广东省佛山市南海区2014届高三8月质量检测数学文试题

2014年高考广东文科数学模拟试题一、单项选择题（本大题共15小题，每题4分，共60分）1．将连续的立方体ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为外面四棱锥体，A1B1C1D1为内部四棱锥体，外加表面积最小的把这两个四棱锥体连接起来，若外部表面积为48x，则内部表面积为（A）8x（B）16x （C）24x（D）32x2．已知圆C的圆心坐标（0，0），半径为2，直线l：y＝2x-1与圆C的位置关系是（A）相切（B）外切（C）内切（D）相交3．在等腰梯形ABCD中，AD垂直AB，CE为AD的中线，AB＝3，AD＝2，BC＝1，求该梯形的面积是（A）1（B）2（C）3（D）44．已知点M（1，3），N（-2，4），P（4，3），Q（-1，2），则MN 是（A）线段（B）矢线（C）射线（D）空间线段5．函数f（x）＝x+lnx在区间[1，e] 内的值域是（A）［0，2］（B）［1，2］（C）［2，3］（D）［3，4］二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）6.函数f（x）＝ax+b，其导函数为_______ 。

7.函数f（x）＝lnx，x＞0，当x＝e时，f（x）的值为_______ 。

8.已知|AC|＝6，|BC|＝4，|AB|＝8，三角ABC的外接圆半径为_______ 。

9.下列函数中，f（x）＝sinx的几何意义是_______ 。

10. 根据下列图形特征，判断它的几何形状为_______三、解答题（本大题共4小题，共70分）11．（本小题满分12分）已知x＞0，则求函数f（x＝x－ex的定义域及最大值。

解：定义域为x＞0；设f（x）的最大值为M，即M＝f（x0）＝x0-ex0，当x0满足f'（x0）＝0时，M取得最大值，即1-ex0＝0，则x0＝e，所以M＝f（e）＝e-ee＝1，即函数f（x）的最大值为M＝1.12．（本小题满分14分）曲线ABCD的极坐标方程为：Ǒ＝2cos2象限，则此曲线的面积为_______ 。

一．基础题组1。

【广东省惠州市2014届高三第一次模拟考试(理）】已知{}2 |450 A x x x =--=，{}2 | 1 B x x ==,则A B =（ )A ．{} 1B ．{} 1 , 1 , 5 -C ． {} 1 -D ．{} 1 , 1 , 5 --2.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考(理）】已知集合U =R ,2{560}A x x x =-+≥，那么=A C u （ ） A.{2x x <或3}x > B.{23}x x << C 。

{2x x ≤或3}x ≥ D.{23}x x ≤≤3.【广东省韶关市2014届高三上学期摸底考试（理）】若集合}1|{2<=x x M ，1{|}N x y x ==,则N M =（ ）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<4.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检(理）】设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于（ )(A ）{|01}x x <<(B ）{}21<<x x (C ）{}20<<x x (D ） {|2}x x > 5.【广东省十校2014届高三第一次联考(理）】设集合{}23,log P a =,{},Q a b =，若{}0PQ =，则 P Q =( ）A ．{}3,0B ．{}3,0,2C ． {}3,0,1D ．{}3,0,1,26.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试（理）】已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则A B ⋃=（ ） A. {0}x x > B 。

{1}x x > C. {12}x x << D 。

{02}x x <<7.【广东省惠州市2014届高三年级第一次调研考试（理）】已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 ( ）A 。

2014年佛山市高三年级第一次调研考试数学（文科）2014.1一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 已知函数x y ln =的定义域A ，}10{≤≤=x x B ，则=B A A.),0(+∞ B.]1,0[ C.]1,0( D.)1,0[2. 已知R b a ∈,，i 为虚数单位，若iibi a +=+-121，则实数=+b a A.2 B.3 C.4 D.53. 设函数12sin 2-=x y 的最小正周期为T ，最大值为A ，则A.π=T ，1=AB.π2=T ，1=AC.π=T ，2=AD.π2=T ，1=A4. 已知1=a ，)2,0(=b ，且1=⋅b a ，则向量a 与b夹角的大小为A.6π B.4π C.3π D.2π 5. 给定命题p ：若R x ∈，则21≥+xx ；命题q ：若0≥x ，则02≥x ，则下列各命题中，假命题的是 A.q p ∨ B.q p ∨⌝)( C.q p ∧⌝)( D.)()(q p ⌝∧⌝6. 某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为060的扇形，则该几何体的体积为A.3πB.32π C.π D.π27. 若函数()2223--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：2)1(-=f 625.0)5.1(=f 984.0)25.1(-=f 260.0)375.1(-=f162.0)4375.1(-=f054.0)40625.1(-=f那么方程02223=--+x x x 的一个最接近的近似根为 A.2.1 B.3.1 C.4.1 D.5.18. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为7，则输出的s 的值为A.22B.16C.15D.119. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为A.31B.21C.33D.2210. 将2n 各正整数1，2，3， ，2n 任意排成n 行n 列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a 、b )(b a >的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，当2=n 时，数表的所有可能的“特征值”最大值为A.23B.34C.2D.3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11. 一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个样本容量为20的样本，已知乙层中每个个体被抽到的概率为91，则总体中的个体数为 .12. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=020222x x x x x x x f ，，，若()3<a f ，则a 的取值范围是 .13. 如果实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-10103x y x y x ，若直线)1(-=x k y 将可行区域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14. （坐标系与参数方程）在极坐标中，设曲线1C ：1cos =θρ与曲线2C ：θρcos 4=的交点分别为A 、B ，则=AB .15. （坐标系与参数方程）如图，从圆O 外引一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且b a 23=，C B =. （Ⅰ）求B cos 的值；（Ⅱ）设函数())2sin(B x x f +=，求)6(πf 的值.佛山某中学高三（一）班的排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：xxx、159、162、173、181、165、176、168、178、179.（Ⅰ）请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；（Ⅱ）现从两队所有身高超过178cm的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率为多小？如图，矩形ABCD 中，12=AB ，6=AD ，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且3=DE ，4=BF ，将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置（如图所示），连结AP 、PF ，其中52=PF . （Ⅰ）求证：⊥PF 平面ABED ；（Ⅱ）在线段PA 上是否存在点Q 使得//FQ 平面PBE ？若存在，请求出Q 的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求点A 到平面PBE 的距离如图，椭圆C 的两个焦点分别为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，且2F 到直线093=--y x 的距离等于椭圆的短轴长.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 的圆心为),0(t P )0(>t ，且经过1F 、2F ，Q 是椭圆上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当QM 的最大值为223时，求t 的值.数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，81=a ，161=b ，且n a 、n b 、1+n a 成等差数列，n b 、1+n a 、1+n b 成等比数列， ,3,2,1=n .（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）记111++=n n n a a c ，证明：对一切正整数n ，有831111321<++++n c c c c .已知函数()x a x x x f ln 21-+=.（Ⅰ）若1=a ，求()x f 在点())1,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()x f 的极值点.。

