高考复习指导讲义 第八章 多面体和旋转体

第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面相互□01平行且□02全等多边形相互□03平行且□04相像侧棱□05平行且相等相交于□06一点，但不肯定相等延长线交于□07一点侧面形态□08平行四边形□09三角形□10梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线相互平行且相等，□11垂直于底面相交于□12一点延长线交于□13一点—轴截面全等的□14矩形全等的□15等腰三角形全等的□16等腰梯形□17圆侧面绽开图□18矩形□19扇形□20扇环—(3)特殊的四棱柱2．直观图(1)画法：常用□21斜二测画法．(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为□2245°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面□23垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍□24平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度□25不变，平行于y轴的线段长度在直观图中□26变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的□27正前方、□28正左方、□29正上方视察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：□30长对正，□31高平齐，□32宽相等．②画法规则：□33正侧一样高，□34正俯一样长，□35侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画□36虚线．1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．2．三视图的绘制在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的推断与识别中要特殊留意其中的虚线．3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角变更，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形变更.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变更，与x ，z 轴平行的线段的长度不变更，相对位置不变更.4．直观图与原图形面积的关系S 直观图＝24S 原图形(或S 原图形＝22S 直观图)．1．下列结论正确的是( )A ．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B ．六条棱长均相等的四面体是正四面体C ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D ．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 答案 B解析 底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A 错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C 错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D 错误．2．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④答案 C解析 由几何体的结构可知，如题图放置的圆锥、正四棱锥各自的正视图和侧视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视图都不相同，故选C.3. (2024·天水模拟)一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )A．2 3 B．2 2C．4 3 D．8 2答案 D解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝22，那么在原图形中，∠BOA＝90°且OB＝42，因此，原平面图形的面积为2×42＝8 2.故选D.4．(2024·全国Ⅱ卷)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )A．E B．FC．G D．H答案 A解析依据三视图，画出多面体立体图形，如图所示，正视图中M点即为端点所在位置，其在侧视图中所对应的点为E.故选A.5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 D解析由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.6．(2024·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即可)．答案②⑤(或③④)解析依据“长对正，高平齐，宽相等”及图中数据，可知②③只能是侧视图，④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是②⑤或③④.若为②⑤，则如图1；若为③④，则如图2.考向一空间几何体的结构特征例1 (1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相像，但侧棱长肯定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B.1 C.2 D.3答案 A解析①不肯定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不肯定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相像且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不肯定相等．(2)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，依据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不肯定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的状况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，依据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．1.下列结论正确的是( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C ．正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上随意一点的连线都是母线 答案 D解析 由图1知，A 错误；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B 错误；若六棱锥的全部棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必定要大于底面边长，C 错误；由母线的概念知，D 正确．考向二 平面图形与其直观图的关系例2 (1)(2024·四川泸州诊断考试) 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为( )A ．24 2B ．12 2C ．48 2D ．20 2答案 A解析 解法一：由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2.故选A.解法二：由题意可知，S四边形O ′A ′B ′C ′＝O ′A ′·O ′C ′＝2×6＝12，∴S原＝22S四边形O ′A ′B ′C ′＝24 2.故选A.(2)在等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案22解析 解法一：因为OE ＝22－12＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝24，所以直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.解法二：如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵CD ＝1，AD ＝CB ＝2，AB ＝3，∴CH ＝1，∴S 四边形ABCD ＝12×(1＋3)×1＝2.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ＝24×2＝22.画几何体的直观图一般采纳斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴和z 轴的线段长度不变)来驾驭．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．2.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B ．38a 2 C.68a 2 D ．616a 2 答案 D解析 解法一：如图①②所示的平面图形和直观图．可知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2. 解法二：由题意可知，S △ABC ＝34a 2，∴S △A ′B ′C ′＝34a 2×24＝616a 2. 3. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y ′轴，BC ，AD 平行于x ′轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为________．答案8 cm2解析解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.解法二：依题意可知，S直观图＝2 2 cm2，故S原图形＝22S直观图＝8 cm2.精准设计考向，多角度探究突破考向三空间几何体的三视图角度由空间几何体的直观图识别三视图例3 (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析视察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.(2)(2024·黄山一模)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )答案 B解析截去两个三棱锥后的几何体的侧视图可以望见的实线段为AD1，AD，DD1，D1B1，AB1，而线段B1C被遮住，在侧视图中为虚线，所以侧视图为B.