高考数学二轮复习 专题限时集训(十)数列求和及数列的简单应用配套作业 文(解析版)

高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和（理）1．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}n a 的前10项和为（ ）A ．1041-B ．102(21)-C ．101(41)3-D ．101(21)3-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，则{}n a 的通项公式为n a =（ ） A ．21n -B ．12n -C ．21n-D ．21n +3．数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项和为（ ）A ．100-B ．100C ．110-D ．1104．已知数列{}n a 的通项公式为100n a n n=+，则122399100||||||a a a a a a -+-++-=L （ ） A ．150B ．162C ．180D ．2105．数列{}n a 中，10a =，1n n a a +-=，若9n a =，则n =（ ）A ．97B ．98C ．99D ．1006．在数列{}n a 中，12a =-，111n na a +=-，则2019a 的值为（ ） A ．2-B ．13 C ．12D ．327．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13n n n S S a +=++，4523a a +=，则8S =（ ） A ．72B ．88C ．92D ．988．在数列{}n a 中，12a =，已知112(2)2n n n a a n a --=≥+，则n a 等于（ ）A ．21n + B ．2n C ．31n + D ．3n9．已知数列21()n a n n =-∈*N ，n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，求使不等式20194039n T ≥成立的最小 正整数（ ）一、选择题A ．2017B ．2018C ．2019D ．202010．已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m ，等差数列{}n a 的公差为d ，7835a a ⋅=，4100a a +<，令123||||||||n n S a a a a =++++L ，则m S 的值为（ ）A ．60B ．52C ．44D ．3611．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a 是等差数列， 若23a =，713a =，则1232020()()()()f a f a f a f a ++++=L （ ） A ．2-B ．3-C ．2D ．312．已知数列满足12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ，设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），n ∈*N ，则λ的最小值为（ ）A ．32B ．94C ．3112D ．311813．已知数列{}n a 的通项公式为12n n a n -=⋅，其前n 项和为n S ，则n S = ．14．设数列{}n a 满足1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ，112a =，n a = ． 15．已知数列{}n a 满足1(1)(2)nn n a a n n ---=≥，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则40S = ．16．等差数列{}n a 中，3412a a +=，749S =，若[]x 表示不超过x 的最大整数，（如[0.9]0=，[2.6]2=，）．令[lg ]()n n b a n =∈*N ，则数列{}n b 的前2000项和为 ．1．【答案】C答 案 与 解 析二、填空题一、选择题【解析】∵21n n S =-，∴1121n n S ++=-，∴111(21)(21)2n n nn n n a S S +++=-=---=， 又11211a S ==-=，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，∴2121(2)4n n n a --==，∴所求值为1010141(41)143-=--． 2．【答案】B【解析】当1n =时，11121S a a =-=，∴11a =；当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=，因此12n n a -=．3．【答案】A【解析】121a a +=-，343a a +=-，565a a +=-，787a a +=-，…， 由上述可知，1219201191(13519)1101002a a a a +++++=-⨯++++=-⨯⨯=-L L ． 4．【答案】B【解析】由对勾函数的性质知：当10n ≤时，数列{}n a 为递减； 当10n ≥时，数列{}n a 为递增，故12239910012239101110||||||()()()()a a a a a a a a a a a a a a -+-++-=-+-++-+-L L12111009911010010()()1100(1010)(1001)a a a a a a a a +-++-=-+-=+-+++-L (1010)162+=．5．【答案】D【解析】由1n n a a +-==，利用累加法可得，∴11)n a a -=+++L 1=，∵10a =，∴19n a ==10=，100n =． 6．【答案】B【解析】由题意得，12a =-，111n n a a +=-，∴213122a =+=，321133a =-=，4132a =-=-，…， ∴{}n a 的周期为3，∴20193673313a a a ⨯===． 7．【答案】C【解析】∵13n n n S S a +=++，∴113n n n n S S a a ++-=+=， ∴13n n a a +-=，∴{}n a 是公差为3d =的等差数列，又4523a a +=，可得12723a d +=，解得11a =，∴81878922S a d ⨯=+=． 8．【答案】B 【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数，得到11112n n a a -=+，11112n n a a --=， 1{}n a 是公差为12的等差数列，1112a =，根据等差数列的通项公式的求法得到111(1)222n n n a =+-⨯=，故2n a n=． 9．【答案】C【解析】已知数列21()n a n n =-∈*N ，∵111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)()()(1)2335212122121n n T n n n n ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦L ， 不等式20194039n T ≥，即2019214039n n ≥+，解得2019n ≥， ∴使得不等式成立的最小正整数n 的值为2019． 10．【答案】B【解析】由两直线平行得2d =-，由两直线平行间距离公式得10m ==，∵77(2)35a a ⋅-=，得75a =-或77a =， ∵410720a a a +=<，∴75a =-，29n a n =-+，∴12310|||||||||7||5||5||7||9||11|52m S a a a a =++++=+++-+-+-+-=L L ． 11．【答案】B【解析】由函数()f x 是奇函数且3()()2f x f x -=，得(3)()f x f x +=， 由数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =，可得到21n a n =-， 可得123456()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++=++=，则其周期为3，12320201()()()()()3f a f a f a f a f a ++++==-L ．12．【答案】C【解析】∵12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ①，当2n ≥时，类比写出12323a a a ++++L 11(1)(23)3n n n a n ---=-⋅②， 由①-②得143n n na n -=⋅，即143n n a -=⋅．当1n =时，134a =≠，∴13,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，14,13,23n n n b n n -⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， 214233333n n n S -=++++=L 021*********n n-+++++L ③， 2311112313933333n n n n nS --=++++++L ④， ③-④得，0231112211111231393333339313n n n n n n n S --=++++++-=+--L ，∴316931124312n n n S +=-<⋅，∵n S λ<（常数），n ∈*N ，∴λ的最小值是3112．13．【答案】(1)21nn -+【解析】由题意得01221122232(1)22n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ①，∴1221222n S =⨯+⨯3132(1)22n n n n -+⨯++-⋅+⋅L ②，①-②得231121222222(1)2112nn nn n n S n n n ---=+++++-⋅=-⋅=-⋅--L ，∴(1)21nn S n =-+．14．【答案】21n n +【解析】∵1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ，∴11111(2)(1)12n n a a n n n n n n +-==-+++++，∴11111n n a a n n n n --=--+，…，21112123a a -=-，累加可得11121n a a n n -=-+， 二、填空题∵112a =，∴1111n a nn n n =-=++，∴21n n a n =+． 15．【答案】440【解析】由1(1)(2)nn n a a n n ---=≥可得：当2n k =时，2212k k a a k --=①；当21n k =-时，212221k k a a k --+=-②； 当21n k =+时，21221k k a a k ++=+③；①+②有：22241k k a a k -+=-，③-①得有：21211k k a a +-+=， 则40135739()S a a a a a =+++++L24640109()110(71523)1071084402a a a a ⨯+++++=⨯++++=+⨯+⨯=L L ． 16．【答案】5445【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3412a a +=，749S =，∴12512a d +=，1767492a d ⨯+=，解得11a =，2d =， ∴12(1)21n a n n =+-=-，[lg ][lg(21)]n n b a n ==-，1,2,3,4,5n =时，0n b =；650n ≤≤时，1n b =； 51500n ≤≤时，2n b =； 5012000n ≤≤时，3n b =，∴数列{}n b 的前2000项和454502150035445=+⨯+⨯=．。

