数学知识点人教A版数学必修二 第4章第4.1.1节 《圆的标准方程》教学过程设计-总结

必修二第四章 4.1.1 圆的标准方程教学目标1.知识与技能：（1）掌握圆的标准方程的形式；；（2）能够根据题目给定条件求圆的标准方程；（3）能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。

2.过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。

从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。

经历公理的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。

使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足点、直线、平面以及它们之间的关系，培养学生分析问题、解决问题的能力3.情感态度价值观：（1）空间教学的核心问题是让学生了解圆的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。

培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想重点难点1.教学重点：圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程；2.教学难点：根据条件求圆的标准方程一、引入新课知识链接：1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式．那么车轮为何设计为圆形，而不是其他的形状？师生活动：若是方形，走起来颠簸，不舒服；不是圆形，转不起来.正是圆，可以让车轮上的每一点到轴心的距离相等，才保证了轮子转起来而不颠簸.【设计意图】从身边的实例引入，激发学生学习兴趣，也为复习圆的定义做好铺垫. 问题1：什么是圆？问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？ 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 二、探究新知问题4：已知圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r是常数，0r ），如何确定圆的方程？方程的一般步骤．(1)建立适当的直角坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意点M (2)写出适合条件P 的点M 的集合P={M|P(M)|}；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f (x ，y )=0； (4)化方程f (x ，y )=0为最简形式；(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程．师生活动：师生共同完成圆的标准方程推导（1）建系设点：由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C 是定点，可设(,)C a b 、半径r ，且设圆上任一点M 坐标为(,)x y ． （2）写点集：根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．（3r =. （4）化简方程：将上式两边平方得：222)()(r b y a x =-+-．方程222()()x a y b r -+-=就是圆心是(,)C a b 、半径是r 的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法,有学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．三、理解新知圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为(,)A a b ，半径为r ．特别地，当圆心为原点O (0,0),圆的标准方程为222x y r+= 强调：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且0r >，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决．【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫． 基础检测：1. 说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点,半径为3 (2) 圆心在点C (3, -4), 半径为7 (3)经过点P (5,1)，圆心在点C (8,-3)2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径： (1) (x + 7)2 + ( y - 4)2 = 36 (2) (x - a )2 + y 2 = m 2 （0≠m ） (3) x 2 + y 2 - 4x + 10y + 28 = 0【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系．四、运用新知例1 写出圆心为)3,2(-A ,半径长等于5的圆的方程，并判断点)1,5(),7,5(21---M M 是否在这个圆上．分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手． 解：圆心是(2,3)A -，半径长等于5的圆的标准方程是 22(2)(3)25x y -++= 把点1(5,7),M -的坐标代人方程22(2)(3)25x y -++=，左右两边相等，点1(5,7)M -的坐标适合圆的方程，所以点1(5,7)M -在这个圆上；把点21)-的坐标代人方程22(2)(3)2x y -++，左右两边不相等，点21)-的坐标不适合圆的方程，所以点21)- 不在这个圆上． 【设计意图】通过对圆的标准方程的直接应用，培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．探究：怎样判断点),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上？圆内？还是圆外？（1r >⇔222()()x a y b r -+->⇔点在圆外（2r =⇔222()()x a y b r -+-=⇔点在圆上（3r <⇔222()()x a y b r -+-=⇔点在圆内 【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论,培养学生分析问题、解决问题的能力． 变式训练：1.点)5,(m P 与圆2522=+y x 的位置关系（ ）Ａ．在圆外 Ｂ．在圆上 Ｃ．在圆内 Ｄ．在圆上或圆外 2.求经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)的圆的标准方程．3.求圆心为)1,2(-且与直线0543=+-y x 相切的圆的标准方程． 【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程．例2 ABC ∆的三个顶点的坐标是)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程． 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程222)()(r b y a x =-+- 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定r b a ,,三个参数．还可以先求圆心（是线段AB 和线段BC 的中垂线的交点），然后求半径，代入圆的标准方程．解法一：设所求圆的方程是222)()(r b y a x =-+- (1)因为)8,2(),3,7(),1,5(--C B A 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-222222222)8()2()3()7()1()5(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒532r b a所以，ABC ∆的外接圆的方程为 25)3()2(22=++-y x ． 解法二：（师生共同完成）因为)3,7(),1,5(-B A ，所以线段AB 的中点D 的坐标为)1,6(-，直线AB 的斜率2-=AB k ， 因此线段AB 的垂直平分线1L 的方程是 )6(211-=+x y ， 即 082=--y x ， 同理可得线段BC 的垂直平分线2L 的方程是 01=++y x圆心M 的坐标是方程组 ⎩⎨⎧=++=--01082y x y x 的解．解此方程组，得 ⎩⎨⎧-==32y x ，所以圆心M 的坐标是)3,2(-． 圆心M 的圆的半径长 5)31()25(||22=++-==AM r ．所以，ABC ∆的外接圆的方程为 25)3()2(22=++-y x ．总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2得出ABC ∆外接圆的标准方程的两种求法：方法一：代数法—待定系数法； 方法二：几何法—数形结合．【设计意图】结合例2的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比较两种方法的优劣．例3 已知圆心为C 的圆经过点)2,2()1,1(-B A 和，且圆心C 在直线上01:=+-y x l ，求L 1圆心为C 的圆的标准方程．解法一：因为(1,1)A ，(2,2)B -，所以线段AB 的中点D 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率21321AB k --==--． 因此线段AB 的垂直平分线m 的方程是y x +=- 即330x y --=．圆心C 的坐标是方程组33010x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解．解此方程组，得32x y =-⎧⎨=-⎩ ，所以圆心C 的坐标是()3,2--圆心为C 的圆的半径长5r AC ===．所以圆心为C 的圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=． 解法二：设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=．由题意得 222222(1)(1)(2)(2)10a b r a b ra b ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+=⎩， 解得23225a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 所以所求圆的方程是22(3)(2)25x y +++=．【设计意图】结合对例2的理解，找两位同学分别用两种不同的方法到黑板上解该题，让学生体会根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程，并比较两种方法的优劣，同时学生爬黑板板书解题过程，以规范学生的解题步骤．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：（1）圆的标准方程的结构特点． （2）点与圆的位置关系的判定． (3) 求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②几何法. 2．思想：数形结合的思想．教师总结: 圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．【设计意图】加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1.阅读教材 P118-120；2．书面作业必做题：P124 习题4.1 A组2，3选做题：P124 习题4.1 B组 3七、板书设计。

