巧用运算律

有理数计算的常用方法关于有理数计算竞赛题，种类繁多，特点各异，解法多样，富有技巧．解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，达到准确，快捷解题之目的，根据笔者教学实践，总结出解有理数计算题的十一种常用方法，以供参考．一、凑整法例1计算：2002＋98＋997＋9996＋99995．分析题中几个数都与整十、整百、整千……很接近，因此可以凑成整十、整百、整千……来求解．解1 原式＝(2002－2－3－4－5)＋(98＋2)＋(997＋3)＋(9996＋4)＋(99995＋5)＝1988＋100＋1000＋10000＋100000＝113088．例2若S＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998，则和数S的末四位数字之和是____．分析将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”……来计算，很容易解出，解原式＝(11＋9)＋(292＋8)＋(3993＋7)＋(49994＋6)＋(599995＋5)＋(6999996＋4)＋(79999997＋3)＋(899999998＋2)－9＋8＋7＋ (2)＝(20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000＋80000000＋900000000)－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)＝987654320－44＝987654276．∴S的末四位数字之和是4＋2＋7＋6＝19．二、分组结合法例3计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2009－2011．分析题中从1到201 1，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果．解原式＝(1－3)＋(5－7)＋…＋( 2009－2011)＝（－2）×503＝－1006．例4计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－2011．分析观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法．解1 原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，…，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法．解2 原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0．三、分解相约法例5 计算：(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)．分析被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．解原式＝＝1 11．四、巧用运算律法例6 计算：23797 0.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷．分析本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计算．解原式五、妙用性质法例7计算：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷…÷(2010÷2011)．分析本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a÷(b÷c)＝a÷b×c＝a×c ÷b．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．解原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011＝(1×3×4×...×2011)÷(2×3×4× (2010)＝2011÷2＝1005.5．六、添项相加法例8 计算：512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．分析 经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l （末项），使问题得以顺利解决．解 原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(1＋1)－1＝512＋256＋…＋4＋(2＋2)－1＝…＝512＋(256＋256)－1＝512＋512－1＝1023．七、错位相减法例9 计算：2481621392781243+++++． 分析 观察算式发现，从第二项起，每一项是前一项的23，考虑用错位相减法解．八、活用公式法例10 计算：211133+++ (1013)+． 分析 上式从第二项起，后一项与前一项的比值都是13，因此它是道等比数列求和题．可用公式1(1)1n n a q S q-=-求解，其中S n 表示前n 项的和，n 表示项数，q 表示公比，a 1表示首项，解 原式例11 计算:19492－19502＋19512－19522＋… ＋20092－20102＋20112．分析 上式除末项外，前面的项顺次每两项构成平方差形式，可用平方差公式分解后再计算．解 原式九、拆项法例12 计算：359173365248163264+++++． 分析 和式中每个相加的分数分子都比分母大1，而分母依次是后一个分母是前一个分母的2倍，于是我们可以先拆项，再相加． 解 原式例13 计算：1111121231234++++++++++…1123100+++++．分析本题可用上法拆项．解 原式十、字母代换法例14计算：(1＋0.23＋0.34)×(0.23＋0.34＋0.56)－(1＋0.23＋0.34＋0.56)×(0.23＋0.34)．分析此题如果用常规方法进行计算，步骤多而且复杂，如果我们把算式中的一部分相同的式子用字母代替，可以化繁为简，化难为易，很快巧算出结果．解设0.23＋0.34＝a．则原式＝(1＋a)×(a＋0.56)－(1＋a＋0.56)×a＝a＋0.56＋a2＋0.56－a－a2－0.56a＝0.56．十一、数形结合法例15 计算：当n无限大时，1＋12＋1148++…12n+的值．分析建立如下模型，设大正方形的面积为l，当n无限大时，有1＋12＋1148++…12n+＝1．故原式＝2（图形请读者自作）．例16 求S100＝13＋23＋33＋…＋1003的值．分析使用计算器虽能求得结果，但是计算量将十分庞大，而利用数形结合法能使本题得以巧解．解先求出13＋23＋33的值，作出如图．易知13表示第一个┘上黑点的个数，23表示第二个┘上黑点的个数，33表示第三个┘上黑点的个数．图中每行每列黑点的个数均为l＋2＋3＝6，故S3＝13＋23＋33＝6×6＝36．用式子表示：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62．同理可得S100的图中各行各列的黑点个数为：。

