北京市海淀区2015届高三第一学期期中练习 数学理

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理） 2015.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，2{|4}B x x =∈R ≤，则A B =（ ）（A ）[2,)-+∞（B ）(1,)+∞（C ）(1,2]（D ）(,)-∞+∞（2）抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（ ） （A ）4（B ）2（C ）1（D ）12（3）已知向量a 与向量b 的夹角为60︒，1||||==a b ，则-=a b （ ） （A ）3（B（C）2（D ）1（4）“sin 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）圆1,1x y ⎧=-θ⎪⎨=+θ⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（ ）（A）2（B ）π（C）（D ）4π（6）若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则下列不等式恒成立的是（ ）（A ）1y ≥ （B ）2x ≥ （C ）220x y ++≥（D ）210x y -+≥（8）某地区在六年内第x 年的生产总值y （单位：亿元）与x 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率．．．．．．最高的是（ ）（A ）第一年到第三年 （B ）第二年到第四年 （C）第三年到第五年（D ）第四年到第六年（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（ ）正视图（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知i1i 1ia =-+-，其中i 是虚数单位，那么实数a = . （10）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为______．（11）已知,4,m n 是等差数列，那么m n ⋅=______；mn 的最大值为______． （12）在ABC ∆中，若π4a c A ==∠=，则B ∠的大小为 . （13）社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 . （用数字作答）（14）设32,,(),.x x a f x x x a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩若存在实数b ，使得函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题共6小题，共80分。

海淀区高三年级第一学期期中练习化学2014．11 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。

满分100分。

考试时长90分钟。

考生务必将答案写在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束时，将本试卷、答题卡和答题纸一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Cl 35.5 Fe 56 I 127第I卷（选择题，共42分）本卷共14道小题，每小题3分，共42分。

请在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的1个选项。

1．下列垃圾中，不适合．．．卫生填埋、焚烧、堆肥等处理方法的是A．厨余垃圾B．废电池C．植物秸秆D．织物垃圾2．下列有关环境问题的说法中，不正确．．．的是A．形成酸雨的主要原因是雨水中溶有CO2B．氟氯代烷和氮氧化物等会破坏臭氧层C．CO2、CH4等是造成温室效应的气体D．白色污染是指废弃塑料制品造成的污染3．下列有关水资源保护的说法中，不正确．．．的是A．重金属离子对人体有毒，常采用沉淀反应将之除去B．化肥中含有植物营养素，可大量使用以改善水环境C．轧钢厂排出的含盐酸的废水，可用熟石灰中和处理D．天然水中的细小悬浮颗粒，可用明矾等混凝剂净化4．下列有关氧化还原反应的说法中，正确的是A．NO2溶于水发生了氧化还原反应B．Na2O2与CO2反应时，Na2O2只作氧化剂C．SO2使酸性KMnO4溶液褪色，体现了SO2的漂白性D．浓HNO3与C反应时，体现了HNO3的强氧化性和酸性5．下列条件下，可以大量共存的离子组是A．某无色溶液中：Na+、Cu2+、Cl-、MnO4-B．含有大量Fe3+的溶液中：Na+、SO42－、K+、SCN－-C．含有大量NH4+的溶液中：Ba2+、K+、Cl-、OH-D．在pH=1的溶液中：K+、Fe3+、Cl-、NO3-6．下列解释实验事实的方程式不正确．．．的是A．可用氯气进行自来水的杀菌消毒：Cl2+H2O HCl+HClOB．将“NO2球”浸泡在热水中，颜色变深：2NO2(g) N2O4(g) H＜0C．在刻制印刷电路板时，用FeCl3溶液腐蚀铜箔：2Fe3+ + 3 Cu === 2Fe+ 3Cu2+D．在KNO3和稀硫酸混合液中，铜片溶解：3Cu + 8H+ + 2NO3- === 3Cu2+ + 2NO↑ + 4H2O7．已知甲醇的燃烧热数值为726.51 kJ ·mol -1。

2015北京三十五中高三（上）期中数学（理）一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1．（4分）已知集合A={x∈R|0＜x＜3}，B={x∈R|x2≥4}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|2≤x＜3} C．{x|x≤﹣2或2≤x＜3} D．R2．（4分）给定下列命题：①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；②若sinα≠，则α≠；③“公比大于的等比数列是递增数列”的逆否命题；④命题“?x0∈R，使﹣x0+1≤0”的否定．其中真命题的序号是（）A．①② B．②④ C．①③ D．③④3．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n=kn2，若对所有的n∈N*，都有a n+1＞a n，则实数k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＜1 C．k＞1 D．k＞04．（4分）已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点成中心对称B．两个函数的图象均关于直线成轴对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同5．（4分）设函数y=f（x）对任意的x∈R都有f（1﹣x）=f（1+x）成立，则y=f（x）（）A．图象关于x=0对称 B．图象关于x=1对称C．是周期为1的周期函数 D．是周期为2的周期函数6．（4分）函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致为（）A．B． C． D．7．（4分），为非零向量，“函数f（x）=（x+）2为偶函数”是“⊥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（4分）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线方程的倾斜角为（）A．