2014年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5} 2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（4，3）4．（5分）若变量x，y满足约束条件A．7B．8，则z=2x+y的最大值等于（）C．10D．115．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．2x﹣B．x3sinx C．2cosx+1D．x2+2x6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50B．40C．25D．207．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA ≤sinB”的（）A．充分必要条件C．必要非充分条件8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线A．实半轴长相等B．虚半轴长相等B．充分非必要条件D．非充分非必要条件﹣=1与﹣=1的（）C．离心率相等D．焦距相等9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4C．l1与l4既不垂直也不平行B．l1∥l4D．l1与l4的位置关系不确定10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω1对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z1则真命题的个数是（）A．1B．2C．3其中2，2是ω2的共轭复数，D．4二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．13．（5分）等比数列{an }的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=．（二）（1415题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．18．（13分）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF ．（1）证明：CF ⊥平面MDF ；（2）求三棱锥M ﹣CDE 的体积．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n 满足S n 2﹣（n 2+n ﹣3）S n ﹣3（n 2+n ）=0，n ∈N *．（1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有++…+＜．20．（14分）已知椭圆C：为．+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x）=f（）．2014年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，∴M∩N={2，3}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：∵满足（3﹣4i）z=25，则z===3+4i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（4，3）【考点】99：向量的减法；9J：平面向量的坐标运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（3，1），∴﹣=（2，﹣1）故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．4．（5分）若变量x，y满足约束条件A．7，则z=2x+y的最大值等于（）C．10D．11B．8【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．5．（5分）下列函数为奇函数的是（）A ．2x ﹣B ．x 3sinxC ．2cosx +1D ．x 2+2x【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的定，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论．【解答】解：对于函数f （x ）=2x ﹣故此函数为奇函数．对于函数f （x ）=x 3sinx ，由于f （﹣x ）=﹣x 3（﹣sinx ）=x 3sinx=f （x ），故此函数为偶函数．对于函数f （x ）=2cosx +1，由于f （﹣x ）=2cos （﹣x ）+1=2cosx +1=f （x ），故此函数为偶函数．对于函数f （x ）=x 2+2x ，由于f （﹣x ）=（﹣x ）2+2﹣x =x 2+2﹣x ≠﹣f （x ），且f （﹣x ）≠f （x ），故此函数为非奇非偶函数．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（），由于f （﹣x ）=2x ﹣﹣=﹣2x =﹣f （x ），A ．50B ．40C ．25D ．20【考点】B4：系统抽样方法．【专题】5I ：概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25．故选：C ．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．7．（5分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b”是“sinA ≤sinB”的（）A ．充分必要条件C ．必要非充分条件B ．充分非必要条件D ．非充分非必要条件【考点】HP ：正弦定理．【专题】5L ：简易逻辑．【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可．【解答】解：由正弦定理可知⇒=，∵△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 均小于180°，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∴a ，b ，sinA ，sinB 都是正数，∴“a ≤b”⇔“sinA ≤sinB”．∴“a ≤b”是“sinA ≤sinB”的充分必要条件．故选：A ．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．8．（5分）若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等﹣=1与﹣=1的（）C ．离心率相等D ．焦距相等【考点】KC ：双曲线的性质．【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a ，b ，c 的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k ＜5，则0＜5﹣k ＜5，11＜16﹣k ＜16，即曲线﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2=16，b 2=5﹣k ，c 2=21﹣k ，曲线﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2=16﹣k ，b 2=5，c 2=21﹣k ，即两个双曲线的焦距相等，故选：D ．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a ，b ，c 是解决本题的关键．9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（）A ．l 1⊥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行B ．l 1∥l 4D ．l 1与l 4的位置关系不确定【考点】LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论．【解答】解：在正方体中，若AB 所在的直线为l 2，CD 所在的直线为l 3，AE 所在的直线为l 1，若GD 所在的直线为l 4，此时l 1∥l 4，若BD 所在的直线为l 4，此时l 1⊥l 4，故l 1与l 4的位置关系不确定，故选：D．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω1对任意复数z 1，z 2，z 3有如下命题：①（z 1+z 2）*z 3=（z 1*z 3）+（z 2*z 3）②z 1*（z 2+z 3）=（z 1*z 2）+（z 1*z 3）③（z 1*z 2）*z 3=z 1*（z 2*z 3）；④z 1*z 2=z 2*z 1则真命题的个数是（）A．1其中2，2是ω2的共轭复数，B．2C．3D ．4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】5L：简易逻辑；5N ：数系的扩充和复数．【分析】根据已知中ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假，可得答案．【解答】解：①（z 1+z 2）*z 3=（z 1+z 2）确；=（z 1+z 2=（z 1*z 3）+（z 2*z 3），正②z 1*（z 2+z 3）=z 1（③（z 1*z 2）*z 3=z 1成立，故错误；④z 1*z 2=z 1，z 2*z 1=z 2）=z 1（+）=z 1+z 1=（z 1*z 2）+（z 1*z 3），正确；）=z 1z 3，等式不，z 1*（z 2*z 3）=z 1*（z 2）=z 1（，等式不成立，故错误；综上所述，真命题的个数是2个，故选：B ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11．（5分）曲线y=﹣5e x +3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x +y +2=0．．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．【解答】解：y′=﹣5e x ，∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y +2=﹣5x ，即5x +y +2=0．故答案为：5x +y +2=0．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题．12．（5分）从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】5I ：概率与统计．【分析】求得从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母、取到字母a 的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，共有取到字母a ，共有∴所求概率为故答案为：．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．13．（5分）等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5=4，则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=5．=10种情况，=4种情况，=．【考点】4H ：对数的运算性质；87：等比数列的性质；89：等比数列的前n 项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】可先由等比数列的性质求出a 3=2，再根据性质化简log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=5log 2a 3，代入即可求出答案．【解答】解：log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=log 2a 1a 2a 3a 4a 5=log 2a 35=5log 2a 3．又等比数列{a n }中，a 1a 5=4，即a 3=2．故5log 2a 3=5log 22=5．故选为：5．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为（1，2）．【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．【解答】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，即y=2x2．由ρcosθ=1，得x=1．联立，解得：．∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．【考点】%H：三角形的面积公式．【专题】58：解三角形．【分析】证明△CDF∽△AEF，可求．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，∴AB∥CD，CD=3AE，∴△CDF∽△AEF，∴==3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f （x ）=Asin （x +（1）求A 的值；（2）若f （θ）﹣f （﹣θ）=），x ∈R ，且f （）=．，θ∈（0，），求f （﹣θ）．【考点】GP ：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）通过函数f （x ）=Asin （x +A 的值；（2）利用函数的解析式，通过f （θ）﹣f （﹣θ）=利用两角差的正弦函数求f （﹣θ）．），x ∈R ，且f （，）=，，θ∈（0，），求出cosθ，），x ∈R ，且f （）=，直接求【解答】解：（1）∵函数f （x ）=Asin （x +∴f （∴）=Asin （．+）=Asin=（2）由（1）可知：函数f （x ）=3sin （x +∴f （θ）﹣f （﹣θ）=3sin （θ+=3[（=3•2sinθcos ∴sinθ=∴cosθ=，，=3sinθ=，），））]）﹣3sin （﹣θ+）﹣（∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）19282930313240合计工人数（人）133543120（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可．【解答】解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为：这20名工人年龄的方差为S 2=2=30．[（19﹣30）2+3×（28﹣30）2+3×（29﹣30）+5×（30﹣30）2+4×（31﹣30）2+3×（32﹣30）2+（40﹣30）2]=12.6．【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．18．（13分）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF ．（1）证明：CF ⊥平面MDF ；（2）求三棱锥M ﹣CDE 的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW ：直线与平面垂直．【专题】5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角；5Q ：立体几何．【分析】（1）要证CF ⊥平面MDF ，只需证CF ⊥MD ，且CF ⊥MF 即可；由PD ⊥平面ABCD ，得出平面PCD ⊥平面ABCD ，即证MD ⊥平面PCD ，得CF ⊥MD ；（2）求出△CDE 的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD ，计算它的体积V M﹣CDE．【解答】解：（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ；又平面PCD ∩平面ABCD=CD ，MD ⊂平面ABCD ，MD ⊥CD ，∴MD ⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥MD ；又CF ⊥MF ，MD 、MF ⊂平面MDF ，MD ∩MF=M ，∴CF ⊥平面MDF ；（2）∵CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF ，又∵Rt △PCD 中，DC=1，PC=2，∴∠P=30°，∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，CF=CD=；∵EF ∥DC ，∴∴DE==，即，；=，，∴PE=∴S△CDE=CD•DE=MD===×=，．∴V M﹣CDE =S△CDE•MD=×【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n 满足S n 2﹣（n 2+n ﹣3）S n ﹣3（n 2+n ）=0，n ∈N *．（1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有++…+＜．【考点】8H ：数列递推式；8K ：数列与不等式的综合．【专题】54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S 1=a 1求出a 1的值；（2）利用a n 与S n 的关系，将条件转化为a n 的方程，从而求出a n ；（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．【解答】解：（1）令n=1得：∴（S 1+3）（S 1﹣2）=0．∵S 1＞0，∴S 1=2，即a 1=2．（2）由．∵a n ＞0（n ∈N *），∴S n ＞0．∴．，得：，即．∴当n ≥2时，又∵a 1=2=2×1，∴．==＜=＜；（3）由（2）可知n ∈N *，当n=1时，显然有当n ≥2时，＜+，=（），=﹣＜．所以，对一切正整数n ，有【点评】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．20．（14分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P （x 0，y 0）为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K3：椭圆的标准方程．【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a 和b ，则椭圆的方可得．（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k 的一元二次方程，利用韦达定理表示出k 1•k 2，进而取得x 0和y 0的关系式，即P 点的轨迹方程．【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A 、B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P 的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P （x 0，y 0）的切线为y=k （x ﹣x 0）+y 0，+=+=1，4x 2+9[k 2x 2+﹣2kx 0x ++2ky 0x ﹣2ky 0x 0]=36整理得（9k 2+4）x 2+18k （y 0﹣kx 0）x +9[（y 0﹣kx 0）2﹣4]=0，∴△=[18k （y 0﹣kx 0）]2﹣4（9k 2+4）×9[（y 0﹣kx 0）2﹣4]=0，整理得（x 02﹣9）k 2﹣2x 0×y 0×k +（y 02﹣4）=0，∴﹣1=k 1•k 2=∴x 02+y 02=13．=﹣1，把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=13．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x 和y 关系．21．（14分）已知函数f （x ）=x 3+x 2+ax +1（a ∈R ）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈（0，）∪（，1），使得f （x 0）=f （）．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数研究函数的最值．【专题】51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】对第（1）问，先求导，再通过一元二次方程的实根讨论单调性；对第（2）问，可将f （x 0）=f （）转化为f （x 0）﹣f （）=0，即将“函数问题”化为“方程是否有实根问题”处理．【解答】解：（1）由f （x ）得f′（x ）=x 2+2x +a ，令f′（x ）=0，即x 2+2x +a=0，判别式△=4﹣4a ，①当△≤0即a ≥1时，f′（x ）≥0，则f （x ）在（﹣∞，+∞）上为增函数．②当△＞0即a ＜1时，方程f′（x ）=0的两根为当x ∈（﹣∞，﹣1﹣当当，即，）时，f′（x ）＞0，则f （x ）为增函数；时，f′（x ）＜0，则f （x ）为减函数；，+∞）时，f′（x ）＞0，则f （x ）为增函数．综合①、②知，a ≥1时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），a ＜1时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，f （x ）的单调递减区间为和．，+∞），（2）∵==21===∴若存在∪．，使得∪，即内必有实数解．，则关于x 的方程4x 2+14x +7+12a=0在∵a ＜0，∴△=142﹣16（7+12a ）=4（21﹣48a ）＞0，方程4x 2+14x +7+12a=0的两根为∵x 0＞0，∴依题意有即得∴当得当得，且，且∪成立；∪成立．∪{}时，不存在∪，使．时，存在唯一的∪，使，，且，，∴49＜21﹣48a ＜121，且21﹣48a ≠81，，即，【点评】1．求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．2．对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．22。