有理数巧算“十字诀”一、“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算.[例1]计算（-13）+（+28）+（-47）+（+50）.解：原式=（28+50）+（-13-47）二、“消”：将相加得0的数（如互为相反数的数）对消.[例2]（-107）++（）+107+. 解：原式=[(-107)+107]+[+、”凑”将相加可得整数的数凑整, [例3]计算 (+54)+(-31)++(-32)++. 解：原式=(-31-32)++++( +54) =-1+5 +54 =454 4、“合”：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）别离组合.[例4]计算1-125+51+121-2039-1513. 解：原式=（1-2039）+（121-125）+（51-1513） =-2019－31－32 =-2039. 五、“分”：将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式.[例5]计算171619×15. 解：原式=（20-171）×15 =300-1715 =172299.[例6]计算（-81）××(-96) ×31. 解：原式=(81×8) ××4) ×(3×31) =1×1×1=1.六、“化”：将小数与分数或乘法与除法彼此转化.[例7]计算-3-[-5+（×53）÷（-2）]. 解：原式=-3-[-5+（1-51×53）÷（-2）] =-3-[-5+2522×(-21)] =-3-[-5-2511] =2561. 7、“变”：利用运算定律把运算顺序改变，从而简化计算.[例8]计算（47-87-127）×（-78）. 解：原式=47×（-78）-87×（-78）-127×（-78 ） =-2+1+32 =-31.八、“约”：将互为倒数的数或有因数和倍数关系的数约简.[例9]计算（）·（+1225）·（-43）·（）. 解：原式=-10012×1225×43×1016=-103. 九、“逆”：正难那么反，逆用运算律以简化运算.[例10]计算（-125）÷17+（+315）÷17-（-166）÷17-（-171）. 解：原式=（-125+315+166+1）÷17=357÷17=21.10、“观”：依照0和1在运算中的特性，注意观看算式特点，可收到事半功倍的成效.[例11]计算-2006÷×2032+(-1)2006+(-1)2007. 解：原式=0+1-1=0。

初中混合运算解题技巧
初中混合运算的解题技巧主要有以下几点：
1. 运算顺序：掌握并遵循“先乘除后加减，有括号先算括号里”的基本原则。

如果是同级运算，则按从左到右的顺序进行计算。

2. 转化法：在混合运算中，可以将某些运算进行转化以简化计算。

例如，将除法转化为乘法，将乘方转化为乘法，以及在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算。

3. 凑整法：在加减混合运算中，通过凑整可以简化计算。

通常将和为零的两个数、分母相同的两个数、和为整数的两个数、乘积为整数的两个数分别结合为一组求解。

4. 分拆法：对于带分数，可以将其分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算。

这种方法在处理复杂的带分数运算时非常有用。

5. 巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往可以使计算更简便。

例如，利用加法的交换律和结合律，可以将同类项合并在一起进行计算；利用乘法的分配律，可以将复杂的乘法运算分解为更简单的几个步骤进行计算。

6. 检查答案：完成计算后，务必检查答案是否正确。

可以通过重新计算或使用其他方法进行验证，以确保答案的准确性。

以上这些技巧在解决初中混合运算问题时非常实用，可以帮助你更快速、更准确地完成计算。

当然，不同的题目可能需要应用不同的技巧，因此在实际解题过程中要灵活运用这些方法。

有理数的巧算1、初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们在运算过程中，要善于观察题目的结构特点，灵活选用算法和技巧，这样不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。