0 B．C．1 D．9．（4分）若a＞0，b＞0且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．a2+b2≥810．（4分）对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n（x）=f （f n﹣1（x）），n=1，2，3，…．满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设f（x）=，则f的n阶周期点的个数是（）A．2n B．2（2n﹣1）C．2n D．2n2二、选择题（共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）11．（5分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα= ．12．（5分）已知点P（1，﹣2）及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x﹣by+1＞0表示的平面区域内，则b的取值范围是．13．（5分）已知平面向量，的夹角为60°，=（，1），||=1，则|+2|= ．14．（5分）函数f（x）=e x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是．15．（5分）已知函数f（x）=，若f（a2﹣2）＞f（a），则实数a的取值范围是．16．（5分）对于函数①，②，③f（x）=cos（x+2）﹣cosx，判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1．能使命题甲、乙均为真的函数的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n=324（n＞6）．（Ⅰ）求数列的项数n；（Ⅱ）求a9+a10的值及数列的通项公式．18．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=sin cos+cos2，求f（B）的最大值，并判断此时△ABC的形状．19．（13分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？20．（14分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求?+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．21．（14分）已知函数．（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．22．（14分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T?f （x）成立．（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a x∈M；（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．数学试题答案一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1．【解答】集合B中的不等式x2≥4，移项并分解因式得：（x+2）（x﹣2）≥0，可化为：或，解得：x≥2或x≤﹣2，所以集合B={x|x≤﹣2或x≥2}，又集合A={x|0＜x＜3}，则A∩B={x|2≤x＜3}．故选B2．【解答】①，x＞1不能推出x＞2，x＞2一定有x＞1，∴“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，命题①错误；②，若sinα≠，则α≠，命题②正确；③，数列﹣1，﹣2，﹣4，…的公比大于1，不是递增数列，∴“公比大于1的等比数列是递增数列”是假命题，其逆否命题是假命题；④，∵对任意实数x，x2﹣x+1＞0恒成立，∴命题“?x0∈R，使﹣x0+1≤0”为假命题，则其否定为真命题．∴真命题的序号是②④．故选：B．3．【解答】∵S n=kn2，∴a n+1=S n+1﹣S n=k（n+1）2﹣kn2=（2n+1）k．∵对所有的n∈N*，都有a n+1＞a n，∴（2n+1）k＞（2n﹣1）k，化为k＞0，故选：D．4．【解答】函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，由于①的图象关于点（﹣，0 ）成中心对称，②的图象不关于点（﹣，0 ）成中心对称，故A不正确．由于函数②的图象不可能关于（﹣，0）成中心对称，故B不正确．由于这两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数，故C正确．由于①的周期等于2π，②的周期等于π，故 D不正确．故选 C．5．【解答】在函数y=f（x）图象上取点P（1﹣x，f（1﹣x），Q（1+x，f（1+x）），则有x p=1﹣x，x Q=1+x，∴．∵f（1﹣x）=f（1+x），∴y p=y q，∴点P、Q关于直线x=1对称．由x的任意性可知：函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．故选 B．6．【解答】先化简函数的表达式，e|lnx|=，∴当x≥1时，y=x﹣（x﹣1）=1；当0＜x＜1时，y=﹣（1﹣x）=x+﹣1；∴y=，特别地，当0＜x＜1时，，故只有A与B符合，但当x≥1时，y=x﹣（x﹣1）=1，图象时平行于x轴的直线，故只有B正确，故选：B．7．【解答】∵若f（x）为偶函数，则有则有则有反之，若则有则有所以f（x）为偶函数故函数为偶函数是的充要条件故选C8．【解答】求导函数，可得f′（x）=e x（cosx﹣sinx）∴f′（0）=1∴函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线方程的倾斜角为故选B．9．【解答】∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴，∴，即ab≤4．A．∵ab≤4，∴，故A不恒成立；B．∵ab≤4=a+b，∴，故B不恒成立；C．∵，∴C不恒成立；D．∵=8．∴D恒成立．故选D．10．【解答】当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x=x，解得x=∴f的1阶周期点的个数是 2当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x解得x=0当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x解得x=当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x解得x=当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x解得x=∴f的2阶周期点的个数是22，当x∈[0，]，f1（x）=2x，f2（x）=4x，f3（x）=8x=x，x=0当x∈（，]，f1（x）=2x，f2（x）=4x，f3（x）=2﹣8x=x，x=当x∈（，]，f1（x）=2x，f2（x）=2﹣4x，f3（x）=2﹣2（2﹣4x）=x，x=…依此类推∴f的n阶周期点的个数是2n故选C．