第2讲数列求和及其综合应用错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：c n ＝a n b n ，其中{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则qc n ＝qa n b n ＝a n b n ＋1，此时c n ＋1－qc n ＝(a n ＋1－a n )·b n ＋1＝db n ＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的．(2016·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .【解】(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式．所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋ (2)＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2.应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1，2进行验证． [跟踪训练](2016·兰州模拟)等差数列{a n }中，已知a n ＞0，a 1＋a 2＋a 3＝15，且a 1＋2，a 2＋5，a 3＋13构成等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得： a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，即a 2＝5. 又(5－d ＋2)(5＋d ＋13)＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)，所以a 1＝a 2－d ＝3，a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝2n ＋1. 又b 1＝a 1＋2＝5，b 2＝a 2＋5＝10，所以公比q ＝2， 所以b n ＝5×2n －1.(2)因为T n ＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1]， 2T n ＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ]，两式相减得－T n ＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ]＝5[(1－2n )2n －1]， 则T n ＝5[(2n －1)2n ＋1]．裂项相消法求和[学生用书P35]共研典例类题通法 1．常见的裂项类型 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； (2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ；(3)1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1；(4)14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(5)n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n －1－1n ·2n. 2．裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2016·海口调研测试)在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1＝7，且a 2，a 5，a 10成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ； (2)若b n ＝5a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】(1)因为a 2，a 5，a 10成等比数列， 所以(7＋d )(7＋9d )＝(7＋4d )2， 又因为d ≠0，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋5，S n ＝（7＋2n ＋5）n 2＝n 2＋6n .(2)由(1)可得b n ＝5（2n ＋5）（2n ＋7）＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋5－12n ＋7， 所以T n ＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋19－111＋…＋12n ＋5－12n ＋7＝5n14n ＋49.裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几项，从而求出其和．[跟踪训练](2016·石家庄模拟)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.分组转化求和[学生用书P35]共研典例类题通法 分组转化求和的三种类型分组转化求和是把数列之和分为几组，每组中的各项是可以利用公式(或其他方法)求和的，求出各组之和即得整体之和，这类试题一般有如下三种类型：(1)数列是周期数列，先求出每个周期内的各项之和，然后把整体之和按照周期进行划分，再得出整体之和；(2)奇偶项分别有相同的特征的数列(如奇数项组成等差数列、偶数项组成等比数列)，按照奇数项和偶数项分组求和；(3)通项中含有(－1)n 的数列，按照奇数项、偶数项分组，或者按照n 为奇数、偶数分类求和．(2016·呼和浩特模拟)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋(n －2)(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解】(1)因为a n ＋n ＝2[a n －1＋(n －1)]，a n ＋n ≠0， 所以{a n ＋n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以a n ＋n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 所以a n ＝2n ＋1－n .(2)S n ＝(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2n ＋2－n 2＋n ＋82.分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组. (2)根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.[题组通关]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝( )A ．1009B ．1010C ．－1009D ．－1010B [解析] 因为a n ＝(－1)n －1(n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝(2－3)＋(4－5)＋…＋(2016－2017)＋2018＝1008×(－1)＋2018＝1010.2．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，数列{a 2n －1}是首项为1的等差数列，数列{a 2n }是首项为2的等比数列，且满足S 3＝a 4，a 3＋a 5＝a 4＋2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求S 2n .[解] (1)设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1＋d ，a 4＝2q ，a 5＝1＋2d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋d ＝2q ，（1＋d ）＋（1＋2d ）＝2＋2q ，解得d ＝2，q ＝3.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n 2－1，n ＝2k ，(k ∈N *)．(2)S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2×30＋2×31＋…＋2×3n －1) ＝（1＋2n －1）n 2＋2（1－3n ）1－3＝n 2－1＋3n .等差、等比数列的综合问题[学生用书P36]共研典例类题通法解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋1a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜34.【解】(1)由已知a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *，得（a n ＋1－1）＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，即1＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，亦即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1(常数)．所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以1a 1－1＝－2为首项， －1为公差的等差数列．可得1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1.(2)证明：因为b n ＝a n ＋1a n －1＝（n ＋1）2n （n ＋2）－1＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＜12×⎝⎛⎭⎫1＋12＝34.解决数列综合问题的方法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解. [跟踪训练](2016·武汉模拟)已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（2n ＋1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公差为d (d ≠0)， 因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，化简得d 2＝2a 1d .因为d ≠0，所以d ＝2a 1.① 因为a 3＝－52，所以a 1＋2d ＝－52.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12d ＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12.(2)因为b n ＝1（2n ＋1）a n ＝1（2n ＋1）⎝⎛⎭⎫－n ＋12＝－2（2n ＋1）（2n －1）＝12n ＋1－12n －1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫13－1＋⎝⎛⎭⎫15－13＋⎝⎛⎭⎫17－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n －1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1. 课时作业[学生用书P120(独立成册)]1．设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4a 8＝32，则S 11的最小值为( ) A ．22 2B ．442C ．22D ．44B [解析] 因为数列{a n }为各项均为正数的等差数列，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝82，S 11＝（a 1＋a 11）×112＝112(a 4＋a 8)≥112×82＝442，故S 11的最小值为442，当且仅当a 4＝a 8＝42时取等号．2．已知在数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1080D ．3105B [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3. 所以{a n }是以－60为首项，3为公差的等差数列． 所以a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63. 令a n ≤0，得n ≤21. 所以前20项都为负值． 所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30| ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋a 21＋…＋a 30 ＝－2S 20＋S 30.因为S n ＝a 1＋a n 2n ＝－123＋3n 2×n ，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则数列{a n }的前40项和S 40等于( )A ．20B ．40C ．60D ．80C [解析] 由a n ＋1＝a na n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，可得a 3＝3，a 4＝1，a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为263，又40＝6×6＋4，所以S 40＝6×263＋1＋3＋3＋1＝60.4．(2016·郑州模拟)设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝12，a 24＝4a 2a 8，若1b n＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，则数列{b n }的前10项和为( )A ．－2011B.2011C ．－95D.95A [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝4a 2a 8，所以(a 1q 3)2＝4a 1q ·a 1q 7，即4q 2＝1，所以q ＝12或q ＝－12(舍)，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＝2－n ，所以log 2a n ＝log 22－n ＝－n ，所以1b n ＝－(1＋2＋3＋…＋n )＝－n （1＋n ）2，所以b n ＝－2n （1＋n ）＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前10项和为－2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝－2·⎝⎛⎭⎫1－111＝－2011. 5．设b n ＝a n （a n ＋1）（a n ＋1＋1）(其中a n ＝2n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 5＝( )A.3133B.3233C.3166D.1633C [解析] 由题意得，b n ＝2n －1（2n －1＋1）（2n ＋1）＝12n －1＋1－12n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1，所以T 5＝12－133＝3166.6．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a＞0，且a ≠1)，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．9C [解析] 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＞0，知f （x ）g （x ）在R 上是增函数，即f （x ）g （x ）＝a x 为增函数，所以a ＞1.又因为a ＋1a ＝52，所以a ＝2或a ＝12(舍)．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝21＋22＋…＋2n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2＞62.即2n ＞32，所以n ＞5.7．(2016·海口调研测试)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1，2，3，…)，则S 2n ＋3＝________．[解析] 依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2. [答案]43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋28．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为________．[解析] 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2，3，4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92，两式相除得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2. [答案]29．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2017＝________．[解析] 因为a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，所以a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2，所以S 2017＝1009a 1＋1008a 2＝1009×⎝⎛⎭⎫12－2＋1008×2＝10052. [答案]1005210．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________．[解析]因为⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，所以a 3＝a 2＋2＝4，所以S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9（2＋18）2＝91. [答案]9111．(2016·东北四市联考)已知数列{a n }满足a 1＝511，a 6＝－12，且数列{a n }的每一项加上1后成为等比数列．(1)求a n ；(2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意数列{a n ＋1}是等比数列，设公比为q ，a 1＋1＝512，a 6＋1＝12＝512×q 5， 解得q ＝14. 则数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝211－2n ，a n ＝211－2n －1.(2)由(1)知b n ＝|11－2n |，当n ≤5时，T n ＝10n －n 2，当n ≥6时，T n ＝n 2－10n ＋50，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5n 2－10n ＋50，n ≥6. 12．(2016·哈尔滨模拟)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0.因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n ，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4（1－2n －1）1－2－(2n －1)2n ＋1 ＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.13．数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞n n ＋1. [解] (1)证明：因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1a n ＝2n －1，所以S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2. 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 14．(选做题)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，－2，⎝⎛⎭⎫7π12，2，且在区间⎝⎛⎭⎫π12，7π12上为单调函数． (1)求ω，φ的值；(2)设a n ＝nf ⎝⎛⎭⎫n π3(n ∈N *)，求数列{a n }的前30项和S 30. [解] (1)由题可得ωπ12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，7ωπ12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得ω＝2，φ＝2k π－2π3，k ∈Z ， 因为|φ|＜π，所以φ＝－2π3. (2)因为a n ＝2n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)的周期为3，前三项依次为0，3，－3，所以a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ＝(3n －2)×0＋(3n －1)×3＋3n ×(－3)＝－3(n ∈N *)， 所以S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝－10 3.。

