第六节 高斯公式 通量与散度

利用高斯公式，
v v v v u dS [ ( u ) ( u ) ( u )]dxdydz , x x y y z z n u v u v u v uvdxdydz ( )dxdydz x x y y z z
Dxy
sin( xy )dxdy
======0
奇偶对称
I
0


0
184 I1 I 2 35
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例3：计算曲面积分
其中, r
2 2 2 2 : x y z R 取外侧 . x y z ,
2 2 2
解: 不能直接用高斯公式
第六节 高斯公式与散度
一、高斯公式
第十章
二、曲面积分与 曲面无关的条件
三、通量与散度
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一、高 斯 公 式
说明：
若 可表成：
( x , y ) | z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ), ( x , y ) Dxy
则称 是 xy 型空间区域；
r
在椭球面内作辅助小球面
x2 y2 z2
z

1 : x 2 y 2 z 2 2
1
y
x
0

高斯公式
1

3
3 d x d y d z
1
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例3**：计算曲面积分
其中 r
x2 y2 z2 ,
: 任意不经过原点的封闭 曲面， 取外侧 .
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Φ Pdydz Qdzdx Rdxdy
n
Σ
当 > 0， 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉;
n
当 < 0， 说明流入 的流体质量多于流出的,
表明 内有洞 ; 当 = 0， 说明流入与流出 的流体质量相等 。
根据高斯公式, 流量也可表为
P x
Q y
R z
dxdydz
2、是否满足高斯公式的条件；
3、Σ 是取闭曲面的外侧。
第2xzdydz yzdzdx z2dxdy ，
其中 是由曲面 z x2 y2 与
z 2 x2 y2 所围立体的表面外侧。
z
Dxy
2y
x
第十一章 第六节
7
例2 计算 ( x y)dxdy ( y z)xdydz ，其中 Σ 是
cos
n
0
r
0
n
0
r
0
则
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1
3dv V
3 第十一章 第六节
23
内容小结
1 高斯公式及其应用
公式
P Q R
Ω
(
x
y
z
)dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
应用 (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 闭曲面积分为零的充要条件:
Gauss
I 2 (x y z)dv
1 1
1
对称性
2 zdv h2dS
1方 程
1
1 2
h4

第六节 高斯公式 通量与散度㈠本课的基本要求了解高斯公式，会用高斯公式计算曲面积分，了解通量与散度的概念，并会计算㈡本课的重点、难点高斯公式重点、利用高斯公式计算曲面积分为难点㈢教学内容在本章的第三节中，我们介绍了格林公式。

它反映了平面区域D 上的二重积分与其边界曲线L 上的曲线积分之间的关系。

作为格林公式在空间的推广，下面介绍的高斯公式则反映了空间区域Ω上的三重积分与其边界曲面∑上的曲面积分之间的关系。

一．高斯公式定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(),,,(z y x Q z y x P , ),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂)()(Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P ⑴ 或ds R Q P dv z R y Q x P ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂)cos cos cos ()(γβα ⑵ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。

公式⑴或⑵叫做高斯公式。

证 由第五节中两类曲面积分的关系可知，公式⑴及⑵的右端是相等的，因此这里只要证明公式⑴就可以了。

首先假设穿过区域Ω内部且平行于z 轴的直线与Ω的边界曲面∑只有两个交点，并且Ω在xoy 平面上的投影区域为xy D ，这样∑可为三部分321,,∑∑∑，其中21,∑∑的方程分别为),(:11y x z z =∑，取下侧，),(:22y x z z =∑，取上侧，并且21z z ≤，而3∑是以xy D 边界线为准线且母线平行于z 轴的柱面的一部分，取外侧。