二、选择题（共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）11．【解答】由定义知：sinα=，∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=，又角的终边落在第二象限，∴cosα=﹣．故答案为﹣．12．【解答】设点P（1，﹣2）关于原点的对称点为Q（x，y），则，解得：Q（﹣1，2）．因为点P（1，﹣2）及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x﹣by+1＞0表示的平面区域内，所以把点P，Q的坐标代入代数式2x﹣by+1中乘积小于0，即[2×1﹣b×（﹣2）+1][2×（﹣1）﹣b×2+1]＜0，解得：或，所以b的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）．故答案为（﹣∞，）∪（，+∞）．13．【解答】∵平面向量，的夹角为60°，=（，1），∴||=2.再由|b|=1，可得=2×1cos60°=1，∴|+2|===，故答案为．14．【解答】f′（x）=e x+3x2＞0；∴f（x）在R上单调递增；又f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0；∴f（x）在区间（0，1）内零点个数是1．故答案为：1．15．【解答】f（x）=2﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减函数f（x）=﹣x2﹣2x在（0，+∞）上单调递减函数而函数在x=0处连续∴函数f（x）在R上是单调递减函数而f（a2﹣2）＞f（a），∴a2﹣2＜a解得a∈（﹣1，2）．故答案为：﹣1＜a＜2．16．【解答】当函数，在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增，故命题甲：f （x）在区间（1，2）上是增函数为真命题；当x=时函数取极小值﹣1＜0，故命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2=＜1．故①满足条件；当在区间（1，2）上函数的解析式可化为，根据“增﹣减=增”，可得f（x）在区间（1，2）上是增函数；由函数y=|log2x|与函数y=的图象可得在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1，故②满足条件；由余弦函数的周期性，查得函数f（x）=cos（x+2）﹣cosx，在区间（0，+∞）上有无限多个零点，故③不满足条件故答案为：①②三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．【解答】（Ⅰ）∵前6项和为36，最后6项的和为180，∴a1+a2+…+a6=36，a n+a n﹣1+…+a n﹣5=180，两式相加得（a1+a n）+（a2+a n﹣1）+…+（a6+a n﹣5）=216，∴a1+a n=36，∵S n=n（a1+a n）=324∴n=18；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a1+a18=36∴a9+a10=a1+a18=36，∵a1+a18=2a1+17d=36，3（2a1+5d）=36，∴d=2，a1=1，∴a n=2n﹣1．18．【解答】（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA 可得cosA=．∵0＜A＜π，（或写成A是三角形内角）∴．（Ⅱ）==，∵，∴，∴．∴当，即时，f（B）有最大值是．又∵，∴，∴△ABC为等边三角形．19．【解答】（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），则（0＜x≤210），（4分）当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（6分）（2）设年利润为u（万元），则=．（11分）所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．（12分）20．【解答】（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP是平行四边形，所以=+=（1+cosθ，sinθ）．所以?=1+cosθ．（3分）又平行四边形OAQP的面积为S=|?|sin θ=sin θ，所以?+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．（5分）又0＜θ＜π，所以当θ=时，?+S的最大值为+1．（7分）（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sin θ=，cos θ=，所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．（13分）21．【解答】（Ⅰ）当a=1时，，．对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．∴，（Ⅱ）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．∵．①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，．当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0．此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足．由此求得a的范围是[，]．综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．22．【解答】（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=x?M；（2）因为函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得a x=x，显然x=0不是方程a x=x的解，所以存在非零常数T，使a T=T．于是对于f（x）=a x有f（x+T）=a x+T=a T?a x=T?a x=Tf（x）故f（x）=a x∈M；（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx．因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，于是sinkx∈[﹣1，1]，sin（kx+kT）∈[﹣1，1]，故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2mπ，m∈Z．当T=﹣1时，sin（kx﹣k）=﹣sinkx成立，即sin（kx﹣k+π）=sinkx成立，则﹣k+π=2mπ，m∈Z，即k=﹣（2m﹣1）π，m∈Z．综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．11 / 11。

