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第5章 矩阵的对角化

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1 第5章 矩阵的对角化

§5.1 向量的内积

一、内积及其性质

定义1 设有n维向量,,2121nnyyyyxxxx

令 ,],[2211nnyxyxyxyx

称],[yx为向量x与y的内积.

内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为

.),,,(],[2121nnTyyyxxxyxyx

内积的运算性质：

（1）对称性：],[yx=],[xy

（2）可加性：],[yzx=],[yx+],[yz

（3）齐次性：],[yx=],[yx

二、向量的长度与性质

定义2 令 ,],[22221nxxxxxx

称x为n维向量x的长度(或范数).

向量长度的性质：

（1） 非负性：0x，当且仅当0x时，0x

（2） 齐次性：x=x

2 （3） 三角不等式：yxyx

当1x时, 称x为单位向量.

对nR中的任一非零向量, 向量是一个单位向量,即任意非零向量都可以化为单位向量，通常把这一过程称为把向量单位化.

定理1 （哥西-许瓦兹不等式）,

利用以上不等式，可以定义向量间的夹角

定义3 ,=,arccos，规定：,0

三、正交向量组

若两向量与的内积等于零，即0],[，则2,，

则称向量与相互正交（互相垂直）.

规定:若0, 则与任何向量都正交.

定义4 若n维向量r,,,21是一个非零向量组，且r,,,21中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.

定理2 若n维向量r,,,21是一组正交向量组，则r,,1线性无关.

例1 已知三维向量空间中两个向量,1111 1212正交，试求3，使1，,23 两两正交.

解 设,0),,(3213Txxx且分别与21,正交.则0],[],[3231

即 02],[0],[3213232131xxxxxx

解之得 .0,231xxx

3 令13x

1013213xxx

四、规范正交基及其求法

定义5 向量空间的一组极大无关组称为该向量组的一个基

常采用正交向量组作向量空间V的基，称为向量空间V的正交基.

定义6 设n维向量reee,,,21是向量空间V的一个基,如果ree,,1两两正交, 则称ree,,1为向量空间V的正交基，如果ree,,1都是单位向量,

则称ree,,1是向量空间V的一个规范正交基(或标准正交基).

例2 n维单位坐标向量组

TnTT)1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21

是nR的一个规范正交基

若ree,,1是V的一个规范正交基, 则V中任一向量能由ree,,1线性表示, 设表示式为

rreee2211,

为求其中的系数),,,2,1(rii可用Tie左乘上式, 有

,iiTiiTieee

即 ],[iTiiee

这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量在规范正交基ree,,1下的坐标为：).,,,(21r 因此, 我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基.

已知向量空间V的一个基,如何构造V的一个规范正交基？

规范正交基的求法:

4 设r,,1是向量空间V的一个基,把r,,1规范正交化的步骤：

(1) 正交化

.],[],[],[],[],[],[;],[],[;111122221111111212211rrrrrrrrr

容易验证r,,1两两正交,且r,,1与r,,1等价.

注: 上述过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.

(2) 单位化: 取

,||||,,||||,||||222111rrreee

则reee,,,21是V的一个规范正交基.

注： 施密特(Schimidt)正交化过程可将nR中的任一组线性无关的向量组r,,1化为与之等价的正交组k,,1；再经过单位化，得到一组与r,,1等价的规范正交组reee,,,21

例 设,014,131,121321 试用施密特正交化方法, 将向量组正交规范化.

解 不难证明321,,是线性无关的.取；＝11

;1113512164131||||],[1211222

.10121113512131014||||],[||||],[222231211333

再把它们单位化，取

5 .10121||||,11131||||,12161||||333222111eee

则321,,eee即为所求.

五、正交矩阵与正交变换

定义7 若n阶方阵A满足EAAT (即TAA1),

则称A为正交矩阵, 简称正交阵.

定理3 设A为n阶方阵，则下述命题等价：

（1）A是正交矩阵；

（2）TAA1；

（3）A的列向量是单位正交向量组；

（4）A的行向量是单位正交向量组.

正交矩阵A的n个列（行）向量构成向量空间nR的一个规范正交基

例 验证矩阵2121000021212121-21-2121-2121-21P是正交矩阵

正交矩阵的性质：

（1）1A；

（2）TA、1A、*A也是正交矩阵；

（3）若A、B是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.