一方面，根据三重积分的计算法，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂Ωxy D y x z y x z dxdy dz z R dv z R ),(),(21 ⎰⎰-=xy D dxdy y x z y x R y x z y x R )]},(,,[)],(,,[{12另一方面，根据第二类曲面积分的计算法，又有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(11 ⑶ ⎰⎰⎰⎰=∑xy D dxdy y x zy x R dxdy z y x R )],(,,[),,(22因为3∑在xoy 平面上的投影区域为一条曲线，其面积为零，因而由定义知0),,(3=⎰⎰∑dxdy z y x R将上述三式相加可得⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(⎰⎰-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R )]},(,,[)],(,,[{12 ⑷ 比较⑶式与⑷式，得=∂∂⎰⎰⎰Ωdv z R ⎰⎰∑dxdy z y x R ),,( 若穿过区域Ω内部且平行于x 轴及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑也都只有两个交点，那么类似地可证=∂∂⎰⎰⎰Ωdv x P ⎰⎰∑dydz z y x P ),,( =∂∂⎰⎰⎰Ωdv y Q ⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,( 将以上三式两端分别相加，即得高斯公式⑴。

2
2
2
2
2 ( x y z )dxdydz 2 (a b c )dxdydz

由对称性知 ( x y z )dxdydz 0
4 3 2 ( a b c ) R I 2(a b c ) dxdydz 3
P x dxdydz Pdydz,
Q y dxdydz Qdzdx ,
假设条件（1）用平行于 z 轴的直线穿越 的内部 时，与 的边界曲面 交点恰好为两点。
（2） 取外侧。
（3）R (x , y , z) 在 上具有一阶连续偏导数。 R dxdydz R( x , y , z )dxdy 结论： z P Q x dxdydz Pdydz, y dxdydz Qdzdx , 说明 1. 若 不满足条件（1），则可类似于格林公 式的情形进行处理。 2. 三式合并即为

其中 为锥面 z 2 x 2 y 2 介于平面 z = 0 及 z = h （h > 0）之间部分的下侧。 n (cos , cos , cos ) 是与 的侧向一致的法向量的方向余弦。
解：在 1 可以应用高斯公式。
zn (0,0,1)
I ( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
2 3 dxdydz z dxdydz a 3 a x 3 2 2 a a 2 2 a 3 0 d d 0 r cos r sin d r a 3 a 2
2
0 n
y
例4：计算 I y ln rdydz x ln rdzdx zdxdy

①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立,假设存在 M 0 G, 使

P x
Q y
R z
M 0

0
23
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域
d xd yd z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
24
(M0 ) G,使在 (M 0 )上, P Q R 0 x y z
设 (M 0 )的边界为 取外侧, 则由高斯公式得
P d y d z Q d z d x R d x d y

(M0)
P Q R x y z
0
d
01dr
03r(r
sin
z) dz


9
2
.
)
(
1y
利 用 柱 面 坐 标 得
5
使用Guass公式时应注意:
1. P, Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧.
6
例 2 利用高斯公式计算曲面积分
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS ,
:
00


r

2，
h,

r z h.

202
d
h
0
dr
h
r
(r
cos

r
sin

z)
r
dz

3

(r sin z )r dr d d z
o 1 x
y

0
2
d rd r ( r sin z ) d z
0 0
1
3
9 2
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
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即 Pu
v x
, Qu
v y
, Ru
v z
,
由高斯公式得
移项即得所证公式
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计算 I 例5.
xdydz ydzdx zdxdy ( 2x 2 y z )
2 2 2 3
其中 为球面 x 2 y 2 z 2 1 外侧 分析:由
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：

注

P d y d z Q d z d x R d xdy
P x

Q y

R z
d x d ydz
(1) Gauss 公式是计算第二型曲面积分的重要工具 (2) Gauss 公式是针对朝外封闭曲面,若朝内则三重 积分前有负号;若不封闭,则不能直接应用 (3)Gauss 公式中函数 P, Q, R 在 上有连续的 一阶偏导数条件不可少
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2 2 2 2 解: 做曲面 1 : 2 x 2 y z a 外侧, 其中a 足够小
使得曲面 1 含在球面内. 设 1 与 围成的区域为 则在 上满足高斯公式条件 则 即
1 a
3

