重庆市育才中学2016高三下学期第一次月考数学理试题 word含答案

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣1＜x＜4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．[0，2]C．{0，2}D．（0，2）2．已知复数z＝，则（）A．z的虚部为﹣1B．z的实部为1C．|z|＝2D．z的共轭复数为1+i3．已知向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．4．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知某个几何体的三视图如图（正视图的弧线是半圆，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+8πB．60πC．288+72πD．288+36π6．某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是，则a＝（）A．7B．6C．5D．47．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0上的定点为圆心，半径r＝4，圆C的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝168．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③9．数列{a n}满足a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝，则a1a2a3…a10＝（）A．B．C．D．10．函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．11．已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，2e]C．[﹣，2e]D．[，+∞）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13．＝．14．已知，设，则a1+a2+…+a n＝．15．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．三、解答题：共7小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求二选一作答.17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝bc．（1）若tan B＝，求；（2）若B＝，b＝2，求BC边上的中线长．18．某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是，且每次投篮的结果互不影响．（1）假设这名队员投篮5次，求恰有2次投中的概率；（2）假设这名队员投篮3次，每次投篮，投中得1分，未投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外一次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为队员投篮3次后的总的分数，求ξ的分布列及期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP ＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥PD；（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣D的余弦值．20．已知椭圆＝1（a＞b＞0）右焦点F（1，0），离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为M，N．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围；21．已知函数f（x）＝alnx﹣2x，g（x）＝aln（x+1）+2e x﹣（a+2）x﹣2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在以O 为极点．x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐b标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求△PAB面积的最大值．23．已知函数f（x）＝|x+a|+|2x+a|，（a∈R）（1）若f（1）＞3，求实数a的取值范围；（2）求证：f（﹣m）+f（）≥6．（m∈R）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣1＜x＜4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．[0，2]C．{0，2}D．（0，2）【分析】由集合的交集的定义，即由两集合的公共元素构成的集合，即可得到所求集合．解：集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣1＜x＜4，x∈Z}，可得A∩B＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}＝{0，1，2}．故选：A．2．已知复数z＝，则（）A．z的虚部为﹣1B．z的实部为1C．|z|＝2D．z的共轭复数为1+i【分析】化简已知复数可得其虚部，可得答案．解：化简可得z＝＝＝＝﹣1﹣i，∴z的虚部为﹣1，故选：A．3．已知向量，，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【分析】设向量和的夹角为θ，由条件求出的坐标，由cosθ＝求出cosθ的值，再由θ的范围求出θ的值．解：设向量和的夹角为θ，∵，，∴＝（4，2）﹣2（1，1）＝（2，0）．cosθ＝＝＝，再由0≤θ≤π，可得θ＝，故选：C．4．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案．解：由ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，得，即a＞2＞b＞1，∴；反之，由，不一定有ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，如a＝﹣2，b＝﹣1．∴“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．5．已知某个几何体的三视图如图（正视图的弧线是半圆，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+8πB．60πC．288+72πD．288+36π【分析】由三视图还原原几何体，该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，再由柱体体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，∴该几何体的体积是V＝，故选：D．6．某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是，则a＝（）A．7B．6C．5D．4【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S＝，k＝5时，由题意此时应该满足条件，退出循环输出S的值，则可求a的值．解：初始条件S＝1，k＝1；运行第一次，S＝1+＝，k＝2；运行第二次，S＝+＝，k＝3；运行第三次，S＝+＝，k＝4；运行第四次，S＝+＝，k＝5，要输出的值是，必须条件满足，停止运行，所以k＞4？，可求a的值为4．故选：D．7．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0上的定点为圆心，半径r＝4，圆C的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝16【分析】带有参数的直线，先整理可得恒过定点，由题意可得圆心坐标，由题意进而求出圆的方程．解：由（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0，可得（2x+y+2）m+（x+y）＝0，所以直线过的交点，解得：x＝﹣2，y＝2，即直线过定点（﹣2，2），则所求圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝16．故选：A．8．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m，n一定垂直，故②正确；若m⊥α，n∥β且α∥β，则m，n一定垂直，故③正确；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m，n可能相交、平行也可能异面，故④错误故选：D．9．数列{a n}满足a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝，则a1a2a3…a10＝（）A．B．C．D．【分析】根据条件，再写一式，两式相减，确定数列的通项，即可求a1a2a3…a10的值．解：n＝1时，a1＝∵∴n≥2时，两式相减可得2n﹣1a n＝∴a n＝n＝1时，也满足∴a1a2a3…a10＝＝＝故选：A．10．函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得g（x）的解析式，再利用用三角函数的周期性，得出结论．解：根据函数的部分图象，可得A＝1，由图知．点是五点作图的第二个点，则，∴f（x）＝cos（2x﹣），∴，易知y＝g（x）与的最小正周期相同，均为，故选：A．11．已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据条件和面积公式得出a，c的关系，从而得出离心率的范围．解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则＝•|PF1|•r，＝•|PF2|•r，＝•|F1F2|•r，∵有成立，∴|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|，由双曲线的定义可知：|PF1|﹣|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴a≤c，即，∴双曲线的离心率的范围是：．故选：B．12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，﹣]B．[﹣，2e]C．[﹣，2e]D．[，+∞）【分析】设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），推导出k＝﹣，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．解：∵函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，∴设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），∴2e﹣kx＝2lnx+2e，∴k＝﹣，，由k′＝0，得x＝e，∵≤x≤e2，∴x∈[，e）时，k′＜0，k＝﹣是减函数；x∈（e，e2]时，k′＞0，是增函数，∴x＝e时，k＝﹣；x＝e2时，k＝﹣＝﹣；x＝时，k＝﹣，∴k min＝﹣，k max＝﹣＝2e．∴实数k的取值范围是[﹣，2e]．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13．＝2π．【分析】根据定积分的定义，找出根号函数f（x）＝的几何意义，计算即可．解：，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π故答案为：2π．14．已知，设，则a1+a2+…+a n＝1023．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n＝10，再分别令x＝1、x＝2，可得a1+a2+…+a n的值．