2、有理数的相关概念和性质法则⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质 3、常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法 一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。

①111(1)1n n n n =-++ ② 1111()()n n k k n n k =-++③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④ 1111()(1)(1)211n n n n =--+-+课前热身 计算：()()()()313185= 2-1912=152********-1954= 4-7516182625⨯⨯⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ （5）计算：①1+3=22 ②1+3+5=9=32 ③1+3+5+7=16=42⑷1+3+5+7+9= 、、、则1+3+5+7+9+、、、+2(n-1)= 【专题精讲】【例1】⑴巧用运算律 计算下列各题⑵32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-⑵12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-对应练习1、用简便方法计算：999998998999998999999998⨯-⨯=【例2】⑵凑整法 计算：7+97+997+9997+99997=对应练习计算：89+899+8999+89999+899999【例3】 ⑷分组相约法 计算1234567891011122005200620072008--++--++--+++--+ 对应练习计算：1-22+32-42+、、、+992-1002+1012【例4】⑶拆项法(裂项相消法)求值 计算：（1）111111261220309900++++++ ⑵111113355799101++++⨯⨯⨯⨯ 对应练习计算：111111315131517293133+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例5】⑹错位相减法 计算：11112481024++++对应练习计算：23201012222S=+++++【例6】 ⑸倒写相加法 计算：11212312341235859()()()()23344455556060606060++++++++++++++++ （首项+尾相）×项数÷2对应练习计算：111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+的值.【例7】⑺换元法 计算：11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009--+-+++---+--+++ 22469012346-1234512347⨯对应练习计算：111111*********++++++-1++++++23423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭计算：【例8】⑻观察探究、归纳法 请你从下表归纳出333331234n +++++ 的公式并计算出：33333123450+++++ 的值。

七年级数学培优（2）——有理数的巧算班级：________ 姓名：_________知识点精析：“算对与算巧”求10099321+++++ 的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成129899100+++++ 然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。

这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。

有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。

例题精讲：一. 巧用运算律例1. 计算12345678201220132014S =--++--++++-变式题：计算1121231279()()()233444808080++++++++二. 巧添辅助数例2. 计算：三. 巧用倒序相加法例3、计算：12340272014201420142014++++四. 巧用拆项法例4 计算111112233420132014+++创创变式：. 1111144771020112014+++创创五、巧用错位相加减法例5、计算22013201412222++++变式：22013201415555++++六、巧用整体换元法例6、11111111111111232015232014232015232014骣骣骣骣琪琪琪琪+++++-+++++琪琪琪琪桫桫桫桫七、巧用倒数法例7、计算：11117111171136461218364612183636骣骣琪琪?---++--- 琪琪桫桫练习反馈：1. 计算： 11111111111111231997231997231997231996骣骣骣骣琪琪琪琪+++++++-+++++++琪琪琪琪桫桫桫桫2、计算：121123031065骣骣琪琪-?+-琪琪桫桫3、求和()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++-+++++++++++++++++ （分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。

加减法中的速算与巧算知识储备1、加法的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)2、加、减法运算的性质：a-b-c=a-c-b=a-(b+c)a+b-c=a-c+b=a+(b-c)3、在加法、减法和加减混合运算中，常常利用改变运算顺序或添加括号的方法进行巧算。