角度由空间几何体的三视图还原直观图例4 (1)(2024·九江模拟)如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )答案 D解析先视察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D 正确．(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的全部面中直角三角形的个数是( )A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析由三视图知，将此几何体还原在正方体中，为如图所示的四棱锥P－ABCD.易知四棱锥P－ABCD的四个侧面都是直角三角形，所以此几何体的全部面中直角三角形的个数是4，故选C.角度由两个视图补画第三个视图例 5 (1)(2024·绵阳模拟) 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )答案 B解析由几何体的正(主)视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．从左侧视察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B.(2)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．答案③解析由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图，所以该几何体的俯视图为③.三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先依据俯视图确定几何体的底面，然后依据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形态，即可得到结果．(2)在由三视图还原空间几何体的实际形态时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．(3)常见的三视图对应的几何体①三视图为三个三角形，对应三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；⑤三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )答案 A解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为A中的图．故选A.5．(2024·全国甲卷) 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )答案 D解析 依据已知条件作出所得多面体的直观图如图所示，由直观图可知该多面体的侧视图为D.6．(2024·成都模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之和为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 设点P 在平面A 1ADD 1的射影 为P ′，在平面C 1CDD 1的射影为P ″，如图所示．所以三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图分别为△P ′AD 与△P ″CD ，因此所求面积S ＝S △P ′AD ＋S △P ″CD＝12×1×2＋12×1×2＝2.故选B.1. 如图所示，从三棱台A ′B ′C ′－ABC 中截去三棱锥A ′－ABC ，则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台答案 B解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C，故选B.2．(2024·江西新余模拟)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )答案 A解析由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3．如图，直观图所表示的平面图形是( )A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案 D解析直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图，AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.4. (2024·甘肃白银模拟)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 C解析该几何体的侧视图是从左边向右边看．故选C.5．(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2，其侧面绽开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2 B．2 2C．4 D．4 2答案 B解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面绽开图为一个半圆，所以2πr ＝πl.所以l＝2r＝2 2.故选B.6．如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A－BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )答案 A解析正视图中棱AD看不见，俯视图中棱BD看不见，均为虚线，故选A.7. 某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如右图所示，则该几何体的俯视图肯定不行能是( )答案 D解析几何体的正视图和侧视图完全相同，则该几何体从正面看和从侧面看的长度相等，只有等边三角形不行能．故选D.8．(2024·江西吉安模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正(主)视图是( )答案 C解析由于三棱柱为正三棱柱，故侧面ADEB⊥底面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD 在面ADEB上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面DEF不垂直．故选C.9．一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )答案 D解析该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD.故选D.10. 在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②答案 D解析在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，则空间几何体ABCD即为满意条件的四面体，得出其正视图和俯视图分别为④和②，故选D.11. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )A．217 B．2 5C．3 D．2答案 B解析依据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42＋22＝25，故选B.12．(2024·安徽马鞍山模拟) 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A．10 B．12C．14 D．6答案 B解析由多面体的三视图还原直观图如图所示．该几何体由上方的三棱锥A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1构成，其中侧面CC1A1A和侧面BB1A1A是梯形，则梯形的面积之和为2×2＋4×22＝12.故选B.13．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形态多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形态是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的全部顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26 2－1解析先求面数，有如下两种解法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26个面．解法二：一般地，对于凸多面体，有顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝22x.又AM＋MN＋NF＝1，∴22x＋x＋22x＝1.∴x＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.14．(2024·河南六校联考)现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，其俯视图分别为图1，图2，图3，则至少存在一个侧面与其底面相互垂直的三棱锥的全部编号是________．答案①②解析编号为①的三棱锥，其直观图可能是图①，侧棱VC⊥底面ABC，则侧面VAC⊥底面ABC，满意题意；编号为②的三棱锥，其直观图可能是图②，侧面PBC⊥底面ABC，满意题意；编号为③的三棱锥，顶点的投影不在底面边上(如图③)，不存在侧面与底面垂直．故答案为①②.15．若已知△ABC 的直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求△ABC 的面积． 解 如图所示是△ABC 的直观图△A ′B ′C ′.作C ′D ′∥y ′轴交x ′轴于点D ′，则C ′D ′对应△ABC 的高CD ，∴CD ＝2C ′D ′＝2×2×C ′O ′＝22×32a ＝6a . 而AB ＝A ′B ′＝a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.16. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正(主)视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧(左)视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解 由正视图和侧视图的三角形，结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，取BC 的中点E ，连接OE ，VE ，则△VOE 为直角三角形，VE 为△VBC 的边BC 上的高，VE ＝ VO 2＋OE 2＝4 2.同理，侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.所以S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 17．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是多少？解 由三视图可知，该多面体是一个三棱锥，其直观图如图三棱锥A －BCD .将其放入棱长为2的正方体模型中，可求得AC ＝2，BC ＝BD ＝5，AD ＝22，AB ＝ 12＋22＋22＝3，故最长的棱的长度为3.18. 一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .解 (1) 由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．所以S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.。