解：∵已知，∴n＝10，∵，即（3x﹣4）10＝a0+a1（x ﹣1）+a2（x﹣1）2+…a10（x﹣1）10，令x＝1，可得a0＝1；再令x＝2，可得1+a1+a2+…+a n＝210，∴a1+a2+…+a n＝210﹣1＝1023，故答案为：1023．15．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，分别求出每一种情况的选法数目，由分类计数原理计算可得答案．解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32＝9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32＝9种选法，则一共有9+9＝18种选法；故答案为：1816．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．【分析】由已知可证AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEF，可得△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，从而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，解得当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，即可求得tan∠BPC的值解：显然BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF，所以△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，所以，当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC＝＝＝，三、解答题：共7小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求二选一作答.17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝bc．（1）若tan B＝，求；（2）若B＝，b＝2，求BC边上的中线长．【分析】（1）求出sin A，sin B，利用＝，得出结论；（2）求出BC，利用余弦定理可得结论．解：（1）由余弦定理可得cos A＝＝，∴sin A＝，∵tan B＝，∴sin B＝，∴＝＝；（2）B＝，b＝2，A＝，∴BC＝2，∴BC边上的中线长＝＝．18．某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是，且每次投篮的结果互不影响．（1）假设这名队员投篮5次，求恰有2次投中的概率；（2）假设这名队员投篮3次，每次投篮，投中得1分，未投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外一次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为队员投篮3次后的总的分数，求ξ的分布列及期望．【分析】（1）根据二项分布求出即可；（2）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6，求出概率，列出分布列，求出期望．【解答】解（1）设X为队员在5次投篮中投中的次数，则X～B（5，），在5次投篮中，恰有2次投中的概率P（X＝2）＝；（2）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6P（ξ＝0）＝；P（ξ＝1）＝3；P（ξ＝2）＝；P（ξ＝3）＝；P（ξ＝6）＝；ξ的分布列为：ξ01236PEξ＝＝19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP ＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥PD；（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣D的余弦值．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥PD．（2）设F（a，b，c），由BF⊥AC，求出F（），求出平面ABF的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），＝（0，1，1），＝（0，2，﹣2），＝0+2﹣2＝0，∴BE⊥PD．解：（2）∵F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，∴设F（a，b，c），＝，λ∈[0，1]，则（a，b，c﹣2）＝（2λ，2λ，﹣2λ），∴F（2λ，2λ，2﹣2λ），∴＝（2λ﹣1，2λ，2﹣2λ），＝（2，2，0），∵BF⊥AC，∴＝2（2λ﹣1）+2•2λ＝0，解得，∴F（），＝（1，0，0），＝（），设平面ABF的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（0，﹣3，1），平面ABD的法向量＝（0，0，1），设二面角F﹣AB﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角F﹣AB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆＝1（a＞b＞0）右焦点F（1，0），离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为M，N．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围；【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，即可求出；（2）讨论①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设出直线AB的方程，可得CD的方程，分别代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由四边形的面积公式，结合基本不等式即可得到取值范围．解：（1）由题意：c＝1，＝，∴a＝，b＝c＝1，则椭圆的方程为+y2＝1；（2）①当两直线一条斜率不存在一条斜率为0时，S＝|AB|•|CD|＝×2×＝2②当两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），将其带入椭圆方程整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝|x1﹣x2|＝同理，|CD|＝，则S＝|AB|•|CD|＝××＝＝＝2﹣∈[，2），当k＝±1时，S＝综上所述四边形面积范围是[，2]．21．已知函数f（x）＝alnx﹣2x，g（x）＝aln（x+1）+2e x﹣（a+2）x﹣2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断出函数的单调区间，结合g（x）≥0恒成立，确定a的范围即可．解：（1）由题知f′（x）＝（x＞0），①当a≤0时，恒有f′（x）＜0，得f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，由f′（x）＝0，得x＝，在上，有f′（x）＞0，f（x）单调递增；在上，有f′（x）＜0，f（x）单调递减．（2）由题知g′（x）＝（x≥0），由x≥0时，恒有e x≥x+1≥1，知g′（x）≥，①当﹣1≤0，即a≤2时，g′（x）≥0恒成立，即g（x）在x≥0上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝0（合题意）；②当﹣1≤0时，即a＞2时，此时导函数有正有负，且有g′（0）＝0，由g′（x）＝﹣a﹣2，得g″（x）＝﹣，且g″（x）在x≥0上单调递增，当a＞2时，﹣1＞0，＝1，g''（0）＝2﹣a＜0，﹣1＞0，故g′（x）在上存在唯一的零点x0，当x∈[0，x0）时，g''（x）＜0，即g′（x）在x∈（0，x0）上递减，此时g′（x）≤g′（0）＝0，知g（x）在x∈（0，x0）上递减，此时g（x）＜g（0）＝0与已知矛盾（不合题意）；综合上述：满足条件的实数a的取值范围a≤2．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在以O 为极点．x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐b标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的关系式，根据一元二次方程根和系数的关系和点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）将方程（α为参数），消去参数α得x2+y2﹣4x﹣12＝0，∴曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0，将x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式可得：ρ2﹣4ρcosθ＝12，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣12＝0．（2）设A，B两点的极坐标分别为，，由，消去θ得，根据题意可得ρ1，ρ2是方程的两根，∴，ρ1ρ2＝﹣12，∴，∵直线l的普通方程为，∴圆C的圆心（2，0）到直线l的距离为，圆C的半径为r＝4，∴．23．已知函数f（x）＝|x+a|+|2x+a|，（a∈R）（1）若f（1）＞3，求实数a的取值范围；（2）求证：f（﹣m）+f（）≥6．（m∈R）【分析】（1）对a分3种情况去绝对值，解不等式再相并；（2）利用绝对值不等式可基本不等式可证．解：（1）不等式f（1）＞3即为|a+1|+|a+2|＞3．当a＜﹣2时，﹣2a﹣3＞3，得a＜﹣3；当﹣2≤a≤﹣1时，1＞3，无解；当a＞﹣1时，2a+3＞3，得a＞0．所以不等式f（1）＞3的解集为{a|a＜﹣3或a＞0}．（2）证明：f（﹣m）+f（）＝|﹣m+a|+|﹣2m+a|+|+a|+|+a|＝（|﹣m+a|+|+a|）+（|﹣2m+a|+|+a|）|≥|m+|+|2m+|≥2+4＝6．。