4、加减法的速算与巧算常用到的方法还有以下两种：①借数凑数法巧算；②利用平均数进行巧算。

思维引导例1、巧算：76+35+48+14+45+52跟踪练习：巧算：89+123+109+11+77+181例2、巧算：500－99－1－98－2－97－3跟踪练习：巧算6728－116－202－551－67－1098－133例3、巧算：548－136+17－64+35跟踪练习：巧算1000－2+3－4+6－6+9－8+12－10+15例4、计算：①567－76+74 ②567－74+76跟踪练习：简便计算：①476－47+37 ②359+58－60例5、简便计算：432－（154－68）跟踪练习：①783－（583+16）②489－（342－11）例6、计算：999+99+9跟踪练习：计算：19+199+1999+19999例7、计算：(1)728+598 (2)436—103跟踪练习：计算：(1)288—199；(2)576+189例8、用简便方法计算下面各题跟踪练习：计算例9、巧算：599996+59997+3998+407+89跟踪练习：巧算：700012+6009+41008+59001例10、1966+1976+1986+1996+2006这五个数的总和是多少？跟踪练习：巧算：2010+2005+2004+2003+1998例11、计算：100+99－98+97－96+…+3－2+1跟踪练习：计算：98+97－96－95+94+93－92－91+90+89－…－4－3+2+1能力对接1、在正确的算式前的圈圈里打“√”，错的打“×”。

核心考点专项评价2．运算律的巧用一、认真审题,填一填。

(每小题4分,共16分)1．在○里填运算符号,在□里填数。

(1)456－(56＋78)＝456－56○□(2)36×6＋24×6＝(□○□)×6(3)99×78＝□×78○□×78(4)24×25＝□×25×□2．如果m－n＝4,那么25×m－25×n＝()。

3．如果386×97＝100×☆－3×☆,那么＝()。

4．如果65×◎＋35×◎＝800 ,那么◎＝()。

二、仔细推敲,选一选。

(每小题3分,共12分)1．4×8×25×125＝(4×25)×(8×125)运用了乘法的()。

A．结合律B．交换律C．结合律和交换律2．225÷25的简算不正确的是()。

A．225÷5÷5B．(225×4)÷(25×4)C．225÷(25×4)3．下图中,()可以解释(4×3)×6＝4×(3×6)。

4．龙龙把▲×99误算成▲×100－1(▲大于1),所得的结果与正确的结果相比,()。

A．偏小B．偏大C．不变D．无法确定三、下面的计算对吗？(对的画“√”,错的画“×”,并改正)(每小题4分,共12分)1. 480÷32＝480÷8×4＝60×4改正：＝240()2．25×125×16＝25×4＋125×4＝100＋500改正：＝600()3.125×8×4＝(125×8 )×(125×4)＝1000×500改正：＝500000()四、用简便方法计算下面各题。

课题巧算乘除法四则运算中巧算的方法很多，它主要是根据已学过的知识，通过一些运算定律、性质和一些技巧性方法，达到计算正确而快捷的目的。

实际进行乘、除法以及乘除法混合运算式可利用到以下性质进行巧算：①乘法交换律：a×b = b×a②乘法结合律: a×b×c = a×(b×c)③乘法分配律: (a + b)×c = a×c + b×c由此可推出：a×b + a×c = a×(b + c)(a - b) ×c = a×c - b×ca×b - a×c = a×(b - c)④除法的性质: a÷b÷c = a÷b÷c = a÷(b×c)a÷（b÷c）= a÷b×c利用乘法、除法的这些性质，先凑整得10、100、1000……使计算更简便.教学目标1、熟练掌握乘除法运算法定律及性质2、善于运用运算定律和性质（包括正用、逆用、连用）。

教学重难点重点：乘法运算律，特殊的由原有规律推出的定律难点：把乘除运算律延用到乘除法混合运算中，尤其在含有括号或多项的题目中。

教学过程一、复习引入1、利用乘法运算律，填空：15×10 = 16×______25×7×4 = ______×______×7(60×25)×______ = 60×(______×8)125×(8×______) = (125×______)×143×4×8×5 = (3×4)×(______×______)2、下面哪些运算运用了乘法分配律？117×3 + 117×7 = 117×(3 + 7)24×(5 + 12) = 24×174×a + a×5 = (4 + 5)×a36×(4×6) = 36×6×43、用乘法分配律计算下面各题103×12 20×55 24×205= = == = == = =有了上面的复习，我们把四年级课本上有关乘法的运算律都进行了一个回顾与掌握，今天我们将就如何在巧算中用上这些规律进行讲解。