第1节简单几何体的结构、三视图和直观图最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.知识梳理1.简单几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点轴截面 全等的矩形全等的等腰三角形 全等的等腰梯形圆 侧面展开图 矩形扇形扇环简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段；(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12. 3.三视图 (1)三视图的名称几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图. (2)三视图的画法①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.②三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图.③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置. [微点提醒]1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形.(4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形.2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线段还平行于x轴，平行于y轴的线段还平行于y轴，所以∠A也可能为135°.(4)球的三视图均相同，而圆锥的主视图和左视图相同，且为等腰三角形，其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修2P6B2改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.答案 C3.(必修2P8讲解引申改编)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为()A.1 2B.22 C.23 D.24解析设原矩形的长为a，宽为b，则其直观图是长为a，高为b2sin 45°＝24b的平行四边形，所以S直观S矩形＝24abab＝24.故选D.答案 D4.(2019·合肥一中月考)如图为某个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()A.圆锥B.三棱椎C.三棱柱D.三棱台答案 C5.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.答案 A6.(2018·衡水月考)如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是________(写出视图名称).解析观察几何体的结构特征，不难发现其下层长为两个小长方体的长，宽为两个小长方体的宽，高为两个小长方体的高.所以主视图应为①，左视图为②，俯视图为③.答案主视图左视图俯视图考点一简单几何体的结构特征【例1】(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是________.解析(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.答案(1)A(2)②③④规律方法 1.关于简单几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种简单几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【训练1】下列命题正确的是()A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分.答案 C考点二简单几何体的三视图多维探究角度1由简单几何体的直观图判断三视图【例2－1】(2018·黄山一模)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为()解析截去两个三棱锥后的几何体的左视图可以看见的实线段为AD1，AD，DD1，D1B1，AB1，而线段B1C被遮住，在左视图中为虚线，所以左视图为选项B中的图形.答案 B角度2由三视图判断几何体【例2－2】(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱(2)(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.217B.2 5C.3D.2解析(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.答案(1)B(2)B规律方法 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据主视图或左视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练2】(1)(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2019·上饶模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的主视图与左视图的面积之和为()A.1B.2C.3D.4解析(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.(2)设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射影为P″，如图所示.∴三棱锥P－BCD的主视图与左视图分别为△P′AD与△P″CD，因此所求面积S＝S△P′AD＋S△P″CD＝12×1×2＋12×1×2＝2.答案(1)C(2)B考点三简单几何体的直观图【例3】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2解析如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.故选D.答案 D规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形.【训练3】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A.2＋ 2B.1＋22 C.2＋22 D.1＋ 2解析恢复后的原图形为一直角梯形，所以S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.故选A.答案 A[思维升华]1.画三视图的三个原则：(1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”.(2)摆放规则：左视图在主视图的右侧，俯视图在主视图的正下方.(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出.2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想. [易错防范]1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.简单几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.下列说法中，正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都相等D.棱柱的所有棱长都相等解析棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C 正确.故选C.答案 C2.某简单几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其主视图为三角形，而圆柱的主视图不可能为三角形.答案 A3.(2019·延安模拟)某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析因为主视图和左视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥.故选A.答案 A4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.答案 B5.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由母线的概念知，选项D正确. 答案 D6.(2018·肇庆二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为()A.41B.34C.5D.3 2解析由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥P－ABCD.其中P A⊥底面ABCD，四棱锥P－ABCD的底面是边长为3的正方形，高P A＝4. 连接AC，易知最长的棱为PC，且PC＝P A2＋AC2＝42＋32＋32＝34.故选B.答案 B7.某几何体的主视图和左视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A.①③B.①④C.②④D.①②③④解析由主视图和左视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确.答案 A8.(2019·长沙月考)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为()A.8B.4C.4 3D.4 2解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝12×42×2＝42，故选D.答案 D二、填空题9.(2018·龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________.解析因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.答案2 210.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的主视图的面积等于________.解析由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等为 2.答案 211.