§10.5散度与高斯公式(2)

散度定理表达式
散度定理是高斯定理在物理中的实际应用，它经常应用于矢量分析中。

矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。

(附:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个变换关系在电磁场理论中非常有用)
表达式(为下图所示)
散度定理公式是∫∫（(əQ/əx)-(əP/əy)）dxdy。

散度定理又称为高斯散度定理、高斯公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。

散度定理经常应用于矢量分析中。

矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分。

在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。

然而，它可以推广到任意维数。

在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。

散度形式高斯公式证明一、高斯公式的散度形式。

高斯公式的散度形式表述为：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面§igma所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有。

∭_Ω((∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z))dV = ∬_§igmaPdydz + Qdzdx+Rdxdy二、证明思路。

1. 用微元法进行分析。

- 把闭区域Ω分割成许多小闭区域。

考虑一个小闭区域Δ V，其边界曲面为Δ§igma。

- 设小闭区域Δ V在点(x,y,z)处的体积为Δ V，Δ§igma的外法线方向的单位向量为→n=(cosα,cosβ,cosγ)。

2. 对P分量进行分析。

- 根据通量的概念，向量场→A = P→i+Q→j+R→k通过Δ§igma的通量ΔvarPhi中关于P的部分为∬_Δ§igmaP→i·→ndS=∬_Δ§igmaPcosα dS。

- 由高斯公式的物理意义（通量与散度的关系），在小闭区域Δ V内，P对通量的贡献近似为((∂ P)/(∂ x))Δ V（这里是利用了散度的定义div→A=(∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z)，当只考虑P分量时，其散度的主要部分为(∂ P)/(∂ x)）。

