第二课时 圆周角定理的推论2,3

圆心角圆周角定理推论笔记一、圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等二、圆周角定理推论：圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。

③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。

（不在同圆或等圆中其实也相等的。

注：仅限这一条。

）④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

⑥在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。

三、圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

这个定点叫做圆的圆心。

图形一周的长度，就是圆的周长。

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。

1、弦：连接圆上任意两点的线段。

2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周角定理的推论2，3要害问答①圆周角定理的推论有哪些？②圆的内接四边形有什么性质？1．从下列三角尺与圆弧的位置干系中，可鉴别圆弧为半圆的是()A B C D图3－4－152.①如图3－4－16，AB是⊙O的直径，C，D是圆周上的两点．已知AC＝7，BC＝24，AD＝15，则BD＝________．图3－4－163.②如图3－4－17，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BAD＝110°，则∠C的度数是________．图3－4－17命题点1利用圆周角的推论2举行谋略与证明[热度：99%]4.③如图3－4－18，▱ABCD的极点A，B，D在⊙O上，极点C在⊙O的直径BE上，相连AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是()图3－4－18A．44° B．54° C．72° D．53°要领点拨③求与圆有关的角的度数时，一般环境下，都是利用圆周角定理及其推论1.特殊地，当题中有直径出现时，往往要用到“直径所对的圆周角是直角”这一性质.5.④如图3－4－19，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，若AB＝8，∠ABC＝30°，则弦AD的长为()图3－4－19A. 3 B．4 3 C．2 3 D．8要领点拨④见直径，布局直径所对的圆周角.6．2019·咸宁如图3－4－20，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )图3－4－20A ．6B ．8C ．5 2D ．5 37.⑤如图3－4－21，半径为3的⊙A 议决原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 的值为( )图3－4－21A.13 B ．22 C.24 D.223要领点拨⑤求一个不在直角三角形中的锐角的三角函数值，一般思路为：布局含有这个角(或与这个角相等的角)的直角三角形，再根据三角函数的定义求解.8．⑥如图3－4－22，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，相连AE ，ED ，则下列结论中不一定正确的是( )图3－4－22A ．AE ⊥BCB ．BE ＝EC C ．ED ＝EC D ．∠BAC ＝∠EDC 知识链接⑥等腰三角形三线合一．9．已知：如图3－4－23，△ABC 的极点都在⊙O 上，AB 为直径，∠CBA 的中分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，相连AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ； (2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值． 图3－4－23命题点 2 圆内接四边形的相关谋略与证明 [热度：92%]10．如图3－4－24所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是弧CD 上一点，且DF ︵＝BC ︵，相连CF 并延长交AD 的延长线于点E ，相连AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )图3－4－24A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°11.⑦如图3－4－25，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝________．图3－4－25要领点拨⑦谋略弦长，通常需要布局直角三角形，再借助勾股定理或三角函数求解.12．已知：如图3－4－26，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD ，BC 相交于点E ，F 是BD 延长线上的点，且DE 中分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长．图3－4－2613.⑧如图3－4－27所示，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且∠D ＝∠E .(1)求证：∠D ＝∠CBE ； (2)求证：CB ＝CE ；(3)设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，求证：△ADE 为等边三角形．图3－4－27要领点拨⑧欲证明一个三角形是等边三角形，可以证明这个三角形的三条边相等或三个角相等或证明这个三角形是有一个角是60°的等腰三角形.14.⑨如图3－4－28，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧AmB 上的任一点(点C ，D 均不与点A ，B 重合)．(1)求∠ACB 的度数； (2)求△ABD 的最大面积．图3－4－28解题突破⑨(1)题中出现半径长和弦长，要遐想到垂径定理，再想办法利用边的干系求角的度数； (2)要求△ABD 的最大面积，AB 是定值，只需使AB 边上的高最大即可. 15.⑩⑪如图3－4－29，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4.P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( )图3－4－29A .12B ．2C .81313D .121313解题突破⑩根据三角形内角和与已知条件求出∠APB ＝90°，由圆周角定理的推论鉴别出动点P 的轨迹为以AB 为直径的圆在△ABC 内的弧，则可把标题转化为圆外一点与圆上动点的隔断最值标题．要领点拨⑪在动态标题中求两点之间隔断的最值标题，一般应先确定动点的运动纪律，再运用相关知识求解.16.⑫如图3－4－30，A ，P ，B ，C 是⊙O 上四点，∠APC ＝∠CPB ＝60°. (1)鉴别△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)当点P 位于什么位置时，四边形PBOA 是菱形？并说明理由； (3)求证：PA ＋PB ＝PC.图3－4－30要领点拨⑫探索结论成立的条件，可采取逆向思维，由果索因.详解详析1．B[剖析] 只有B选项相符圆周角为90°时，所对的弦为直径，由此可知该弧为半圆．故选B.2．20[剖析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵AC＝7，BC＝24，∴AB ＝25.∵AD＝15，∴BD＝20.3．70°[剖析] ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＋∠C＝180°.∵∠BAD＝110°，∴∠C＝70°.4．