课时作业9 数列的通项与求和A 基础达标1.[2022·北京市房山中学模拟]已知数列{a n }为等差数列，{b n }是公比为2的等比数列，且满足a 1＝b 1＝1，a 3＋b 3＝1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项的和S n .2．[2022·四川省内江市第六中学检测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，S n＋1＝2S n ＋1.(1)求证：数列{a n }为等比数列并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(2log 2a n ＋1)a n ，求{b n }的前n 项和T n .3．[2022·黑龙江哈九中二模]已知数列{a n }满足a 1a 2…a n ＝2－2a n ，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a nn （n ＋1），求{b n }的前n 项和S n .4．[2022·杭州市余杭中学模拟]已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 5＝5(a 4－a 3)，b 5＝4(b 4－b 3).(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n ＋2<S 2n ＋1 (n ∈N *)； (3)对任意的正整数n ，设c n＝⎩⎪⎨⎪⎧bn（b n＋1）（b n ＋2＋1），n 为奇数an －1b n ＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．B 素养提升5.[2022·甘肃兰州模拟]在①S 5S 9＝13，②a 2是a 1和a 4的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知公差d 不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝6. (1)________，求数列{a n }的通项公式；(2)若数列b n ＝2a n ，c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .6．[2022·江西鹰潭一模]已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n <a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围．课时作业9 数列的通项与求和1．解析：（1）由题设b n ＝b 1qn －1＝2n －1，所以b 3＝b 1q 2＝4，而a 3＋b 3＝1，则a 3＝1－b 3＝－3，由a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝－3，则d ＝－2，故a n ＝a 1＋（n －1）d ＝3－2n . 综上，a n ＝3－2n ，b n ＝2n －1.（2）由（1）知：c n ＝3－2n ＋2n －1，所以S n ＝3n －2（1＋2＋…＋n ）＋（1＋2＋…＋2n －1）＝3n －n （n ＋1）＋1－2n1－2＝2n －n 2＋2n －1.2．解析：（1）证明：∵a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋1①，当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋1②，①减去②得a n ＋1＝2a n ，∵S 2＝2S 1＋1，∴a 1＋a 2＝2a 1＋1⇒a 2＝a 1＋1＝2，∴a 2＝2a 1，∴a n ＋1a n＝2， 可得数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．∴a n ＝2n －1.（2）∵b n ＝（2log 2a n ＋1）a n ，∴b n ＝（2log 22n －1＋1）2n －1＝（2n －1）2n －1，T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋（2n －1）2n －1①，2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋（2n－1）2n②，①减去②得，∴－T n ＝1＋2×（2＋22＋…＋2n －1）－（2n －1）×2n＝1＋2×2（1－2n －1）1－2－（2n －1）×2n＝－3＋（3－2n ）×2n ，∴T n ＝3＋（2n －3）×2n.3．解析：（1）证明：当n ＝1时，a 1＝2－2a 1，得a 1＝23，当n ≥2时，有a 1a 2…a n ＝2－2a n ，a 1a 2…a n －1＝2－2a n －1，相除得a n ＝1－a n1－a n －1（n ≥2），整理为：11－a n －1＝a n 1－a n ＝11－a n －1（n ≥2），即11－a n －11－a n －1＝1（n ≥2），∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 为等差数列，公差d ＝1，首项为11－a 1＝3；所以11－a n ＝3＋（n －1）＝n ＋2，整理为：a n ＝n ＋1n ＋2（n ∈N *）. （2）b n ＝a n n （n ＋1）＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，S n ＝12（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2）＝12（1＋12－1n ＋1－1n ＋2），S n ＝34－12（2n ＋3）（n ＋1）（n ＋2）＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）.4．解析：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . ∵a 1＝1，a 5＝5（a 4－a 3），可得d ＝1.∴a n ＝n .∵b 1＝1，b 5＝4（b 4－b 3），且q ≠0，可得q 2－4q ＋4＝0，解得q ＝2，∴b n ＝2n －1.（2）证明：由题可知S n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，故S n S n ＋2＝14n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3），S 2n ＋1 ＝14（n ＋1）2（n ＋2）2，作差得：S n S n ＋2－S 2n ＋1 ＝14（n ＋1）（n ＋2）[n （n ＋3）－（n ＋1）（n ＋2）]＝－12（n ＋1）（n ＋2）<0，因此，S n S n ＋2<S 2n ＋1 .（3）由题可知c n＝⎩⎪⎨⎪⎧b n（b n＋1）（bn ＋2＋1），n 为奇数an －1b n ＋1，n 为偶数，故当n 为奇数2k －1（k ∈N *）时，c 2k －1＝b 2k －1（b 2k －1＋1）（b 2k ＋1＋1）＝13（1b 2k －1＋1－1b 2k ＋1＋1），故记H n ＝c 1＋c 3＋…＋c 2n －1 ＝13k ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122k －2＋1－122k ＋1 ＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－122n ＋1 . 当n 为偶数2k （k∈N *）时，记T n ＝c 2＋c 4＋…＋c 2n ＝14＋342＋…＋2n －14n ，14T n ＝142＋343＋…＋2n －34n ＋2n －14n ＋1，故34T n ＝14＋242＋243＋…＋24n －2n －14n ＋1＝14＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －11－14－2n －14n ＋1＝512－16·4n －1－2n －14n ＋1， 因此，T n ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫512－16·4n －1－2n －14n ＋1＝59－6n ＋59·4n； 故所求c 1＋c 2＋…＋c 2n ＝T n ＋H n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－122n ＋1＋59－6n ＋59·4n ＝1318－13·22n ＋3－6n ＋59·4n .5．解析：（1）选①：由于S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5，所以S 5S 9＝5a 39a 5＝13，又a 3＝6，所以a 5＝10，故d ＝12（a 5－a 3）＝2，所以a n ＝a 3＋（n －3）d ＝2n ；选②：a 2是a 1和a 4的等比中项，则a 22 ＝a 1a 4，所以（a 3－d ）2＝（a 3－2d ）（a 3＋d ），又a 3＝6，解得d ＝2，d ＝0（舍去）， 所以a n ＝a 3＋（n －3）d ＝2n .（2）b n ＝2a n ＝4n，c n ＝a n ＋b n ＝2n ＋4n，则T n ＝（2＋4）＋（2×2＋42）＋…＋（2n ＋4n ）＝2（1＋2＋...＋n ）＋（4＋42＋ (4)） ＝n 2＋n ＋4（1－4n）1－4＝n 2＋n ＋43（4n－1）.6．解析：（1）当n ≥2时，a n ＝S n ＋S n －1，∴S n －S n －1＝S n ＋S n －1，即S n －S n －1＝1，又S 1＝1， 所以数列{S n }是首项为1，公差为1的等差数列，故S n ＝n ， 又由a n ＝S n ＋S n －1＝n ＋n －1＝2n －1（n ≥2）， 当n ＝1时，a 1＝1也适合，所以a n ＝2n －1. （2）∵1a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12（12n －1－12n ＋1），∴T n ＝12（1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，又∵对任意的n ∈N *，不等式4T n <a 2－a 恒成立，∴2≤a 2－a ，解得a ≤－1或a ≥2.即所求实数a 的范围是a ≤－1或a ≥2.。

