒;(2)分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线,且两条角平分线交于点F .①依题意在图1 中补全图形;②求∠AFC 的度数;(3)在(2)的条件下,射线FM 在∠AFC 的内部且∠AFM =1∠AFC ,设3EC 与AB 的交点为H ,射线HN 在∠AHC 的内部且∠AHN =1∠AHC ,射线3HN 与 FM 交于点 P ,若∠FAH ,∠FPH 和∠FCH 满足的数量关系为∠FCH =m∠FAH +n∠FPH ,请直接写出m ,n 的值.【解答】解:(1)如图 1 , EA平分∠DAC ,EC 平分∠ACB ,∴∠CAF =1∠DAC ,∠ACE =1∠ACB ,2 2设∠CAF =x ,∠ACE =y ,∠B = 90︒,∴∠ACB +∠BAC = 90︒,∴ 2 y +180 - 2x = 90,x -y = 45,∠CAF =∠E +∠ACE ,∴∠E =∠CAF -∠ACE =x -y = 45︒,故答案为: 45 ;(2)①如图 2 所示,②如图 2 , CF 平分∠ECB ,∴∠ECF = 1 y , 2∠E + ∠EAF = ∠F + ∠ECF ,∴ 45︒ + ∠EAF = ∠F + 1 y ①, 2同理可得: ∠E + ∠EAB = ∠B + ∠ECB , ∴ 45︒ + 2∠EAF = 90︒ + y ,∴∠EAF = 45 + y ②,2把②代入①得: 45︒ + 45 + y = ∠F + 1 y ,2 2∴∠F = 67.5︒,即∠AFC = 67.5︒ ;(3) 如图 3 ,设∠FAH =α,AF 平分∠EAB ,∴∠FAH = ∠EAF =α,∠AFM = 1∠AFC = 1⨯ 67.5︒ = 22.5︒ ,3 3 ∠E + ∠EAF = ∠AFC + ∠FCH ,∴45 +α= 67.5 + ∠FCH ,∴∠FCH =α- 22.5①,∠AHN = 1 ∠AHC = 1 (∠B + ∠BCH ) = 1 (90 + 2∠FCH ) = 30 + 2∠FCH , 3 3 3 3 ∠FAH + ∠AFM = ∠AHN + ∠FPH ,∴α+ 22.5 = 30 + 2∠FCH + ∠FPH ,②3 把①代入②得: ∠FPH = α+ 22.5 ,3∠FCH = m ∠FAH+ n ∠FPH ,α- 22.5 = m α+ n α+ 22.5 ,3解得: m = 2 , n = -3.。
一、选择题 1.芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁,
2020年9月29日公路段投入运营,其侧面示意图如图所示,其中ABCD,现添加以
下条件,不能判定ABCABD△≌△的是( )
A.ACBADB B.
ABBD
C.ACAD D.
CABDABB
解析:B 【分析】 根据已知条件可得∠ABC=∠ABD=90°,AB=AB,结合全等三角形的判定定理依次对各个选项判断. 【详解】 解:∵ABCD, ∴∠ABC=∠ABD=90°,
∵AB=AB,
∴若添加ACBADB,可借助AAS证明ABCABD△≌△,A选项不符合题意;
若添加ABBD,无法证明ABCABD△≌△,B选项符合题意; 若添加ACAD,可借助HL证明ABCABD△≌△,C选项不符合题意; 若添加CABDAB,可借助ASA证明ABCABD△≌△,D选项不符合题意; 故选:B. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定.熟练掌握全等三角形的判定定理,并能结合题上已知条件选取合适的定理是解题关键. 2.如图,在ABC和DEF中,,BDEFABDE,添加下列一个条件后,仍然
不能证明ABCDEF≌,这个条件是( ) A.AD B.BCEF C.ACBF D.ACDF D 解析:D 【分析】 根据全等三角形的判定,利用ASA、SAS、AAS即可得答案. 【详解】 解:∵∠B=∠DEF,AB=DE, ∴添加∠A=∠D,利用ASA可得△ABC≌△DEF;
添加BC=EF,利用SAS可得△ABC≌△DEF; 添加∠ACB=∠F,利用AAS可得△ABC≌△DEF; 添加ACDF,不符合任何一个全等判定定理,不能证明△ABC≌△DEF; 故选:D. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法:SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键. 3.下列四个命题中,真命题是( )
全等三角形专题培优考试总分: 110 分考试时间: 120 分钟卷I(选择题)一、选择题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)1.如图为个边长相等的正方形的组合图形,则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是()A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角也相等C.同位角相等,两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知:如图,,,,则不正确的结论是()A.与互为余角B.C.D.4.如图,是的中位线,延长至使,连接,则的值为()A. B. C. D.5.如图,在平面直角坐标系中,在轴、轴的正半轴上分别截取、,使;再分别以点、为圆心,以大于长为半径作弧,两弧交于点.若点的坐标为,则与的关系为()A. B.C. D.6.如图,是等边三角形,,于点,于点,,则下列结论:①点在的角平分线上;②;③;④.正确的有()A.个B.个C.个D.个7.如图,直线、、″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图,是的角平分线,则等于()A. B.C. D.9.已知是的中线,且比的周长大,则与的差为()A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合,那么它的三个内角中()A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II(非选择题)二、填空题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)11.问题情境:在中,,,点为边上一点(不与点,重合),交直线于点,连接,将线段绕点顺时针方向旋转得第1页,共7页第2页,共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段(旋转角为),连接.特例分析:如图.若,则图中与全等的一个三角形是________,的度数为________.类比探究:请从下列,两题中任选一题作答,我选择________题. :如图,当时,求的度数; :如图,当时,①猜想的度数与的关系,用含的式子表示猜想的结果,并证明猜想;②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”,其余条件不变,请直接写出的度数(用含的式子表示,不必证明)12.如图,正方形纸片的边长为,点、分别在边、上,将、分别沿、折叠,点、恰好都落在点处,已知,则的长为________.13.在中,为的平分线,于,于,面积是,,,则的长为________.14.在中,,的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为,则等于________.15.如图,平分,于,于,,则图中有________对全等三角形.16.如图,在中,,点从点出发沿射线方向,在射线上运动.在点运动的过程中,连结,并以为边在射线上方,作等边,连结. 当________时,;请添加一个条件:________,使得为等边三角形; ①如图,当为等边三角形时,求证:;②如图,当点运动到线段之外时,其它条件不变,①中结论还成立吗?请说明理由.17.如图,从圆外一点引圆的两条切线,,切点分别为,.如果,,那么弦的长是________.18.如图,在中,,,是的平分线,平分交于,则________.19.阅读下面材料:小聪遇到这样一个有关角平分线的问题:如图,在中,,平分,, 求的长.小聪思考:因为平分,所以可在边上取点,使,连接.这样很容易得到,经过推理能使问题得到解决(如图). 请回答:是________三角形.的长为________.参考小聪思考问题的方法,解决问题: 如图,已知中,,,平分,,.求的长.20.如图,在和中,,,若要用“斜边直角边..”直接证明,则还需补充条件:________.三、解答题(共 7 小题 ,每小题 10 分 ,共 70 分 )21.如图,已知为等边三角形,为延长线上的一点,平分,,求证:为等边三角形.22.尺规作图(不要求写作法,保留作图痕迹)如图,作①的平分线;②边上的中线;22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块,请你用尺规作图作一个三角形,使所得的三角形和原来的三角形全等.(不要求写作法,保留作图痕迹.不能在原图上作三角形)22.