B[剖析] ∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC＝90°－∠AEB＝54°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝54°.故选B.5. B[剖析] 相连BD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC.∵∠ADC＝∠ABC，∠ABC＝30°，∴∠ADC＝30°，∴∠BAD＝30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB·cos30°＝8×32＝4 3.故选B.6．B[剖析] 如图，延长AO交⊙O于点E，相连BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝AE2－BE2＝102－62＝8.故选B.7．C [剖析] 相连CD. ∵∠DOC ＝90°， ∴CD 是⊙A 的直径．在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2， 则OD ＝CD 2－OC 2＝42， ∴tan ∠CDO ＝OC OD ＝24.由圆周角定理，得∠OBC ＝∠CDO ， ∴tan ∠OBC ＝tan ∠CDO ＝24.故选C . 8．D [剖析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵AB ＝AC ，∴BE ＝EC ，∠BAE ＝∠CAE ，∠B ＝∠C ， ∴BE ︵＝ED ︵，∴BE ＝ED ， ∴ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ， ∴∠EDC ＝∠B.故选D .9．解：(1)证明：∵BD 中分∠CBA ， ∴∠CBD ＝∠DBA.∵∠DAC 与∠CBD 都是CD ︵所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA. (2)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵DE ⊥AB 于点E ， ∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠DBA ＋∠EDB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠DBA ＝∠CBD ＝∠DAP ， ∴PD ＝PA.∵∠DFA ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°，且∠ADE ＝∠DAC ， ∴∠PDF ＝∠DFA ， ∴PD ＝PF ，∴PA ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．(3)∵∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°， ∴△FDA ∽△ADB ，∴AD BD ＝AFAB .在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ＝AF AB ＝15210＝34，即tan ∠ABF ＝34.10．B [剖析] 因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－105°＝75°.因为DF ︵＝BC ︵，所以∠DCE ＝∠BAC ＝25°.因为∠ADC ＝∠DCE ＋∠E ，所以∠E ＝∠ADC －∠DCE ＝75°－25°＝50°.故选B .11．4 3 [剖析] 相连OD ，OB ，过点O 作OF ⊥BD ，垂足为F. ∵OF ⊥BD ，∴DF ＝BF ，∠DOF ＝∠BOF. ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠C ＝180°.∵∠C ＝2∠A ，∴∠A ＝60°，∴∠BOD ＝120°， ∴∠BOF ＝60°. ∵OB ＝4，∴BF ＝OB·sin ∠BOF ＝4×sin 60°＝2 3， ∴BD ＝2BF ＝4 3.12．解：(1)证明：如图，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∠2＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝∠2.又∵∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC ＝∠4，∴AB ＝AC.(2)∵∠3＝∠4＝∠ABE ，∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB ， ∴AB AE ＝AD AB. ∵AB ＝AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，∴AE ＝AB 2AD ＝92 cm ，∴DE ＝92－2＝52(cm )．13．证明：(1)∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC ＋∠D ＝180°. 又∵∠ABC ＋∠CBE ＝180°， ∴∠D ＝∠CBE.(2)∵∠D ＝∠CBE ，∠D ＝∠E ， ∴∠CBE ＝∠E ， ∴CB ＝CE.(3)设BC 的中点为N ，相连MN. ∵MB ＝MC ，∴MN ⊥BC ， ∴圆心O 在直线MN 上．又∵AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，∴OM ⊥AD ， 即MN ⊥AD ，∴BC ∥AD ， ∴∠A ＝∠CBE.又∵∠CBE ＝∠D ，∠D ＝∠E ， ∴∠A ＝∠D ＝∠E ， ∴△ADE 为等边三角形．14．解：(1)相连OA ，OB ，过点O 作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE.在Rt △AOE 中，OA ＝2，AE ＝3，∴sin ∠AOE ＝32， ∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°.又∵∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.∵四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ， 则S △ABD ＝12×23·DF.显然，当DF 议决圆心O 时，DF 取得最大值，从而S △ABD 取得最大值，此时DF ＝DO＋OF ＝DO ＋OE ＝2＋2sin 30°＝3，∴S △ABD ＝12×23×3＝33，即△ABD 的最大面积是3 3.15．B [剖析] 如图，∵AB ⊥BC ， ∴∠ABP ＋∠PBC ＝90°. ∵∠PAB ＝∠PBC ， ∴∠ABP ＋∠PAB ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的⊙E 上，当点C ，P ，E 在一条直线上时，CP 长取最小值，此时由勾股定理，得CE ＝32＋42＝5，CP ＝CE －PE ＝5－3＝2.故选B .16．解：(1)△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC. 又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．(2)当点P 是AB ︵的中点时，四边形PBOA 是菱形．理由：如图①，相连OP.∵∠AOB ＝2∠ACB ＝120°，P 是AB ︵的中点，∴∠AOP ＝∠BOP ＝60°.又∵OA ＝OP ＝OB ，∴△OAP 和△OBP 均为等边三角形，∴OA ＝AP ＝OB ＝PB ， ∴四边形PBOA 是菱形．(3)如图②，在PC上截取PD＝AP.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∵∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP＝AD，∴△APB≌△ADC，∴PB＝DC.∵PD＝PA，∴PC＝PA＋PB.[要害问答]①同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的对角互补．第 11 页。