一．基础题组1.【广东省十校2014届高三第一次联考（理）】一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．21B ．1C ．23D ．22.【广东省广州市越秀区2014届高三入学摸底考试（理）】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为 （ ）A.12πB.15πC.21πD.24π3.【广东省汕头市金山中学2014届高三上学期摸底考试（理）】已知b a ,为异面直线,⊥a 平面α,⊥b 平面β.直线l 满足βα⊄⊄⊥⊥l l b l a l ,,,,则（ ）A. α与β相交,且交线平行于lB. βα//,且α//lC. α与β相交,且交线垂直于lD. βα⊥,且β⊥l4.【广东省惠州市2014届高三年级第一次调研考试（理）】对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,a b b α⊂,则//a αC.若//,,,a b αβαγβγ==则//a bD.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考（理）】已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于 ．6.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】已知集合A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B =．若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a b a c c b ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a b a c c b ⊥⎧⇒⊥⎨⎩其中所有正确命题的序号是 .7.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检（理）】一个几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的表面积为 ．【答案】75+【解析】试题分析：如图该几何体为四棱柱，上下底面为梯形，其表面积为75+考点：三视图的概念和运算.二．能力题组1.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（）π+ C. D.A.πB.2)+2)2.【广东省韶关市2014届高三摸底考试（理）】某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A ．203 B.43 C.6 D.4俯视图主视图3.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试（理）】一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm ）则该组合体的体积为（ ）A. 720003cmB. 640003cmC. 560003cmD. 440003cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，这个几何体是由两个四棱柱组成的简单组体，体积604010204050V =⨯⨯+⨯⨯＝640003cm .考点：1.空间几何体的三视图的识别；2.空间几何体体积的求法.4.【广东省东莞市2013届高三模拟考试一（理）】一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．9B ．10C ．11D ．232三．拔高题组1.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考（理）】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 中点，M 是棱PC 上的点，2PD PA ==， 11,2BC AD CD === （1）若点M 是棱PC 的中点，求证：//PA 平面BMQ ；（2）求证：平面PQB ⊥底面PAD ；（3）若二面角M-BQ-C 为030，设PM=tMC ，试确定t 的值．∵AD // BC，BC=12AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． (6)分∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，……………………7分如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；(0,0,0)Q ，P ，B ，(1C -．………11分设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---，∵PM tMC =，2.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】如图, 111ABC A B C -中,侧棱与底面垂直, AB AC ⊥,12AB AC AA ===,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.（1）证明: 11//MN A ACC 平面;（2）求二面角N MC A --的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）通过添加辅助线，构造线线平行，借助线面平行的判断定理证明；（2）利用空间向量法求解，借助1MA 是平面MCA 的一个法向量和求解平面NMC 的法向量为(,,)n x y z =,利用向量的夹角公式进行求解二面角.试题解析：（2）以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz ,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B C ,111(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2)A B C ,(1,0,1),(1,1,2)M N …………8分3.【广东省韶关市2014届高三摸底考试（理）】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA == ，2AB =，点E 是AB 的中点.（1）求三棱锥1D DCE -的体积； （2）证明：11D E A D ⊥;（3）求二面角1D EC D --的正切值.三棱锥1D DCE -的体积111111132323V DD DE CE =⋅⋅⋅=⨯⨯=……4分 （2）连结1A D , 因为11A ADD 是正方形，所以11AD A D ⊥ 又AE ⊥面11ADD A 1A D ⊂面11ADD A ，直角三角形1D DE 中，11,DD DE =1tan 2D ED ∠=二面角1D EC D --的正切值为2………………13分 解法（二）如图，以D 为原点，DA 为x 轴建立空间坐标系D xyz - 因为点E 是AB 的中点，且11,2AD AA AB ===则11(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,0,0),(0,2,0)D E A D C4.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检（理）】如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A'，连接EF，A B'．'⊥；（1）求证：A D EF'--的余弦值．（2）求二面角A EF D∴BE BF =，DE DF =， ∴点G 为EF 的中点，且BD EF ⊥ ……7分 ∵正方形ABCD 的边长为2，∴1A E A F ''==，∴A G EF '⊥ ……8分 ∴A GD '∠为二面角A EF D '--的平面角 ……9分由（1）可得A D A G ''⊥，∴△A DG '为直角三角形 ……10分 ∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD =EF =，方法二：∵正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点， ∴1BE BF A E A F ''====，∴EF ……6分∴222A E A F EF ''+=，∴A E A F ''⊥ ……7分由（1）得A D '⊥平面A EF '， ∴分别以A E '，A F '，A D '为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz '-， ……8分 则(0,0,0)A '，(1,0,0)E ，(0,1,0)F ，(0,0,2)D ……9分5.【广东省十校2014届高三第一次联考（理）】在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =.（1）求证：//BE 面PAD ； （2）求证：面PBC ⊥面PBD ；（3）设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值使得二面角Q BD P --为045.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）能确定，1λ=.【解析】试题分析：（1）先证明FABE 为平行四边形，所以//BE AF ，即证明//BE PAD 面；（2）先证明（3）以D 为原点, ,DA DC DP ，所在直线分别为X 轴, Y 轴, Z 轴建立空间直角坐标系.(0,0,1)P ，(0,2,0)C ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，令000(,,)Q x y z ，∵PQ PC λ=，∴(0,2,1)Q λλ-又BC ⊥面PBD ∴BC 即为面PBD 法向量(1,1,0)n =-又Q 在棱PC 上 ∴01λ<< ∴1λ=为所求.考点：1.线面平行的证明；2.面面垂直的判断；3.向量的夹角公式.6.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试（理）】在边长为4cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为B ,构成一个三棱锥． （1）请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）证明AB ⊥平面BEF ；（3）求二面角M EF B --的余弦值．（2）证明：由题意可知AB BE ⊥的关系在折叠前后都没有改变.因为在折叠前AD DF ⊥，由于折叠后AD AB 与重合，点D F 与重合，所以AB BF ⊥因为=AB BE AB BF BE BEF BF BEF BE BF B⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⎨⎪⊂⎪⋂⎪⎩面面，所以AB ⊥平面BEF .（3）解：,,EF G MF BG MG 记的中点为连接、、,,,BE BF ME MF BG EF MG EF ==⊥⊥因为所以且所以MGB ∠是二面角M EF B --的平面角.因为AB ⊥BEF 面，所以090MGB ∠=.在BEF ∆中，BG =，由于2MB =，所以MG ==，于是cos MGB ∠==. 所以，二面角M EF B --. 考点：1.线面平行；2.线面垂直的判定；3.二面角的概念及其求法.7.【广东省广州市越秀区2014届高三入学摸底考试（理）】如图，菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=，AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，DM =（1）求证：//OM 平面ABD ；（2）求证：平面DOM ⊥平面ABC ；（3）求二面角D A B O --的余弦值.试题解析：（1）因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以//OM AB . 因为OM ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD .（2）因为在菱形ABCD 中，OD AC ⊥，所以在三棱锥B ACD -中，OD AC ⊥. 在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，60BAD ∠=，所以BD ＝4.因为O 为BD 的中点，考点：1.直线与平面平行；2.平面与平面平行；3.二面角8.【广东省东莞市2013届高三模拟考试一（理）】如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =．（1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2.由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分（2）（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． ----------------7分 由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴CD PB ⊥，又DE CD D =，∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ，∴CE PB ⊥，--------------9分 ∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角． -----------------10分由（Ⅰ）可知CD =，3PD DB ==，9.【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考（理）】已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V 的大小；（2）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；（3）试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ BQ ⊥并说明理由.【答案】（1）403V =；（2）异面直线DE 与AB ；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先由三视图确定该几何体为四棱锥，然后由三视图确定该四棱锥的底面积与高，最后利用锥体的体积来计算该几何体的体积V ；（2）解法一是作以DE 、BD 为邻边作平行四边形∵OE ==OD ==∴2OE OD OQ ED ⋅=== ∴以O 为圆心、以BC 为直径的圆与DE 相切．切点为Q∴BQ CQ ⊥考点：1.三视图；2.锥体体积的计算；3.异面直线所成的角；4.空间向量法；5.勾股定理 10.【广东省汕头市金山中学2014届高三上学期摸底考试（理）】如图，在平行四边形ABCD 中，BC AB 2=＝2，.120︒=∠ABC M 、N 分别为线段CD AB ,的中点，连接DM AN ,交于点O ，将△ADM 沿直线DM 翻折成△DM A '，使平面DM A '⊥平面BCD ，F 为线段C A '的中点.（1）求证：⊥ON 平面DM A '；（2）求证：BF ∥平面DM A '；（3）直线FO 与平面DM A '所成的角.以ON为x轴，OM为y轴，OA 为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，120ADN ABC ∠=∠=，11.【广东省惠州市2014届高三年级第一次调研考试（理）】如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直,且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点.(1)求O 点到面ABC 的距离；(2)求二面角E AB C --的正弦值.【答案】(1) ;(2) 1830.AB C E O30766sin arcsin.(arccos)3181818 EGEFG EFGEF∠===∠=或表示为,故所求的正弦值是1830……………14分方法二: (1)以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