如图:在正方形网格中有一个,按要求进行下列画图(只能借助于网格):①画出中边上的高(需写出结论).②画出先将向右平移格,再向上平移格后的.23.平行四边形中,,点为边上一点,连结,点在边所在直线上,过点作交于点.如图,若为边中点,交延长线于点,,,,求;如图,若点在边上,为中点,且平分,求证:;如图,若点在延长线上,为中点,且,问中结论还成立吗?若不成立,那么线段、、满足怎样的数量关系,请直接写出结论.24.如图,直线与轴、轴分别交于、两点,直线与直线关于轴对称,已知直线的解析式为,求直线的解析式;过点在的外部作一条直线,过点作于,过点作于,请画出图形并求证:;沿轴向下平移,边交轴于点,过点的直线与边的延长线相交于点,与轴相交于点,且,在平移的过程中,①为定值;②为定值.在这两个结论中,有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值.25.如图:,,过点,于,于,.求证:.第3页,共7页第4页,共7页26.如图,点,在上,,,,与交于点.求证:;试判断的形状,并说明理由.27.如图,已知点是平分线上一点,,,垂足为、吗?为什么?是的垂直平分线吗?为什么? 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “;” ][ "添加一个条件,可得为等边三角形; 故答案为:;①∵与是等边三角形, ∴,,, ∴, 即, 在与中, , ∴, ∴;②成立,理由如下; ∵与是等边三角形, ∴,,, ∴, 即, 在与中, , ∴, ∴." ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解:是等腰三角形, 在与中,, ∴, ∴,, ∵, ∴, ∴,∴是等腰三角形;" ][ "的长为, ∵中,,, ∴, ∵平分, ∴,在边上取点,使,连接, 则,∴, ∴, ∴,在边上取点,使,连接, 则, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∵,∴." ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明:∵为等边三角形,∴,,即,∵平分,∴,在和中,,∴,∴,,又,∴,∴为等边三角形.22.解:如图所示:;如图所示:即为所求;;①如图所示:即为所求;②如图所示:即为所求;..23.解:如图,在平行四边形中,,∴,∵在中,为的中点,,∴,又∵,∴,故可设,,则中,,解得,∴,又∵,,∴为的中点,∴;如图,延长交的延长线于点,则,∵,∴,又∵平分,∴,∴是等腰直角三角形,∴,又∵,∴,∴,,又∵为的中点,∴,∴,∴,∵,∴;第5页,共7页第6页,共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上,为中点,且,则中的结论不成立,正确结论为:. 证明:如图,延长交的延长线于点,则,∵, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴,,又∵为的中点, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴.24.解:∵直线与轴、轴分别交于、两点, ∴,,∵直线与直线关于轴对称, ∴∴直线的解析式为:;如图..∵直线与直线关于轴对称, ∴,∵与为象限平分线的平行线, ∴与为等腰直角三角形, ∴, ∵, ∴ ∴ ∴,,∴;①对,过点作轴于,直线与直线关于轴对称∵,, 又∵, ∴, 则, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴.25.证明:连接, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵,, ∴, 在和中,∴.26.证明:∵,∴,即.又∵,,∴,∴.解:为等腰三角形理由如下:∵,∴,∴,∴为等腰三角形.27.解:.理由:∵是的平分线,且,,∴,∴;是的垂直平分线.理由:∵,在和中,,∴,∴,由,,可知点、都是线段的垂直平分线上的点,从而是线段的垂直平分线.第7页,共7页。
2021 年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合压轴题》培优提升专项训练1.现有两块等腰直角形三角板,如图,把其中一块三角板A′B′C′的一个锐角顶点B'放在另一块三角板ABC 斜边AB 的中点处,并使三角板A′B′C′绕着点B′旋转.(1)当两块三角板相对位置如图①,即AC 与A′B′交于点D,BC 与B′C′交于点E 时,求证:△AB′D∽△BEB′:(2)当两块三角板相对位置如图②,即AC 边的延长线与A′B′交于点D,BC 与B′C′交于点E 时,△AB′D 与△BEB′还相似吗?(直接给出结论.不需证明)(3)在图②中,连结DE,试探究△AB′D 与△B′ED 是否相似,并说明理由或给出证明.(4)在图①中,若△ABC 改为角C 等于150°的等腰三角形,那么△A′B′C′只要满足∠A′B′C′=°时,仍有△AB′D∽△BEB′.2.已知Rt△ABC 中,AC=BC=2.一直角的顶点P 在AB 上滑动,直角的两边分别交线段AC,BC 于E.F 两点(1)如图1,当=且PE⊥AC 时,求证:=;(2)如图2,当=1 时(1)的结论是否仍然成立?为什么?(3)在(2)的条件下,将直角∠EPF 绕点P 旋转,设∠BPF=α(0°<α<90°).连结EF,当△CEF 的周长等于2+ 时,请直接写出α的度数.3.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6,BC=8,动点P 从A 点出发,沿AC 向点C移动,速度为每秒2 个单位长度,同时,动点Q 从C 点出发,沿CB 向点B 移动,速度为每秒1 个单位长度,当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t 秒.(1)当t=2.5 秒时,求△CPQ 的面积;(2)求△CPQ 的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P、Q 移动的过程中,当t 为何值时,△CPQ 是等腰三角形?4.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P 从点A 出发沿AB方向向点B 运动,速度为1cm/s,同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.(1)求AC、BC 的长;(2)当点Q 在BC 上运动时,若△PBQ 与△ABC 相似,求时间t 的值;(3)当点Q 在CA 上运动,使PQ⊥AB 时,△PBQ 与△ABC 是否相似,请说明理由.5.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,8),sin∠CAB=,E 是线段AB 上的一个动点(与点A、点B 不重合),过点E 作EF∥AC 交BC 于点F,连接CE.(1)求AC 和OA 的长;(2)设AE 的长为m,△CEF 的面积为S,求S 与m 之间的函数关系式;(3)在(2)的条件下试说明S 是否存在最大值?若存在,请求出S 的最大值,并求出此时点E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.6.如图1,等腰△ABC 中,AC=BC,DE∥AB,AD=DE=EB=5,AB=11.一个动点P从点A 出发,以每秒1 个单位长度的速度沿折线AD﹣DE﹣EC 方向运动,当点P 到达点C 时,运动结束,过点P 作PQ⊥AB 于点Q,以PQ 为斜边向右作等腰直角三角形PMQ,设点P 的运动时间为t 秒(t>0).(1)当t=时,点M 落在线段BD 上;当t=时,点P 到达点C;(2)在整个运动过程中,设△PMQ 与△ABD 重叠部分的面积为S,请直接写出S 与t的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围;(3)如图2,当点P 在线段DE 上运动时,线段PQ 与对角线BD 交于点F,作点P 关于BD 的对称点G,连接FG、GQ,得到△FGQ.是否存在这样的t,使△FGQ 是等腰三角形?若存在,求出对应的t 的值;若不存在,请说明理由.7.如图,已知在等腰Rt△ABC 中,∠C=90°,斜边AB=2,若将△ABC 翻折,折痕EF分别交边AC、边BC 于点E 和点F(点E 不与A 点重合,点F 不与B 点重合),且点C 落在AB 边上,记作点D.过点D 作DK⊥AB,交射线AC 于点K,设AD=x,y=cot∠CFE,(1)求证:△DEK∽△DFB;(2)求y 关于x 的函数解析式并写出定义域;(3)联结CD,当=时,求x 的值.8.等边△ABC 的边长为2,P 是BC 边上的任一点(与B、C 不重合),连接AP,以AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE,分别与边AB、AC 交于点M、N(如图1).(1)求证:AM=AN;(2)设BP=x.①若BM=,求x 的值;②记四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;③如图2,当x 取何值时,∠BAD=15°?9.