高考数学二轮复习练习：专题限时集训04《数列求和》一、选择题1.已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)=3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)， 则数列{a n }的通项a n =( )A.12n －1B.12n －1C.13n －1D.12n －1＋12.设T n 为等比数列{a n }的前n 项之积，且a 1=－6，a 4=－34，则当T n 最大时，n 的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.103.已知数列{a n }满足a n ＋1=a n －a n －1(n ≥2)，a 1=m ，a 2=n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 021的值为( )A.2 021n －mB.n －2 021mC.mD.n4.某数学家在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 021a 2 023－a 20222)=( )A.1B.－1C.2 017D.－2 0175.已知函数f(n)=n 2cos(n π)，且a n =f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A.0B.－100C.100D.10 2006.已知数列{a n }中，a 1=1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n =a m ＋a n ＋mn ，则∑2 017i ＝1 1a i=( ) A.2 0172 018 B.2 0162 017 C.2 0181 009 D.2 0171 0097.已知数列{a n }的首项a 1=a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1=3n 2＋2n ＋4(n ≥2)，若对任意的n ∈N *，a n ＜a n ＋1恒成立，则正整数a 的值是( )A.5B.6C.7D.88.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且2a m =a m －1＋a m ＋1(m ∈N *，m ≥2)，若(a 2－2)5＋2 022(a 2－2)3＋2 023(a 2－2)=2 023，(a 2 016－2)5＋2 022(a 2 016－2)3＋2 023(a 2 016－2)=－2 023，则下列四个命题中真命题的序号为( )①S 2 022=4 032；②S 2 023=4 034；③S 2 022＜S 2；④a 2 022－a 2＜0.A.①②B.②③C.②④D.①④二、填空题9.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =2·3n －1(n ∈N *)，若b n =a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n =______. 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=1，S n ＋1－S n =3n a n(n ∈N *)，则S 2 021=________. 11.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q =a p ＋a q ，则f(n)=S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________. 12.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=23，a n ＋1－S n =23.用[x]表示不超过x 的最大整数， 如：[－0.4]=－1，[1.6]=1.设b n =[a n ]，则数列{b n }的前2n 项和为________.三、解答题13.已知在数列{a n }中，a 1=2，a 2=4，且a n ＋1=3a n －2a n －1(n ≥2).(1)证明：数列{a n ＋1－a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =2n －1a n，求数列{b n }的前n 项和T n . 14.已知等比数列{a n }满足a n ＞0，a 1a 2a 3=64，S n 为其前n 项和，且2S 1，S 3,4S 2成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .。

1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( ) A ． 28 B ．32 C ．56 D ．24 【答案】A【解析】S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）2＝28.故选A. 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1【答案】C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值．【答案】B4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，∴a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，∴T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.5．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】∴3a 1，12a 3，2a 2成等差数列， ∴a 3＝3a 1＋2a 2，∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)． ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q＝q 2＝32＝9. 6．各项均不为零的等差数列{a n }中，a 1＝2，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 016＝________．【答案】4 032【解析】由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，即a 2n －2a n ＝0，∴a n ＝2，n ≥2，又a 1＝2，∴a n ＝2，n ∈N *，故S 2 016＝4 032.7．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．【答案】1 1218．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________．【答案】n【解析】∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n .当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， 又a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n (n ∈N *)．9．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．(1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1， 整理得a 4＝4a 3－a 24，又a 2＝32，a 3＝54，11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列； (2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明： S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)，① S n －1＝a n －1（a n －1＋1）2(n ≥2)．② ①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)， 整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)(n ≥2)．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n＋a n－1≠0，。