重庆市大学城一中2016-2017学年高二下学期第一次月考试卷（理科数学）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ﹣i 与2+bi 互为共轭复数，则（a+bi ）2=（ ）A ．5﹣4iB ．5+4iC ．3﹣4iD ．3+4i2．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+1的导函数为偶函数，则a=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知f （x ）=则f （x ）dx 处的值为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣4．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，…的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为 （ ）A ．nB ．n+1C ．2nD ．2n ﹣15．若函数y=f （x ）在点x=1处的导数为1，则=（ ）A ．2B ．1C ．D ．6．等差数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f （x ）=+12x+1的极值点，则log 2a 2016（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．57．某人进行了如下的“三段论”推理：如果f′（x 0）=0，则x=x 0是函数f （x ）的极值点，因为函数f （x ）=x 3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f （x ）=x 3的极值点．你认为以上推理的（ ）A ．小前提错误B ．大前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确8．若关于x 的不等式x 3﹣3x 2﹣9x+2≥m 对任意x ∈[﹣2，2]恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，7]B ．（﹣∞，﹣20]C ．（﹣∞，0]D ．[﹣12，7]9．设函数f （x ）的导函数为f′（x ），对任意x ∈R 都有f （x ）＞f′（x ）成立，则（ ）A ．3f （ln2）＞2f （ln3）B ．3f （ln2）=2f （ln3）C ．3f （ln2）＜2f （ln3）D ．3f （ln2）与2f （ln3）的大小不确定10．已知函数f （x ）=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞）；点P （m ，n ）表示的平面区域为D ，若函数y=log a （x+4）（a ＞1）的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（3，+∞）D ．[3，+∞）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．观察下表则前 行的个数和等于20152．12．抛物线y=x 2在x=2处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲边图形的面积为 ．13．已知z 1=a+（a+1）i ，z 2=﹣3b+（b+2）i （a ，b ∈R ），若z 1﹣z 2=4，则a+b= ．14．若函数f （x ）=x 3﹣mx 2﹣x+5在区间（0，1）内单调递减，则实数m 的取值范围是 ．15．已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （1）=3，且f （x ）的导数f′（x ）＜2x+1，则不等式f （2x ）＜4x 2+2x+1的解集为 ．三．解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （x ∈R ）的图象经过原点，且f （﹣1）=2和f （1）=﹣2分别是函数f （x ）的极大值和极小值．（Ⅰ）求a ，b ，c ，d ；（Ⅱ）过点A （1，﹣3）作曲线y=f （x ）的切线，求所得切线方程．17．已知函数f （x ）=x 2﹣2a 2lnx （a ＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若函数f （x ）在定义域上没有零点，求实数a 的取值范围．18．已知，其中t ∈C ，且为纯虚数．（1）求t 的对应点的轨迹；（2）求|z|的最大值和最小值．19．设a ＞0，b ＞0，2c ＞a+b ，求证：（1）c 2＞ab ；（2）c ﹣＜a ＜c+．20．由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．21．已知函数f （x ）=ln （x+m+1），m ∈R ．（I ）若直线y=x+1与函数y=f （x ）的图象相切，求m 的值；（Ⅱ）当m ≤1时，求证f （x ）＜e x ．重庆市大学城一中2016-2017学年高二下学期第一次月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．2．已知函数f（x）=x3+ax2+1的导函数为偶函数，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】导数的运算；函数奇偶性的判断．【分析】先求出导函数，然后再利用偶函数的定义建立等式，根据恒成立可求出a的值．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+1，∴f′（x）=3x2+2ax，∵f′（x）=3x2+2ax为偶函数，∴f′（﹣x）=f′（x），即3x2﹣2ax=3x2+2ax化为ax=0对任意实数x都成立，∴a=0．故选：A．3．已知f（x）=则f（x）dx处的值为（）A．B．C．D．﹣【考点】定积分．【分析】由分段函数可得f（x）dx=dx+x2dx，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：∵f（x）=，则f（x）dx=dx+x2dx=x|+x3|=1+=，故选：B．4．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，…的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为 （ ）A ．nB ．n+1C ．2nD ．2n ﹣1【考点】元素与集合关系的判断．【分析】由集合{a 1}有1个元素，有2个子集，集合{a 1，a 2}有2个元素，有4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有3个元素，有8个子集，…归纳出集合子集个数与集合元素个数的关系，可得答案．【解答】解：集合{a 1}有1个元素，有2个子集，集合{a 1，a 2}有2个元素，有4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有3个元素，有8个子集，…归纳可得：集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }有n 个元素，有2n 个子集，故选：C ．5．若函数y=f （x ）在点x=1处的导数为1，则=（ ）A ．2B ．1C ．D ． 【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的定义即可得出．【解答】解：∵函数y=f （x ）在点x=1处的导数为1，∴=f′（1）=1．故选：B ．6．等差数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f （x ）=+12x+1的极值点，则log 2a 2016（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．5【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．【解答】解：f′（x ）=x 2﹣8x+12，∵a 1、a 4031是函数f （x ）=x 3﹣4x 2+12x+1的极值点，∴a 1、a 4031是方程x 2﹣8x+12=0的两实数根，则a 1+a 4031=8．而{a n }为等差数列，∴a 1+a 4031=2a 2016，即a 2016=4，从而==2．故选：B ．7．某人进行了如下的“三段论”推理：如果f′（x 0）=0，则x=x 0是函数f （x ）的极值点，因为函数f （x ）=x 3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f （x ）=x 3的极值点．你认为以上推理的（ ）A ．小前提错误B ．大前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确【考点】演绎推理的意义．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）=0，那么x=x 0是函数f （x ）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）=0，且满足当x ＞x 0时和当x ＜x 0时的导函数值异号时，那么x=x 0是函数f （x ）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）=0，那么x=x 0是函数f （x ）的极值点”，不是真命题， ∴大前提错误，故选B ．8．若关于x 的不等式x 3﹣3x 2﹣9x+2≥m 对任意x ∈[﹣2，2]恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，7]B ．（﹣∞，﹣20]C ．（﹣∞，0]D ．[﹣12，7]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【分析】设y=x 3﹣3x 2﹣9x+2，则y′=3x 2﹣6x ﹣9，令y′=3x 2﹣6x ﹣9=0，得x 1=﹣1，x 2=3（舍），由f （﹣2）=0，f （﹣1）=7，f （2）=﹣20，知y=x 3﹣3x 2﹣9x+2在x ∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，由此能求出关于x 的不等式x 3﹣3x 2﹣9x+2≥m 对任意x ∈[﹣2，2]恒成立的m 的取值范围．【解答】解：设y=x 3﹣3x 2﹣9x+2，则y′=3x 2﹣6x ﹣9，令y′=3x 2﹣6x ﹣9=0，得x 1=﹣1，x 2=3，∵3∉[﹣2，2]，∴x 2=3（舍），f （﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，f （2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，∴y=x 3﹣3x 2﹣9x+2在x ∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，∵关于x 的不等式x 3﹣3x 2﹣9x+2≥m 对任意x ∈[﹣2，2]恒成立，∴m ≤﹣20，故选B ．9．设函数f （x ）的导函数为f′（x ），对任意x ∈R 都有f （x ）＞f′（x ）成立，则（ ）A ．3f （ln2）＞2f （ln3）B ．3f （ln2）=2f （ln3）C ．3f （ln2）＜2f （ln3）D ．3f （ln2）与2f （ln3）的大小不确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=，利用导数可判断g （x ）的单调性，由单调性可得g （ln2）与g （ln3）的大小关系，整理即可得到答案．【解答】解：令g （x ）=，则g′（x ）==，因为对任意x ∈R 都有f （x ）＞f′（x ），所以g′（x ）＜0，即g （x ）在R 上单调递减，又ln2＜ln3，所以g （ln2）＞g （ln3），即＞，所以＞，即3f （ln2）＞2f （ln3），故选：A ．10．已知函数f （x ）=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞）；点P （m ，n ）表示的平面区域为D ，若函数y=log a （x+4）（a ＞1）的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（3，+∞）D ．[3，+∞）【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由函数f （x ）=+的两个极值点分别为x 1，x 2，可知：y′==0的两根x 1，x 2满足0＜x 1＜1＜x 2，利用根与系数的关系可得：（x 1﹣1）（x 2﹣1）=+m+1＜0，得到平面区域D ，且m ＜﹣1，n ＞1．由于y=log a （x+4）（a ＞1）的图象上存在区域D 内的点，可得＞1，进而得出结论．【解答】解：∵函数f （x ）=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞），∴y′==0的两根x 1，x 2满足0＜x 1＜1＜x 2，则x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=＞0，（x 1﹣1）（x 2﹣1）=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=+m+1＜0， 即n+3m+2＜0，∴﹣m ＜n ＜﹣3m ﹣2，为平面区域D ，∴m ＜﹣1，n ＞1．∵y=log a （x+4）（a ＞1）的图象上存在区域D 内的点，∴log a （﹣1+4）＞1，∴＞1，∵a ＞1，∴lga ＞0，∴1g3＞lga ．解得1＜a ＜3．故选：B ．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．