已知:如图①,△ABC 中,AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC.CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线,交BI 延长线于E,联结CI.(1)设∠BAC=2α.如果用α表示∠BIC 和∠E,那么∠BIC=,∠E=;(2)如果AB=1,且△ABC 与△ICE 相似时,求线段AC 的长;(3)如图②,延长AI 交EC 延长线于F,如果∠α=30°,sin∠F=,设BC=m,试用m 的代数式表示BE.10.如图,已知△ABC 是等边三角形,AB=4,D 是AC 边上一动点(不与A、C 点重合),EF 垂直平分BD,分别交AB、BC 于点E、F,设CD=x,AE=y.(1)求证:△AED∽△CDF;(2)求y 关于x 的函数解析式.并写出定义域;(3)过点D 作DH⊥AB,垂足为点H,当EH=1 时,求线段CD 的长.11.(1)问题如图1,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD•BC=AP•BP.(2)探究如图2,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ 时,上述结论是否依然成立?说明理由.(3)应用请利用(1)(2)获得的经验解决问题:如图3,在△ABD 中,AB=6,AD=BD=5,点P 以每秒1 个单位长度的速度,由点A 出发,沿边AB 向点B 运动,且满足∠DPC=∠A,设点P 的运动时间为t(秒),当以D 为圆心,以DC 为半径的圆与AB 相切时,求t 的值.12.已知△ABC 中,∠ABC=90°,点M 为BC 上一点,点E、N 在AC 上,且EB=EM,NM=NC,(1)求证:∠EMN=∠BEC;(2)探究:AE、EN、CN 之间的数量关系,并给出证明;(3)如图2,过点B 作BH∥EM 交NM 的延长线于H,当=n 时,求的值.13.(1)操作发现:如图①,D 是等边△ABC 边BA 上一动点(点D 与点B 不重合),连接DC,以DC 为边在BC 上方作等边△DCF,连接AF.直接写出线段AF 与BD 之间的数量关系.(2)类比猜想:如图②,当△ABC 为以BC 为斜边的等腰直角三角形,D 是△ABC 边BA 上一动点(点D 与点B 不重合),连接DC,以DC 为斜边在BC 上方作等腰直角△FDC,连接AF.请直接写出它们的数量关系.(3)深入探究:Ⅰ.如图③,当△ABC 为以BC 为底边的等腰三角形,D 是△ABC 边BA 上一动点(点D 与点B 不重合),连接DC,以DC 为底边在BC 上方作等腰△FDC,∠BC A=∠DCF,且∠BAC=α,连接AF.线段AF 与BD 之间的有什么数量关系?证明你发现的结论;Ⅱ.如图④,当△ABC 为任意三角形,D 是△ABC 边BA 上一动点(点D 与点 B 不重合),连接DC,以DC 为边在BC 上方作△FDC∽△ABC,且=k,连接AF.线段AF 与BD 之间的有什么数量关系?直接写出你发现的结论.14.已知矩形ABCD 的一条边AD=8cm,将矩形ABCD 折叠,使得顶点B 落在CD 边上的P 点处,已知折痕与边BC 交于点O,连结AP、OP、OA.(1)如图1,若点P 恰好是CD 边的中点,①判断△ADP 与△APO 是否相似,并说明理由;②求边AB 的长;(2)如图2,若△OCP 与△PDA 的面积比为1:4,动点G 从点D 出发以每秒1cm 的速度沿DP 向终点P 运动,同时动点H 从点P 出发以每秒2cm 的速度沿PA 向终点A 运动,运动的时间为t(0<t<5),①求边AB 的长;②问是否存在某一时刻t,使四边形ADGH 的面积S 有最小值?若存在,求出S 的最小值;若不存在,请说明理由.15.在△ABC 中,∠ACB=90°,BE 是AC 边上的中线.(1)如图1,点D 在BC 边上,=,AD 与BE 相交于点P,则的值为;(2)如图2,点D 在BC 的延长线上,BE 的延长线与AD 交于点P,DC:BC:AC=1:2:3.①求的值;②若CD=2,则BP=.16.如图所示,E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点,正方形的边长为4,EF⊥DE 交BC于点F.(1)求证:△ADE∽△BEF;(2)AE=x,BF=y.当x 取什么值时,y 有最大值?并求出这个最大值;(3)已知D、C、F、E 四点在同一个圆上,连接CE、DF,若sin∠CEF=,求此圆直径.答案1.证明:(1)由等腰直角三角形的性质可知:∠A=∠B=∠A′B′C′=45°,∵∠BB′D=∠ADB′+∠A,∠BB′D=∠A′B′C′+∠EB′B,∴∠ADB′=∠BB′D﹣∠A=∠BB′D﹣45°,∠EB′B=∠BB′D﹣∠A′B′C′=∠BB′D﹣45°.∴∠ADB′=∠EB′B.又∵∠A=∠B,∴△AB′D∽△BEB′.(2)相似.如图:理由:由等腰直角三角形的性质可知:∠A=∠B=∠A′B′C′=45°,∵∠BB′D=∠ADB′+∠A,∠BB′D=∠A′B′C′+∠EB′B,∴∠ADB′=∠BB′D﹣∠A=∠BB′D﹣45°,∠EB′B=∠BB′D﹣∠A′B′C′=∠BB′D﹣45°.∴∠ADB′=∠EB′B.又∵∠A=∠B,∴△AB′D∽△BEB′.(3)由(2)可知∴△AB′D∽△BEB′,∴,又∵BB′=AB′,∴,又∵∠A=∠A′B′C′=45°.∴△AB′D∽△B′ED.(4)当∠A′B′C′=15°时,△AB′D∽△BEB′.理由:∵∠C=150°,AC=BC,∴∠A=∠B=15°.∵∠BB′D=∠ADB′+∠A,∠BB′D=∠A′B′C′+∠EB′B,∴∠ADB′=∠BB′D﹣∠A=∠BB′D﹣15°,∠EB′B=∠BB′D﹣∠A′B′C′=∠BB′D﹣15°.∴∠ADB′=∠EB′B.又∵∠A=∠B,∴△AB′D∽△BEB′.2.解:(1)如图1,∵PE⊥AC,∴∠AEP=∠PEC=90°.又∵∠EPF=∠ACB=90°,∴四边形PECF 为矩形,∴∠PFC=90°,∴∠PFB=90°,∴∠AEP=∠PFB.∵AC=BC,∠C=90°,∴∠A=∠B=45°,∴∠FPB=∠B=45°,△AEP∽△PFB,∴PF=BF,=,∴==;(2)(1)的结论不成立,理由如下:连接PC,如图2.∵=1,∴点P 是AB 的中点.又∵∠ACB=90°,CA=CB,∴CP=AP=AB.∠ACP=∠BCP=∠ACB=45°,CP⊥AB,∴∠APE+∠CPE=90°.∵∠CPF+∠CPE=90°,∴∠APE=∠CPF.在△APE 和△CPF 中,,∴△APE≌△CPF,∴AE=CF,PE=PF.故(1)中的结论=不成立;(3)当△CEF 的周长等于2+ 时,α的度数为75°或15°.提示:在(2)的条件下,可得AE=CF(已证),∴EC+CF=EC+AE=AC=2.∵EC+CF+EF=2+ ,∴EF=.设CF=x,则有CE=2﹣x,在Rt△CEF 中,根据勾股定理可得x2+(2﹣x)2=()2,整理得:3x2﹣6x+2=0,解得:x1=,x2=.①若CF=,如图3,过点P 作PH⊥BC 于H,易得PH=HB=CH=1,FH=1﹣=,在Rt△PHF 中,tan∠FPH==,∴∠FPH=30°,∴α=∠FPB=30+45°=75°;②若CF=,如图4,过点P 作PG⊥AC 于G,同理可得:∠APE=75°,∴α=∠FPB=180°﹣∠APE﹣∠EPF=15°.3.解:(1)如图1,过点P,作PD⊥BC 于D.在Rt△ABC 中,AB=6 米,BC=8 米,由勾股定理得:AC=10 米由题意得:AP=2t,则CQ=t,则PC=10﹣2t∵t=2.5 秒时,AP=2×2.5=5 米,QC=2.5 米∴PD=AB=3 米.∴S=QC•PD=3.75 平方米;(2)如图1 过点Q,作QE⊥PC 于点E,∵∠C=∠C,∠QEC=∠ABC,∴Rt△QEC∽Rt△ABC.∴.解得:QE=,∴S=PC•QE=(10﹣2t)•=﹣t2+3t(0<t<5)(3)①当PC=QC 时,PC=10﹣2t,QC=t,即10﹣2t=t,解得t=秒;②当PQ=CQ 时,如图1,过点Q 作QE⊥AC,则CE==5﹣t,CQ=t,由(2)可知△CEQ∽△CBA,故,即,解得t=秒;③当PC=PQ 时,如图2,过点P 作PE⊥BC.∵PQ=PC,PE⊥QC,∴EC=.∴CE=.∵PE⊥QC,∴∠PEC=90°.∴∠PEC=∠ABC.∵∠C=∠C,∠PEC=∠ABC,∴△PCE∽△ACB.∴,即=,解得t=秒.4.解:(1)设AC=4x,BC=3x,在Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2,即:(4x)2+(3x)2=102,解得:x=2,∴AC=8cm,BC=6cm;(2)若△PBQ 与△ABC 相似,由已知条件得:AP=t,BQ=2t,∴PB=10﹣t,①如图1,∠PQB=∠C=90°,∴,即,解得:t=;②如图2,∠QPB=∠C=90°,∴,即,解得:t=>3.