《圆周角（第二课时）》教案直径所对的圆周角都相等（都是直角）.直径是特殊的弦，那么对于一般情况的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？有没有和第一条推论类似的结论呢？即同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？我们来研究“同弦”的情形（“等弦”与“同弦”类似）：弦AC所对的圆周角都相等吗？我们任意画出弦AC所对的几个圆周角：∠B，∠D，∠E，∠F.问题1:请同学们观察这四个角，思考这些圆周角的大小关系.这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方.其中两对角的关系：∠B=∠F，∠D=∠E.问题2:能否用学过的知识加以证明呢？通过观察我们可以发现，∠B和∠F的顶点在弦的上方，它们都对着同一条弧：劣弧ADC，由圆周角定理的第一条推论可知，同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠F.∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着同一条优弧ABC.所以同理可得：∠D=∠E.问题3: ∠B与∠D的关系呢？也相等吗？不一定相等.只有当弦AC是直径时，由圆周角定理的第二条推论：直径所对的圆周角都是直角，∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时，∠B与∠D 不相等.我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前，我们先来观察四边形ABCD有什么特点？它的四个顶点都在圆上，四个内角都是圆周角，四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢？引出圆内接四边形的定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.概念辨析：如下图所示，四边形ACBO是不是圆内接四边形？请同学们自己画一个圆，再画出它的任意一个内接四边形，测量一组对角的度数，并猜想：圆内接四边形ABCD 的对角有什么关系.可能有同学已经有了猜想：圆内接四边形ABCD 的对角互补. 证明：连接OA ，OC .性质：圆内接四边形的对角互补.延伸：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.再回到最开始的问题，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗?正确答案是：相等或互补.圆的内接四边形也可以扩展到圆的内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.180.A C ∠+∠=︒同理：12360∠+∠=︒又，()112=180.2B D ∴∠+∠=∠+∠︒112B ∠=∠，122D ∠=∠，7min巩固练习例1 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB= ，则∠ACB=_______.变式：当∠AOB为时，∠ACB =_______.当∠AOB为时，∠ACB=_______.小结：不同于圆内接四边形，四边形ACBO的三个顶点在圆上，一个顶点为圆心，若练习如图，点A，B是⊙O上两点，C为⊙O上任一点，若∠AOB= ，则∠ACB= __________.下面请同学们试一试这道提高题吧.例2如图,在圆内接四边形ABCD中,(1)求证：(2)求四边形ABCD的面积.解答如下：（1）证明证法一：连接BD.100︒__________.AOB ACBα∠=∠=，则1802α︒-35145︒︒或70︒100︒α60.AB AD BAD AC a=∠=︒=，，60ACD∠=︒；ABD∴∆是等边三角形.60AB AD BAD=∠=︒，，证法二： ︵AB =︵AD ，四边形ABCD 是圆内接四边形，（2）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O . 又5min拓展提升（一）平行四边形请同学们画一个圆内接平行四边形，观察一下你画出的平行四边形有什么特点？1.画一个圆；2.画一条弦AD ；3.画AD 的平行线段BC ，使BC = AD ，点B 在圆上；4.平行移动线段BC ，使点C 落在圆上. 此时，四边形ABCD 即为圆内接平行四边形..CD E DE BC AE =延长至点，使，连接.AE AC ∴=60,.ACD ACE ∠=︒∴∆又是等边三角形.AC a =23.4ABCD S a =四边形即AB AD =，.ACB ACD ∴∠=∠180.BCD BAD ∴∠+∠=︒60BAD ∠=︒又，120.BCD ∴∠=︒160.2ACD BCD ∴∠=∠=︒∴.ADE ABC ∴∠=∠.AD AB DE BC ==，ABC ACDABCD S S S ∆∆∴=+四边形.ADE ACD ACE S S S ∆∆∆=+=.ADE ABC ∴∆≅∆.ADE ABC ∆≅∆2133.224ACE S a a a ∆∴=⋅⋅=接下来我们看一下演示视频.观察图形，圆内接平行四边形是矩形.这是我们的猜想，还需要进行证明.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴圆内接平行四边形是矩形.（二）菱形研究思路与圆内接平行四边形是一样的.因为圆内接平行四边形是矩形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以圆内接菱形就是有一组邻边相等的矩形，即正方形.∴圆内接菱形是正方形.请同学们课下探究圆内接梯形.1min课堂小结下面我们对本节课所学的知识进行小结，在今天这节课上，我们利用圆周角性质，研究了圆内接四边形的定义、性质及应用.定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.第二个图不是圆内接四边形，但也是很重要的基本图形.性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.180.A C∴∠+∠=︒.A C∴∠=∠18090.2A︒∴∠==︒1.