专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、倒序相加法，即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和.2、分组求和法2.1如果一个数列可写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.2.2如果一个数列可写成n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的形式，在求和时可以使用分组求和法.二、典型例题类型1：倒序相加法例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的前20项和为（ ）A ．100B ．105C ．110D ．115思路点拨：根据题意：，对应关系作用下的量“”和“”始终满足： ；再结合求解目标：，可使用倒序相加法解答过程：；倒序重写一次： ；两式相加因为函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=， 121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， 由①+②可得21n a n =+，12n n a +∴=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为20120121152+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=. 故选：D.例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()221x f x =+，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ） A ．9 B ．11C ．92D ．112思路点拨：通过观察求解目标：求，注意到对应关系作用下的量头尾复合关系“”，故先验证的值.解答过程：设 倒序重写一次： 则 两式相加()221x f x =+，()()()22222212121221x x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221x x x x x +⋅=+==+++，设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++， 则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B.类型2：分组求和角度1：通项为n n n c a b =±型求和例题3．（2022·河南郑州·三模（文））已知数列{}n a 满足111,1n n a a S +==+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，n *∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】(1)12n na (2)221n n -+(1)11a =，11n n a S +=+， 当1n =时，可得2112a a =+=．当2n ≥时，11n n a S -=+，则1n n n a a a +-=，即12n n a a +=，且212a a =． 故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 所以12n n a第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，并且知是首项为1，公差为2的等差数列，可先求出的通项，再求出的通项.解答过程：设的前项和为由是首项为1，公差为2的等差数列，，由（1）知注意到表达式为等差+等比；可用分组求和(2)由题意12(1)21n n b a n n -=+-=-，所以1221n n b n -=+-， 设{}n b 的前n 项和为n T()()()01121212112222132121.122n n n n n n n T b b b n n -+--=+++=+++++++-=+=-+- 角度2:通项为nn na n c bn ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数型求和例题4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列{}n a 的前n 项和为112n n S a +=-，且214a = (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)()0.5*log ,,n n n a n b n N a n ⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ； 【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)211334nn +-⨯ (1)在数列{}n a 中， 由112n n S a +=-可知1212n n S a ++=-，两式作差可得()()1211212n n n n S a S a +++---=-，即2112n n a a ++=，当1n =时，1212S a =-，，即112a =，211412a a ==，所以数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，即1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：，注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的为偶数项和，最后一项一定是代入偶数的通项公式，否则，若是求，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，则需要讨论）分组求和(2)由（1）知()*,1,2nn n n b n N n ⎧⎪=∈⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，所以()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()211113214162n n ⎛⎫=+++-++++ ⎪⎝⎭()111441211214nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦=+-211334nn =+-⨯. 例题5．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））在数列{}n a 中，21,,2,n nn n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 (1)求1a ，2a ，3a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．第（2）问解题思路点拨：由题意知，注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧当为偶数时，数列{的前项中有个奇数项，有个偶数项． （注意到本例求解的，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：21n b -++1n a -+，注意到最后一项n 为偶数，再利用1n n a -+，其中奇数项，偶数项各为【答案】(1)11a =，24a =，35a =(2)212224,,2324,.23n n n n n n S n n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 (1)因为21,,2,,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数所以12111a =⨯-=，2224a ==，32315a =⨯-=，(2)因为21,,2,,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 所以1a ，3a ，5a ，是以1为首项，4为公差的等差数列，2a ，4a ，6a ，是以4为首项，4为公比的等比数列．当n 为奇数时，数列的前n 项中有12n +个奇数项，有12n -个偶数项．所以()()1231322431n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++12211141411242214221423n n n n n n n -+⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=+-； 当n 为偶数时，数列{{}n a 的前n 项中有2n 个奇数项，有2n个偶数项．所以()()1231331242n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++2224141242214221423nn n n n n n +⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=+-． 所以212224,,2324,.23n n n n n n S n n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 三、题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C由题已知()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()F x F x -=-， 代入得：()11222f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点112⎛⎫⎪⎝⎭，对称， 令12t x =-， 则112x t +=-， 得到()()12f t f t +-=， ∵()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()221n a n =+， 即1n a n =+， 故选：C ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2018B ．2019C ．4036D ．4038【答案】A()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=. 故选：A .3．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）已知函数()1e e xx f x =+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，1831a =，则()()()()123365ln ln ln ln f a f a f a f a ++++=______．【答案】3652∵()e e 1xx f x =+，∴()()e e e e 1)e (e 1)2e e 1e 1e 1(e 1)(e (e 1)2e x x x x x x x xxx x x x xf x f x -------++++++-=+===++++++． ∵数列{}n a 是等比数列，∴2136523641831a a a a a ====，∴2136523643651183ln ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a a +=+==+==．设()()()36512365ln ln ln S f a f a f a =+++，①则()()()3653653641ln ln ln S f a f a f a =+++，②①＋②，得()()()()()()()()()3651365236436512ln ln ln ln ln ln S f a f a f a f a f a f a =++++++365=，∴3653652S =． 故答案为：36524．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______． 【答案】992因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以99992=S ． 5．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）设4()42xx f x =+，若122014()()()201520152015S f f f =++⋯⋯+，则S ＝________. 【答案】1007解：∵函数f （x ）442xx =+，∴f （x ）+f （1﹣x ）11114444442424242(42)44242x x x x x x xx x x x x x ----⋅=+=+=+=++++⋅++ 1 故可得S ＝f （12015）+f （22015）…+f （20142015）＝1007×1＝1007, 故答案为：10076．（2022·全国·高二课时练习）已知()442xx f x =+，求122010201120112011f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】1005.因为()442x x f x =+，所以()1144214242442x x xx f x ---===++⨯+， 所以()()11f x f x +-=.令12200920102011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 倒写得20102009212011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相加得22010S =，故1005S =.7．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S +=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)22122++⎛⎫- ⎪⎝⎭nn n(1)∵1n n a S +=，① 当1n =时，111a a +=，即112a =， 当2n ≥时，111n n a S --+=．②由①－②得120n n a a --=，即112n n a a -=， ∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(2)由（1）知22lo 111log 222g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-nnnn n n n b a a ，∴()121211112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nn n n T b b b∴()()21112211121112222212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++++⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-nn n n n n n n n ．8．（2022·广东·二模）已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2134a a a =，314S =． (1)求数列{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n b 满足()()*,3,313k n a n k b k N k k n k=⎧=∈⎨-<<⎩，求数列{}n b 的前15项和． 【答案】(1)2n n a =(2)92(1)设{}n a 的公比为q ，则由2134a a a =，得21114a q a a q =⋅．整理得14a q =．又314S =，得()21114a q q ++=．联立得()1214114a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，消去1a ，得22520q q -+=． 解得2q 或12q =． 又因为{}n a 为递增等比数列， 所以2q，12a =．所以112n nn a a q -==．(2)（方法一）当1k =时，()1*,31,03n a n b n N n =⎧=∈⎨<<⎩，则121b b ==，312b a ==，同理，列举得452b b ==，2622b a ==，783b b ==，3932b a ==，10114b b ==，41242b a ==，13145b b ==，51552b a ==．记{}n b 的前n 项和为n T ，则 151215123451122334455T b b b a a a a a =+++=++++++++++++++()()1234521234522222=⨯+++++++++()()5212155292212⨯-+⨯=⨯+=-． 所以数列{}n b 的前15项和为92．（方法二）由()()*,3,313k n a n k b k N k k n k=⎧=∈⎨-<<⎩， 得()*,32,31,3n k k n k b k n k k N a n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩，记{}n b 的前n 项和为n T ，则151215123451122334455T b b b a a a a a =+++=++++++++++++++ ()()1234521234522222=⨯+++++++++()()5212155292212⨯-+⨯=⨯+=-． 所以数列{}n b 的前15项和为92．9．（2022·甘肃兰州·一模（理））在①5913S S =，②2a 是1a 和4a 的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =．(1)______，求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2n a n b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】(1)答案见详解；(2)()24413n n T n n =++- (1)选①：由于()1553552a a S a +==，()1995992a a S a +== 所以53955193S a S a ==，又36a =，所以510a =，故()53122d a a =-= 所以()332n a a n d n =+-=；选②：2a 是1a 和4a 的等比中项，则2214a a a =，所以()()()23332d d a d a a -=-+，又36a =，解得2d =，0d =（舍去）所以()332n a a n d n =+-=；(2)24==n a n n b ，24n n n n c a b n =+=+，则()()()22422424n n T n =++⨯++++ ()()2212444n n =+++++++ ()()22414441143n n n n n n -=++=++-- 10．（2022·重庆·二模）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，()2243n n n a a S n *+=+∈N .若数列{}n b 满足12b =，24b =，212n n n b b b ++=()n N *∈. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()()1,21,,2,n n n n k k NS c b n k k N **⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T . 【答案】(1)21n a n =+，2n n b =(2)1244213n n n T n +-=++ (1)由0n a >，2243n n n a a S +=+①，得：当1n =时，211230a a --=,解得13a =或11a =-（负值舍去），当2n ≥时，2111243n n n a a S ---+=+②，-①②得：()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.所以()*21n a n n N =+∈.因为数列{}n b 满足12b =，24b =，212n n n b b b ++=.所以数列{}n b 是等比数列，首项为2，公比为2.所以2n n b =.(2)因为()*21N n a n n =+∈，所以()()2321222n n n S n n n n ++==+=+， 所以()()242211112221335572121n n T n n =+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯-+ ()414111111111233557212114n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()41411122114n n -⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭ 144213n n n +-=++. 11．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知函数()()*21f n n n N =-∈，数列{}n b 满足()()*2f n n b n N =∈.数列{}n a为等差数列，满足11a b =，322a b =-.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n S .【答案】(1)2n a n =；212n n b -=；(2)21212233n n S n n +=⋅++-. (1)由题意得：212n n b -=，112a b ==，3226a b =-=，∴等差数列{}n a 的公差3122a a d -==， ()2212n a n n ∴=+-=；(2)由（1）得：2122n n n a b n -+=+；()()()()1352121421232222114n n n S n n n --∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=++-()()2122121412333n n n n n n +=++-=⋅++-。