综上所述:当t=时,△PBQ 与△ABC 相似;(3)如图3,当点Q 在CA 上运动,使PQ⊥AB 时,以点B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 不相似.理由如下:∵AP=x,∴AQ=14﹣2x,∵PQ⊥AB,∴△APQ∽△ACB,∴=,即:,解得:x=,PQ=,∴PB=10﹣x=,∴==≠,∴当点Q 在CA 上运动,使PQ⊥AB 时,以点B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 不相似.5.解:(1)∵点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,8),∴OB=2,OC=8,在Rt△AOC 中,sin∠CAB==,∴.∴AC=10,∴.(2)依题意,AE=m,则BE=8﹣m,∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC.∴=.即=,∴EF=,过点F 作FG⊥AB,垂足为G,则sin∠FEG=sin∠CAB=,∴=,∴FG=×=8﹣m,∴S=S△BCE﹣S△BFE==﹣m2+4m,自变量m 的取值范围是0<m<8.(3)S 存在最大值.∵S=﹣m2+4m=,且﹣<0,∴当m=4 时,S 有最大值,S 最大值=8,∵m=4,∴点E 的坐标为(﹣2,0),∴△BCE 为等腰三角形.6.解:(1)如图1 中,作DT⊥AB 于T,EN⊥AB 于N,CH⊥AB 于H,MK⊥PQ 于K,则四边形DENT 是矩形,由△DTA≌△ENB,可得DE=NT=PQ=5,AT=BN=3,∵AD=EB=5,∴DT=EN=4,当点M 在BD 上时,∵PK=KQ,KM∥AB,∴DM=MB,易知KM=PK=KQ=2,DP=2,∴t=7 秒时,点M 在BD 上,∵EN∥CH,∴△ENB∽△CHB,∴=,∴=,∴BC=,EC=,∴点P 到达点C 时间为:5+5+ =秒.故答案为7 秒,秒.(2)①如图2 中,作DT⊥AB 于T,当0<t≤5 时,重叠部分是△PQM,∵sin A==,∴PQ=t,∴S=S△PQM=•t•t=t2.②如图3 中,当5<t≤7 时,重叠部分是四边形QMHK.取BD 的中点M′,作M′P′∥PM 交DE 于P′∵KQ∥DT,∴=,∴=,∴KQ=,PK=4﹣=,∵P′M′∥PH,∴=,∴=,∴DH=(t﹣5),∵DK=,∴HK=DH﹣DK=(t﹣5),∴S=S△PMQ﹣S△PKH=4﹣××=﹣t2+t+.③如图4 中,当7<t≤10 时,重叠部分是△QHK.GK,M′G′分别是△QHK、△Q′H′M′的高.由△QHK∽△Q′H′M′,得到,=,∴=,∴GK=,∴S=××=t2﹣t+.④如图5 中,10<t≤时,重叠部分是△QKH.由△QHK∽△Q′H′M′,得=,可得GK={5﹣,∴S=•HQ•GK=•{5﹣2=﹣t+ .综上所述,S=.(3)存在.①如图6 中,当FG=FQ 时,∵PF=FG=FQ=2,∴DP=4,∴t=5+4=9.②如图7 中,当GF=GQ 时,作GK⊥PQ,DN⊥AB 于N.由△DAN∽△GFK,得=,∴=,∴FK=(t﹣5),∵GF=GQ,GK⊥FQ,∴FQ=2FK=,∵PF+FQ=4,∴(t﹣5)+ (t﹣5)=4,∴t=.③如图8 中,当QF=QG 时,作QK⊥GF 于K.DN⊥AB 于N.由△ADN∽△FQK,得到=,∴=,∴FQ=(t﹣5),∵PF+FQ=4,∴(t﹣5)+ (t﹣5)=4,∴t=,综上所述,当△FGQ 是等腰三角形时,t 的值为9s 或s 或s.7.(1)证明:如图1,由折叠可得:∠EDF=∠C=90°,∠DFE=∠CFE.∵△ABC 是等腰直角三角形,∠C=90°,∴∠A=∠B=45°.∵DK⊥AB,∴∠ADK=∠BDK=90°,∴∠AKD=45°,∠EDF=∠KDB=90°,∴∠EKD=∠FBD,∠EDK=∠FDB,∴△DEK∽△DFB;(2)解:∵∠A=∠AKD=45°,∴DK=DA=x.∵AB=2,∴DB=2﹣x.∵△DFB∽△DEK,∴=,∴y=cot∠CFE=cot∠DFE===.当点F 在点B 处时,DB=BC=AB•sin A=2×=,AD=AB﹣BD=2﹣;当点E 在点A 处时,AD=AC=AB•cos A=2×=;∴该函数的解析式为y=,定义域为2﹣<x<;(3)取线段EF 的中点O,连接OC、OD,∵∠ECF=∠EDF=90°,∴OC=OD=EF.设EF 与CD 交点为H,根据轴对称的性质可得EF⊥CD,且CH=DH=CD.∵=,∴sin∠HOC==,∴∠HOC=60°①若点K 在线段AC 上,如图2,∵CO=EF=OF,∴∠OCF=∠OFC=∠HOC=30°,∴y=cot30°=,∴=,解得:x=﹣1;②若点K 在线段AC 的延长线上,如图3,∵OC=OF,∠FOC=60°,∴△OFC 是等边三角形,∴∠OFC=60°,∴y=cot60°=,∴=,解得:x=3﹣;综上所述:x 的值为﹣1 或3﹣.8.(1)证明:∵△ABC、△APD 和△APE 是等边三角形,∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=60°,∠ADM=∠APN=60°,∴∠DAM=∠PAN.在△ADM 和△APN 中,,∴△ADM≌△APN(ASA),∴AM=AN.(2)解:①∵△ABC、△ADP 是等边三角形,∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°,∴∠DAM=∠PAC,∵∠ADM=∠B,∠DMA=∠BMP,∴180°﹣∠ADM﹣∠DMA=180°﹣∠B﹣∠BMP,∴∠DAM=∠BPM ,∴∠BPM=∠NAP,∴△BPM∽△CAP,∴,∵BM=,AC=2,CP=2﹣x,∴4x2﹣8x+3=0,解得x1=,x2=.②∵四边形AMPN 的面积即为四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积,△ADM≌△APN,∴S△ADM=S△APN,∴S 四边形AMPN=S△APM+S△APN=S△AMP+S△ADM=S△ADP.过点P 作PS⊥AB,垂足为S,在Rt△BPS 中,∵∠B=60°,BP=x,∴PS=BP sin60°=x,BS=BP cos60°=x,∵AB=2,∴AS=AB﹣BS=2﹣x,∴AP2=AS2+PS2=(x)2+(2﹣x)2=x2﹣2x+4(0<x<2);∴S=PA2=x2﹣x+(0<x<2).③连接PG,设DE 交AP 于点O.若∠BAD=15°,∵∠DAP=60°.∴∠PAG=45°.∵△APD 和△APE 都是等边三角形.∴AD=DP=AP=PE=EA.∴四边形ADPE 是菱形.∴DO 垂直平分AP.∴AG=GP.∴∠APG=∠PAG=45°.∴∠PAG=90°.设BG=t,在Rt△BPG 中,∠B=60°.∴BP=2t,PG=t.∴AG=PG=t.∴t+t=2.解得t=﹣1.∴BP=2t=2 ﹣2.故,当x=2﹣2 时,∠BAD=15°.9.解:(1)在△BCE 中有:∠E=180°﹣∠BCE﹣∠CBE,又∵AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC.∴CI 是∠ACB 的平分线,∵CE 是∠ACD 的平分线,∴∠ECI 是平角∠BCD 的一半,∴∠ECI=90°,∴∠E=90°﹣∠BCI﹣∠CBI,在△ABC 中,∠BAC=(180°﹣∠ABC﹣∠ACB)=90°﹣∠BCI﹣∠CBE=α,即∠E=α.在三角形BIC 中,由外角性质得到:∠BIC=90°+α,综上所述,∠BIC=90°+α,∠E=α.故填:90°+α,α;(2)由题意易证得△ICE 是直角三角形,且∠E=α.当△ABC∽△ICE 时,可得△ABC 是直角三角形,有下列三种情况:①当∠ABC=90° 时,∵∠BAC=2α,∠E=α;∴只能∠E=∠BCA,可得∠BAC=2∠BCA.∴∠BAC=60°,∠BCA=30°.∴AC=2 AB.∵AB=1,∴AC=2.②当∠BCA=90° 时,∵∠BAC=2α,∠E=α;∴只能∠E=∠ABC,可得∠BAC=2∠ABC.∴∠BAC=60°,∠ABC=30°.∴AB=2 AC.∵AB=1,∴AC=.③当∠BAC=90° 时,∵∠BAC=2α,∠E=α;∴∠E=∠BAI=∠CAI=45°.∴△ABC 是等腰直角三角形.即AC=AB.∵AB=1,∴AC=1.∴综上所述,当△ABC∽△ICE 时,线段AC 的长为1 或2 或.(3)∵∠E=∠CAI,由三角形内角和可得∠AIE=∠ACE.∴∠AIB=∠ACF.又∵∠BAI=∠CAI,∴∠ABI=∠F.又∵BI 平分∠ABC,∴∠ABI=∠F=∠EBC.又∵∠E 是公共角,∴△EBC∽△EFI.在Rt△ICF 中,sin∠F=,设IC=3k,那么CF=4k,IF=5k.在Rt△ICE 中,∠E=30°,设IC=3k,那么CE=3k,IE =6k.∵△EBC∽△EFI.∴==.又∵BC=m,∴BE=m.10.解:(1)证明:如图1,∵EF 垂直平分BD,∴EB=ED,FB=FD.在△BEF 和△DEF 中,,∴△BEF≌△DEF(SSS),∴∠EBF=∠EDF.∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠C=60°,∴∠EDF=60°,∴∠ADE+∠FDC=180°﹣60°=120°.