2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是( )A．y=B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2D．y=2x3．在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为( )A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．数列{a n}的前n项和为S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为( ) A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x，下列结论错误的是( )A．f（x）=cos2xB．函数f（x）的图象关于直线x=0对称C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）的值域为[﹣，]6．“x＞0”是“x+sinx＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞18．已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．2xdx=__________．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=4，sinC=2sinA，sinB=，则a=__________，S△ABC=__________．11．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10﹣a8．若a n=0，则n=__________．12．已知向量=（1，1），点A（3，0），点B为直线y=2x上的一个动点．若∥，则点B的坐标为__________．13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为__________．14．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t为常数）成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n，且具有性质P（t），则t的最大值为__________；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，其n前项和为S n，若a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a5的值；（Ⅱ）求证：＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l （Ⅰ）若直线l的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数是f（x）区间[﹣2，a]上的单调函数，求a的取值范围．19．（14分）已知由整数组成的数列{a n}各项均不为0，其前n项和为S n，且a1=a，2S n=a n a n+1．（1）求a2的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）若n=15时，S n取得最小值，求a的值．20．（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数f（x）=x+是Ω函数，求a的取值范围．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与M的交集，即可确定出交集中元素的个数．【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即P={x|﹣1≤x≤2}，∵M={﹣1，0，3，4}，∴P∩M={﹣1，0}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中为偶函数的是( )A．y=B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2D．y=2x【考点】函数奇偶性的判断．【专题】证明题；对应思想；函数的性质及应用．【分析】根据奇偶函数的定义，可得结论．【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．3．在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为( )A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】运用数量积公式则•=||•||COS60°求解即可．【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，则•=||•||COS60°=2×1×=1故选：A【点评】本题考察了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可．4．数列{a n}的前n项和为S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为( ) A．1 B．3 C．5 D．6【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】直接代入计算即得结论．【解答】解：依题意，S2﹣S1=3，∴a1=S1=S2﹣3=3﹣3=0，又∵a3=S3﹣S2=5，∴a1+a3=0+5=5，故选：C．【点评】本题考查数列的通项，涉及通项与数列和之间的关系，注意解题方法的积累，属于基础题．5．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x，下列结论错误的是( )A．f（x）=cos2xB．函数f（x）的图象关于直线x=0对称C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）的值域为[﹣，]【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故B正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为[﹣1，1]，故D错误；故选：D．【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．6．“x＞0”是“x+sinx＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】问题转化为y=﹣x和y=sinx的图象的位置，画出函数的图象，读图即可得到答案．【解答】解：若x+sinx＞0，只需y=﹣x的图象在y=sinx的下方即可，画出函数y=﹣x和y=sinx的图象，如图示：，由图象得：x＞0是x+sinx＞0的充要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查数形结合思想，是一道基础题．7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由图象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根据反函数的定义可以得出y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，根据对数函数的图象即可得到a＜b．【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，又因为log b x（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题．8．