(2018·兰州模拟)正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其主视图和左视图是全等的等腰三角形，则主视图的周长为________.解析由题意知，主视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC 的中点，连接AO，易得AO＝2，又P A＝3，于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其主视图的周长为2＋2 2.答案2＋2 212.(2018·南昌NCS项目联考)已知圆台和正三棱锥的组合体的主视图和俯视图如图所示，图中小方格是单位正方形，那么组合体的左视图的面积为________.解析由题意可得左视图如图所示，上面是一个三角形，其底为1＋12＝32，高为2，三角形的面积S 1＝12×32×2＝32；下面是一个梯形，上底为2，下底为4，高为2，梯形的面积S 2＝12×(2＋4)×2＝6，所以组合体的左视图的面积S ＝S 1＋S 2＝32＋6＝152.答案152能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A.8B.7C.6D.5解析 画出直观图，共六块.答案 C14.(2019·泉州二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的左视图中的虚线部分是( )A.圆弧B.抛物线的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分解析根据几何体的三视图，可得左视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故左视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.答案 D15.如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F 为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是______(填出所有可能的序号).解析空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影③.答案①②③16.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为______.解析由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD－A′B′C′D′.故该四棱柱的体积V＝Sh＝12×(1＋2)×1×1＝3 2.答案3 2。

§8.1　空间几何体的结构、表面积与体积最新考纲　1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底V ＝S 底·h 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝S 底·h13台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝(S 上＋S 下＋13S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝πR 343概念方法微思考1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗？为什么？提示　不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱．2．如何求不规则几何体的体积？提示　求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　×　)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　×　)(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　√　)(4)锥体的体积等于底面积与高之积．(　×　)(5)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝a .(　√　)32(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .(　×　)题组二　教材改编2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D. cm32答案　B解析　S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2.3．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)答案　③⑤题组三　易错自纠4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.π C ．8π D ．4π323答案　A解析　由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积3为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A.5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．答案　1∶47解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝××a ×b ×c ＝1312121212abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －abc ＝abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.1481484748题型一　空间几何体的结构特征1．以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案　B解析　由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．2．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．(填序号)答案　①②③解析　对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．题型二　空间几何体的表面积与体积命题点1　空间几何体的表面积例1 (2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )2A．12πB．12π2C．8πD．10π答案　B解析　设圆柱的轴截面的边长为x，2则由x2＝8，得x＝2，222∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.命题点2　求简单几何体的体积3例2　如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )A ．3B.32C ．1 D.32答案　C 解析　如题图，因为△ABC 是正三角形，且D 为BC 中点，则AD ⊥BC .又因为BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故BB 1⊥AD ，且BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1，所以AD 是三棱锥A －B 1DC 1的高．所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝S △B 1DC 1·AD13＝××＝1.1333思维升华 空间几何体表面积、体积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解．跟踪训练1　如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1上任意一点，则三棱锥D －A 1BC 的体积是______．答案　233解析　VD －A 1BC ＝VB 1－A 1BC＝VA 1－B 1BC ＝×S △B 1BC ×＝.133233题型三　与球有关的切、接问题例3 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.B ．2 C. D ．331721013210答案　C解析　如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝BC ＝，1252OM ＝AA 1＝6，12所以球O 的半径R ＝OA ＝＝.(52)2＋62132引申探究1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r .又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，3从而V 外接球＝πR 3＝π×(2)3＝32π，434333V 内切球＝πr 3＝π×23＝.434332π32．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解　正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4×·a 2＝a 2，其内切球半径r 为正343四面体高的，即r ＝·a ＝a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝，则＝＝.141463612πa 26S 1S 23a 2πa 2663π3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径2是多少？解　依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为 ＝22(32)2－(12×6)23，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 “切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心．(2)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．跟踪训练2 (2018·全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )3A ．12 B ．18 C ．24 D ．543333答案　B解析　由等边△ABC 的面积为9，可得AB 2＝9，3343所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝AB ＝2.333设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝＝＝2.R 2－r 216－12所以三棱锥D －ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为×9×6＝18.13331．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱C ．两个圆柱、一个圆台 D ．一个圆柱、两个圆锥答案　D解析　从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：2．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32 B. C. D.32π16π8π答案　B解析　若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；8π32π若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为.4π32π3．(2018·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )A ．圆面B ．矩形面C ．梯形面D ．椭圆面或部分椭圆面答案　C解析　将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.4．棱长为a 的正四面体的表面积是( )A.a 2 B.a 2 C.a 2 D.a 236312343答案　D解析　棱长为a 的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×a 2＝a 2.3435．(2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ＝l 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V ≈l 2h 13625942相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )A. B.227258C. D.15750355113答案　C解析　V ＝πr 2h ＝π×2h ＝l 2h ，1313(l 2π)112π由≈，得π≈，故选C.112π25942157506．(2018·四川棠湖中学月考)用一个平面去截正方体，则截面不可能是(　)A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形答案　A解析　用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．7．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．答案　②③④解析　①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形．8．如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则＝________.R r答案　233解析　由水面高度升高r ，得圆柱体积增加了πR 2r ，恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有πr 3＝πR 2r .故＝.43R r 2339．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥3的侧面积为________．答案　12解析　设六棱锥的高为h ，则V ＝Sh ，13所以××4×6h ＝2，解得h ＝1.13343设六棱锥的斜高为h ′，则h 2＋()2＝h ′2，故h ′＝2.3所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12.1210．(2017·全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．答案　14π解析　∵长方体的顶点都在球O 的球面上，∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．设球的半径为R ，则2R ＝＝.32＋22＋1214∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×2＝14π.(142)11．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．解　设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝πl ，得l ＝6r .13又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝，157圆锥的高h ＝＝＝·rl 2－r 236r 2－r 235＝·＝5，351573V ＝πr 2h ＝π××5＝π.13131573253712．若E ，F 是三棱柱ABC —A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A —BEFC 的体积．解　如图所示，连接AB 1，AC 1.因为B 1E ＝CF ，所以梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积．又四棱锥A —BEFC 的高与四棱锥A —B 1EFC 1的高相等，所以V A —BEFC ＝11—A B EFC V ＝1211—.A BB C C V又＝·h ，111—A A B C V 13111A B C S △＝·h ＝m ，111—ABC A B C V 111A B C S △所以＝，111—A A B C V m 3所以＝－＝，11—.A BB C C V 111—ABC A B C V 111—A A B C V 2m 3所以V A —BEFC ＝×＝，122m 3m 3即四棱锥A —BEFC 的体积是.m 313．已知边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 的体积为( )A. B. C. D.a 36a 3123a 3122a 312答案　D解析　在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 为正四面体，D 在底面的射影为正三角形的中心O ，h ＝OD ＝＝＝，DE 2－OE 234a 2－112a 26a 3所以三棱锥D —ABC 的体积为V ＝Sh ＝··＝.13133a 246a 32a 31214.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处．若该小虫爬行的最短路程为4 m ，则圆锥2底面圆的半径等于________ m.答案　1解析　把圆锥侧面沿过点P 的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP ＝4，PP ′＝4，2则cos ∠POP ′＝＝0，且∠POP ′是三角形的内角，42＋42－(42)22×4×4所以∠POP ′＝.π2设底面圆的半径为r ，则2πr ＝×4，所以r ＝1.π215．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积．解　因为AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.又球心O 在截面△ABC 上的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt △ABC 的外接圆的圆心，所以斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示)，设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径为R ，截面圆半径为r ，在Rt △O ′CO 中，由题设知sin ∠O ′CO ＝＝，OO ′OC 12所以∠O ′CO ＝30°，所以＝cos 30°＝，r R 32即R ＝r ， (*)23又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入(*)得R ＝10.3所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(10)2＝1 200π.3球的体积为V ＝πR 343＝π×(10)3＝4 000π.433316.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝4，EB ＝2.3(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值．(1)证明　∵四边形DCBE 为平行四边形，∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC ＝C ，DC ，AC ⊂平面ADC ，∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC .(2)解　∵DC ⊥平面ABC ，DC ∥BE ，∴BE ⊥平面ABC .在Rt △ABE 中，AB ＝4，EB ＝2.3在Rt △ABC 中，∵AC ＝x ，∴BC ＝(0<x <4)，16－x 2∴S △ABC ＝AC ·BC ＝x ·，121216－x 2∴V (x )＝V 三棱锥E －ABC ＝x ·(0<x <4)．3316－x 2∵x 2(16－x 2)≤2＝64，(x 2＋16－x 22)当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝2时取等号，2∴当x ＝2时，体积有最大值.2833。

面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一
定相等.
(2)①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定
全等;②正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是
直角三角形;③正确,由棱台的概念可知.
规律方法 辨别空间几何体的两种方法
微思考 柱体、锥体、台体体积之间有什么关系?
提示
常用结论
1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系:
S
2
S
直观图=
4
原图形
,S 原图形=2 2S 直观图.
2.球的截面的性质
(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为 r= 2 -2 .
考向2直观图
题组(1)如图所示是水平放置的△ABC的直观图,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=
那么△ABC是一个(
)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.非等边的等腰三角形
D.钝角三角形
(2)已知△ABC是边长为a的正三角形,那么水平放置的△ABC的直观图
△A'B'C'的面积为(
6 2
A. a
16
)
A,A'在同一直线上时,四边形AEFG的周长取最小值,最小值为AA'.所以在三
角形APA'中,由余弦定理得AA'2=PA2+PA'2-2×PA×PA'×cos 120°=
1
16+16-2×4×4×(- )=48,所以