又∵∠AED+∠ADE=180°﹣60°=120°,∴∠AED=∠FDC,∴△AED∽△CDF;(2)∵△ABC 是等边三角形,∴AC=BC=AB=4.∵CD=x,AE=y,∴AD=4﹣x,ED=EB=4﹣y.∵△AED∽△CDF,∴==,∴==,∴DF=,CF=.∵DF+CF=BF+CF=BC=4,∴+=4,整理得:y=(0<x<4);(3)如图2,①H 在线段AE 上时,在Rt△AHD 中,∵AH=AE﹣EH=y﹣1,AD=4﹣x,∠A=60°,∴cos A===,∴y=3﹣x,∴=3﹣x,整理得:x2﹣14x+24=0,解得:x1=2,x2=12,∵0<x<4,∴x=2,②当H 在线段BE 上时,同理可求得x=9﹣即CD 的长为2 或9﹣.11.解:(1)如图1,∵∠DPC=∠A=∠B=90°,∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°,∴∠ADP=∠BPC,∴△ADP∽△BPC,∴=,∴AD•BC=AP•BP;(2)结论AD•BC=AP•BP 仍然成立.理由:如图2,∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.∵∠DPC=∠A=∠B=θ,∴∠BPC=∠ADP,∴△ADP∽△BPC,∴=,∴AD•BC=AP•BP;(3)如图3,过点D 作DE⊥AB 于点E.∵AD=BD=5,AB=6,∴AE=BE=3.由勾股定理可得DE=4.∵以点D 为圆心,DC 为半径的圆与AB 相切,∴DC=DE=4,∴BC=5﹣4=1.∴∠A=∠B,∴∠DPC=∠A=∠B.由(1)、(2)的经验可知AD•BC=AP•BP,∴5×1=t(6﹣t),解得:t1=1,t2=5,∴t 的值为1 秒或5秒.12.解:(1)∵EB=EM,NM=NC,∴∠EBM=∠EMB,∠NMC=∠NCM,∴∠EMB+∠NCM+∠EMN=180°,∵∠EBM+∠NCM+∠BEC=180°,∴∠EMN=∠BEC;(2)如图1,作DE⊥BC,NF⊥BC 分别交BC 于D,F,作GM⊥BC,交AC 于点G,∵EB=EM,∠ABC=90°,∴BD=MD,∴DE 为梯形ABMG 的中位线,∴AE=EG,同理可得CN=NG,∴EG+GN=AE+CN,即EN=AE+CN;(3)如图2,作GM⊥BC,交AC 于点G,作NF∥EM,∴==n,∵AE=EG,CN=NG,∴=n,即NG=CN=nEG,∵NF∥EM,∴=,即=,∴CF=MC,∴MF=MC﹣MC=MC,∵BH∥EM,NF∥EM,∴BH∥NF,∴=,∵=n,即BM=CM,∴==.13.解:(1)∵等边△ABC,等边△DCF,∴FC=DC,AC=BC,∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD=60°,∴∠FCA=∠DCB,在△FCA 和△DCB 中,,∴△FCA≌△DCB,∴BD=AF;(2)∵(1)∵△ABC 是等腰直角三角形,△DCF 是等腰直角三角形,∴=,=,∴=,∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD=45°,∴∠FCA=∠DCB,∴△FCA∽△DCB,∴=;(3)Ⅰ.∵△ABC 为以BC 为底边的等腰三角形,△FDC 为以DC 为底边的等腰三角形,∠BCA=∠DCF,∴△ABC∽△FDC,∴=,∠ACF=∠BCD,∴△BCD∽△ACF,∴=,如图③,作AP⊥BC,==2sin∠BAC=2sin α,∴=2sinα;Ⅱ、∵△FDC∽△ABC,∴,∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠FCA=∠DCB,∴△FCA∽△DCB,∴==k.14.解:(1)①∵点P 恰好是CD 边的中点,设DP=PC=y,则DC=AB=AP=2y,在Rt△ADP 中,AD2+DP2=AP2,即:82+y2=(2y)2,解得:y=,∵∠OPA=∠B=90°,∴△ADP∽△PCO,∴AD:PC=DP:CO,∴8:y=y:CO,则AC==,∴OB=8﹣=,∵AB=2y=,∴tan∠OAB==,∴∠OAB=30°;∴∠OAP=∠DAP=30°,∵∠OPA=∠D=90°,∴△ADP∽△APO;②由①可知AB=,(2)∵△ADP∽△PCO,△OCP 与△PDA 的面积比为1:4,∴=,即DP=2CO,=.AD=2PC,∵AD=8,∴PC=4,在RT△ADP 中,AP2=AD2+DP2,∵AP=DC=AB,∴AB2=64+(AB﹣4)2,解得AB=10.②∵GP=6﹣t,PH=2t,设△GPH 的高为h,则有h=•2t=.∴S 四边形ADGH=S△ADP﹣S△GHP=DP•DA﹣GP•h=×8×6﹣×(6﹣t)×t=(t﹣3)2+,∴当t=3 时,四边形ADGH 的面积S 有最小值为.15.解:(1)如图1,作DF∥AC 交BE 于F,∴==,∴===,故答案为:;(2)①如图2,作CH∥AD 交BP 于H,∴=,又AE=EC,∴CH=AP,∵CH∥AD,∴==,∴=;②∵DC:BC:AC=1:2:3,CD=2,∴BC=4,AC=6,EC=AC=3,由勾股定理得,BE=5,∵CH∥AD,AE=EC,∴HE=EP,设HE=EP=x,则BH=5﹣x,BP=5+x,∵CH∥AD,∴=,即=,解得x=1,则BP=5+x=6.16.(1)证明:∵∠DEF=90°,∴∠AED+∠BEF=90°,又∠AED+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠BEF,又∠A=∠B,∴△ADE∽△BEF;(2)解:∵△ADE∽△BEF,∴=,又AE=x,BF=y,AD=4,∴=,解得,y=﹣x2+x=﹣(x﹣2)2+1,∴当x=2 时,y 有最大值,最大值为1;(3)解:∵D、C、F、E 四点共圆,∴∠CEF=∠CDF,∴sin∠CEF=sin∠CDF==,又CD=4,∴DF=5,∵∠DCF=90°,∴DF 为此圆直径,∴此圆直径为5.。
全等三角形证明题(经典38题)(方法)1.(方法:巧做辅助线)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证:CD=BD+AB.2.(方法:巧做辅助线)如图所示,在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF,EF交BC于G.求证:EG=FG。
3.(方法:巧做辅助线)如图,已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD,求证:AD=BC.4.图,∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点,求证:AM⊥CD.5.(方法:巧做辅助线)如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90°,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90°,连结AE、BF。
求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF。
6.(方法:巧做辅助线)如图,在△ABC中,AB=AC,E在线段AC上,D在AB的延长线,连D E交BC于F,过点E作EG⊥BC于G.(1)若∠A=50°,∠D=30°,求∠GEF的度数;(2)若BD=CE,求证:FG=BF+CG.7.(方法:火眼金睛找条件)如图所示,∠BAC=∠DAE=90°,M是BE的中点,AB=AC,AD=AE,求证:(1)CD=2AM,(2)AM⊥CD.8.(方法:火眼金睛找条件)已知:如图,点C为线段AB上一点,△ACM, △CBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM交CN于点F.(1)求证:AN=BM;(2)求证:△CEF为等边三角形9.(方法:火眼金睛找条件)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E为BC的中点,过点E 作EF∥AD交AB于点G,交CA的延长线于点F.求证:BG=CF.FDE CBA(2)10.(方法:巧做辅助线)如图,AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F 是CD 的中点, 求证:AF ⊥CD.11.(方法:巧做辅助线)如图,在正方形ABCD 中,M 、N 分别是BC 、CD 上的点,∠MAN=45°. 求证:MB+ND=MN .12.(方法:巧做辅助线)已知:如图,ABCD 是正方形,∠FAD=∠FAE .求证:BE+DF=AE .13.(方法:火眼金睛找条件)如图E 为正方形ABCD 边BC 的中点,F 为DC 的中点,BF 与AE 有何关系?请解释你的结论。
一、选择题 1.如图,△ABC≌△ADE,AB=AD,AC=AE,∠B=28,∠E=95,∠EAB=20,则
∠BAD等于( )
A.75 B.57
C.55 D.77
2.如图,OM、ON、OP分别是AOB,BOC,AOC的角平分线,则下列选项
成立的( )
A.AOPMON B.
