初中数学课堂实录--不等式的性质

初中数学知识归纳不等式的基本性质和解法初中数学知识归纳：不等式的基本性质和解法不等式是数学中重要的概念之一，它在实际问题中的应用十分广泛。

本文将对不等式的基本性质和解法进行归纳总结，以帮助初中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式具有传递性，即若 a < b 且 b < c，则有 a < c。

这个性质在解不等式时常常被使用。

2. 不等式的加减性对于不等式 a < b，若 c > 0，则 a + c < b + c；若 c < 0，则 a + c > b+ c。

同理，对于不等式 a > b，若 c > 0，则 a - c > b - c；若 c < 0，则 a - c < b - c。

3. 不等式的乘除性对于不等式 a < b，若 c > 0，则 ac < bc；若 c < 0，则 ac > bc。

若 c= 0，则不等号方向保持不变。

同理，对于不等式 a > b，若 c > 0，则ac > bc；若 c < 0，则 ac < bc。

若 c = 0，则不等号方向保持不变。

4. 不等式的倒置对于不等式 a < b，将两边同时取负号得到 -a > -b；若将两边同时取倒数，则不等号需要倒置，即 1/a > 1/b。

同理，对于不等式 a > b，将两边同时取负号得到 -a < -b；若将两边同时取倒数，则不等号方向保持不变。

二、不等式的解法1. 图解法对于简单的线性不等式，我们可以借助坐标轴将其图像表示出来，进而直观地找到解的范围。

例如，对于不等式 2x + 3 > 7，可以将其表示为一条直线，并标记出不等号所指向的一侧。

2. 正系数法若不等式中存在正系数，则我们可以通过减法或除法来推导解的范围。

青岛版⼋下数学8.1《不等式的基本性质》教案不等式的基本性质【教材分析】不等式的基本性质是⼋年级下册第⼀章第⼀节内容。

不等式是现实世界中不等关系的⼀种数学表⽰形式，它不仅是现阶段学⽣学习的重点，⽽且也是后续学习的重要基础。

它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实⽣活中有着⼴泛的应⽤，所以对不等式的学习有着重要的现实意义。

本节课是建⽴在学⽣认识了不等关系的基础上进⾏的，也是解不等式及应⽤不等式解决实际问题的重要依据，因此本节课内容在⼀元⼀次不等式这⼀章占据重要位置，本节课的教学指导思想是从学⽣实际认知⽔平及知识结构出发，让学⽣⾃主探究获取知识。

【教学⽬标】知识与技能⽬标：1．掌握不等式的三条基本性质；2. 能熟练的应⽤不等式的性质进⾏不等式的变形；3.理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别。

过程与⽅法⽬标：1．通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类⽐”的数学思想。

2. 经历探索不等式基本性质的过程，体会不等式的三条基本性质的作⽤和意义，培养学⽣发现探索数学问题的能⼒。

3．通过观察、探索、归纳等数学活动，感受数学思考过程的条理性，发展思维能⼒和语⾔表达能⼒。

情感态度与价值观⽬标：通过学⽣的⾃主探究、合作交流提⾼学⽣观察和归纳的能⼒，培养集体合作的意识。

【重点和难点】教学重点：不等式的性质掌握以及应⽤教学难点：不等式的性质探究与理解。

【学情分析】本节课的教学对象是初中⼆年级学⽣，他们特点是个性突出、爱说爱动，有较强的表现欲和⼀定的计算能⼒。

同时学⽣之前已经学过了等式及其基本性质，了解了不等关系，学习了作差法⽐较两个实数的⼤⼩，具有⼀定的观察、分析、解决问题的能⼒。

但是他们基础薄弱，学⽣差异⼤，同时，初⼆数学难度加⼤，部分学⽣已经开始对学习缺乏兴趣。

【教学⽅法】采⽤激趣—探究法进⾏教学，师⽣互动，共同探究不等式的性质1，学⽣⾃主探究性质2、3.通过知识类⽐、合理引导等突出学⽣主体地位，让教师成为学⽣学习的组织者、引导者、合作者，让学⽣亲⾃动⼿、动脑、动⼝参与数学活动，经历问题的发⽣、发展和解决过程，在解决问题的过程中完成教学⽬标。

数学《不等式基本性质》教学设计一等奖1、数学《不等式基本性质》教学设计一等奖不等式的基本性质教学目的掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形，数学教案－不等式基本性质。

教学过程老师:我们已经学习了平等和不平等。

现在，我们来看两组公式(老师在黑板上展示了两组公式)。

请观察，哪些是方程？什么是不平等？第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7.第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4.生：第一组都是等式，第二组都是不等式。

老师:那么，什么是方程？什么是不平等？生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。

表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。

我们以前研究过这个方程。

你还记得等式的性质吗？生:方程有这样的性质，方程两边加，或减，或乘，或除(除数不为零)同一个数，结果还是方程。

师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习，初中数学教案《数学教案－不等式基本性质》。

练习1 (回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。

（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2；（4）- 4_____-6练习2(口头回答)从练习1的四个不等式出发，进行如下操作。

(1)两边加(或减)5。

结果如何呢？等号的方向变了吗？（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的.方向改变了！老师:学生们观察得很仔细。

初中数学知识归纳不等式的基本概念和性质初中数学知识归纳——不等式的基本概念和性质不等式是数学中常见的一种关系表示方法，用于描述数值的大小关系。

在初中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，掌握不等式的基本概念和性质对于解题和拓展数学思维非常关键。

本文将对初中数学中不等式的基本概念、不等式的性质以及一些相关的解题方法进行归纳总结。

一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的两个数之间的大小关系。

例如，a < b表示a小于b，a > b表示a大于b，a ≤ b 表示a小于等于b，a ≥ b表示a大于等于b。

2. 不等式的解：对于单个不等式，解是使得不等式成立的数的取值范围。

解可以是有限集合，也可以是无限集合。

二、不等式的性质1. 不等式的传递性：对于任意实数a、b、c，如果a < b且b < c，则有a < c。

这意味着如果不等式链中的不等号方向一致，则整个不等式链成立。

2. 不等式的加减性：对于不等式a < b和任意实数c，有a + c < b + c。

同样地，如果a > b，则有a - c > b - c。

这就是不等式的加减性质。

3. 不等式的乘除性：对于不等式a < b和正实数c，有ac < bc；如果a > b且c为负实数，则有ac > bc。

同样地，如果c为正实数，且a > b，则ac > bc。

这就是不等式的乘除性质。

4. 反向不等式：对于不等式a < b，取相反数得到-a > -b。

同样地，如果a > b，则-a < -b。

反向不等式是指改变不等号方向后得到的不等式。

三、不等式的解题方法1. 图解法：对于简单的不等式，可通过图形来解决。

将不等式表示的数轴上的点标出，并根据不等号表示的关系确定解的范围。

2. 存在性法：对于含未知数的不等式，可以通过判断某个特定数是否满足不等式，并验证该数范围的其他数是否满足不等式来确定解的范围。

不等式的基本性质 ●教学目标 （一）教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. （二）能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. （三）情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与 交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. ●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§1.2 A） 第二张：（记作§1.2 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得 的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. ［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 ［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法. ［生］∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a＜5+a 3－a＜5－a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. ［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. ［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3×21＜5×21. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. ［生］不对. 如3＜5 3×（－2）＞5×（－2） 所以上面的总结是错的. ［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. ［生］如3＜4 3×3＜4×3 3×31＜4×31 3×（－3）＞4×（－3） 3×（－31）＞4×（－31） 3×（－5）＞4×（－5） 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导. ［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用.