图12014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则A B =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 2y x x =的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,A = B . T π=,2A = C ．2T π=,A = D ．2T π=,2A = 4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3π B ．23π C ．π D ．2π5．给定命题p :若20x ≥，则0x ≥；命题q :已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2- 7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为A ．232B ．211C ．210D ．191 8．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的 比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表 的所有可能的“特征值”最大值为A ．3B ．43 C ．2 D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分． (一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.排球队 篮球队图4A..A CD BEF 图5 图6ABCD PEF如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M,当QM 的最大值为2时,求t 的值.图数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n = .（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<---- .21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围. \2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准9．18010．2,43⎛⎫-⎪⎝⎭11．8 12．2413．13 14． 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又a =， 所以222cos 2a c b B ac+-=， ………………………………………………………3分23b= ……………………………………………………………………4分=……………………………………………………………………5分 解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分又2sin cos B B B = ………………………………………4分∵sin 0B ≠， ∴cos B =.……………………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B==，………………………………………………………………7分（注：直接得到sin B =）所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………………………………………………8分sin cos cos sin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12424=+⨯…………………………………………………………11分 38=. …………………………………………………………12分17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）解法二图 A C D P E F H(Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………5分 （注：正确写出X 的值1分）203)0(15141311===C C C C X P , ()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,………………………………………………………………………………10分 （注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）……………………………………………11分 所以X 的数学期望20232062*********=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分 （注：若学生将X 写成ξ 本次不扣分，但要告诉学生，在高考中会不得分）18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==,在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==,所以PF BF ⊥ ………………………………………2分在图1中,易得EF ==………………………………………3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥ ………………………………………4分 又BF EFF = ,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . (6)分（注：学生不写扣1分） (Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,(6,8,P ,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(AP =,(FP = ,()6,5,0EF =, …………8分设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x yz ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得()5,6,0=-n ,………………………………………………………………………………12分排球队 篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 9 2 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅=== nn. 所以直线AP 与平面PEF. ………………………………………………14分 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED所以PF AH ⊥,又EF PF F = ,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF , 所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. ………………………………………………………9分在Rt APF ∆中,AP …………………………………………11分在AEF ∆中,由等面积公式得AF AD AH EF ⋅==…………………………………………………13分 在Rt APH ∆中,sin 427AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF. ………………………………………………14分19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, ……………………………………………………………………1分 所以2b = …………………………………………………………2分 又1c =, …………………………………………………………3分所以2225a b c =+=, …………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………………………………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分 圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==8分=…………………………………………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且max QM ==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, …………………………………………12分且max 2QM ==,解得218t =,又102t <<,所以4t =………………………………13分综上,当4t =,QM的最大值为2. ……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. …………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=， …………………………………4分因为数列{}n a 、{}n b的每一项都是正数，所以1n a +…②.于是当2n ≥时，n a …③. …………………………………………………………………4分将②、③代入①式，可得 …………………………………………………………5分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，（注：学生不写上述陈述扣1分）()122n d n -=+，于是()241n b n =+. …………………………………………………6分 由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n +. …………………………………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………8分 （注：学生从特殊到一般归纳猜想出,n n a b 的解析式各1分，正确证明通项公式各2分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L .…………………………9分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）.因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>, …………………………10分所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …12分 当1n =时，1277<. ……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<---- ……………………………14分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. ……………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. …………………………………………13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭.当4n ≥时,2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<. ……………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分 (Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, …………………………………………………2分 所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. ……………………………………………3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞. ⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x+-'=+-=， ……………………………………………4分令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =…5分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ……………………………………6分① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a <-(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， ……………………………………8分若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x ，4x 且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………9分综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x 的极小值点为x =…………………………………………………10分（Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.由()0f x >，可得ln 2xx a x +>…（*） …………………………………………………11分 （ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02xx <，0x a +≥，不等式（*）恒成立；（ⅱ）当1x =时，ln 02xx=，即10a +>，所以1a ≠；…………………………………………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x>-+恒成立.令()ln 2x g x x x=--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x x g x x --+'=<， 因此()ln 2xg x x x =--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值，所以ln 2xa x x<--不可能恒成立.令()ln 2xh x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.…………………………………………………………14分。