- 当Δ Vto0时，精确地有∬_Δ§igmaPcosα dS = ((∂ P)/(∂ x))Δ V。

3. 同理对Q和R分量进行分析。

- 对于Q，有∬_Δ§igmaQcosβ dS = ((∂ Q)/(∂ y))Δ V。

- 对于R，有∬_Δ§igmaRcosγ dS = ((∂ R)/(∂ z))Δ V。

4. 对整个闭区域Ω和闭曲面§igma进行分析。

- 将所有小闭区域的上述关系相加。

对于整个闭区域Ω，其被分割成了n个小闭区域Δ V_i，i = 1,2,·s,n。

第六节Green 公式Gauss 公式推广一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度高斯公式通量与散度第十一章一、高斯( Gauss ) 公式z y xzRd d d ⎰⎰⎰Ω∂∂⎰⎰∑=y x R d d 下面先证:定理1. 设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲Ω上有连续的一阶偏导数,⎰⎰∑++=yx R x z Q z y P d d d d d d 函数P , Q ,R 在面∑所围成, ∑的方向取外侧, 则有(Gauss 公式)2∑3∑1∑Ωzyxyx D {),,(y x R }y x y x R d d ),,(-,),(:11y x z z =∑证明: 设,321∑∑∑=∑ z z Ry x z y x z d ),(),(21⎰∂∂⎰⎰=yx D ),(2y x z ),(1y x z ⎰⎰∑y x R d d ⎰⎰=yx D (⎰⎰∑=2z y x z R d d d ⎰⎰⎰Ω∂∂y x d d ⎰⎰∑+1⎰⎰∑+3)yx R d d 为XY 型区域, ),,(:22y x z z =∑则y x y x R d d ) ,,(⎰⎰-yx D ⎰⎰=yx D ),(2y x z y x y x R d d ) ,,(),(1y x z所以z y x zRd d d ⎰⎰⎰Ω∂∂⎰⎰∑=y x R d d 若Ω不是XY –型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY –型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证z y x y Qd d d ⎰⎰⎰Ω∂∂⎰⎰∑++=yx R x z Q z y P d d d d d d ()z y x zR y Q x P d d d ∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰Ω⎰⎰∑=x z Q d d z y x x Pd d d ⎰⎰⎰Ω∂∂⎰⎰∑=z y P d d 三式相加, 即得所证Gauss 公式：例1. 用Gauss 公式计算其中∑为柱面闭域Ω的整个边界曲面的外侧.解: 这里利用Gauss 公式, 得原式=⎰⎰⎰Ω-z y x z y d d d )(⎰⎰⎰Ω-=zr r z r d d d )sin (θθ(用柱坐标)z z r r r d )sin (d d 301020⎰⎰⎰-=θθπ29π-=x3o z 1y,)(x z y P -=,0=Q y x R -=及平面z = 0 , z = 3 所围空间思考: 若∑改为内侧, 结果有何变化?若∑为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?例2. 利用Gauss 公式计算积分其中∑为锥面222z y x =+∑h o zyx解: 作辅助面,:1h z =∑,:),(222h y x D y x y x ≤+∈取上侧⎰⎰∑+∑=1(I ⎰⎰∑-1Sz y x d )cos cos cos )(222γβα++0,21===∑γβαπ上在介于z = 0 及z = h 之间部分的下侧. 1,∑∑记h1∑所围区域为Ω,则⎰⎰⎰Ω++=z y x z y x d d d )(2yx h yx D d d 2⎰⎰-⎰⎰⎰Ω++=z y x z y x I d d d )(2利用重心公式, 注意0==y x ⎰⎰⎰Ω=z y x z d d d 24hπ-yx h yx D d d 2⎰⎰-421h π-=⎰=h z 022z π⋅z d 4h π-∑h o zyxh1∑例3..d d d d d d )(2223⎰⎰∑--+=y x z x x z yz x z y x z x I 设∑为曲面21,222≤≤--=z y x z 取上侧, 求解: 作取下侧的辅助面1:1=∑z 1:),(22≤+∈y x D y x y x =I ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-11⎰⎰⎰Ω=z y x d d d yx x d d )(2-⎰⎰xyD )1(--⎰=πθ20d ⎰10d rr ⎰-πθθ202d cos 1213π=1z o xy21∑1∑用柱坐标用极坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂γβαcos cos cos z v y v x v 在闭区域Ω上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式S d 例4. 设函数⎰⎰⎰Ωu zy x d d d ⎰⎰∑=u (⎰⎰⎰Ω-)z y x d d d x u ∂∂y u ∂∂+y v ∂∂z u ∂∂+zv∂∂其中∑是整个Ω边界面的外侧.uP =x v ∂∂u Q =yv ∂∂u R =z v ∂∂分析:()z y x zR y Q x P d d d ⎰⎰⎰Ω∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰∑++=yx R x z Q z y P d d d d d d x v ∂∂高斯公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂222222z v y v x v证:令u P =,x v ∂∂u Q =,y v ∂∂u R =,z v∂∂由高斯公式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂222222z v y v x v ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂γβαcos cos cos z v y v x v ⎰⎰∑=u Sd 移项即得所证公式.y v ∂∂zv ∂∂x v ∂∂内容小结1. 高斯公式及其应用公式:⎰⎰∑++y x R x z Q z y P d d d d d d ()zy x zRy Q x P d d d ∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰⎰Ω应用:(1) 计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:0d d d d d d =++⎰⎰∑y x R x z Q z y P 0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)yx rzx z r y z y r x d d d d d d 333333++⎰⎰∑==⎰⎰⎰Ω=v R d 324Rπ=(2)yx rzx z r y z y r x d d d d d d 333333++⎰⎰∑[()()()]v rzz r y y r x x d 333333∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰⎰Ω=31R yx z x z y z y x d d d d d d 333++⎰⎰∑31R ⎰⎰⎰Ω++v z y x d )(3222Ω为∑。

高斯定理1 2 (100)高斯定理公式是即1+2+3+...+n=(首项+末项)。

高斯定理Gauss' law也称为高斯通量理论Gauss' fluxtheorem，或称作散度定理、高斯散度定理、高斯奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理。

数学的起源数学，起源于人类早期生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。

数学的演进可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。

第一个被抽象化的概念是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。

除了如何去数实际物质的数量，人类亦了解了如何去数抽象物质的数量。

高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。

高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。

高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。

高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。

因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。

扩展资料：高斯定理指出：穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。

换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。

它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。

在真空的情况下，Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。

当存在介质时，Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。