AOPMON
C.AOPMON D.以上情况都有可能
3.芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁,
2020年9月29日公路段投入运营,其侧面示意图如图所示,其中ABCD,现添加以
下条件,不能判定ABCABD△≌△的是( )
A.ACBADB B.
ABBD C.ACAD D.
CABDAB
4.如图,,,ABADCBCDACBD、相交于点O,则下列说法中正确的个数是( )
①ODOB;②点O到CBCD、的距离相等;③BDABDC;④BDAC
A.4 B.3 C.2 D.
1
5.MAB为锐角,ABa,点C在射线AM上,点B到射线AM的距离为d,
BCx,若△ABC的形状、大小是唯一确定的,则x的取值范围是( )
A.xd或xa≥ B.xa≥ C.xd D.xd或
xa
6.用三角尺画角平分线:如图,先在AOB的两边分别取OMON,再分别过点
M,N作OA,OB的垂线,交点为P.得到OP平分AOB的依据是( )
A.HL B.SSS C.SAS D.
ASA
7.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A.直角三角形两锐角互余 B.全等三角形对应角相等
C.两直线平行,同位角相等 D.角平分线上的点到角两边的距离相等
8.如图,在ABC中,90C,AD是BAC的角平分线,E是边AB上一点,若
6CD,则DE的长可以是( )
A.1 B.3 C.5 D.7 9.下列说法不正确的是( ) A.三边分别相等的两个三角形全等
相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。
1.下列四组线段中,不可以构成三角形的是( )A .4,5,6B .1.5,2,2.5C .13,14,15D .1,2,3 2.若一个三角形的三边长分别为3,7,x ,则x 的值可能是( )A .6B .3C .2D .113.如图,ABC 中,BC 边上的高是( )A .AEB .ADC .CD D .CF4.如图,在ABC 中,55A ∠=︒,65C =︒∠,BD 平分ABC ∠,//DE BC ,则BDE ∠的度数是( )A .50°B .25°C .30°D .35°5.如图,//AB CD ,40C ∠=︒,60A ∠=︒,则F ∠的度数为( )A .10°B .20°C .30°D .40°6.如果一个三角形的三边长分别为5,8,a .那么a 的值可能是( )A .2B .9C .13D .157.如图,在ABC 中,B C ∠=∠,D 为BC 边上的一点,点E 在AC 边上,ADE AED ∠=∠,若10CDE ∠=︒,则BAD ∠的度数为( )A .20°B .15°C .10°D .30°8.三角形的两条边长为3和7,那么第三边长可能是( )A .1B .4C .7D .109.下列每组数分别三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形的是( )A .3,4,8cm cm cmB .7,8,15cm cm cmC .12,13,22cm cm cmD .10,10,20cm cm cm10.如图,在五边形ABCDE 中,AB ∥CD ,∠A =135°,∠C =60°,∠D =150°,则∠E 的大小为( )A .60°B .65°C .70°D .75°11.下列四个图形中,线段CE 是ABC 的高的是( )A .B .C .D .二、填空题12.在一个三角形中,若其中一个内角的度数是另一个内角的2倍,则我们称这个三角形为“倍角三角形”.已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°,则其它两个内角的度数分别是_______.13.已知ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,则a b c b c a c a b --+--+-+=______. 14.如图,BD 是ABC 的中线,点E 、F 分别为BD 、CE 的中点,若AEF 的面积为23cm ,则ABC 的面积是______2cm .15.如图,五边形ABCDE 中,//AE BC ,则C D E ∠+∠+∠的度数为__________.16.多边形每一个内角都等于108°,多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条. 17.过n 边形的一个顶点有9条对角线,则n 边形的内角和为______.18.如图,飞机P 在目标A 的正上方,飞行员测得目标B 的俯角为30°,那么APB ∠的度数为______°.19.如图,,AE AD 分别是△ABC 的高和角平分线,且6B 3︒∠=,6C 7︒∠=则DAE ∠的度数为__.20.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =_____.21.如图,线段AD ,BE ,CF 两两相交于点H ,I ,G ,分别连接AB ,CD ,EF .则三、解答题22.已知,a ,b ,c 为ABC 的三边,化简|a ﹣b ﹣c|﹣2|b ﹣c ﹣a|+|a+b ﹣c|. 23.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度.(1)求这个多边形的边数;(2)求这个多边形的对角线的总条数.24.如图BC 平分∠ABE ,DC 平分∠ADE ,求证:∠E+∠A=2∠C25.已知:180,BDG EFG B DEF ∠+∠=︒∠=∠.(1)如图1,求证://DE BC .(2)如图2,当90A EFG ∠=∠=︒时,请直接写出与C ∠互余的角.1.如图,//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为( )A .70︒B .80︒C .90︒D .100︒2.如图,在ABC 中,55A ∠=︒,65C =︒∠,BD 平分ABC ∠,//DE BC ,则BDE ∠的度数是( )A .50°B .25°C .30°D .35°3.内角和为720°的多边形是( ).A .三角形B .四边形C .五边形D .六边形4.一个多边形的内角和外角和之比为4:1,则这个多边形的边数是( )A .7B .8C .9D .105.下列每组数分别三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形的是( )A .3,4,8cm cm cmB .7,8,15cm cm cmC .12,13,22cm cm cmD .10,10,20cm cm cm6.将一副三角板如图放置,使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板(60B ∠=)的斜边AB 上,两块三角板的直角边交于点M .如果75BDE ∠=,那么AMD ∠的度数是( )A .75°B .80°C .85°D .90°7.已知直线//a b ,含30角的直角三角板按如图所示放置,顶点A 在直线a 上,斜边BC 与直线b 交于点D ,若135∠=︒,则2∠的度数为( )A .35︒B .45︒C .65︒D .75︒ 8.如图,已知,,90,//AD BC FG BC BAC DE AC ⊥⊥∠=︒.则结论①//FG AD ;②DE 平分ADB ;③B ADE ∠=∠;④CFG BDE ∠+∠90=︒.正确的是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .②③④ 9.某多边形的内角和是其外角和的3倍,则此多边形的边数是( )A .5B .6C .7D .810.如图,王师傅用六根木条钉成一个六边形木框,要使它不变形,至少还要再钉上________根木条( )A .2B .3C .4D .511.如图,105DBA ∠=︒,125ECA ∠=︒,则A ∠的度数是( )A .75°B .60°C .55°D .50°二、填空题12.如图,五边形ABCDE 中,//AE BC ,则C D E ∠+∠+∠的度数为__________.13.如图1,△ABC 中,有一块直角三角板PMN 放置在△ABC 上(P 点在△ABC 内),使三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C .若∠A =52°,则∠1+∠2=__________;14.已知三角形三边长分别为m ,n ,k ,且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=,则这个三角形最长边k 的取值范围是________.15.如果三角形两条边分别为3和5,则周长L 的取值范围是________16.