第二章圆锥曲线与方程单元检测(人教A版选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程 单元检测（人教A版选修1-1）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
解析 由条件可知p2＝7，∴p＝14，抛物线开口向右，故方程为y2＝28x.
答案 B
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )
A.x23＋y24＝1 B.x24＋y23＝1
C.x24＋y22＝1 D.x24＋y23＝1
解析 依题意知c＝1，e＝ca＝12，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.
答案 D
3．双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A．m>12 B．m≥1
C．m>1 D．m>2
解析 由e2＝ca2＝1＋m1＝1＋m>2，m>1.
答案 C
4．椭圆x225＋y29＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是( )
A．(5,0)或(－5,0) B．(52，332)或(52，－332)
C．(0,3)或(0，－3) D．(532，32)或(－532，32)
解析 |PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2＝25.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，
此时P点是短轴端点，故选C.
答案 C
5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(
)
A.x236－y2108＝1 B.x29－y227＝1
C.x2108－y236＝1 D.x227－y29＝1
解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．
依题意知
ba＝3，c＝6，c2＝a2＋b2，⇒a2＝9，b2＝27，
所以双曲线的方程为x29－y227＝1.
答案 B
6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
解析 如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，
由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，
∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，
当且仅当A，P，N三点共线时取等号， ∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，
则可排除A、C、D项，故选B.
答案 B
7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4或－4 B．－2
C．4 D．2或－2
解析 由题可知，p2－(－2)＝4，∴p＝4.
∴抛物线的方程为x2＝－8y.
将(m，－2)代入可得m2＝16，
∴m＝±4.故选A.
答案 A
8．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1
C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1
解析 依题意可设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则A1，b2a，B1，－b2a，又|AB|＝b2a－－b2a＝2b2a＝3，∴2b2＝3a.又a2－b2＝c2＝1，∴a＝2，b＝3.故C的方程为x24＋y23＝1.
答案 C 9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
解析 直线x＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．
答案 B
10．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c， d2成等差数列，则椭圆的离心率为( )
A.12 B.22
C.32 D.34
解析 由椭圆的定义可知d1＋d2＝2a，
又由d1,2c，d2成等差数列，
∴4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝ca＝12.
答案 A
11．已知F是抛物线y＝14x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝y－12 B．x2＝2y－116
C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2
解析 由y＝14x2⇒x2＝4y，焦点F(0,1)， 设PF中点Q(x，y)、P(x0，y0)，
则 2x＝0＋x0，2y＝1＋y0，4y0＝x20，∴x2＝2y－1.
答案 C
12．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(1,3] D．(1,2]
解析 |PF2|2|PF1|＝|PF1|＋2a2|PF1|
＝|PF1|＋4a2|PF1|＋4a≥8a，
当|PF1|＝4a2|PF1|，即|PF1|＝2a时取等号．
又|PF1|≥c－a，∴2a≥c－a.
∴c≤3a，即e≤3.
∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若双曲线x24－y2b2＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±12x，则b等于________．
解析 由题意知b2＝12，解得b＝1.
答案 1
14．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为32，则椭圆的标准方程为________．
解析 若焦点在x轴上，则a＝4，
由e＝32，可得c＝23，
∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，
椭圆方程为x216＋y24＝1；
若焦点在y轴上，则b＝4，
由e＝32，可得ca＝32，∴c2＝34a2.
又a2－c2＝b2，∴14a2＝16，a2＝64.
∴椭圆方程为x216＋y264＝1.
答案 x216＋y264＝1，或x216＋y24＝1
15．设F1和F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________． 解析 由题设知 ||PF1|－|PF2||＝4，①|PF1|2＋|PF2|2＝20，②)
②－①2得|PF1|·|PF2|＝2.
∴△F1PF2的面积S＝12|PF1|·|PF2|＝1.
答案 1
16．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析 如图，设双曲线一个焦点为F，
则△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.
∴c＝2a，∴e＝ca＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
解 设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y21＝6x1，y22＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝y1－y2x1－x2＝6y1＋y2＝3.
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由 y2＝6x，y＝3x－11，得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝ 1＋1922－4×－22＝22303.
18．(12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的标准方程．
解 由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆的方程为y2a2＋x2a2－25＝1(a>5)，双曲线方程为y2b2－x225－b2＝1.
∵点P(3,4)在椭圆上，∴16a2＋9a2－25＝1.解得a2＝40或a2＝10(舍去)．∴椭圆的标准方程为y240＋x215＝1.
又过点P(3,4)的双曲线的渐近线方程为y＝b25－b2x，即4＝b25－b2×3，∴b2＝16.∴双曲线的标准方程为y216－x29＝1.
19．(12分)已知椭圆方程为x29＋y24＝1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由．
解 设存在点P(x，y)满足题设条件，则
|AP|2＝(x－a)2＋y2.
又∵x29＋y24＝1，∴y2＝4(1－x29)．
∴|AP|2＝(x－a)2＋4(1－x29)
＝59(x－95a)2＋4－45a2.
∵|x|≤3，当|95a|≤3，又0
即0＜a≤53时，|AP|2的最小值为4－45a2.
依题意，得4－45a2＝1，∴a＝±152∉0，53，
当95a＞3，即53＜a＜3.
此时x＝3，|AP|2取最小值(3－a)2.