一．基础题组1.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考（理）】已知圆22:2410M x y x y +--+，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．2.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】若直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为 .3.【广东省韶关市2014届高三摸底考试（理）】已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .【答案】54.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检（理）】在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦长是 ．【答案】2 【解析】试题分析：直线为)0(≥=x x y ，圆的方程为1122=-+）（y x ，交于原点和点A （1,1），弦长为2.考点：1.直线和圆的极坐标方程；2.两点间的距离公式.5.【广东省十校2014届高三第一次联考（理）】已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为 .【答案】24 【解析】试题分析：圆C的参数方程为3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩的圆心为)1,3(,半径为3，直线普通方程为6.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试（理）】极坐标系中，曲线4cos ρθ=-上的点到直线()cos 8ρθθ=的距离的最大值是 .7.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】已知曲线C的参数方程是12x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是 . 【答案】2cos 4sin ρθθ=+. 【解析】试题分析：曲线C的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），它表示以点()1,2为圆心，C 的标准方程为()()22125x y -+-=，化为一般方程即22240x y x y +--=，化为极坐标方程得22cos 4sin 0ρρθρθ--=，即22cos 4sin ρρθρθ=+，两边约去ρ得2cos 4sin ρθθ=+.考点：1.参数方程；2.直角坐标方程以及极坐标方程之间的转化8.【广东省东莞市2013届高三模拟考试一（理）】在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线极坐标方程为 ．9.【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考（理）】在极坐标系中，直线6πθ=（R ρ∈）截圆2cos 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭所得弦长是 .考点：1.极坐标与直角坐标互化；2.直线截圆所得的弦长10.【广东省湛江市2014届高三普通高考调研测试（理）】极坐标系内，点1,2π⎛⎫⎪⎝⎭到直线cos 2ρθ=的距离是 .11.【广东省惠州市2014届高三年级第一次调研考试（理）】在极坐标系中,圆=4sin ρθ的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是 .12.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考（理）】如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知4AC =，6AB =，则MP NP ⋅= ．13.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】如图圆O 的直径6AB =,P 是AB的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = .【答案】 【解析】试题分析：连接BC ，设PCB α∠=，则CAP α∠=，三角形CAP 中，(90)30180αα++︒+︒=︒，所以30α=︒，所以132BP CB AB ===，而23927CP BP AP ==⨯= ，故CP =考点：切割线定理.14.【广东省韶关市2014届高三摸底考试（理）】如图，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．【答案】13【解析】试题分析：由ACB CDA ∆∆ 可得 13,sin 3AC θ==. 考点：相似三角形.15.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检（理）】如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心．已知6=PA ，317=AB ，12=PO ．则圆O 的半径____=R ．16.【广东省十校2014届高三第一次联考（理）】如图，ABC ∆是O 的内接三角形，PA是O 的切线，PB 交AC 于点E ,交O 于点D ，PA PE =,060ABC ∠=，1PD =，9PB =，则EC =.17.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试（理）】如图， 圆O 的直径6AB =，P是AB 延长线上的一点，过P 作圆的切线，切点为C ，若030CPA ∠=,则CP 的长为 .18.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于点P ，若3AB =，1CD =，则cos APB ∠的值为 .【答案】13-. 【解析】试题分析：如下图所示，连接AD ，由于圆O 是ACD ∆的外接圆，且AB 是圆O 的直径，故有90ADB ∠=，由正弦定理得1sin 3CD CAD AB ∠==，由于APB ∠为ADP ∆的角APD ∠的外角，则APB ADP ∠=∠90CAD CAD +∠=+∠ ，()1cos cos 90sin 3APB CAD CAD ∴∠=+∠=-∠=- .考点：1.正弦定理；2.诱导公式19.【广东省东莞市2013届高三模拟考试一（理）】如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB的中点，直线过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．若3AD AE =，则:AF FC = ．【答案】1:4 【解析】F AB CD E Ml20.【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考（理）】如图AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AD和BE相交于点C，若圆O的半径是3，那么AC AD BC BE⋅+⋅的值等于________________.考点：1.相交弦定理；2.勾股定理21.【广东省湛江市2014届高三普通高考调研测试（理）】如图，在ABC∆中，已知//DE BC，ADE∆的面积是2a，梯形DBCE的面积是82a，则ADAB=.22.【广东省惠州市2014届高三年级第一次调研考试（理）】如图,AD 为圆O 直径,BC切圆O 于点E ,,AB BC DC BC ⊥⊥ , 4,1AB DC ==,则AD 等于 .。

佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学理试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则AB =（ ）A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12.设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =（ ）A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．13.设函数sin 23cos2y x x =的最小正周期为T ,最大值为A ,则（ ）A ．T π=,2AB . T π=,2A =C ．2T π=,2A =D ．2T π=,2A =4.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为（ ） A ．3π B ．23π C ．π D ．2π5.．给定命题p :若20x ≥，则0x ≥；命题q :已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是（ ）A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6.已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2-7.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为A ．232B ．211C ．210D ．191【答案】B8.将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为A ．3B ．43C ．2D ．32第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分，将答案填在答题纸上）(一)必做题(9～13题)9.一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 .10.不等式321x x +>-的解集为_________. 【答案】{}243x x -<<【解析】试题分析：不等式等价于210321x x x -≥⎧⎨+>-⎩，或210312x x x-<⎧⎨+>-⎩，解得142x ≤<，或2132x -<<，故不等式解集为{}243x x -<<.考点：绝对值不等式解法.11.若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______. 【答案】8 【解析】试题分析：令1x =，得012340a a a a a ++++=①；令1x =-，得0123416a a a a a -+-+=②，两式相加得0248a a a ++=. 考点：二项式定理.12.设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13.如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.考点：1、二元一次不等式组表示的平面区域；2、直线的方程. (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．【答案】2 【解析】试题分析：由圆的切割线定理知，2AD AB AC =⋅，所以3AB =，23BC =，取线段BC 中点E ，连接OE ，则OE BC ⊥，连接OB ，在RT OBE ∆中，532OE =-=考点：1、圆的切割线定理；2、垂径定理；3、勾股定理.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且32a b =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.所以X 的分布列为X 01 2 P3202011 206 所以X 的数学期望20232062*********=⨯+⨯+⨯=EX .考点：1、茎叶图；2、方差；3、离散型随机变量的分布列和期望. 18.(本题满分14分)排球队篮球队图4排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、EF 、PF ,其中25PF =.(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线390x y --=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM 的最大值为322时,求t 的值.【答案】 (Ⅰ) 22154x y +=；(Ⅱ)24. 【解析】试题分析：(Ⅰ)求椭圆的标准方程，“先定位后定量”，由题知焦点在x 轴，且1c =，由点到直线的距离求b ，再由222a b c =+求a ，进而写出椭圆的标准方程；(Ⅱ)圆P 的圆心为()0,P t ，半径为21t +，连接PM ，则PM QM ⊥，设点(),Q x y ，在RT PQM ∆中，利用勾股定理并结合22154x y +=，表示()QM f y =，其中22y -≤≤，转化为自变量为y 的二次函数的最值问题处理.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n =.（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<----. 【答案】(Ⅰ)2224,36a b ==；（Ⅱ）()41n a n n =+，()241n b n =+；（Ⅲ）答案详见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)依题意，12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=，并结合已知18a =，116b =，利用赋值法可求2a 、试题解析：(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=，由2212a b b =，可得222136a b b ==.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-. 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）.因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>,所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 当1n =时，1277<.综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++-1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=.综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）5210x y --=；（Ⅱ）当2a <-时,()f x 的极小值点为24a a x ---=和x a =-，极大值点为24a a x -+-=22a -≤≤时,()f x 的极小值点为x a =-；当2a >,()f x 的极小值点为24a a x -++（Ⅲ）()1,-+∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）1a =时，()()11ln 2f x x x x =+-，先求切线斜率k =()512f '=，又切点为(1,2)，利用直线的点斜式方程求出直线方程；（Ⅱ）极值点即定义域内导数为0的根，且在其两侧导数值异号，首先求得定义域为()0,+∞，再去绝对号，分为0a ≥和0a <两种情况，其次分别求()0f x '=的根并与定义域比较，将定义域外的舍去，并结合图象判断其两侧导数符号，进而求极值点；（Ⅲ）()0f x >即ln 2xx a x +>，当()0,1x ∈时，显然成立；当1x =时，-1a ≠，当1x >时，去绝对号得ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x>-+恒成立，转换为求右侧函数的最值处理.试题解析：()f x 的定义域为()0,+∞.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得214a a x -++=224a a x a --+<-(舍去). 24a a a -++≤-，即2a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；24a a a -++>-，即20a <<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增，()f x的极小值点为244a a x -++=.② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得2344a a x ---=，2444a a x -+-=且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减.综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为244a a x ---=和x a =-，极大值点为244a a x -+-=；当22a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；f x的极小值点为x=当a>,()。