1.已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A.n 2＋1－12nB.n 2＋2－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2＋2－12n －1解析 由于a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .另解：用特值验证. 答案 A2.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 015＝( )A.13B.－13C.3D.－3答案 C3.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A.2＋ln n B.2＋(n －1)ln n C.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＋2＝2＋ln n . 答案 A4. 122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1的值为( ) A.n ＋12（n ＋2）B. 34－n ＋12（n ＋2）C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析 ∵1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 答案 C5.各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则∑nk ＝1a 2k ＝( ) A.n （n ＋5）2B.3n （n ＋1）2C.n （5n ＋1）2D.（n ＋3）（n ＋5）2答案 B6．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan 225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)n a n }的前n 项和，则S 2 014＝( ) A ．2 015 B ．－2 015 C ．3 021 D ．－3 021 解析 a 1＝tan 225°＝tan 45°＝1， 设等差数列{a n }的公差为d ， 则由a 5＝13a 1，得a 5＝13， d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴S 2 014＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4＋…＋(－1)2 014a 2 014＝－(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝1 007d ＝1 007×3＝3 021.故选C. 答案 C7．数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有： a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝( )A.2 0072 008B.2 0071 004C.2 0082 009D.4 0162 009法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 008＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫12 008－12 009＝2⎝⎛⎭⎫1－12 009＝4 0162 009，故选D. 答案 D8．设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A ．11个 B ．12个 C ．15个 D ．25个解析 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A. 答案 A9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N ＋)，则S 100＝( ) A ．1 300 B ．2 600 C ．0 D ．2 602解析 原问题可转化为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.进而转化为当n 为奇数时，为常数列{1}；当n 为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列．所以S 100＝S 奇＋S 偶＝50×1＋(50×2＋50×492×2)＝2 600. 答案 B10．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，1 解析 f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (1)f (n )＝12a n ，∴S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n .则数列{a n }的前n 项和的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1. 答案 C11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( ) A.n2n －1 B.n ＋12n －1＋1C.2n －12n －1D.n ＋12n ＋1答案 A12．已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析 令h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0，∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f （n ）g （n ）＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＝3132，∴n ＝5.答案 A13.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 14．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为 ．解析 依题意得a ·b ＝0，即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－n （n －1）2＝n ；又a 1＝1，因此a n ＝n ，a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n ＋5≤19，当且仅当n ＝4n ，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值是19.答案 1915．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)令b n ＝na n ，n ＝1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2，解得a 2＝2. 设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.由题意得q >1，所以q ＝2.则a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝n ·2n －1，n ＝1，2，…， 则T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1， 所以2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 两式相减得－T n ＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ×2n ＝2n －n ×2n －1， 即T n ＝(n －1)2n ＋1.16．已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1＝1，且a 2b 2＝12，S 3＋b 2＝20.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝S n cos(a n π)(n ∈N *)，求{c n }的前n 项和T n .(2)由(1)知c n ＝S n cos 3n π＝⎩⎨⎧S n ＝32n 2＋32n ，n 是偶数，－S n＝－32n 2－32n ，n 是奇数.①当n 是偶数时，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4－…－S n －1＋S n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n ＝6＋12＋18＋…＋3n ＝3n （n ＋2）4. ②当n 是奇数时， T n ＝T n －1－S n＝3（n －1）（n ＋1）4－32n 2－32n＝－34(n ＋1)2.综上可得，T n＝⎩⎨⎧3n （n ＋2）4，n 是偶数，－34（n ＋1）2，n 是奇数.17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ；(3)求使T n >14(m 2－5m )对全部的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．(2)解 由(1)知，T n ＝ 3⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1） ＝3⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝3－3n ＋1.(3)解 ∵T n ＝3－3n ＋1，∴当n ＝1时，T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为 {0，1，2，3，4，5}．18.已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和.(2)∵b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝(log 222n＋1－2)×(log 222n＋3－2)＝(2n －1)(2n ＋1)，∴1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.。

专题限时集训(二十一) [第21讲 实际应用和创新能力]

(时间：30分钟)

1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{an}是等和数列，且a1

＝2，公和为5，那么a18的值为( )

A．2 B．3 C．17 D．18 2．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么二进制数(111…1,\s\do4(2 010个)))转换成十进制形式是( ) A．22 009－1 B．22 010－2 C．22 010－1 D．22 011－1 3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( ) A．(0，2) B．(－2，1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2) 4．为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况，某研究性学习小组对本地区2007年至2009年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒的个数为( )

年份 快餐公司(家) 2007 30 2008 45 2009 90

图21－1 A．1.5万 B．1.545万 C．84万 D．85万

5．如图21－2所示，“天宫一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍

以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④c1a1＜c2a2. 其中正确式子的序号是( )