观察下表则前 2015 行的个数和等于20152．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由题意可得：1+3+…（2n ﹣1）=20152．利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：1+3+…（2n ﹣1）=20152．∴=n 2=20152．解得n=2015．故答案为：2015．12．抛物线y=x 2在x=2处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲边图形的面积为 ．【考点】定积分在求面积中的应用；抛物线的简单性质．【分析】首先求出抛物线在x=2处的切线方程，然后利用定积分求面积．【解答】解：抛物线y=x 2在x=2处的切线的斜率为2x|x=2=4，所以切线为y ﹣4=4（x ﹣2）即y=4x ﹣4，此直线与x 轴的交点为（1，0），所以抛物线y=x 2在x=2处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲边图形的面积为==；故答案为：．13．已知z 1=a+（a+1）i ，z 2=﹣3b+（b+2）i （a ，b ∈R ），若z 1﹣z 2=4，则a+b= 3 ． 【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算．【分析】利用复数相等的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：z 1=a+（a+1）i ，z 2=﹣3b+（b+2）i （a ，b ∈R ），若z 1﹣z 2=4，可得，解得：，a+b=3，故答案为：3．14．若函数f （x ）=x 3﹣mx 2﹣x+5在区间（0，1）内单调递减，则实数m 的取值范围是 [1，+∞） ．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x ）=3x 2﹣2mx ﹣1，若函数f （x ）=x 3﹣mx 2﹣x+5在区间（0，1）内单调递减，则f′（x ）=3x 2﹣2mx ﹣1≤0在区间（0，1）上恒成立，即3x 2﹣1≤2mx ，则2m ≥=3x ﹣，设g （x ）=3x ﹣，则函数g （x ）在（0，1]上为增函数，则g （x ）＜g （1）=3﹣1=2，则2m ≥2，则m≥1，即实数m的取值范围是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）15．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（2x）＜4x2+2x+1的解集为（，+∞）．【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】先由f'（x）＜2x+1，知函数g（x）=f（x）﹣（x2+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（2x）＜g（1），最后利用单调性解不等式即可【解答】解：∵f′（x）＜2x+1，∴f′（x）﹣（2x+1）＜0，即[f（x）﹣（x2+x）]′＜0设g（x）=f（x）﹣（x2+x）则g（x）在R上为减函数，∵f（1）=3，∴g（1）=f（1）﹣（12+1）=3﹣2=1∵f（2x）＜4x2+2x+1=（2x）2+2x+1，∴f（2x）﹣[（2x）2+2x]＜1，∴g（2x）＜1=g（1）∴2x＞1，解得x＞故答案为：（，+∞）三．解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R）的图象经过原点，且f（﹣1）=2和f（1）=﹣2分别是函数f（x）的极大值和极小值．（Ⅰ）求a，b，c，d；（Ⅱ）过点A（1，﹣3）作曲线y=f（x）的切线，求所得切线方程．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由于函数f（x）的图象经过原点，可得f（0）=d=0．f（﹣1）=2和f（1）=﹣2分别是函数f（x）的极大值和极小值，可得f′（﹣1）=f′（1）=0，解出即可．（II）设切点为M．可得切线方程为：，把点A（1，﹣3）代入解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过原点，∴f（0）=d=0．∵f（﹣1）=2和f（1）=﹣2分别是函数f（x）的极大值和极小值．∴f'（x）=3ax2+2bx+c=3a（x+1）（x﹣1）=3ax2﹣3a，∴b=0，c=﹣3a，∴f（x）=ax3﹣3ax，又∵f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，∴a=1经检验，a=1，b=0，c=﹣3，d=0即：f （x ）=x 3﹣3x ．（Ⅱ）设切点为M．则切线方程为：，把点A （1，﹣3）代入可得，即：，解得x 0=0或．∴切线为y=﹣3x 和．17．已知函数f （x ）=x 2﹣2a 2lnx （a ＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若函数f （x ）在定义域上没有零点，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，然后根据导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而得到极值点，求得极值；（Ⅱ）利用导数求出原函数的最小值，把函数f （x ）在定义域上没有零点，转化为需f （x ）min ＞0，求解不等式可得实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），当a=1时，f （x ）=x 2﹣2lnx ，，当x ∈（0，1）时，f′（x ）0，∴当x ∈（0，1）时，f （x ）为减函数；当x ∈（1，+∞）时，f （x ）为增函数．f （x ）min =f （x ）极小值=f （1）=1；（Ⅱ），令f′（x ）=0，解得：x=a 或x=﹣a （舍）．当x ∈（0，a ）时，f′（x ）0，∴f （x ）的单调递减区间为（0，a ）；单调递增区间为（a ，+∞），∴，要使函数f （x ）在定义域上没有零点，只需f （x ）min ＞0或f （x ）max ＜0，又f （1）=1＞0，只需f （x ）min ＞0，∴，解得：．∴实数a 的取值范围是．18．已知，其中t∈C，且为纯虚数．（1）求t的对应点的轨迹；（2）求|z|的最大值和最小值．【考点】轨迹方程；复数的基本概念；圆的标准方程．【分析】（1）设出复数t的代数形式，代入利用复数的除法运算整理，由实部等于0且徐步部等于0可求t得轨迹方程；（2）根据t的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去（﹣3，0），（3，0）两点，又，利用复数加法的几何意义可求|z|的最大值和最小值．【解答】解：（1）设t=x+yi（x，y∈R），则=，∵为纯虚数，∴，即．∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去（﹣3，0），（3，0）两点；（2）由t的轨迹可知，|t|=3，∴，圆心对应3+，半径为3，∴|z|的最大值为：，|z|的最小值为：．19．设a＞0，b＞0，2c＞a+b，求证：（1）c2＞ab；（2）c﹣＜a＜c+．【考点】分析法和综合法；不等式的基本性质．【分析】（1）根据基本不等式的证明即可证明c2＞ab；（2）利用分析法进行证明．【解答】证明：（1）∵a＞0，b＞0，2c＞a+b，∴c＞，平方得c2＞ab；（2）要证c﹣＜a＜c+．只要证﹣＜a﹣c＜．即证|a﹣c|＜，即（a﹣c）2＜c2﹣ab，∵（a﹣c）2﹣c2+ab=a（a+b﹣2c）＜0成立，∴原不等式成立．20．由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．【考点】数学归纳法；归纳推理．【分析】根据已知不等式猜想第n 个不等式，然后利用数学归纳法证明即可．【解答】解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：．用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1，猜想正确．②假设n=k 时猜想成立，即，则n=k+1时，==，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n ∈N +，不等式成立．21．已知函数f （x ）=ln （x+m+1），m ∈R ．（I ）若直线y=x+1与函数y=f （x ）的图象相切，求m 的值；（Ⅱ）当m ≤1时，求证f （x ）＜e x ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，设出切点，求得切线的斜率，由点满足曲线和切线方程，解方程，可得m=1：（2）由m ≤1，可得ln （x+m+1）≤ln （x+2），要证f （x ）＜e x ，只需证ln （x+2）＜e x ，令h （x ）=e x ﹣ln （x+2），求出导数，运用零点存在定理，可得∃x 0∈（﹣1，0），使h′（x 0）=0，求得h （x ）的最小值，证明它大于0，即可得证．【解答】解：函数f （x ）=ln （x+m+1）的导数f′（x ）=，（1）设直线y=x+1与函数f （x ）的图象切于点（x 0，y 0），则y 0=x 0+1，y 0=ln （x 0+m+1），=1， 解得x 0=﹣1，y 0=0，m=1；（2）证明：由m ≤1，可得ln （x+m+1）≤ln （x+2），要证f （x ）＜e x ，只需证ln （x+2）＜e x ，令h （x ）=e x ﹣ln （x+2），则h′（x ）=e x ﹣，由h′（﹣1）=﹣1＜0，h′（0）=＞0， 即有∃x 0∈（﹣1，0），使h′（x 0）=0，即=，ln （x 0+2）=﹣x 0， 则h （x ）在（﹣2，x 0）上递减，在（x 0，+∞）上递增，即有h （x ）min =h （x 0）=﹣ln （x 0+2），则h （x ）≥h （x ）min =﹣ln （x 0+2）=+x 0=＞0， 则有f （x ）＜e x ．。

][)4,+∞；，得106x x --+(6,EF =-E F =∅，则有][1,m ++∞64m m ≤-≥，解得()f x 是偶函数，0x ∴<时，=-=f fy f x()=(1)(1)1）()f x x =2)36x x =-()ln f x =()f x '∴=重庆市2016届高三上学期第一次月考数学（理科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2+x≤0}={x|﹣1≤x≤0}，∴M∩N={﹣1，0}．2．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x∈R，使得sinx＞1【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：∀x∈R，sinx≤1，的否定是∃x∈R，使得sinx＞13．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出[0，+∞]内的范围，再根据对称性写出解集．【解答】解：当x∈[0，+∞]时f（x）＞0则x＞1．又∵偶函数关于y轴对称，∴f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}．4．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，t=x2﹣ax+2a）在[1，+∞）上为增函数，且在[1，+∞）上大于0恒成立，得到关于a 的不等式组求解．【解答】解：∵函数y=log（x2﹣ax+2a）在[1，+∞）上为减函数，则t=x2﹣ax+2a）在[1，+∞）上为增函数，且在[1，+∞）上大于0恒成立．则，解得﹣1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（﹣1，2]．5．【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以a=log32，b=log52=，所以c＞a＞b．6．