如图所示,在ABC 中,80A ∠=︒,延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A 点,1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于A 点,依此类推,4A BC ∠与4A CD ∠的平分线相交于5A 点,则5A ∠的度数是_________.17.如图,,AE AD 分别是△ABC 的高和角平分线,且6B 3︒∠=,6C 7︒∠=则DAE ∠的度数为__.18.如图,将长方形纸片的一角折叠,使顶点A 落在F 处,折痕为BC ,FBD ∠的角平分线为BE ,将FBD ∠沿BF 折叠使BE ,BD 均落在FBC ∠的内部,且BE 交CF 于点M ,BD 交CF 于点N ,若BN 平分CBM ∠,则ABC ∠的度数为_________.19.已知等腰三角形的一边长等于11cm ,一边长等于5cm ,它的周长为______. 20.如图,已知AE 是ABC 的边BC 上的中线,若8AB cm =,ACE △的周长比AEB △的周长多2cm ,则AC =______cm .21.如图,AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线,且76B ∠=︒,36C ∠=︒,则DAE ∠的度数为_________.三、解答题22.△ABC 中,三个内角的平分线交于点O ,过点O 作OD ⊥OB ,交边BC 于点D . (1)如图1,猜想∠AOC 与∠ODC 的关系,并说明你的理由;(2)如图2,作∠ABC 外角∠ABE 的平分线交CO 的延长线于点F .①求证:BF ∥OD ;②若∠F =35°,求∠BAC 的度数.23.如图,所有小正方形的边长都为1个单位,A 、B 、C 均在格点上.(1)过点A 画线段BC 的垂线,垂足为E ;(2)过点A 画线段AB 的垂线,交线段CB 的延长线于点F ;(3)线段BE 的长度是点 到直线 的距离;(4)线段AE 、BF 、AF 的大小关系是 .(用“<”连接)24.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度.(1)求这个多边形的边数;(2)求这个多边形的对角线的总条数.25.如图,在BCD △中,D 为BC 上一点,12∠=∠,34∠=∠,60BAC ∠=︒,求DAC ∠,ADC ∠的度数.1.已知实数x 、y 满足|x -4|+ 8y -=0,则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形周长是( )A .20或16B .20C .16D .18 2.若过六边形的一个顶点可以画n 条对角线,则n 的值是( )A .1B .2C .3D .43.下列长度的三条线段能构成三角形的是( )A .1,2,3B .5,12,13C .4,5,10D .3,3,6 4.如图,ABC 中,BC 边上的高是( )A .AEB .ADC .CD D .CF5.如图,在ABC 中,55A ∠=︒,65C =︒∠,BD 平分ABC ∠,//DE BC ,则BDE ∠的度数是( )A .50°B .25°C .30°D .35°6.在多边形的一边上任取一点(不是顶点),将这个点与多边形的各顶点连接起来,可以将多边形分割成8个三角形,则该多边形的边数为( )A .8B .9C .10D .117.将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形,则原多边形的边数为( )A .9B .10C .11D .以上均有可能 8.如果一个三角形的两边长分别为4和7,则第三边的长可能是( )A .3B .4C .11D .129.下列说法正确的有( )个从其中一个顶点出发连接其余各顶点,可以画出()3n -条对角线,这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形.A .3B .2C .1D .010.某多边形的内角和是其外角和的3倍,则此多边形的边数是( )A .5B .6C .7D .811.做一个三角形的木架,以下四组木棒中,符合条件的是( )A .3cm,2cm,1cmB .3cm,4cm,5cmC .6cm,6cm,12cmD .5cm,12cm,6cm二、填空题12.如图,点D 在ABC 的边BA 的延长线上,点E 在BC 边上,连接DE 交AC 于点F ,若3117DFC B ∠∠==︒,C D ∠=∠,则BED ∠=________.13.如果三角形的三边长分别为5,8,a ,那么a 的取值范围为__.14.三角形有两条边的长度分别是5和7,则第三边a 的取值范围是_____.15.已知ABC 的高为AD ,65BAD ∠=︒,25CAD ∠=︒,则BAC ∠的度数是_______. 16.鹿鸣社区里有一个五边形的小公园,如图所示,王老师每天晚饭后都要到公园里去散步,已知图中的∠1=95︒,王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ,一直到F 时,他在行程中共转过了_____度.17.ABC 中,,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ,,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点18.如图,△ABC 中,D 为BC 边上的一点,BD :DC=2:3,△ABC 的面积为10,则△ABD 的面积是_________________19.如图,ABC 面积为1,第一次操作:分别延长,,AB BC CA 至点111,,A B C 使111,,A B AB B C BC C A CA ===顺次结111,,A B C ,得到111A B C △,第二次操作:分别延长111111,,A B B C C A 至点222A B C ,使211121112111,,A B A B B C B C C A C A ===,顺次连结222,,A B C ,得到222A B C △…,按此规律,则333A B C △的面积为_______.20.如图,P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点,过点P 作PQ //BC ,交DE 于点Q ,则∠EPQ 的度数为_____.21三、解答题22.如图,△ABC 中,∠ABC 的角平分线与外角∠ACD 的平分线交于A 1.(1)∵BA 1、CA 1是∠ABC 与∠ACD 的平分线,∴∠A 1BD =12∠ABD ,∠A 1CD =12∠ACD , ∴∠A 1CD ﹣∠A 1BD =12(∠ACD ﹣∠ABD ), ∵∠A 1CD ﹣∠A 1BD = ,∠ACD ﹣∠ABD =∠ ,∴∠A 1= .(2)如图2,四边形ABCD 中,∠F 为∠ABC 的角平分线及外角∠DCE 的平分线所在的直线构成的角,若∠A +∠D =230°,求∠F 的度数.(3)如图3,△ABC 中,∠ABC 的角平分线与外角∠ACD 的平分线交于A 1,若E 为BA 延长线上一动点,连接EC ,∠AEC 与∠ACE 的角平分线交于Q ,当E 滑动时有下面两个结论: ①∠Q +∠A 1的值为定值;②∠Q ﹣∠A 1的值为定值,其中有且只有一个是正确的,请写出正确的结论,并求出其值.23.如图,在ABC 中,ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点P ,根据下列条件,求BPC ∠的度数.(1)若40ABC ∠=︒,60ACB ∠=︒,则BPC ∠=______;(2)若110ABC ACB ∠+∠=︒,则BPC ∠=______;(3)若90A ∠=︒,则BPC ∠=______;(4)从以上的计算中,你能发现已知A ∠,求BPC ∠的公式是:BPC ∠=______(提示:24.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度. (1)求这个多边形的边数;(2)求这个多边形的对角线的总条数.25.在ABC 中,,20A B C A B ∠+∠=∠∠-∠=︒, (1)求A ∠,B ,C ∠的度数;(2)ABC 按角分类,属于什么三角形ABC 按边分类,属于什么三角形?。
等腰三角形培优专题(含答案)今天一起来探索一个特别有趣的数学小世界——等腰三角形。
你知道吗,等腰三角形就像一个有着独特魅力的小魔法师,在数学的王国里藏着好多好多奇妙的秘密!想象一下,有一个三角形,它,有两条边就像一对双胞胎一样,长得一模一样长。
这就是等腰三角形!比如说,生活中常见的红领巾,它的形状就是等腰三角形。
你看,把红领巾展开,它那两条长长的边是不是差不多一样长?这就是等腰三角形在生活中的一个小例子。
那等腰三角形还有什么特别的地方?它有一个很重要的特点,就是两个底角也相等。
就好像双胞胎不光长得像,脾气性格也很像一样。
来举个小例子哈,假如有一个等腰三角形,其中一个底角是60度,那另一个底角也是60度,因为它们是相等的。
下面来做个小游戏,看看你对等腰三角形是不是真的了解。
有一个等腰三角形,它的顶角是80度,那它的底角是多少度?这时候,就可以用一个小窍门来算。