第四章 § 4.1 圆的方程4.1.1　圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点一　圆的标准方程思考1　确定一个圆的基本要素是什么？答案　圆心和半径.思考2　在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？答案　能.1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.知识点二　点与圆的位置关系思考　点A(1,1)，B(4,0)，同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？答案　|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2题型探究 重点难点 个个击破类型一　求圆的标准方程例1　(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )DA.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析　∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25___________________.解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________.跟踪训练1　求下列圆的标准方程：(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；解　设圆心(0，b)，得b＝0或－8，所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；解　因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.即5x＋7y－50＝0上，解得圆心坐标为(3,5)，故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上.解　线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，令y＝0，则x＝2，∴圆心坐标为(2,0)，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.类型二　点与圆的位置关系例2　(1)点P (m 2 , 5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.不确定解析　由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24，∴点P 在圆外.(2)已知点M (5 ＋1， )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是____.解得0≤a <1.B [0,1)跟踪训练2　已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围(－∞，－1)∪(1，＋∞)是________________________.解析　由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，2a2－2>0，即a<－1或a>1，类型三　与圆有关的最值问题例3　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，(2)求y－x的最大值和最小值；解设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，(1)x2＋y2的最值；解　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，(2)x＋y的最值.解　令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，达标检测 41231.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )DA.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.A2.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )A.－1<a<1B.0<a<1C.a>1或a<－1D.a＝±1解析　∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1.1 3.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是____.解析　x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知，1234解析答案4.圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为__________________.解析　由题意知圆心坐标为(2，－3)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.(x －2)2＋(y ＋3)2＝5规律与方法1.判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线长是半径长.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.返回。

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（ ）A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（ ）A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=；（2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<；（3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径r 圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等.（2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间2.问题探究探究一 圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一。