已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】化函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象有两个不同的交点，从而解得．【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．2xdx=3．【考点】定积分．【专题】函数思想；导数的概念及应用．【分析】由题意可得2xdx=x2，代值计算可得．【解答】解：由定积分的计算可得：2xdx=x2=22﹣12=3故答案为：3【点评】本题考查定积分的计算，属基础题．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=4，sinC=2sinA，sinB=，则a=2，S△ABC=．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由正弦定理化简可得：c=2a，利用已知即可解得a的值，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a，∴c=4，解得：a=2，∴S△ABC=acsinB==．故答案为：2，．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．11．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10﹣a8．若a n=0，则n=5．【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a1=﹣4d，可得a n=（n﹣5）d，令（n﹣5）d=0解方程可得．【解答】解：∵a3+a9=a10﹣a8，∴a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣（a1+7d），解得a1=﹣4d∴a n=﹣4d+（n﹣1）d=（n﹣5）d，令（n﹣5）d=0可解得n=5（d≠0）故答案为：5【点评】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差的关系是解决问题的关键，属基础题．12．已知向量=（1，1），点A（3，0），点B为直线y=2x上的一个动点．若∥，则点B的坐标为（﹣3，﹣6）．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出．【解答】解：设B（x，2x），=（x﹣3，2x）．∵∥，∴x﹣3﹣2x=0，解得x=﹣3，∴B（﹣3，﹣6），故答案为：（﹣3，﹣6）．【点评】本题考查了向量共线定理的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为4．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx++φ），把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx﹣+φ），根据题意可得，y=sin（ωx++φ）和y=sin（ωx﹣+φ）的图象重合，故+φ=2kπ﹣+φ，求得ω=4k，故ω的最小值为4，故答案为：4．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题．14．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t为常数）成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n，且具有性质P（t），则t的最大值为2；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是[36，+∞）．【考点】数列与函数的综合．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，运用单调性的定义，计算即可得到t的最大值；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，由单调性即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得≥t恒成立，即有≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，即有2n+1﹣（n+1）t﹣（2n﹣nt）≥0，即t≤2n，由于2n的最小值为2，则t≤2．故t的最大值为2；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，即有（n+1）2﹣10（n+1）﹣﹣（n2﹣10n﹣）≥0，即为﹣a≤n（n+1）（2n﹣9），由f（n）=n（n+1）（2n﹣9，n=3时，取得最小值﹣36，则﹣a≤﹣36，即有a≥36．故答案为：2，[36，+∞）．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，其n前项和为S n，若a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a5的值；（Ⅱ）求证：＜2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（I）数列{a n}为等比数列且q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．可得4q2=q4，解出即可得出．（II）a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，作差﹣2化简即可得出．【解答】（I）解：∵数列{a n}为等比数列且q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．∴4q2=q4，解得q=2．∴a5=q4=16．（II）证明：a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，∴﹣2=﹣2=2﹣﹣2＜0，∴＜2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用和差角（辅助角）公式，将函数化为正弦型函数的形式，再由诱导公式可得f（x）=2cos2x，将x=代入可得答案；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos2x，结合余弦函数的图象和性质，可得函数的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin[（2x+）+]=2sin （2x+）=2cos2x．∴f（）=2cos（2×）=2cos=1；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos2x，∵ω=2，∴周期T=π，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z得：kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数求值，余弦型函数的图象和性质，难度中档．