图12014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则AB =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 22y x x =+的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,A =B . T π=,2A =C ．2T π=,A = D ．2T π=,2A =4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3πB ．23πC ．πD ．2π5．给定命题p :若20x ≥，则0x ≥；命题q :已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2-7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为A ．232B ．211C ．210D ．191 8．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数 表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的 比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表 的所有可能的“特征值”最大值为A ．3B ．43C ．2D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分．(一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ， 已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．图2A. .ACDBEF图5图6ABCD PEF三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.排球队 篮球队图419.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F到直线90x --=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM的最大值为2时,求t 的值.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n =.（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<----.21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；图7（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．9．180 10．2,43⎛⎫-⎪⎝⎭11．8 12．24 13．1314． 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又a =， 所以222cos 2a c b B ac+-=， ………………………………………………………3分23b =……………………………………………………………………4分=……………………………………………………………………5分 解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分 ∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分 又2sin cos 2B B B =………………………………………4分 ∵sin 0B ≠， ∴cos 4B =.……………………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin 4B ==，………………………………………………………………7分 （注：直接得到sin B =不扣分） 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………8分 sin cos cossin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12=+ …………………………………………………………11分=. …………………………………………………………12分 17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. (4)分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）(Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………5分 （注：正确写出X 的值1分）203)0(15141311===C C C C X P , ()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,………………………………………………………………………………10分 （注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）所以X 的分布列为……………………………………………11分 所以X 的数学期望20232062*********=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分 （注：若学生将X 写成ξ 本次不扣分，但要告诉学生，在高考中会不得分）排球队 篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 9 2 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8解法二图ABCD PEFH【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==,在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==,所以PF BF ⊥………………………………………2分 在图1中,易得EF ==………………………………………3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥ ………………………………………4分 又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . ………………6分（注：学生不写BF EF F =扣1分）(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A,(P ,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(AP =,(FP =,()6,5,0EF =, …………8分 设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得()5,6,0=-n ,………………………………………………………………………………12分 设直线AP与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅===n n427. 所以直线AP 与平面PEF . ………………………………………………14分 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED 所以PF AH ⊥,又EF PF F =,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP与平面PEF 所成的角. ………………………………………………………9分在Rt APF ∆中,AP == …………………………………………11分在AEF ∆中,由等面积公式得AF AD AH EF ⋅==…………………………………………………13分在Rt APH ∆中,sin 427AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为427. ………………………………………………14分【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, ……………………………………………………………………1分 所以2b = …………………………………………………………2分 又1c =, …………………………………………………………3分所以2225a b c =+=, …………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………………………………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分 圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==8分=…………………………………………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且maxQM==解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分 当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, …………………………………………12分且max2QM==,解得218t =,又102t <<,所以4t =………………………………13分综上,当4t =,QM 的最大值为2. ……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. …………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=， …………………………………4分因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=…②.于是当2n ≥时，n a =…③.…………………………………………………………………4分将②、③代入①式，可得 …………………………………………………………5分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，（注：学生不写上述陈述扣1分）()122n d n-=+，于是()241nb n=+. …………………………………………………6分由③式，可得当2n≥时，()41na n n+. …………………………………7分当1n=时，18a=，满足该式子，所以对一切正整数n，都有()41na n n=+.…………………………8分（注：学生从特殊到一般归纳猜想出,n na b的解析式各1分，正确证明通项公式各2分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n++++<+-L.…………………………9分方法一:首先证明2121144171n n n n⎛⎫<-⎪+-+⎝⎭（2n≥）.因为2222212111277882 4417144177n n n nn n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+-⎪+-++-+⎝⎭()()220120n n n n⇔+->⇔-+>, …………………………10分所以当2n≥时，21111211111212723441772317727n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯=⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L. …12分当1n=时，1277<. ……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n，有1231111211117na a a a++++<----……………………………14分方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n⎛⎫<==-⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n≥时，2111723441n n++++-L1111111111172345971123212123n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L111111112723457714147⎛⎫<+++<++=⎪⎝⎭. ……………………………………………………12分当1n=时，1277<；当2n=时，11112723777+<+=. …………………………………………13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n，有7211...111111321<-++-+-+-naaaa……………………………14分方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n⎛⎫<==-⎪+---+-+⎝⎭.当4n≥时,2111723441n n++++-L1111111111117234727991123212121n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L1111272347147<+++<. ……………………………………………………12分当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=； 当3n =时，111111272347714147++<++=.……13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分 (Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, …………………………………………………2分 所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. ……………………………………………3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞. ⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=， ……………………………………………4分 令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =. …5分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a ⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ……………………………………6分 ① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =2x a <-(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即02a <<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， ……………………………………8分2014年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学考试试题11 / 11 若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x = 340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………9分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当22a -≤≤时,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x的极小值点为x =…………………………………………………10分 （Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.由()0f x >，可得ln 2x x a x+>…（*） …………………………………………………11分 （ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02x x<，0x a +≥，不等式（*）恒成立； （ⅱ）当1x =时，ln 02x x=，即10a +>，所以1a ≠；…………………………………………………12分 （ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2x a x x>-+恒成立. 令()ln 2x g x x x=--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x x g x x --+'=<， 因此()ln 2x g x x x=--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值， 所以ln 2x a x x <--不可能恒成立. 令()ln 2x h x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.…………………………………………………………14分。