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第27讲 数列求和及其综合应用[考情分析] 1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等．考点一 数列求和 核心提炼1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ； 14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. 2．错位相减法求和，主要用于求{a n b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别为等差数列和等比数列． 考向1 分组转化法例1(2022·德州联考)已知数列{}2n a 是公比为4的等比数列，且满足a 2，a 4，a 7成等比数列，S n为数列{b n }的前n 项和，且b n 是1和S n 的等差中项，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n －1项和． 解 因为数列{}2na 是公比为4的等比数列， 所以122n na a +＝4， 所以a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是公差为2的等差数列，因为a 2，a 4，a 7成等比数列，所以a 24＝a 2a 7，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋12)，解得a 1＝6，所以a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4，因为S n 为数列{b n }的前n 项和，且b n 是1和S n 的等差中项，所以S n ＋1＝2b n ，当n ≥2时，有S n －1＋1＝2b n －1，两式相减得b n ＝2b n －2b n －1，即b n ＝2b n －1，当n ＝1时，有S 1＋1＝b 1＋1＝2b 1，所以b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以b n ＝2n －1， 因为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ＝2k －1，b n ，n ＝2k ，k ∈N *. 所以数列{c n }的前2n －1项和为a 1＋b 2＋a 3＋b 4＋…＋a 2n －1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n －2)＝6n ＋n (n －1)2×4＋2(1－4n －1)1－4 ＝2n 2＋4n ＋23(4n －1－1)． 考向2 裂项相消法例2(2022·宜宾模拟)在①S n ＝12(a n －1)(n ＋2)；②S 2n －(n 2＋2n －1)S n －(n 2＋2n )＝0，a n >0这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足________．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求T n .解 (1)选择①.由S n ＝12(a n －1)(n ＋2)得， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12(a 1－1)(1＋2)， 解得a 1＝3，当n ≥2时，S n －1＝12(a n －1－1)(n ＋1)， 则a n ＝S n －S n －1＝12(a n －1)(n ＋2) －12(a n －1－1)(n ＋1)， 即na n ＝(n ＋1)a n －1＋1，两边各项同除以n (n ＋1)得a n n ＋1－a n －1n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1(n ≥2)， 当n ≥2时，a n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ＋1－a n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1n －a n －2n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2n －1－a n －3n －2＋…＋⎝⎛⎭⎫a 23－a 12＋a 12 ＝⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋32 ＝12＋32－1n ＋1＝2－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1， 所以a n ＝2n ＋1，经检验当n ＝1时，a 1＝2×1＋1＝3也成立，故a n ＝2n ＋1.选择②.由S 2n －(n 2＋2n －1)S n －(n 2＋2n )＝0得，[S n －(n 2＋2n )](S n ＋1)＝0，∴S n ＝n 2＋2n 或S n ＝－1，∵a n >0，∴S n ＝－1舍去．∴S n ＝n 2＋2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2×1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －(n －1)2－2(n －1)＝2n ＋1，当n ＝1时，符合上式，∴a n ＝2n ＋1.(2)由(1)知S n ＝n 2＋2n ，∴1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋ ⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫11＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12(n ＋1)－12(n ＋2)， ∴T n ＝34－12(n ＋1)－12(n ＋2). 考向3 错位相减法例3(2022·菏泽检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使得包括a n 与a n ＋1在内的这n ＋2个数成等差数列，设其公差为d n ，求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2S n ＋1，所以a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减可得a n ＋1－a n ＝2a n ，所以a n ＋1＝3a n (n ≥2)，令n ＝1，可得a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3，所以a 2a 1＝3，所以数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1. (2)由题意，可得d n ＝3n －3n －1n ＋1＝2×3n －1n ＋1， 所以1d n ＝n ＋12×3n －1， 所以T n ＝22×30＋32×31＋42×32＋…＋n ＋12×3n －1， 13T n ＝22×31＋32×32＋…＋n 2×3n －1＋n ＋12×3n， 两式相减可得23T n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋12×3n＝1＋12×13－13n 1－13－n ＋12×3n ＝54－2n ＋54×3n， 所以T n ＝158－2n ＋58×3n －1. 规律方法 (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差．(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式．跟踪演练1 (1)(2022·湛江模拟)已知数列{a n }是等比数列，且8a 3＝a 6，a 2＋a 5＝36.①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝a n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n ，并证明：T n <13. 解 ①设等比数列{a n }的公比是q ，首项是a 1.由8a 3＝a 6，可得q ＝2.由a 2＋a 5＝36，可得a 1q (1＋q 3)＝36，所以a 1＝2，所以a n ＝2n .②因为b n ＝a n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝12n＋1－12n ＋1＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫121＋1－122＋1＋⎝⎛⎭⎫122＋1－123＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋1＋1 ＝121＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1. 又12n ＋1＋1>0，所以T n <13. (2)(2022·南通调研)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2＝2，a n ＋3－S n ＋2＝a n ＋1－S n . ①求数列{a n }的通项公式；②记b n ＝2n －1a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n <132－4n ＋72n 成立的n 的最小值． 解 ①设等比数列的公比为q (q >0)，因为a 2＝2，所以a 1q ＝2⇒a 1＝2q， 由a n ＋3－S n ＋2＝a n ＋1－S n⇒a n ＋3－a n ＋1＝S n ＋2－S n⇒a n ＋3－a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1⇒a n ＋3－a n ＋2－2a n ＋1＝0⇒a n ＋1(q 2－q －2)＝0，因为a n ＋1≠0，所以q 2－q －2＝0，因为q >0，所以解得q ＝2，即a 1＝2q＝1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1×2n －1＝2n －1.②由①可知a n ＝2n －1， 所以b n ＝2n －1a n ＝2n －12n －1， 所以T n ＝1＋32＋522＋…＋2n －12n －1，(*) 12T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，(**) 由(*)－(**)得12T n ＝ 1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n －1－2n －12n ＝1＋2×12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 所以T n ＝6－2n ＋32n －1， 代入T n <132－4n ＋72n 中， 得6－2n ＋32n －1<132－4n ＋72n ⇒2n >2⇒n >1，因为n ∈N *，所以n 的最小值为2.考点二 数列的综合问题 核心提炼数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n 项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．例4 (1)已知A (0,0)，B (5,0)，C (1,3)，连接△ABC 的各边中点得到△A 1B 1C 1，连接△A 1B 1C 1的各边中点得到△A 2B 2C 2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC ，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，…，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数( )A.103B ．5C ．10D ．15 答案 C解析 因为S △ABC ＝12×5×3＝152， △A 1B 1C 1∽△ABC ，A 1B 1AB ＝12， 所以111A B C ABC S S △△＝14， 所以S △ABC ，111222A B C A B C S S △△，，…成等比数列，其首项为152，公比为14， 所以这一系列三角形的面积之和为S n ＝152⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝10⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n ，无限趋近于10. (2)在各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝1，a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若对n ∈N *，不等式a n (λ－2S n )≤27恒成立，则实数λ的取值范围为__________．答案 (－∞，17]解析 ∵a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0，∴(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－3a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n 2－12， ∴不等式a n (λ－2S n )≤27即λ≤2S n ＋27a n ＝3n ＋273n －1－1对n ∈N *恒成立， ∵3n ＋273n －1≥23n ×273n －1＝18， 当且仅当3n ＝273n －1，即n ＝2时，⎝⎛⎭⎫3n ＋273n －1min ＝18， ∴λ≤17，∴实数λ的取值范围为(－∞，17]．易错提醒 求解数列与函数交汇问题要注意两点(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意．(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件．跟踪演练2 (1)我国古代数学著作《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1 200尺，则需要几天时间才能打穿(结果取整数)( )A ．12B ．11C ．10D ．9答案 B解析 设大鼠和小鼠每天穿墙厚度分别构成数列{a n }，{b n }，由题意知它们都是等比数列，a 1＝b 1＝1，数列{a n }的公比为q 1＝2，数列{b n }的公比为q 2＝12，设需要n 天能打穿墙，则(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n )＝1－2n1－2＋1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2n ＋1－12n －1， 当n ＝10时，2n ＋1－12n －1＝1 025－129≈1 025<1 200， 当n ＝11时，2n ＋1－12n －1＝2 049－1210≈2 049>1 200， 因此需要11天才能打穿．(2)(2022·潍坊检测)如图，在边长为a 的等边△ABC 中，圆D 1与△ABC 相切，圆D 2与圆D 1相切且与AB ，AC 相切，…，圆D n ＋1与圆D n 相切且与AB ，AC 相切，依次得到圆D 3，D 4，…，D n .设圆D 1，D 2，…，D n 的面积之和为X n (n ∈N *)，则X n 等于()A.112πa 2⎝⎛⎭⎫19n －1 B.332πa 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫19n C.18πa 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n D.112πa 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫19n －1－⎝⎛⎭⎫13n －1＋1 答案 B解析 等边三角形内心、重心、外心、垂心四心合一．