1
xdydz ydzdx zdxdy

o 1 x
y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 ∑ 为锥面 x2 + y2 = z2 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧.
∑1 h h
∑
o y 解: 作辅助面 2 2 2 x ∑1: z = h, (x, y) ∈Dxy : x + y ≤ h , 取上侧
记∑,∑1所围区域为, 则
n n
当Φ = 0 时, 说明流入与流出∑ 的流体质量相等 .
③
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为了揭示场内任意点M 处的特性, 设∑ 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记∑ 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 Φ lim →M V
r2 3x2 r 2 3y2 r 2 3z2 = q + + 5 5 5 r r r ( r ≠ 0) =0
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
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内容小结
1. 高斯公式及其应用 公式:
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y P Q R )d xd y d z = ∫∫∫ ( + + x y z
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2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 设P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在空间二 维 定理 间二 单连通域G内具有连续一阶偏导数, ∑为G内任一闭曲面, 则
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = 0

3 ：母线平行于z 轴的柱面
R dv { z2( x,y) R dz}dxdy
z
z z1 ( x , y )
Dxy
x
2
3
o 1
y
D 1 xy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
Dxy

Q y

R z
=3
（2） Pdydz Qdzdx Rdxdy

divAdv 3dv 108


练习题
1. 设∑是球面x2 + y2 + z2 = a2 的外侧，则向量场
A

{3 xy 2 ,2

y3,
z}
通过∑的通量为
__43___a_3___
dydz cosdS,

曲面Σ：f(x,y,z)=z2+y2-1=0,
dzdx cosdS,
fx=0, fy=2y, fz=2z, 法向量：n (0, y, z),
dxdy cos dS
cos

|
ny
, |
z cos | n |
( y2z z3 )dS zdS
求单位时间内流过曲面Σ 的流量。
在Σ 上任取一小曲面dS,
在dS上任一点处的单位法向
量为：n0 {cos,cos,cos }
dS
则单位时间内流过dS的流量： d

(
A

n0
)dS
[P( x, y, z)cos Q( x, y, z)cos R( x, y, z)cos ]dS

1 lim S →M V
vn dS = ( ∂X + ∂Y + ∂Z )( x, y, z ) ∫∫ ∂x ∂y ∂z S
上式左端的极限称为向量场 v 在点 M ( x, y, z ) 处的散度， 处的散度， 记作 divv. 即
Σ1取上侧， 取上侧，
⋅h
Σ
构成封闭曲面， Σ + Σ1构成封闭曲面， Σ + Σ1围成空间区域 Ω .
在Ω上使用高斯公式 ,
Dxy
o
y
x
z
Σ + Σ1
( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
Σ1
⋅h
Σ
= 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv
Ω
Dxy
1 ∂X ∂Y ∂Z = + + ) 应用积分中值定理， 应用积分中值定理， ( ∂x ∂y ∂z (ξ ,η ,ζ ) V 1 lim S →M V
∫∫ v dS
n S
令V 缩成一点 M (x, y, z), 此时 (ξ ,η , ζ ) → ( x, y, z ), 因此
∂X ∂Y ∂Z ∫∫ vn dS = ( ∂x + ∂y + ∂z )( x, y, z ) S
∂X ∂Y ∂Z 由高斯公式， 由高斯公式， ∫∫∫ ( + + )dV = ∂x ∂y ∂z V
∫∫ v dS
n S
由此得
1 V
∂X ∂Y ∂Z 1 ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dV = V V
∫∫ v dS
n S
单位时间单位体积所 产生流体量的平均值

Σ
其中 Σ 是以原点为中心，边长为 体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R

(
P x
Q y
R z
)dv
1
3
1
xdydz ydzdx zdxdy
1
3
3
dv
3
3
4 3
3
4
11
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
的夹角,
试证
证: 设 的单位外法向量为
则
cos
n
0
r
0
n0 r0
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1 3
3
dv
V
28
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为,
在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim M V
P x
Q y

