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第六节 高斯公式 通量与散度㈠本课的基本要求了解高斯公式，会用高斯公式计算曲面积分，了解通量与散度的概念，并会计算㈡本课的重点、难点高斯公式重点、利用高斯公式计算曲面积分为难点㈢教学内容在本章的第三节中，我们介绍了格林公式。
它反映了平面区域D 上的二重积分与其边界曲线L 上的曲线积分之间的关系。
作为格林公式在空间的推广，下面介绍的高斯公式则反映了空间区域Ω上的三重积分与其边界曲面∑上的曲面积分之间的关系。
一．高斯公式定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(),,,(z y x Q z y x P , ),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂)()(Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P ⑴ 或ds R Q P dv z R y Q x P ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂)cos cos cos ()(γβα ⑵ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。
公式⑴或⑵叫做高斯公式。
证 由第五节中两类曲面积分的关系可知，公式⑴及⑵的右端是相等的，因此这里只要证明公式⑴就可以了。
首先假设穿过区域Ω内部且平行于z 轴的直线与Ω的边界曲面∑只有两个交点，并且Ω在xoy 平面上的投影区域为xy D ，这样∑可为三部分321,,∑∑∑，其中21,∑∑的方程分别为),(:11y x z z =∑，取下侧，),(:22y x z z =∑，取上侧，并且21z z ≤，而3∑是以xy D 边界线为准线且母线平行于z 轴的柱面的一部分，取外侧。
一方面，根据三重积分的计算法，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂Ωxy D y x z y x z dxdy dz z R dv z R ),(),(21 ⎰⎰-=xy D dxdy y x z y x R y x z y x R )]},(,,[)],(,,[{12另一方面，根据第二类曲面积分的计算法，又有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(11 ⑶ ⎰⎰⎰⎰=∑xy D dxdy y x zy x R dxdy z y x R )],(,,[),,(22因为3∑在xoy 平面上的投影区域为一条曲线，其面积为零，因而由定义知0),,(3=⎰⎰∑dxdy z y x R将上述三式相加可得⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(⎰⎰-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R )]},(,,[)],(,,[{12 ⑷ 比较⑶式与⑷式，得=∂∂⎰⎰⎰Ωdv z R ⎰⎰∑dxdy z y x R ),,( 若穿过区域Ω内部且平行于x 轴及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑也都只有两个交点，那么类似地可证=∂∂⎰⎰⎰Ωdv x P ⎰⎰∑dydz z y x P ),,( =∂∂⎰⎰⎰Ωdv y Q ⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,( 将以上三式两端分别相加，即得高斯公式⑴。