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，可得∠A+∠C=π，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以∠A+∠C=π，而在四边形ABCD中∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=2π，所以∠ABC+∠ADC=π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，同角的三角函数关系式的应用，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l （Ⅰ）若直线l的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数是f（x）区间[﹣2，a]上的单调函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=﹣3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意可得当函数在[﹣2，a]递增（或递减），即有f′（x）≥0（或≤0）对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函数的对称轴，讨论区间[﹣2，a]和对称轴的关系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f′（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，所以f′（x）=x2+2x﹣3．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣3）﹣3 （﹣3，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值减所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1）；（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调，①当函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递减时，f′（x）≤0对x∈[﹣2，a]成立，即f′（x）=x2+2x+a≤0对x∈[﹣2，a]成立，根据二次函数的性质，只需要，解得﹣3≤a≤0．又a＞﹣2，所以﹣2＜a≤0；②当函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值大于等于0即可．因为函数f′（x）=x2+2x+a的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（a），解f′（a）=a2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立；当a＞﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（﹣1），解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，综上，实数a的取值范围是﹣2＜a≤0或a≥1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）已知由整数组成的数列{a n}各项均不为0，其前n项和为S n，且a1=a，2S n=a n a n+1．（1）求a2的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）若n=15时，S n取得最小值，求a的值．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知得2a1=a1a2，由此能求出a2=2．（2）由2S n=a n a n+1，得2S n﹣1=a n﹣1a n，n≥2，从而a n+1﹣a n﹣1=2，由此能利用等差数列的通项公式求出{a n}的通项公式．（3）由（2）得S n=，从而S15为最小值等价于S13≥S15，S15≤S17，由此结合已知条件能求出a的值．【解答】解：（1）∵2S n=a n a n+1，∴2S1=a1a2，即2a1=a1a2，∵a1=a≠0，∴a2=2．（2）∵2S n=a n a n+1，∴2S n﹣1=a n﹣1a n，n≥2，两式相减，得：2a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a n≠0，∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，当n=2k﹣1，k∈N*时，a n=a1+（k﹣1）×2=a+n﹣1，当n=2k，k∈N*时，a n=2+（k﹣1）×2=2k=n．∴．（3）∵2S n=a n a n+1，，∴S n=，∵所有奇数项构成的数列是一个单调递增数列，所有的偶数项构成的是一个单调递增数列，∴当n为偶数时，a n＞0，∴此时S n＞S n﹣1，∴S15为最小值等价于S13≥S15，S15≤S17，∴a14+a15≤0，a16+a17≥0，∴14+15+a﹣1≤0，16+17+a﹣1≥0，解得﹣32≤a≤﹣28，∵数列{a n}是由整数组成的，∴a∈{﹣32，﹣31，﹣30，﹣29，﹣28}，∵a≠0，∴对所有的奇数n，a n=n+a﹣1≠0，∴a不能取偶数，∴a=﹣31，或a=﹣29．【点评】本题考查数列的第二项的值的求法，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列的前15项和取得最小值的实数值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．20．（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数f（x）=x+是Ω函数，求a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】新定义；分类讨论；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（Ⅱ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．（Ⅲ）根据Ω函数的定义，分别讨论a=0，a＜0和a＞0时，满足的条件即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）当函数f（x）=x+是Ω函数时，若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＜0，则f′（x）=1﹣＞0，所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，此时不存在m＜0，使得 f（m）=f（[m]），同理不存在m＞0，使得 f（m）=f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，所以此时f（x）=x+不是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+[]，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，当m＞0时，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当m＜0时，[m]＜0，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）记k=[m]，综上，我们可以得到“a＞0且∀x∈N•，a≠k2且a≠k（k+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．。