=
∫∫{R( x, y, z2( x, y)] - R( x, y, z1( x, y)]}dxdy
Dxy
故
∫∫∫
Ω
∂R dv = ∂z
∂Ω
∫∫+Rdxdy
∫∫∫
Ω
∂R dv ∂z
YZ XZ 若Ω同时为 − 型区域和 − 型区域,
下两式也成立
三式相加可得
高斯公式
∫∫∫
Ω
∂P ∂Q ∂R + dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy + ∂x ∂y ∂z ∂Ω+
Σ
Ω
∂P ∂Q ∂R ( + + ) dv ∂x ∂y ∂z
3° °
由高斯公式可得空间立体的体积: 由高斯公式可得空间立体的体积
1 = 3
∂Ω
∫∫+xdydz + ydzdx + zdxdy
例1 计算曲面积分
(§5，例4) § ， 方法2 方法 解 (方法 )
= 3a3 .
3 3 3 例 2 计算曲面积分 I = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy, Σ
∑
=
− ∫∫ = 1 πh4 - πh4 = − 1 πh4. ∫∫ 2 2 ∑+∑ 1 ∑ 1
(方法 方法2) 方法
z
h
∑
y
π 4 =− h . 2
o x
例 4-1 设Σ是光滑的闭曲面，V是Σ所围的立体 是光滑的闭曲面， 是 所围的立体 所围的立体Ω 是光滑的闭曲面 的体积. 的矢径， 的体积 r 是点 ( x, y, z ) 的矢径， =| r | . r

1 Φ P Q R + = lim ∫∫∫ + lim d xd yd z Ω→ M V Ω→ M V x y z
Ω Ω
M
积分中值定理
P Q R P Q R = lim + + =( + + y z ( ξ ,η , ζ ) x y z Ω→ M x
∴ I= =∑1
∫∫
1 4 1 4 4 = πh - πh = πh . 2 2
(方法2)
由对称性知 x 2 d ydz = ∫∫ y 2 d zdx = 0, ∫∫
Σ Σ
x 2 d ydz + y 2 d zdx + z 2 d xdy = ∫∫ z 2 d xdy ∫∫
Σ Σ
P Q R ( + + ) dv x y z
奇点： Σ所围闭区域 Ω上，使P, Q, R 没有 一阶连续偏导数的点.
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = + ∫∫∫ –
Σ
Ω
3° 令P = x , Q = y , R = z，则
P Q R + + =3 x y z
由高斯公式可得空间立体的体积:
→
→
→
P, Q, R具有连续一阶偏导数, Σ是有向曲面片, 其单位法向量 为n, 称
Φ = ∫∫ A n d S = ∫∫ P d y d z + Q d z d x + R d x d y
Σ Σ → →
为向量场A 通过有向曲面 Σ 的通量.
(2) 背景
1o 流量
→ →
流速：A = v = { P , Q , R}
A( x, y, z) = P( x, y, z) i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z) k

2 2
例5 解
xdydz ydzdx ( x z )dxdy

: 2 x 2 y z 2第一卦限部分上侧 .
n (2,2,1)
I
2 2 1 cos , cos , cos , 3 3 3
[ x cos y cos ( x z ) cos ]dS
第六节 高斯公式 一、高斯公式 二、简单应用 三、物理意义——通量与散度
I P ( x , y , z )dydz

一投： Σ：x=x(y,z) 在yoz面投影 D yz 二代:
P ( x, y, z ) P ( x( y, z ), y, z )
三定号: Σ取前侧，I P ( x( y, z ), y, z )dydz
2 2 2 2
dS
1 dxdy cos
D xy

4x 4 y 1
2 2
4 x 2 4 y 2 1 dxdy
D xy
(1 x
2
y ) dxdy d
2
0
2
2 3 ( 1 ) d 0 2 1
一、高斯公式ຫໍສະໝຸດ Pdydz Qdzdx Rdxdy
D
Rdxdy