广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（广东省六校2014届高三第一次联考理科数学试题）下列四个命题中,正确的是（ ）A ．已知ξ服从正态分布()2,0σN ,且()4.022=≤≤-ξP ,则()2.02=>ξP B ．已知命题1tan ,:=∈∃x R x p ;命题01,:2>+-∈∀x x R x q .则命题“q p ⌝∧”是假命题C ．设回归直线方程为x y 5.22-=,当变量x 增加一个单位时,y 平均增加2个单位D ．已知直线013:1=-+y ax l ,01:2=++by x l ,则21l l ⊥的充要条件是 ba =-3【答案】B 对于B,命题p 显然成立,命题q 中,因为△=-3<0,所以,01,:2>+-∈∀x x R x q 成立,即命题q 是真命题,从而q ⌝为假命题,命题“q p ⌝∧”是假命题2 ．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为 （ ）A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,8【答案】C3 ．（广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷）为了了解深圳市高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5—18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下:根据上图可得这100名学生中,体重在[56.5,64.5]的学生人数是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．50 【答案】A4 ．（广东省惠州市2014届高三上学期第二次调研数学（理）试题）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷C 的人数为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．15【答案】【解析】由系统抽样的原理知将960人分30组,所以第一组抽450/30=15人,第二组抽(750-450)/30=10,第三组抽32-15-10=7人.故选A5 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知2~(3,)N ξσ,若(2)0.2P ξ≤=,则ξ≤P(4)等于 （ ）A ．2.0B ．3.0C ．7.0D ．8.0【答案】D6．（广东省十校2014届高三上学期第一次联考数学理试题）学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了n 个同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单 位:元),其中支出在[)30,50(单位:元)的同学有67人,其频率分布直方图如右图所示,则n的值为（ ）A ．100B ．120C ．130D ．390kg ）【答案】A 支出在[)30,50的同学的频率为67.010)023.001.0(1=⨯+-,10067.067==n . 7 ．（广东省普宁侨中2014届高三第一次月考（10月）数学（理）试题）某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,80,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是 （ ）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】B8 ．（广东省中山二中2014届高三9月第一次月考数学理试题）设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ,若()()232P a P a ξξ<-=>+,则a 的值为（ ）A ．73B ．53C ．5D ．3【答案】A因为ξ服从正态分布()3,4N ,且()()232P a P a ξξ<-=>+,所以,23232a a -++=,解得:成绩/分 20 40 60 80 100a=73二、填空题9．（广东省十校2014届高三上学期第一次联考数学理试题）在区间[5,5]-内随机地取出一个数a,使得221{|20}x x ax a∈+->的概率为________.【答案】310由{}221|20x x ax a∈+->,得220a a--<12a⇒-<<,所以所求概率为310.10．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）某小学对学生的身高进行抽样调查,如图,是将他们的身高(单位:厘米)数据绘制的频率分布直方图.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为____.【答案】311．（广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题）如图所示,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一粒豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则(|)P B A=____________.【答案】1412．（广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试数学理试题）在区间[0,2]上随机取一个数a ,在区间[0,4]上随机取一个数b ,则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______.【答案】1313．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）右图是某高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为__________. 【答案】从茎叶图中可知14个数据排序为:79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103114中位数为94与95的平均数94.5 .14．（广东省湛江市湖光中学2014届高三上学期入学考试数学（理）试题）已知一盒子中有围棋子10粒,其中7粒黑子,3 粒白子,从中任意取出2 粒,若ξ表示取得白子的个数,则ξ的数学期望E ξ= _______________ .【答案】3515．（广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题）在区间[]-33，上随机取一个数x ,使得125x x -++≤成立的概率为__________.【答案】5616．（广东省湛江市2014届高三10月高三调研测试数学理试题（WORD 版））已知离散型随机变量X 的分布列为7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4且E(X)=1.5,则a-b=___ 【答案】0.317．（广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）试题）从某地高中男生中随机抽取100名同学,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知体重的平均值为___kg;若要从体重在[ 60 , 70),[70 ,80) , [80 , 90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取12人参加一项活动,再从这12人选两人当正负队长,则这两人身高不在同一组内的概率为_________.【答案】5.64 3218．（2013-2014学年广东省（宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）如图,在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内(含正方体表面)任取一点M ,则11≥⋅AM AA 的概率=p _____.【答案】43;19．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动,其中甲、乙两人都被选中的概率是______.A 1C 40 50 60 70 80 90 体重(kg)频率【答案】115三、解答题20．（广东省惠州市2014届高三上学期第二次调研数学（理）试题）若盒中装有同一型号的灯泡共10只,其中有8只合格品,2只次品.(1) 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次,每次取一只灯泡,求2次取到次品的概率;(2) 某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X 的分布列和数学期望.【答案】解:解:设一次取次品记为事件A,由古典概型概率公式得:51102==）（A P 2分有放回连续取3次,其中2次取得次品记为事件B,由独立重复试验得:1251254.51C 223==）（）（B P(2)依据知X 的可能取值为1.2.3 且541081===）（x P 458822210=⨯==A x P ）（7451321022===A A x P ）（则X 的分布列如下表:911455545345164536==++=EX 21．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【答案】解:设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”( i =1,2,,13).根据题意,1()13i P A =,且()ij A A i j =∅≠(I)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则58B AA =, 所以58582()()()()13P B P A A P A P A ==+=(II)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A 7)+P(A 11)= 413,P(X=2)=P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)= P(A 1)+P(A 2)+P(A 12)+P(A 13)= 413,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 513,所以X 的分布列为:012544131313X P故X 的期望5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大22．（广东省佛山市佛山一中2014届高三10月段考数学（理）试题）某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.【答案】解析 (1)该公司决定对该项目投资的概率为P =C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23+C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133=727(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:“同意”票张数 “中立”票张数 “反对”票张数事件A 0 0 3 事件B 1 0 2 事件C 1 1 1 事件D 01 2P (A )=C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133=127,P (B )=C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133=19,P (C )=C 13C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫133=29, P (D )=C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133=19∵A 、B 、C 、D 互斥,∴P (A +B +C +D )=P (A )+P (B )+P (C )+P (D )=132723．（广东省普宁侨中2014届高三第一次月考（10月）数学（理）试题）甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望.【答案】解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件1A ,“甲队以3:1胜利”为事件2A ,“甲队以3:2胜利”为事件3A ,由题意,各局比赛结果相互独立, 故3128()()327P A ==,22232228()()(1)33327P A C =-⨯=,222342214()()(1)33227P A C =-⨯=,所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是827,827,427; (每个2分) (Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件4A ,由题意,各局比赛结果相互独立, 所以222442214()(1)()(1)33227P A C =-⨯-=, 由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得1212(0)()()()P X P A A P A P A ==+=+1627=, 34(1)()27P X P A ===, 44(2)()27P X P A ===,(3)P X ==1-(0)P X =(1)P X -=(2)P X -=327=故X 的分布列为(每个1分) 所以16443012327272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯79= 24．（广东省六校2014届高三第一次联考理科数学试题）甲乙丙三人商量周末去玩,甲提议去市中心逛街,乙提议去城郊觅秋,丙表示随意.最终,商定以抛硬币的方式决定结果.规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上则甲得一分乙得零分,反面朝上则乙得一分甲得零分,先得4分者获胜,三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为ξ. ⑴求ξ=6的概率; ⑵求ξ的分布列和期望.【答案】解:(1)()323511156222216P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)分布列为:∴115593456784161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=25．（广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）试题）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率; (3)求比赛局数的分布列.【答案】解:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12 记“甲以4比1获胜”为事件A , 则P (A )=34C(12)3·(12)4-3·12=18(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为乙以4比2获胜的概率为P 1=35C 312⎛⎫ ⎪⎝⎭·5312-⎛⎫ ⎪⎝⎭·12=532,乙以4比3获胜的概率为P 2=3361C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭·6312-⎛⎫ ⎪⎝⎭·12=532, 所以P (B )=P 1+P 2=51626．（广东省湛江市2014届高三10月高三调研测试数学理试题（WORD 版））某种品牌的啤酒开展促销活动,期间销售的啤酒瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖,中奖概率为16,甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.(1)求三位同学都没有中奖的概率;(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.【答案】27．（2013-2014学年广东省（宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）某市A B C D四,,,所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: Array为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.(1)问,,,A B C D四所中学各抽取多少名学生?(2)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率;(3)在参加问卷调查的50名学生中,从来自,A C两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用ξ表示抽得A中学的学生人数,求ξ的分布列.【答案】解:(1)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名,抽取的样本容量与总体个数的比值为.∴应从四所中学抽取的学生人数分别为(2)设“从50名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件M , 从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种,来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=∴3502()12257P M ==.答:从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27(3)由(1)知,50名学生中,来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10. 依题意得,ξ的可能取值为0,1,2,2102253(0)20C P C ξ===,1115102251(1)2C C P C ξ===,2152257(2)20C P C ξ===∴ξ的分布列为:28．