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】先解不等式x2+2x+1﹣a2＜0得，﹣1﹣a＜x＜a﹣1，得到关于a的不等式组，这个不等式组的解便是a的取值范围．【解答】解：设A={x|x2+2x+1﹣a2＜0}={x|﹣1﹣a＜x＜a﹣1}，B={x|0＜x＜4}依题意知B⊆A，因此，解得a≥5．7．【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的周期性和奇偶性，可得=﹣，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=f（x+2），∴==，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴=﹣，∵当x∈（0，1]时，f（x）=，∴=，故=﹣．8．【考点】二分法的定义．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．【解答】解：∵f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）=﹣2＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）9．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数为奇函数，它的图象关于原点对称，且还关于直线x=1对称，可得函数为周期函数，且周期为4，故f．再由当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，可得f（﹣1）的值．【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），故函数为奇函数，它的图象关于原点对称．再由f（1+x）=f（1﹣x），可得f（2+x）=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=﹣f（x），故有f（4+x）=f（x），故函数为周期函数，且周期为4．故f，再由当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，可得f（﹣1）=﹣1．10．【考点】函数的图象．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．【解答】解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加．11．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：不妨设a＜b＜c，作出f（x）的图象，如图所示：由图象可知0＜a＜1＜b＜10＜c＜11，由f（a）=f（b）得|lga|=|lgb|，即﹣lga=lgb，∴lgab=0，则ab=1，∴abc=c，∴abc的取值范围是（10，11），故选C．12．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的图象，得出值域为[﹣2，6]，利用存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，得出2g （a）的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6，即可．【解答】解：∵g（x）=x2﹣2x，设a为实数，∴2g（a）=2a2﹣4a，a∈R，∵y=2a2﹣4a，a∈R，∴当a=1时，y最小值=﹣2，∵函数f（x）=，f（﹣7）=6，f（e﹣2）=﹣2，∴值域为[﹣2，6]∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，即﹣1≤a≤3，故选；C二、填空题13．【考点】其他不等式的解法；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】把变为2﹣1，然后利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：=2﹣1，依题意得：x2+2x﹣4≤﹣1，因式分解得（x+3）（x﹣1）≤0，可化为：或，解得﹣3≤x≤1，所以原不等式的解集为[﹣3，1]．故答案为：[﹣3，1]14．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】先利用绝对值不等式化简求出命题p：中k的范围；再把q进行转化，得出k的取值范围，函数y=log2（x2﹣2kx+k）的值域为R，即对应真数能取到所有的正数，即对应的方程的判别式△≥0．最后根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：命题p：，∴k＞1或k＜0，命题q：函数y=log2（x2﹣2kx+k）的值域为R，说明（x2﹣2kx+k）取遍正实数，即△≥0，4k2﹣4k≥0，∴k≥1或k≤0，所以命题P⇒命题q，反之不成立．故答案为：充分不必要．15．【考点】幂函数的性质．【专题】数形结合．【分析】函数y=2﹣x+1+m是由指数函数y=（）x平移而来的，根据条件作出其图象，由图象来解．【解答】解：∵y=2﹣x+1+m=（）x﹣1+m，分析可得函数y=（）x﹣1+m过点（0，2+m），如图所示图象不过第一象限则，2+m≤0∴m≤﹣2故答案为：m≤﹣2．16．【考点】对数的运算性质；函数的最值及其几何意义；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】函数f（x）=log a（x2﹣2x+3）有最小值，可得a的范围，然后利用对数性质解不等式即可．【解答】解：由a＞0，a≠1，函数f（x）=log a（x2﹣2x+3）有最小值可知a＞1，所以不等式log a（x﹣1）＞0可化为x﹣1＞1，即x＞2．故答案为：（2，+∞）三、解答题17．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】（1）m=3时求出集合E，化简集合F，计算E∩F即可；（2）由E∩F=∅，得出关于m的不等式组，从而求出m的取值范围．18．【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）x＜0时，﹣x＞0，代入已知x≥0时，f（x）=﹣4x2+8x﹣3，可得f（﹣x）=﹣4x2﹣8x﹣3，根据偶函数的性质可求得f（x）=﹣4x2﹣8x﹣3；（Ⅱ）根据解析式可作出y=f（x）的图象，根据二次函数的单调性分别求解两段函数的单调区间即可．19．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】令t=2x，可得y=t2﹣2t+2，t∈（0，2]，进而得到D=[1，2]，则f（x）≤g（x）可化为：x2+（k﹣4）x+5≤0，x∈[1，2]恒成立．法一：令g（x）=x2+（k﹣4）x+5，则，解得答案；法二：则k≤（x+）+4在x∈[1，2]时恒成立，故k≤[（x+）+4]min，解得答案．20．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．【专题】方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b，c，d，即可求函数f（x）的解析式；（2）求函数的导数，即可求函数f（x）在定义域上的单调性．21．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间；（Ⅱ）由2e x﹣ax=0，令F（x）==，根据函数的单调性求出a的范围即可．22．【考点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；转化法．【分析】（I）由已知中曲线C1的极坐标方程ρ=2sinθ，曲线C2的参数方程，可得曲线C1，C2的方程为普通方程；（Ⅱ）在曲线C1上取一点A，在曲线C2上取一点B，则线段AB的最小值等于圆心到直线的距离减半径．。

第一次月考数 学理试题【重庆版】数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一. 选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足(1)i i z +=, 则z =( )A. 1122i +B. 1122i -C. 1122i -+D. 1122i --2. 设0.53a =, 3log 2b =, 0.5log 3c =, 则（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a <<3. 函数22x xy e -+=(03x ?) 的值域是（ ）A. 3(,1)e -B. 3[,1)e - C. 3(,]e e - D. (1,]e4. 把ln(1)y x =+的图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，再向右移动一个单位，得到的函数解析式是（ ）A. ln3y x =B. ln 3x y =C. 2ln 3x y += D. ln(32)y x =-5. 函数()2ln 25f x x x =+-的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 3 6．若定义在实数集R 上的偶函数)(x f 满足0)(>x f , )(1)2(x f x f =+, 对任意R x ∈恒成立, 则(2015)f =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 17. 若某程序框图如右图所示, 当输入50时, 则该程序运算后输出的结果是( )A. 8B. 6C. 4D. 28. 如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体. 开始输液时, 滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计), 设输液开始后x分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h厘米, 已知当0x=时, 13h=. 如果瓶内的药液恰好156分钟滴完. 则函数()h f x=的图像为（）A. B.C. D.9. 函数|1|,1()21,1xa xf xx-ì=ïï=íï+?ïî,若关于x的方程22()(25)()50f x a f x a-++=有五个不同的实数解, 则a的取值范围是（）A.55(2,)(,)22+∞B.(2,)+? C.[2,)+? D.55[2,)(,)22+?U10. 若定义域在[0,1]的函数()f x满足：①对于任意12,[0,1]x xÎ，当12x x<时，都有12()()f x f x³;②(0)0f=;③1()()32xf f x=;④(1)()1f x f x-+=-,则19()()32014f f+=（）A.916- B．1732- C．174343- D．5121007-二. 填空题: 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