定义8 若P为正交矩阵,则线性变换Pxy称为正交变换.

6 正交变换的性质：正交变换保持向量的内积和长度不变.

§5.2 矩阵的特征值与特征向量

一、特征值与特征向量

定义9 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零向量x使

xAx

成立, 则称数为方阵A的特征值, 非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量（或称为A的属于特征值的特征向量）.

注：1. n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组

0)(xAE

有非零解的值, 即满足方程0||AE的都是矩阵A的特征值.

称关于的一元n次方程0||AE为矩阵A的特征方程，称的一元n次多项式||)(AEf为矩阵A的特征多项式.

根据上述定义，即可给出特征向量的求法：

矩阵A的特征方程0||AE的解，即求出特征值，

设i为方阵A的一个特征值，求出齐次线性方程组

0)(xAEi的基础解系sppp,,,21，则A的对应于特征值i的特征向量全体是sspkpkpkp2211skk,,(1不同时)0.

例 求矩阵1513A的特征值和特征向量.

解 矩阵A的特征方程为

01513||AE ,0)2)(4(

所以2,421是矩阵A的两个不同的特征值.

7 以41代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得

05502121xxxx

基础解系是,11

故)0(1111kk是矩阵A对应于41的全部特征向量.

以22－代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得

05052121xxxx 基础解系是,51－

故)0(5122kk－是矩阵A对应于21－的全部特征向量.

例7 求122212221A的特征值与特征向量.

二、特征值与特征向量的性质

定理4 设)(ijaA是n阶矩阵， n,,,21是A的n个特征值，则有

(1) .||21An

(2) ;221121nnnaaa

定理5 n阶矩阵A与它的转置矩阵TA有相同的特征值.

定理6 设A为n阶矩阵，是A的特征值，是A的对应于的特征向量，则

（1）k是kA的特征值；

（2）k是kA的特征值；

（3）当A可逆时, 1是1A的特征值.

定理8 n阶矩阵A的互不相等的特征值m,,1对应的特征向量mppp,,,21线性无关.

8 注:①A的特征值是特征方程0||AE的根，也是0||EA的根.

②A的对应特征值的特征向量是齐次方程组0)(XAE的非零解，也是0)(XEA的非零解.

在教科书中,上述两种表示法均可使用.

§5.3相似矩阵

一、相似矩阵的概念

定义10 设BA,都是n阶矩阵, 若存在可逆矩阵P,使BAPP1,

则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似.记为BA~.

对A进行运算APP1称为对A进行相似变换, 称可逆矩阵P为相似变换矩阵.

例 设有矩阵,2004,1513BA 试验证存在可逆矩阵5111P,

使得A与B相似.

证 易见P可逆，且,616161651－P由

BAPP200451111513616161651－

故A与B相似.

二、相似矩阵的性质

（1）自反性：即AA~；

（2）对称性：即若BA~，则AB~；

（3）传递性：即若BA~，CB~，则CA~

定理9 若n阶矩阵A与B相似,则

（1） A与B的秩相等；

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矩阵的对角化方法

矩阵的对角化方法

矩阵的对角化方法

矩阵的对角化是一种重要的矩阵变换方法，在线性代数中具有广泛的应用。对于一个可对角化的矩阵，可以将其通过相似变换转化为对角矩阵，这样可以简化矩阵的计算和分析过程。在本文中，我将介绍矩阵的对角化方法，并详细解释其原理和应用。

首先，我们需要明确一下矩阵的对角化定义。一个n×n的矩阵A称为可对角化的，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。其中，对角矩阵是指非对角线上的元素全部为0的方阵。对角化的主要目的是将原矩阵化简为对角形式，以方便计算和理解。

对于一个可对角化的矩阵A，其对应的对角矩阵D的对角线元素是A的特征值，而P的列向量组成的矩阵则是对应于特征值的特征向量。因此，对角化的关键在于求解矩阵A的特征值和特征向量。

求解矩阵A的特征值和特征向量的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法：特征值分解和相似对角化。