所以圆D 1的半径为13×32a ＝36a ， 面积为a 212·π， 圆D 2的半径为13×36a ，面积为19·a 212·π， 圆D 3的半径为⎝⎛⎭⎫132×36a ，面积为⎝⎛⎭⎫192·a 212·π， 以此类推，圆D n 的面积为⎝⎛⎭⎫19n －1·a 212·π， 所以各圆的面积组成的数列是首项为a 212·π，公比为19的等比数列， 所以X n ＝a 212·π·⎝⎛⎭⎫1－19n 1－19＝3a 232·π·⎝⎛⎭⎫1－19n＝332πa 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫19n . 专题强化练一、单项选择题1．数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，且a 4，a 4 040是函数f (x )＝x 2－8x ＋3的两个零点，则a 2 022的值为( )A ．4B ．－4C ．4 040D ．－4 040答案 A解析 因为a 4，a 4 040是函数f (x )＝x 2－8x ＋3的两个零点，即a 4，a 4 040是方程x 2－8x ＋3＝0的两个根，所以a 4＋a 4 040＝8.又2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以数列{a n }是等差数列，所以a 4＋a 4 040＝2a 2 022＝8，所以a 2 022＝4.2．已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 022等于( ) A. 2 022＋1 B. 2 023－1 C. 2 022－1 D. 2 023＋1答案 B解析 函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，则4a ＝2，解得a ＝12，得f (x )＝x ， a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，则S 2 022＝(2－1)＋(3－2)＋…＋( 2 023－ 2 022)＝－1＋ 2 023.3．(2022·衡水模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋2＝－a n ，且a 1＝1，a 2＝2，则S 2 023等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 由a n ＋2＝－a n ，得a n ＋4＝－a n ＋2＝a n ，所以数列{a n }是周期为4的数列，所以由a 1＝1，a 2＝2得a 3＝－1，a 4＝－2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，所以S 2 023＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)×505＋a 1＋a 2＋a 3＝2.4．(2022·长沙质检)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n ＝22n ＋1(n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641×6 700 417，不是质数．现设a n ＝log 4(F n －1)(n ＝1,2，…)，S n 表示数列{a n }的前n 项和，若32S n ＝63a n ，则n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 因为F n ＝22n ＋1(n ＝0,1,2，…)，所以a n ＝log 4(F n －1)＝24log 2n＝2n －1， 所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1， 所以32×(2n －1)＝63×2n －1，解得n ＝6. 5．(2022·西南四省名校大联考)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋3a 2＋…＋3n －1a n ＝n ·3n ，若对任意n ∈N *，S n ≥(－1)n nλ恒成立，则实数λ的取值范围为( )A ．[－3,4]B ．[－22，22]C ．[－5,5]D ．[－22－2,22＋2]答案 A解析 当n ≥2时，3n －1a n ＝n ·3n －(n －1)3n －1 ＝(2n ＋1)3n －1， ∴a n ＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝3符合上式，∴a n ＝2n ＋1，∴S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n . 当n 为奇数时，λ≥－S n n＝－(n ＋2)， 令g (n )＝－(n ＋2)，当n ＝1时，g (n )max ＝－3，∴λ≥－3，当n 为偶数时，λ≤S n n＝n ＋2， 令h (n )＝n ＋2，∴λ≤h (2)＝4，∴－3≤λ≤4.6．“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图(1)所示．如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q ，作第3个正方形MNPQ ，以此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形ABCD 边长为a 1，后续各正方形边长依次为a 2，a 3，…，a n ，…；如图(2)阴影部分，设Rt △AEH 的面积为b 1，后续各直角三角形面积依次为b 2，b 3，…，b n ，….下列说法错误的是( )A ．从正方形ABCD 开始，连续3个正方形的面积之和为1294B ．a n ＝4×⎝⎛⎭⎫104n －1 C ．使得不等式b n >12成立的n 的最大值为4 D ．数列{b n }的前n 项和S n <4答案 C解析 由题可得a 1＝4，a 2＝⎝⎛⎭⎫14a 12＋⎝⎛⎭⎫34a 12＝104a 1， a 3＝⎝⎛⎭⎫14a 22＋⎝⎛⎭⎫34a 22＝104a 2， …，a n ＝⎝⎛⎭⎫14a n －12＋⎝⎛⎭⎫34a n －12＝104a n －1， 则a n a n －1＝104， 所以数列{a n }是以4为首项，104为公比的等比数列，则a n ＝4×⎝⎛⎭⎫104n －1，显然B 正确； 由题意可得，S △AEH ＝a 21－a 224， 即b 1＝a 21－a 224，b 2＝a 22－a 234，…，b n ＝a 2n －a 2n ＋14， 于是b n ＝16×⎝⎛⎭⎫1042n －2－16×⎝⎛⎭⎫1042n 4＝32×⎝⎛⎭⎫58n －1，为等比数列， 对于A ，连续三个正方形的面积之和S ＝a 21＋a 22＋a 23＝16＋10＋254＝1294，A 正确； 对于C ，令b n ＝32×⎝⎛⎭⎫58n －1>12，则⎝⎛⎭⎫58n －1>13， 而⎝⎛⎭⎫584－1＝125512<13，C 错误；对于D ，S n ＝32×1－⎝⎛⎭⎫58n 1－58＝4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫58n <4， D 正确．二、多项选择题7．已知F 是椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d (d >0)的等差数列，则( )A ．该椭圆的焦距为6B ．|FP 1|的最小值为2C ．d 的值可以为310D ．d 的值可以为25答案 ABC解析 由椭圆的方程和定义知a ＝5，b ＝4，c ＝3，∴焦距为6，∴A 正确；又∵a －c ≤|FP i |≤a ＋c ，∴2≤|FP i |≤8，∴B 正确；令|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成等差数列{a n }，d >0，∴a 1＝|FP 1|≥2，a n ≤|FP i |max ＝8，∴d ＝a n －a 1n －1≤8－2n －1＝6n －1≤621－1＝310，∴0<d ≤310，∴C 正确，D 错误． 8.如图，已知四边形ABCD 中，F n (n ∈N *)为边BC 上的一列点，连接AF n 交BD 于G n ，点G n (n ∈N *)满足G n F n ---→＋2(1＋a n )G n C ---→＝a n ＋1G n B ---→，其中数列{a n }是首项为1的正项数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( )A ．a 3＝13B ．数列{3＋a n }是等比数列C ．a n ＝4n －3D ．S n ＝2n ＋1－3n 答案 AB解析 由题意可知G n B ---→＝1a n ＋1G n F n ---→＋2(1＋a n )a n ＋1G n C ---→， 因为B ，F n ，C 三点共线，所以1a n ＋1＋2(1＋a n )a n ＋1＝1， 即1＋2＋2a n ＝a n ＋1，即a n ＋1＝3＋2a n ，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，于是a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1， 所以a n ＝2n ＋1－3， 所以a 3＝24－3＝13，所以A ，B 选项正确，C 选项不正确．又S 2＝a 1＋a 2＝1＋5＝6，而22＋1－3×2＝2，所以D 选项不正确．三、填空题9．在数列{a n }中，a 1＝3，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝135，则k ＝________.答案 9解析 令m ＝1，由a m ＋n ＝a m ＋a n 可得，a n ＋1＝a 1＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k＝k (a 1＋a k )2＝k (3＋3k )2＝135， 整理可得k 2＋k －90＝0，解得k ＝9或k ＝－10(舍去)．10．已知数列{a n }满足a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，若数列{a n }是单调递增数列，则λ的取值范围是______． 答案 (－3，＋∞)解析 ∵{a n }是单调递增数列，∴当n ≥1时，a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ>0恒成立，即λ>－2n －1，∵n ≥1，∴(－2n －1)max ＝－3，∴λ>－3.11．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝________. 答案 8解析 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，则a n ＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－(3＋7＋11＋15)＝－36.当n 为偶数时，n ＋1为奇数，则a n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝5＋9＋13＋17＝44，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝－36＋44＝8.12．(2022·聊城质检)某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列．如图，第一行构造数列1,2；第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列1,2,2,4,2，…，则第5行从左数起第6个数的值为________．用A n 表示第n 行所有项的乘积，若数列{B n }满足B n ＝log 2A n ，则数列{B n }的通项公式为________．答案 8 B n ＝3n －1＋12 解析 根据题意，第5行的数列依次为1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2，从左数起第6个数的值为8.A 1＝21，213222A ＋＝＝， 015133322A ＋＋＝＝，012141333422A ＋＋＋＝＝， 01234113333522A ＋＋＋＋＝＝， 故有0123211131311333+1323322=2,n n n n A ---+-==－＋＋＋＋＋…＋则B n ＝log 2A n ＝11312213log 2.2n n -+-+=四、解答题13．(2022·烟台模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝9，S 3＝15.(1)求{a n }的通项公式；(2)保持数列{a n }中各项先后顺序不变，在a k 与a k ＋1(k ＝1,2，…)之间插入2k 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n }，记{b n }的前n 项和为T n ，求T 100的值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，由已知a 1＋3d ＝9,3a 1＋3d ＝15.解得a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝2n ＋1.(2)因为在a k 与a k ＋1(k ＝1,2，…)之间插入2k 个1，所以a k 在{b n }中对应的项数为n ＝k ＋21＋22＋23＋…＋2k －1 ＝k ＋2－2k1－2＝2k ＋k －2， 当k ＝6时，2k ＋k －2＝68，当k ＝7时，2k ＋k －2＝133，所以a 6＝b 68，a 7＝b 133，且b 69＝b 70＝…＝b 100＝1.因此T 100＝S 6＋(2×1＋22×1＋23×1＋…＋25×1)＋32×1＝62×(3＋13)＋2－261－2＋32＝142. 14．(2022·长沙质检)已知{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求a n 和S n ；(2)若b n ＝n a ＋1S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥m n ＋1对任意的n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由已知得a 24＝a 2a 8，即(2＋3d )2＝(2＋d )(2＋7d )， 整理得d 2－2d ＝0，又d ≠0，∴d ＝2，∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n .(2)由题意知，b n ＝()22n ＋1n 2＋n ＝2n ＋1n (n ＋1)＝2n ＋1n －1n ＋1，∴T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2(1－2n )1－2＋1－1n ＋1＝2n ＋1－1－1n ＋1，∵T n ≥m n ＋1，∴(n ＋1)2n ＋1－(n ＋2)≥m ， 令f (n )＝(n ＋1)2n ＋1－(n ＋2)，则f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋3)2n ＋1－1>0， 即f (n ＋1)>f (n )对任意的n ∈N *恒成立， ∴{f (n )}是单调递增数列，∴[f (n )]min ＝f (1)＝5，∴m ≤5，∴实数m 的取值范围是(－∞，5]．。