重庆市九龙坡区育才中学2024年高三年级第二学期数学试题统一练习（二）考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 2．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数cos 2320,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．37．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>8．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．09．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-10．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 11．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市育才中学校高2025届2024—2025学年（上）12月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上：2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（ ）A. B. C. D. 2 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.43. 已知直线平面，点，那么过点且平行于直线的直线（ ）A. 有且只有1条，且在平面内B. 有且只有1条，不在平面内C. 有无数条，不都在平面内D. 有无数条，都在平面内4. 函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 5. 若正实数a ，b 满足，则的最小值为（ ）A. 1 B. 6 C. 8 D. 96. 从3名男生和2名女生中任选3人参加一项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有女生的概率为（ ）A. B. C. D.7. 已知，，则（ ）A. B. C. D. .{}230M x x =-≤{}2,1,0,1,2N =--M N = {}0,1{}1,0,1-{}1,0,1,2-{}2,1,0,1,2--ξ()22,N σ()120.2P ξ<≤=(3)P ξ>=//l αP α∈P l αααα()cos f x x x =-(1,0)-()0,1(1,2)(2,3)12a b =-21a b +11031035910()1sin 2αβ+=tan 5tan αβ=()sin αβ-=141312348. 若，满足，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知点、、，其中，则（ ）A. 若、、三点共线，则B. 若，则C. 若，则D. 当时，10. 已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则（ ）A. 、、、四点共面B. 直线与C. 二面角的大小为D. 三棱锥的体积为11. 若数列满足，，设，则（ ）A B. C. D. 若数列的前项和为30，则或第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分．12. 已知复数（其中i 为虚数单位），则____________．13. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____________．14. 若正四面体的棱切球（球与正四面体的棱均相切）半径为1，则正四面体的棱长为____________；该棱切球的球面与正四面体的表面相交所得曲线的总长度为____________．四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．.0,1x y >>e ln x x y y +>+1x y -<-1x y ->-1x y +<2x y +<()0,2A ()2,0B ()1,C y y ∈R A B C 1y =AB AC ⊥3y =AB AC = 2y =2y =π,4AB AC = 1111ABCD A B C D -2E F AB 1AA E F 1D C AD 1D E 1A FD E --π41B CEF -1{}n F 121F F ==()*21Nn n n F F F n ++=+∈1(1)n n F F n a +=-41a =202420252a a +=3n n a a +={}n a n 90n =92n =112iz =+z z ⋅=()()3213f x x x mx m =+-∈R R m A BCD -A BCD -A BCD -15 已知非零数列满足：，．（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前项和.16. 若中的内角、、所对的边分别为、、，且满足．（1）求角；（2）若，请从下列两个条件：①，②中任选一个作为已知条件，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，点为棱的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，且，，求直线与平面所成角的正弦值．18. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y 与派出的闯关人数X 的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响．（1）已知，，，（i ）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望；（ii ）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率．（2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最.的{}n a 11a =()*112N n n n n a a a a n ++-=⋅∈1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}1n n a a +⋅n n S ABC V A B C a b c ()sin 1cos b A B =-B b =2a c =cos C =ABC V S ABCD -ABCD E SA BD SC ⊥//SC BED SAC ⊥ABCD SC AC ⊥2AB SC ==120ABC ∠=︒AB SAD 4010(1,2,3)Y X X =-=1p 2p 3p 13p 4=223p =312p =Y 30Y =12301p p p <<<<Y大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由．19. 已知函数．（1）求曲线过点的切线方程；（2）设，曲线在点处切线与轴，轴围成的三角形面积为，记；（3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围．的()ln f x x =()y f x =()0,1()1n n a n n *=∈+N ()y f x =()(),n n a f a x y n S n c =1n k k c =∑()()()e xa g x x f x a x=-+∈R ()g x 123,,x x x ()()()12311eg x g x g x ⋅⋅≥-a重庆市育才中学校高2025届2024—2025学年（上）12月月考数学试题简要答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BC第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分．【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】 ①.②. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）证明略；（2）.【16题答案】【答案】（1）； （2）条件选择略，的面积为【17题答案】【答案】（1）证明略；（2）证明略；（3【18题答案】【答案】（1）（i ）；（ii ） （2）丙先参赛，理由略【19题答案】【答案】（1）（2） （3）150.2(],1-∞-π11242n S n =-+π3B =ABC V 1054233622e e 0x y -=+()1ln 1n k k c n n =⎤=++⎦∑211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭。

重庆育才中学高2020级高三下3月月考数学理科试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|12,|14,A x x B x x x Z =-≤≤=-<<∈，则A B =I （ ） A. {}0,1,2 B. []0,2C. {}0,2D. ()0,2【答案】A 【解析】因为{}{|12},0,1,2,3A x x B =-≤≤=，所以{0,1,2}A B ⋂=，应选答案A． 2.已知复数21iz =-+，则（ ） A. 2z = B. z 的实部为1C. z 的虚部为1-D. z 的共轭复数为1i +【答案】C 【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--．则z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1zi =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量()1,1a =r ，()24,2a b +=r r ，则向量a r ，b r的夹角为( )A.3π B.6π C.4π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据求出向量b r的坐标，然后代入向量夹角公式cos a b a bθ⋅=r r r r 即可得解. 【详解】因为()24,2a b +=r r ，()1,1a =r，所以()()()()4,224,22,22,0b a =-=-=r r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则cos 2θ==， 因为0θπ≤≤， 所以4πθ=，所以向量a r ，b r的夹角为4π， 故选：C.【点睛】本题考查了向量的坐标表示，向量的夹角公式，考查了计算能力，属于基础题. 4.“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案.【详解】解：由()()ln 2ln 10a b --->，得201021a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得1a b >>，1ab∴>； 反之，由1ab>，不一定有()()ln 2ln 10a b --->，如2,1a b =-=- ∴“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题. 5. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．． ．A. 288+36B. 60C. 288+72D. 288+8【答案】A 【解析】试题分析:由三视图知：该几何体是由底面圆的半径为3，高为8的半圆柱和长为8，宽为6，高为6的长方体的组合体，所以该几何体的体积是21V 38866362882ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可． 6.某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a =( )A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】D 【解析】 【分析】本题根据所要得出的结果来求判断条件，进行若干轮的循环求解，找到结束点即可. 【详解】初始条件1S =,1K =；运行第一次，131122S =+=⨯，2K =； 运行第二次，3152233S =+=⨯，3K =； 运行第三次，5173344S =+=⨯,4K =； 运行第四次，7194455S=+=⨯，5K =，要输出的值是95，必须条件满足，停止运行，所以判断框填4?K >， 故选：D.【点睛】本题考查了补全程序框图，考查了计算能力，属于中档题.7.圆C 是心直线:(21)(1)20l m x m y m ++++=的定点为圆心，半径4r =，则圆C 的方程为（ ） A. 22(2)(2)16x y ++-= B. 22221)6()(x y -+-= C. 22(2)(2)16x y -++= D. 22(2)(2)16x y +++=【答案】A 【解析】由()()21120m x m y m ++++=有()()220x y m x y ++++=，所以直线过定点()2,2-，则所求圆的方程为()()222216x y ++-=，故选择A.8.