如图，AB为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，若，则∠BCD 的度数是_________.2.如图，已知∠EAD 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，并且BD =DC . 求证：AD 平分∠EAC .知能演练提升一、能力提升1.如图,☉O 中,OC ⊥AB ,∠APC=28°,则∠BOC 的度数为( )A.14°B.28°C.42°D.56°2.如图,A 是☉O 上一点,BC 是直径,AC=2,AB=4,点D 在☉O 上且平分BC ⏜,则DC 的长为( )A.2√2B.√5C.2√5D.√103.如图,AB 是☉O 的直径,点C ,D ,E 在☉O 上,若∠AED=20°,则∠BCD 的度数30AOD ∠=︒为()A.100°B.110°C.115°D.120°⏜=AD⏜,AC交BD于点G.若∠4.如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,ABCOD=126°,则∠AGB的度数为()A.99°B.108°C.110°D.117°5.如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C 重合),BD与OA交于点E.设∠AED=α,∠AOD=β,则()A.3α+β=180°B.2α+β=180°C.3α-β=90°D.2α-β=90°⏜的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的6.如图,☉O的半径为5,AB为弦,点C为AB长为.(第6题图)7.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为.⏜=BC⏜=AC⏜,点P为劣弧BC⏜上的一点.8.如图,已知AB(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC.⏜上一点(点C不★9.如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,并且点C是优弧AmB与点A,B重合).设∠OAB=α,∠C=β.(1)当α=35°时,求β的度数;(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.二、创新应用★10.我们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫做圆周角.因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB⏜和AC⏜的度数有什么关系?的度数与它所夹的两段弧BD(1)请把你的结论用文字表述为(不能出现字母和数字符号):.(2)证明你的结论.知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.B如图,连接AC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠AED=20°,∴∠ACD=20°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°,故选B.4.B5.D6.5√3如图,连接OC,OA,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.⏜的中点,∵AB为弦,点C为AB∴OC⊥AB..在Rt△OAE中,AE=5√32∴AB=5√3.7.88°∵AB=AC=AD,∴∠ABC=∠ACB,点B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆周上, ∴∠BDC=1∠BAC,2∠CAD=2∠CBD.∵∠BAC=44°,∴∠BDC=22°,∵∠CBD=2∠BDC=44°,∴∠CAD=88°.⏜=BC⏜=AC⏜,8.(1)解∵AB∴AB=BC=AC.∴∠BAC=60°.又∠BPC+∠BAC=180°,∴∠BPC=120°.(2)证明如图,在PA上截取PD=PC,连接DC,∵AB=AC=BC,∴∠APB=∠APC=60°.∴△PCD为等边三角形.∴∠ADC=120°.又∠CAD=∠PBC,且AC=BC,∴△ACD≌△BCP.∴AD=PB.∴PA=AD+PD=PB+PC.9.解(1)如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=35°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°.∴β=∠C=1∠AOB=55°.2(2)α与β之间的关系是α+β=90°.证法一:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=α,∴∠AOB=180°-2α.∴β=∠C=1∠AOB2=1(180°-2α)=90°-α.2∴α+β=90°.证法二:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠AOB=2∠C=2β.过点O作OD⊥AB于点D,则OD平分∠AOB,∴∠AOD=1∠AOB=β.2在Rt△AOD中,∠OAD+∠AOD=90°,∴α+β=90°.证法三:如图,延长AO交☉O于点E,连接BE,则∠E=∠C=β.∵AE是☉O的直径,∴∠AOE=180°,∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠E=90°,即α+β=90°.二、创新应用10.分析本题是一道结论探索题,解题的关键是如何将圆外角∠DPB与圆周角联系⏜所对的圆周角,∠DAB是BD⏜所对的圆周角,再根据三角起来.不妨连接AD,这时∠D是AC形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和找到这三个角的联系,从而使问题解决.解(1)圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.(2)如图,连接AD,则∠DPB=∠DAB-∠D.因为∠DAB=12×BD ⏜的度数,∠D=12×AC ⏜的度数, 所以∠DPB=12×(BD⏜的度数-AC ⏜的度数), 即圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.。