一、特征值分解方法

特征值分解方法是求解矩阵特征值和特征向量的最常用方法之一。对于一个n×n的矩阵A，其特征值和特征向量的计算步骤如下：

1. 求解特征多项式。将A的特征多项式定义为det(A-λI)=0，其中I为n阶单位矩阵，λ为特征值。解特征多项式可以得到n个特征值 λ1，λ2，...，λn。

2. 求解特征向量。对于每一个特征值λi，将其代入方程组(A-λiI)X=0，并求解出特征向量X。

3. 归一化特征向量。将每个特征向量进行归一化处理，使其模长等于1。

4. 构造P和D矩阵。将特征向量按列组成P矩阵，特征值按对角线组成D矩阵，得到P和D满足P-1AP=D。

特征值分解方法的优点是求解过程直观简单，容易理解，适用于一般情况。但是，对于大规模矩阵，求解特征多项式和连续的特征值比较困难，计算量较大。

二、相似对角化方法

相似对角化方法是通过相似变换将矩阵A转化为对角矩阵的方法。它的基本思路是寻找一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D。P矩阵的列向量正好是A的特征向量。相似对角化的步骤如下：

矩阵对角化的方法

矩阵对角化的方法

矩阵对角化的方法

矩阵对角化是将一个方阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。常用的矩阵对角化方法有以下几种：

1. 特征值分解：对于一个可对角化的矩阵，可以通过求解其特征值和特征向量来进行对角化。首先求解矩阵的特征值，然后求解每个特征值对应的特征向量，并将这些特征向量排列成一个矩阵，将原矩阵相似变换到对角矩阵。

2. 正交对角化：对于实对称矩阵，可以通过正交对角化的方法进行对角化。首先通过特征值分解求解出特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化得到正交矩阵，再进行相似变换得到对角矩阵。

3. Jordan标准形：对于不可对角化的矩阵，可以通过Jordan标准形对其进行对角化。首先求解矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过Jordan标准形的分块结构将矩阵进行相似变换得到对角矩阵。

需要注意的是，并不是所有矩阵都可以对角化。只有满足一定条件的矩阵才可以进行对角化。

矩阵的对角化

矩阵的对角化

摘 要

矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

Abstract

Matrix diagonalization refers similarity matrix and a diagonal matrix, The simplest

form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix

diagonalization problem is very practical value.

Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to

the necessary and sufficient condition for understanding keratosis, has been one of

linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study

of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix

矩阵的对角化计算方法和例子

矩阵的对角化计算方法和例子

矩阵的对角化计算方法和例子

矩阵对角化是矩阵理论中的基础概念，它是将一个矩阵A转换成一个对角矩阵D的过程，即找到一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D，其中D为对角矩阵，其非零元素为原矩阵A的特征值，P的列向量为A的对应特征值的特征向量。接下来我们将介绍两种常见的矩阵对角化计算方法，以及一个简单的例子。

一、矩阵对角化的计算方法

1. 直接计算法

通过计算特征值和特征向量，可以直接得到对角矩阵。具体步骤如下：

（1）求出矩阵A的特征值λ1、λ2、 ... 、λn；

（2）对于每一个特征值λi，求出相应的特征向量xi；

（3）将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2, ... ,xn]，则A可以被对角化为P⁻¹AP=D，其中D是由特征值组成的对角矩阵。

2. 相似矩阵法

将矩阵A转化为一个相似矩阵B，使得B是对角矩阵，即B=[diag(λ1,λ2, ... ,λn)]。具体步骤如下：

（1）求出矩阵A的特征值λ1、λ2、 ... 、λn；

（2）对于每一个特征值λi，求出相应的特征向量xi；

（3）将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2, ... ,xn]，则A可以被对角化为B=P⁻¹AP。

二、矩阵对角化的例子

考虑矩阵A=

[1 2

2 1]

首先求出A的特征值：

|A-λI|=(1-λ)²-4=λ²-2λ-3=(λ-3)(λ+1)

所以A的特征值为λ1=3和λ2=-1。

接下来求出A的特征向量：

当λ1=3时，解方程组(A-λ1I)x=0得到x1=

[1

-1]，

当λ2=-1时，解方程组(A-λ2I)x=0得到x2=

[1

1]。

将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2]，则A可以被对角化为

P⁻¹AP=D=

[3 0

0 -1]。

因此，矩阵A可以被对角化，对角矩阵为D，可逆矩阵为P。