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是（ ） A. ②③ B. ③④C. ①④D. ①②【答案】A 【解析】对于命题①，直线,m n 可以相交和异面，故是错误的；对于命题②，由二面角的定义可知直线m n ⊥，故是正确的；对于命题③，由异面直线所成角的定义可知直线m n ⊥，故是正确的；对于命题④，直线,m n 可以相交和异面，故是错误的，应选答案A ．9.数列{a n }满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋯+=∈，则a 1a 2a 3…a 10=（ ） A. 551()2B. 1011()2-C. 911()2-D. 601()2【答案】A 【解析】 【分析】由题,当2n ≥时,得到22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=,与题目中式子相减,即可得到12n n a =,进而求解【详解】解：n =1时,a 1=12, ∵211232222n n n a a a a -+++⋯+=, ∴2n ≥时,22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=, 两式相减可得2n -1a n =12, ∴12n na =, n =1时，也满足∴12310a a a a =L 55231012310111111222222++++⎛⎫⨯⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭L L , 故选A【点睛】本题考查数列递推式,考查数列的通项,解题的关键是确定数列的通项,进而求解 10.函数()cos()(0,)2f x x πωϕωω=+><的部分图象如图所示，则函数3()()g x f x ϕπ=-的最小正周期为A. πB. 2πC. 4πD.2π【答案】A 【解析】 【分析】先根据图象求周期得ω，再根据点坐标求ϕ，最后根据()g x 图象确定周期.【详解】由图知7πππ2ππ241234T T ωω=-=⇒==⇒=，点π03⎛⎫⎪⎝⎭，是五点作图的第二个点，则πππ2326ϕϕ⨯+=⇒=-，∴()()3π1cos 2π62g x f x x ϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，由图象知()y g x =与π1cos 262y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期相同，均为2ππ2T ==，故选A.【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应特殊点求ϕ.11.已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤成立，则双曲线的离心率取值范围是( )A. (B. )+∞C. (D.)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据所给条件和三角形面积公式，求得a ，c 的关系式，即可求得离心率的范围. 【详解】设12PF F ∆的内切圆半径为r ， 则111=2IPF S PF r ∆⋅，221=2IPF S PF r ∆⋅，12121=2IF F S F F r ∆⋅，因为12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤，所以1212PF PF F -≤， 由双曲线的定义可知12=2PF PF a -，12=2F F c ，的所以2a ≤，即ca≥ 故选：B.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于,,a b c 的齐次式，再化简转化成关于e 的不等式即可得解，本题属于较难题.12.已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 224[,]e e-- B. 2[,2]e e-C. 24[,2]e e-D. 24[,)e-+∞ 【答案】B 【解析】 分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围. 【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnxk x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.【二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.2-⎰=______.【答案】2π 【解析】 【分析】根据被积函数y =22x ≤≤）表示一个半圆，利用定积分的几何意义即可得解.【详解】被积函数y =（22x ≤≤）表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分，所以221=2=22ππ-⋅⎰.故答案为：2π.【点睛】本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间内的函数值符号，本题属于中档题.14.已知46n n C C =，设()()()()201234111n nn x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则12n a a a +++=L _____． 【答案】1023 【解析】 【分析】根据组合数公式性质可得10n =；分别代入1x =和2x =求得0a 和012n a a a a +++⋅⋅⋅+，作差即可得到结果.【详解】46n n C C =Q 10n ∴=即：()()()()2012101034111n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+- 代入1x =可得：()100341a -==代入2x =可得：()1010012642n a a a a -==+++⋅⋅⋅+1012211023n a a a ∴++⋅⋅⋅+=-=本题正确结果：1023【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.15.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是____________． 【答案】18 【解析】根据题意得到这个学生有两种选择，其一是从物理化学生物中选两门，剩下的里面选一门，或者从物理化学生物中选一门，剩下的里面选两门，故情况为2112333318.C C C C +=故答案为18.16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1AP=AC =，过点A 分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连结EF ，当AEF ∆的面积最大时，tan BPC ∠=__________.【答案】2【解析】 【分析】利用PA ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理可得PA BC ⊥，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出BC ⊥平面PAB ，进而可以证明出BC AE ⊥，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明AE ⊥平面PBC ，因此可以证明出AE PC ⊥，最后利用线面垂直定理证明出PC ⊥平面AEF ，因此得到AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点.解法1：设AB x =，BC y =，利用三角形面积公式可以求出AE长，在利用PFE PBC ∆∆∽，求出EF 的长，最后求出AEF ∆的面积表达式，利用换元法和配方法求出AEF ∆面积平方的最大值，最后求出tan BPC ∠的值；解法2：设BPC θ∠=，求出EF 、BC 、PB 、AB 的大小，再求出AE 的大小，最后求出AEF S ∆表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出tan BPC ∠的值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AE ⊥，又PB AE ⊥， 所以AE ⊥平面PBC ，所以AE PC ⊥，又AF PC ⊥，所以PC ⊥平面AEF ，综上AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点. 解法1：设AB x =，BC y =，则221x y +=，又1AP=AC =，则AE =，又PFE PBC ∆∆∽，可得EF =12AEF S EF AE ∆=⋅⋅=， 所以()()()22222222218181x x x y S x x -==++，令21x t +=，则222222(1)(2)32123113118884464t t t t S t t t t t ---+-⎛⎫⎛⎫===-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当134t =时即213x =，223y =，()max 18AEF S ∆=，此时tan BC BPC PB ∠===. 解法2.设BPC θ∠=，则tan 2EF PF θ==tan 2EF θ=.又BC θ=，PB θ=，所以AB =PA AB AE PB ⋅==所以11tan 222AEFS EF AE θ∆=⋅⋅=⋅=221tan 1tan 1428θθ+-==≤⋅=当且仅当22tan 1tan θθ=-即tan 2θ=时，取等号.故答案为：2【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，17~22题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求二选一作答.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知222b c a +-=. （1）若tan B =a b ；（2）若23B π=,b =BC 边上的中线长. 【答案】（1）52；（2【解析】 【分析】（1）由222b c a +-=求出cos A ，从而求出sin A，再由tan 12B =得出sin B ，再根据正弦定理即可得解；（2）通过三角形内角和求出角6C A B ππ=--=，再利用正弦定理得出2c =，在ABD ∆中利用余弦定理，即可得解.【详解】（1）由222b c a +-=得cos A =6A π∴=,tan 12B =Q ，1sin 5B ∴=. 由正弦定理得，sin sin a b A B=，则1sin 251sin 52b B a A ===，∴52a b =（2）6A π=Q ,6C A B ππ=--=，AB BC ∴=，由sin sin c bC B=得2c =，取BC 中点D ，在ABD ∆中，2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⨯⨯⨯=，AD ∴=，即BC【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查了计算能力和转化思想，属于中档题. 18.某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是34，且每次投篮的结果互不影响. （1）假设这名队员投篮5次，求恰有2次投中的概率；（2）假设这名队员投篮3次，每次投篮，投中得1分，为投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外一次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为队员投篮3次后总的分数，求ξ的分布列及期望.【答案】（1）45512；（2）分布列见解析，24364. 【解析】 【分析】（1）根据题意以及二项分布的定义可知，投中的次数服从二项分布，即X B :35,4⎛⎫⎪⎝⎭即可得解；（2）首先求出ξ的所有可能取值，再求出所有可能取值的概率，列出分布列，利用期望公式即可得解. 