因为三角形的内角和是180度,等腰三角形的两个底角又相等,所以用180度减去顶角的80度,剩下的100度再平均分成两份,每份就是50度,也就是这个等腰三角形的底角是50度。
再来看一道稍微难一点点的题哈。
有一个等腰三角形,它的一条边长是4厘米,另一条边长是8厘米,那它的周长是多少?这里,得注意,等腰三角形有两条边是相等的。
如果相等的两条边是4厘米,那4 + 4 = 8厘米,这两条边加起来和另一条边一样长,这样可围不成一个三角形。
所以,相等的两条边只能是8厘米,那它的周长就是8 + 8 + 4 = 20厘米。
下面就是答案揭晓时间!刚才那两道题的答案都已经算出来了。
第一道题底角是50度,第二道题周长是20厘米。
是不是感觉自己又学会了好多新知识?等腰三角形是不是很有趣?只要多观察、多思考,就能发现数学世界里更多的奇妙之处!加油,以后还会遇到更多好玩的数学知识!。
四年级数学下册三角形及四边形的角度计算培优专项练习(含答案)1.算出下面各个未知角的度数。
2.三角形ABC是等边三角形,已知∠1=38°,求∠2的度数。
3.算出下面各个未知角的度数(写出计算过程)。
4.求∠1的度数。
5.已知∠1=85°,求∠2的度数。
6.求下图中∠1的度数。
7.求出下图中∠1的度数。
8.求下列图形角的度数。
9.求∠1的度数。
10.在下图中,∠1=126°,∠3=24°,求∠2的度数。
11.填一填,画一画。
(1)三角形ABC是()角三角形。
(2)看∠1=58°,则∠2=()°。
(3)以AC为底。
画出三角形ABC的高。
12.如图,把三角形ABC的边BC延长到点D。
(1)∠3和∠4拼成的是什么角?(2)你能说明∠1+∠2=∠4吗?参考答案:1、解:180°-134°=46°180°-46°-65°=134°-65°=69°【分析总结】该题目结合平角、三角形内角和,利用减法即可解答。
2、解:三角形ABC是等边三角形,则∠ACB=60°;∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°∠2=180°-∠1-∠ACD=180°-38°-120°=142°-120°=22°【分析总结】该题目利用等边三角形每个内角60°的性质,结合平角、三角形的内角和,再用180°依次减角即可解答。
3、解:(1)∠1=180°-135°-20°=45°-20°=25°(2)∠2=180°-90°-45°=90°-45°=45°【分析总结】如下图,∠1等于180°减去135°和20°,∠2等于180°减去90°和45°,即可解答。
三角形提高培优经典题题
1.如图,四边形ABCD 中,∠A =∠C =90°,BE 、DF 分别是∠A BC 、∠A DC 的平分线.
(1)∠1与∠2有何关系,为什么? (2)BE 与DF 有何关系?请说明理由.
2.已知:∠A=∠C=90°.
(1)如图,若DE 平分∠ADC,BF 平分∠ABC 的外角,问DE 与BF 的位置关系,并证明;
(2)如图,若BF 、DE 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角,问BF 与DE 的位置关系并证明.
3.如图,AC 、BD 相交于点O,BE 、CE 分别平分∠ABD 、∠ACD,且交于点E,求证:
∠E=1/2(∠A+∠D)
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
F
E O
E D
C
B A
4.如图,∠AEB 、∠AFD 的平分线相交于O 点,求证:∠EOF=1/2(∠DAB+∠BCD).
5.在 △ABC 中,∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点P,求证:
3
2
1
F
E
D
C
B A
∠P =90°+
1
2
∠A 6.如图,∠ACD 是△ABC 的外角,BP 平分∠ABC ,CP 平分∠ACD ,且BP 、CP 交于
点P . 求证:∠P =
1
2
∠A . O
F
E D
C
B
A
B
B
8.在平面直角坐标系中,B 为x 轴负半轴上一点,A 为第二象限内的点. (1)如图,PB 、PO 分别平分∠ABO 、∠AOB, ∠A=70°,则∠BPO= ;
(2)如图,将△ABO 沿x 轴向右平移后可得△COD,PB 、PD 分别平分∠ABO 、∠CDO.
∠A=α,求∠BPD,
(3)如图,直线OA 与直线ED 交于C ,MA 、MB 分别平分∠OAB 、∠OBA,NC 、ND 分别平分∠OCD 、∠ODE,试探究∠AMB 与∠CND 有何确定的数量关系,并说明理由.
x
y
P
O
A B x
y
D
P
C O
A
B
x
y E N
D M O
C
A B
9如图,三角形ABC 内任一点P ,连接PA 、PB 、PC , 求证:1/2(AB+BC+AC )<AP+BP+CP<AB+AC+BC
10已知三角形ABC 中,∠A=52◦,三条高所在直线的交点为H ,求∠BCH 的度数。
11如图,已知三角形ABC 的三个内角平分线交于点I ,IH⊥BC 于H ,求证∠CIH >∠CAD
12。
1}一个等腰三角形的一个外角等于110˚,则这个三角形的三个角应该为 。
2}在⊿ABC 中,AB = AC ,周长为20cm ,D 是AC 上一点,⊿ABD 与⊿BCD 面积相等且周长差为3cm ,⊿ABC 各边的长为 。
A
B
C
P
13、如图,已知△ABC 中,∠C=90°,AC=1.5BC ,在AC 上取点D ,使得AD=0.5BC ,量得BD=1cm ,求△ABD 的面积。
14.如图,在七星形ABCDEFG 中,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数。
6、如图,△ABC 中,∠C >∠B ,AE 为角平分线,AD ⊥BC 于D 。
(1)求证:∠EAD =
2
1
(∠C -∠B) ; (2)当垂足D 点在直线BC 上运动时(不与点E 重全),垂线交直线AE 于A ’,其它条件不变,画出相应的图形,并指出与(1)相应的结论是什么?是否仍成立?
15、如图,△ABC 中,AD 是高,AE ,BF 是角平分线,它们相交于点O ,∠CAB =50°,∠C =60°,求∠DAC 及∠
BOA .
16.观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论,并
B
E
C
A
D
说明理由。
(1)如图①,△ABC 中,P 为边BC 上一点,试观察比较BP + PC 与AB + AC
的大小,并说明理由。
图①
(2)将(1)中点P 移至△ABC 内,得图②,试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由。
C B A P
图②
(3)将(2)中点P 变为两个点P 1、P 2得图③,试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由。
C B A P 1P 2
图③
(4)将(3)中的点P 1、P 2移至△ABC 外,并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异
侧,且∠P 1BC <∠ABC ,∠P 2CB <∠ACB ,得图④,试观察
比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明
理由。
C
B
A
P 12
(5)若将(3)中的四边形BP 1P 2C 的顶点B 、C 移至△ABC 内,得四边形B 1P 1P 2C 1,如图⑤,试观察比较四边形B 1P 1P 2C 1的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由。
C B
A
P 1
P 2
B 1
C 1
图⑤
17.如图1、2,AB ∥CD ,直线a 分别交AB 、CD 于点E 、F ,点M 在EF 上,P 是直线CD 上的一个动点,(点P 不与F 重合)
①在图1中,若∠1=50°,∠3=30°,求∠2的度数 ②在图1中,当点P 在射线FC 上移动时,∠2+∠3=∠1成立吗?请说明理由;
③在图2中,当点P 在射线FD 上移动时,∠4+∠5与∠1有什么关系?说明理由
18、四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索,我们还会发现更多的结论.
(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个三角形(如图①),其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗?试试看.
已知:在四边形ABCD 中,O 是对角线BD 上任意一点.(如图①)
求证:S
△OBC •S
△OAD
=S
△OAB
•S
△OCD
;
(2)在三角形中(如图②),你能否归纳出类似的结论?若能,写出你猜想的结论,并证明:若不能,说明理由.。