（广东省揭阳一中等2014届高三上学期开学摸底联考数学理试题 ）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率.(注:将频率视为概率)【答案】解:(1)由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X =========201101( 2.5),(3).100510010p X p X ======∙X 的数学期望为33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,(1,2)i X i =为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且由于顾客的结算相互独立,且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同,所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为98029．（广东省湛江市湖光中学2014届高三上学期入学考试数学（理）试题）甲.乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是32和43假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响(结果可以用分数表示) ⑴求甲射击3次,至少1次未击中．．．目标的概率; ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击,问:乙恰好射击4次后,被中止射击的概率是多少?⑶设甲连续射击3次,用ξ表示甲击中目标的次数,求ξ的数学期望E ξ.【答案】解:(1)记“甲连续射击3次,至少1次未击中目标”为事件A 1,由题意,射击3次,相当于3次独立重复试验,故P(A 1)=1- P(1A )=1-32()3=1927答:甲射击3次,至少1次未击中目标的概率为1927;(2) 记“乙恰好射击4次后,被中止射击”为事件A 2,由于各事件相互独立, 故P(A 2)=41×41×43×41+41×41×43×43 =364,答:乙恰好射击4次后,被中止射击的概率是364(3)根据题意ξ服从二项分布,2323E ξ=⨯= (3)方法二:3311(0)()327p C ξ==⋅= 123216(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=22132112(2)()()3327p C ξ==⋅⋅= 3303218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=说明:(1),(2)两问没有文字说明分别扣1分,没有答,分别扣1分.第(3)问方法对,算错数的扣2分30．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）某社团组织50名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是:1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风;2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示:(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.【答案】解:(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为61244= ∴ 年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为ξ, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ ξ可能的取值为0,1,2 则0224262(0)5C C p C ξ===,1124268(1)15C C p C ξ===,22261(2)15C p C ξ===∴ξ的分布列为∴ ξ的数学期望为2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=31．（广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷）为了参加2013年东亚运动会,从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队,队员来源如下表:对别 北京 上海 天津 广州 人数4 6 35 (1)从这18名对员中随机选出两名,求两人来自同一个队的概率;(2)比赛结束后,若要求选出两名队员代表发言,设其中来自北京的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列,及数学期望.【答案】(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两名,两人来自于同一队”记作事件A,则222246352182()9C C C C P A C +++==(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,1,2 ∵21421891(0)153C P C ξ===,1141421856(1)153C C P C ξ===,242186(2)153C P C ξ===,∴ξ的分布列为:∴915664()0121531531539E ξ=⨯+⨯+⨯=32．（广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）为了了解某班的男女生学习体育的情况,按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生作为样本,他们期末体育成绩的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1) 若该班男女生平均分数相等,求x 的值;(2) 若规定85分以上为优秀,在该10名男生中随机抽取2名,优秀的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.【答案】解:(1)依题意可得,627884879460626479808890919298510x ++++++++++++++=,∴ x =6(2)由茎叶图可知,10名男生中优秀的人数为6人 ∴242102(0)15C P C ξ===,11462108(1)15C C P C ξ===,262101(2)3C P C ξ===,女生 男生 2 6 0 2 4 8 7 9 7 4 8 x 84 9 0 1 2 8∴312816()012151535i i i E P ξξ===⨯+⨯+⨯=∑ .答:ξ的数学期望为6533．（广东省中山二中2014届高三9月第一次月考数学理试题）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(Ⅰ)求甲、乙两人考试均合格的概率;(Ⅱ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望.【答案】甲答对试题数ξ的概率分布如下:甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯34．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%.生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元.设生产各种产品相互独立.(1)记x (单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求x 的分布列; (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.【答案】解:(1)由题设知,x 的可能取值为10,5,2,-3且由生产各种产品相互独立()100.80.90.72P x ==⨯=,()50.20.90.18P x ==⨯=()20.80.10.08P x ==⨯=,()30.20.10.02P x =-=⨯=由此得x 的分布列为:(2)设生产的4件甲产品中一等品有n 件,则二等品有4n -件. 由题设知4(4)10n n --≥, 解得145n ≥, 又n N ∈,得3n =,或4n =所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=答:生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.819235．（广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试数学理试题）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位顾客的相关数据,如下表所示:一次购物量n (件)1≤n ≤3 4≤n ≤6 7≤n ≤9 10≤n ≤12 n ≥13 顾客数(人) x 20 10 5y 结算时间(分钟/人)0.5 1 1.5 2 2.5已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80%. (1)确定x 与y 的值;(2)若将频率视为概率,求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望;(3)在(2)的条件下,若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2分钟的概率.【答案】(1)依题意得,20105080%x ++=⨯,55020%y +=⨯,解得10x =,5y=.(2)该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本,将频率视为概率得, 10(0.5)0.250P X ===,20(1)0.450P X ===,10( 1.5)0.250P X ===, 5(2)0.150P X ===,5( 2.5)0.150P X ===. 所以X 的分布列为X0.5 1 1.5 2 2.5 P0.20.40.20.10.1X 的数学期望为0.50.210.4 1.50.220.1 2.50.1 1.25EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(3)记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A ,该顾客前面第i 位顾客的结算时间为(1,2)i X i =,由于各顾客的结算相互独立,且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同,所以121212()(0.5(0.5)(0.5(1)(0.5( 1.5)P A P X P X P X P X P X P X ==⋅=+=⋅=+=⋅=))) 121212(1(0.5)(1(1)( 1.5(0.5)P X P X P X P X P X P X +=⋅=+=⋅=+=⋅=)))0.20.20.20.40.20.20.40.20.40.40.20.20.44=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 为所求.36．（广东省十校2014届高三上学期第一次联考数学理试题）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可 入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)(I)从这15天的PM2.5日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(II)从这15天的数据中任取三天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;(III)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 【答案】解:(Ⅰ)记“从15天的PM2.5日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A ,1251031545()91C C P A C ⋅==(Ⅱ)依据条件,ξ服从超几何分布:其中15,5,3N M n ===,ξ的可能值为0,1,2,3 其分布列为:()()35103150,1,2,3k kC C P k k C ξ-===(Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为102153P ==, 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η,则η~2(360,)3B23602403E η∴=⨯=, ∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级37．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23.(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.【答案】38．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题）某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):幸福度7 3 08 6 6 6 6 7 7 8 8 9 99 7 6 5 5(1)指出这组数据的众数和中位数;(2)若幸福度不低于9 ,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率;(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到“极幸福”的人数,求ξ的分布列及数学期望.【答案】解:(1)众数:8.6;中位数:8.75(2)由茎叶图可知,幸福度为“极幸福”的人有4人.设iA 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”,至多有1人是“极幸福”记为事件A ,则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P(3)从16人的样本数据中任意选取1人,抽到“极幸福”的人的概率为41164=,故依题意可知,从该社区中任选1人,抽到“极幸福”的人的概率41=P ξ的可能取值为0,1,2,36427)43()0(3===ξP ;6427)43(41)1(213===C P ξ64943)41()2(223===C P ξ;641)41()3(3===ξP所以ξ的分布列为ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯= 另解:由题可知1~(3,)4B ξ, 所以ξE =75.0413=⨯. 39．（广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题）(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).如图3是测量数据的茎叶图:规定:当产品中的此种元素含量不小于18毫克时,该产品为优等品.(1)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率;(2)从乙厂抽出的上述10件样品中,随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ;(3)从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件,也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率.【答案】解:(1)甲厂抽取的样本中优等品有6件,优等品率为63.105= 乙厂抽取的样本中优等品有5件,优等品率为51.102= (2)ξ的取值为0,1,2,30312555533101015(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅======21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅======∴ξ的分布列为∴155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）(3) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件,即A=“抽取的优等品数甲厂2件,乙厂0件”,B=“抽取的优等品数甲厂3件,乙厂1件”2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯=331123331181()()()()5221000P B C C =⨯=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+=40．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第3,4,5组的频率;(2)若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试. ① 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率;② 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官的面试,设第4组中有X 名学生被考官面试,求X 的分布列和数学期望.【答案】(1) 解:第三组的频率为0.06⨯5=0.3; 第四组的频率为0.04⨯5=0.2; 第五组的频率为0.02⨯5=0.1 (2)解:① 设学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的事件为M 则1283301()145C P M C ==②Ｘ的可能取0,1,2,抽取的6人中,第3,4,5组人数分别为3,2,1人 (0)P X ==1233261615C C C ⋅+= (1)P X ==11123226815C C C C ⋅+= (2)P X ==2226115C C =()812215153E X =+⨯= 41．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有75 80 85 90 95 100 分数频率0.010.02。