【详解】（1）设X 为队员在5次投篮中投中的次数，则X B :35,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 在5次投篮中，恰有2次投中的概率为：()2325332144P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=45512或0.0879 （2）由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6()3110464P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭()2139134464P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ ()3139244464P ξ==⨯⨯= ()22311393444432P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的()33276464P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭ ξ的分布列为：24364E ξ=【点睛】本题考查了二项分布，以及求概率和期望， 考查了计算能力，属于较难题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥； （2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.的∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0）， (0,1,1)BE =u u u r，(2,0,0)DC =u u u r ，0BE DC ∴⋅=u u u r u u u r，∴BE DC ⊥；（2）∵F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈u u u r u u u r，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=u u u r u u u r，∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=u u u r u u u r，解得1113,,,4222F λ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭， 113(1,0,0),,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，设平面ABF 的法向量(,,)n x y z =r，则0113222n AB x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(0,3,1)n =-r ， 平面ABP 的一个法向量(0,1,0)m =u r，设二面角F AB P --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ⋅===⋅u r r u r r ，∴二面角F AB P --【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点()10F ，，过F 作两条互相垂直的弦AB CD ，，设AB CD ，中点分别为M N ，． (1) 求椭圆的标准方程；(2)求以A B C D ，，，为顶点的四边形的面积的取值范围；【答案】(1)2212x y += (2) 1629⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率c a =1c ，=求出a 、b ，即可求椭圆的方程； （Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积．②当两弦斜率均存在且不为0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且设直线AB 的方程为y=k （x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB ，CD 即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．【详解】解：(1) 由题意：12cc a ==，．∴1a b c ===．则椭圆的方程为2212x y +=(2) ①当两直线一条斜率不存在一条斜率为0时， 11·222S AB CD ==⨯= ②当两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB 方程为()()()11221y k x A x y B x y =-，，，， 将其带入椭圆方程整理得：()2222124220kxk x k +-+-=221212224221212k k x x x x k k-+==++，)2122112kAB xk+-=+同理，)2212kCDk+=+))()222222224214114111···=221222+2+5121kk k k kS AB CDk k k kkk⎛⎫+⎪+++⎝⎭===++⎛⎫++⎪⎝⎭22162,29121kk⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭⎛⎫++⎪⎝⎭，当1k=±时，169S=综上所述四边形面积范围是1629⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目．21.已知函数()ln2f x a x x=-，()()()2ln1222xg x x e a x=++-+-.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若0x≥时，()0g x≥恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2a≤.【解析】【分析】（1）对()ln2f x a x x=-求导可得：()()'220a x af x xx x-+=-=>，对a进行分类讨论即可求出单调性；（2）由题可得：()()()()()'212122011xxe x a x aag x e a xx x+-+++=+--=≥++，通过切线放缩可得：()'2121ax xg xx⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥+，再分2a≤，2a>两种情况讨论即可得出a的取值范围.【详解】（1）由题知()()'220a x af x xx x-+=-=>①当0a≤时，恒有()'0f x<，得()f x在()0,∞+上单调递减；②当0a >时，由()'0fx =，得2a x =，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，有()'0f x >，()f x 单调递增； 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，有()'0f x <，()f x 单调递减. （2）由题知()()()()()'212122011x x e x a x a a g x e a x x x +-+++=+--=≥++，由0x ≥时，恒有11x e x ≥+≥，知()()()()2'212121211a x x x a x a g x x x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥+-+++⎝⎭⎣⎦≥=++ ①当102a-≤，即2a ≤时，()'0g x ≥恒成立，即()g x 在0x ≥上单调递增， ()()00g x g \?（合题意）；②当102a->，即2a >时，此时导函数有正有负，且有()'00g =， 由()'221x a g x e a x =+--+，得()()''221x a g x e x =-++，且()''g x 在0x ≥上单调递增， 当2a >10>，101e >=，()''020g a =-<，)''11210g-=->故()'g x在()1-上存在唯一的零点0x ，当[)00,x x ∈时，()''0g x <，即()'g x 在()00,x x ∈上递减，此时()()''00g x g ≤=，知()g x 在()00,x x ∈上递减，此时()()''00g x g ≤=与已知矛盾（不合题意）；综合所述：满足条件的实数a 的取值范围2a ≤【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，在解题过程中用到了分类讨论和数形结合思想，还考查了函数的放缩以及虚设零点问题，需要较强的计算和思考能力，属于难题.22.在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为42(4x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，P 为曲C 上的一动点，求△P AB 面积的最大值. 【答案】（1）24cos 120ρρθ--=；（2） 【解析】【分析】．1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可；（2．设A ，B 两点的极坐标分别为1π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合二次方程根据系数的关系及极径的意义可求得12AB ρρ=-，又由题意得△P AB 中边AB 上最大的高为圆心C 到直线l 的距离加上半径，进而可得面积的最大值．【详解】（1）将方程424x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩，，（α为参数），消去参数α后可得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为24cos 120ρρθ--=． （2）设A ，B 两点的极坐标分别为1π,6ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6ρ⎛⎫⎪⎝⎭，由2412π6cos ρρθθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，，消去θ整理得2120ρ--=， 根据题意可得1ρ，2ρ是方程2120ρ--=的两根，∴12ρρ+=1212ρρ=-，∴12AB ρρ=-==∵直线l 30y -=，∴圆C 的圆心()2,0到直线l 的距离为1d ==，又圆C 的半径为4r =， ∴ ()()()max 111422PAB S AB d r =+=⨯+=V ． 【点睛】．1．进行方程间的变化时要注意相关方程的概念和转化公式的灵活运用．．2）解决参数方程或极坐标方程下的解析几何问题时，一种方法是直接根据极坐标、参数方程求解．另一种方法是转化成普通方程后在直角坐标系内求解． 23.已知函数()2f x x a x a =+++（1）若(1)3f >，求实数a 的取值范围； （2）证明：m R ∈时，1()()6f m f m-+≥． 【答案】（1）{}|30a a a -或； （2）见解析. 【解析】 【分析】．1．()13f >即为123a a +++>分类讨论即可得到结果； ．2．利用三角绝对值不等式即可得到结果.【详解】（1）()13f >即为123a a +++>．当2a <-时，233a --> ，得3a <-； 当21a -≤≤-时，13>，无解当1a >-时，233a +>，得0a >． 所以()13f >时，实数a 的取值范围为{}|30a a a -或． （2）证明：()1121222f m f m a m a a a m a a m a a m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-+++++=-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122246m m m m≥+++≥+= 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。