[ R( x , y , z ( x , y )) dxdy [ R( x , y , z ( x , y )) dxdy
2 D
1
R dv z
D xy
D
dxdy
D xy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
R dz z
解
zdxdy

D xy

2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧.
4.若Σ不是闭曲面，可采用补上若干块曲面
后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面 构成外侧或内侧.
例4 计算 I x(8 y 1)dydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
其中
是由曲线
z
y1,1 y 3绕 y轴
x 0
z
设向量场 F(x, y,z)
P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
称数量 P Q R
x y z ( x, y,z)
为F在点( x, y, z)处的散度(divergence),记为divF ,
即
divF
P
Q
R
x y z
高斯公式可写成 divF dV F dS
其中 为 x2 y2 z2 1的内侧 .
解 记 所围立体区域为 , 则
原积分 [3( x2 y2 z2 ) 6]dxdydz
2
30
d
0
sind
1
0 r
4dr
6
4
3
13
3 2 2 1 8 52 .
5
5
使用Guass公式时应注意:
1. P,Q,R 是对什么变量求偏导数;
设 有向量场
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一定向曲面Σ的第二类曲面积分为
F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场F ( x, y, z)向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义:
则有公式
(
P x
Q y
R )dV z

10、6高斯公式通量与散度§10.6 高斯公式通量与散度一、高斯公式格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：【定理】设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有Ω∑++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv Z R y Q x P )((1) 或Ω∑γ+β+α=??+??+??dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()((1') 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，}γ是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦,公式(１)或(1'证：由两类曲面积分的关系，公式(1)与(1')的右端是相等的，因此这里只要证明公式(1)就可以了。

设闭区域Ω在xoy 面上的投影区域为xy D ，假定穿过Ω内部且平行z 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好是两个。

这样，可设∑由1∑，2∑和3∑三部分组成，其中1∑和2∑分别由方程),(1y x z z =和),(2y x z z =给定，这里),(),(21y x z y x z ≤，1∑取下侧，2∑取上侧；3∑是以xy D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面上的一部分，取外侧。

根据三重积分的计算法，有[]Ω-=??=??y x y x D D y x z y x z y x z y x R y x z y x R dxdy dz zRdv z R )],(,,[)],(,,[12),(),(21 (2) ∑-=1)],(,,[),,(1xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R∑=2)],(,,[),,(2xyD dxdy y x zy x R dxdy z y x R因为3∑上任意一块曲面在xoy 面上的投影为零，所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知∑=30),,(dxdy z y x R把以上三式相加，得∑-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12(3)比较(2)、(3)两式，得Ω∑=??dxdy z y x R dv z R),,( 如果穿过Ω内部且平行于x 轴的直线以及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好有两点，那么类似地可得Ω∑=??dydz z y x P dv x P),,( Ω∑=??dzdx z y x Q dv y Q),,( 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式(1)。

第十一章
第六节 高斯公式 通量与散度
Hale Waihona Puke 推广Green 公式Gauss 公式
一、高斯公式
二、通量与散度
*三、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
一、高斯(Gauss)公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
记作
称为向量场 A 在点 M 的散度.
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 表明该点处有正源,
表明该点处有负源,
表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.
若向量场 A 处处有 例如, 匀速场
, 则称 A 为无源场.
故它是无源场.
证:略
(Gauss 公式)
例1.用Gauss公式计算
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解: 这里
利用Gauss 公式, 得
原式 =
(用柱坐标)
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2. 设 为曲面
取上侧, 求
解: 作取下侧的辅助面
用柱坐标
用极坐标
二、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
设 为场中任一有向曲面,则由第二型曲面 积分的物理意义可知,
单位时间通过曲面 的流量为
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于 流出的, 表明 内有“源泉”;

任意方式缩小至点 M
则有
此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.