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20.1 矩阵可对角化的条件设矩阵有个线性无关的特征向量令则是一个对角矩阵其对角元素是的特征值：20.1 矩阵可对角化的条件事实上，于是因可逆，故20.1 矩阵可对角化的条件若存在可逆矩阵使为对角矩阵，则称矩阵是可对角化的(diagonalized).由上面的分析知，反之也成立. 故有定理：矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量.20.1 矩阵可对角化的条件例：的特征值为故只有个线性无关的特征向量，因此不能对角化.20.1 矩阵可对角化的条件定理：设是的互异特征值，是相应特征向量. 则线性无关.证明：设两边左乘得再左乘得不断左乘直到得故有20.1 矩阵可对角化的条件左边第二个矩阵的行列式行列式因此该矩阵可逆，故由于特征向量均为非零向量，故所以线性无关.20.1 矩阵可对角化的条件推论：具有个两两互异特征值的矩阵可以对角化.但若矩阵有相同特征值，其也可能对角化.例：有重特征值任何可逆矩阵都使是对角阵. 这反映了所有非零向量都是单位矩阵的特征向量.20.2 特征值的代数重数和几何重数定义：设其中称为特征值的代数重数(algebraicmultiplicity)，记作称为特征值的几何重数(geometric multiplicity)，记作例：20.2 特征值的代数重数和几何重数例：例：20.2 特征值的代数重数和几何重数一般地，命题：引理1：相似矩阵具有相同的特征多项式.事实上，设可逆，则我们有20.2 特征值的代数重数和几何重数引理2：任意复方阵相似于上三角阵，且其对角元为矩阵的特征值. 证明：对方阵的阶数用数学归纳法.时结论成立. 假设对阶复方阵结论成立.对任意阶复方阵设其有特征值及相应特征向量则可将其扩充得的一组基有记则有20.2 特征值的代数重数和几何重数对阶复方阵由归纳假设, 存在可逆阵使得为上三角阵.令为上三角阵.则结论第一部分得证.由引理1知上三角阵的对角元为的特征值.20.2 特征值的代数重数和几何重数命题的证明：由引理2，相似于上三角阵则和有相同特征值，且对任意特征值因此，不妨设是上三角阵，即于是故20.2 特征值的代数重数和几何重数定理：复方阵可对角化对任意特征值事实上，若则故有个线性无关的特征向量.从而可对角化.20.2 特征值的代数重数和几何重数例：判断是否可对角化，若可以求使为对角阵.解：于是又因此，可对角化.20.2 特征值的代数重数和几何重数对的基础解系为对的基础解系为20.2 特征值的代数重数和几何重数令则20.2 特征值的代数重数和几何重数注：可以看到，使对角化的矩阵不是唯一的. 一个特征向量乘以非零常数后仍是属于同一特征值的特征向量，所以若用任意非零常数乘以的各列，则得一个新的使对角化的矩阵. 而对于重特征值则有更大自由度. 上例中由的任意线性组合得到的两个线性无关的向量都可充当的前两列.20.2 特征值的代数重数和几何重数例：设其中为矩阵.的秩为的秩为故可对角化.20.3 矩阵可对角化的应用若矩阵可对角化，则可快速计算例：设求解：的特征值可对角化.20.3 矩阵可对角化的应用对的基础解系为对的基础解系为20.3 矩阵可对角化的应用令 则故20.3 矩阵可对角化的应用例（Markov过程）：每年海淀区以外人口的迁入海淀区，而海淀区人口的迁出. 这给出一个差分方程：设最初外部人口为内部人口为则一年以后外部人口内部人口即20.3 矩阵可对角化的应用这个虚构的人口迁移过程有两个特点：(1)人口总数保持不变；(2)海淀区外部和内部的人口数不是负的. 我们称之为Markov(马尔科夫)过程.由性质(1)，矩阵每一列元素之和为由性质(2)，矩阵元素非负. 同样等也非负.20.3 矩阵可对角化的应用记取则20.3 矩阵可对角化的应用于是我们可求和年之后的人口分布：20.3 矩阵可对角化的应用可以看出，经过很多年之后，会变得非常小，从而这个解达到一个极限状态：此时，总人口仍为与初始状态相同. 但在此极限状态下,总人口的在外部，在内部, 并且这个数据无论初始分布怎样总成立.20.3 矩阵可对角化的应用注意到即这个稳定状态是Markov矩阵关于的特征向量.20.3 矩阵可对角化的应用例（Fibonacci数列）：数列满足规律这是一个差分方程.怎样由出发，求出Fibonacci数列的通项公式呢？20.3 矩阵可对角化的应用令则即于是只需求20.3 矩阵可对角化的应用故20.3 矩阵可对角化的应用初始值给出于是Fibonacci数是这个乘积的第二个分量20.3 矩阵可对角化的应用我们希望研究由差分方程描述的离散动力系统的长期行为，即时解的性质.设可对角化，即存在可逆矩阵其中使为对角阵.则其中即可以看出，的增长由因子支配. 因此系统的稳定性依赖于的特征值.20.3 矩阵可对角化的应用对由一个差分方程定义的离散动力系统，当的所有特征值时，它是稳定的(stable)，且；当所有时，它是中性稳定的(neutrally stable)，且有界；而当至少有一个特征值时，它是不稳定的(unstable)，且是无界的.Markov过程是中性稳定的，Fibonacci数列是不稳定的.20.3 矩阵可对角化的应用例：考虑差分方程其中的特征值为其对角元和故该系统是稳定的.由任何一个初始向量出发，的解必定最终趋向于如：20.3 矩阵可对角化的应用可以看到从开始，而的实际作用是，若把分解成的两个特征向量的和：则把属于的特征向量化为零，而把属于的特征向量乘以20.4 同时对角化问题：给定两个阶矩阵是否存在可逆矩阵使得同时为对角阵，也即同时对角化？命题：若有相同特征向量矩阵使得为对角阵，则事实上，20.4 同时对角化重要的是，“逆”命题也成立. 我们不加证明地给出：定理：若均可对角化，且则可同时对角化.注意到，若则故和是的属于同一特征值的特征向量. 看简单的情况.假设的特征值两两互异，则其所有特征子空间都是一维的. 于是必是的倍数，也即是的特征向量. 从而有公共特征向量矩阵，可同时对角化.20.4 同时对角化定理：对阶复矩阵若矩阵的特征值两两互异，则可同时对角化.20.4 同时对角化小结：1. 矩阵可对角化，指存在可逆矩阵使为对角阵.2. 矩阵可对角化有个线性无关的特征向量.3. 若复矩阵有个互异特征值，则可对角化.4. 复矩阵可对角化任意特征值的几何重数等于代数重数.5. 设可对角化, 即存在可逆阵使则6. 差分方程的解为其中。
矩阵相似对角化是线性代数中重要的概念，它在矩阵的理论和应用中扮演着重要的角色。
在矩阵相似对角化的过程中，我们常常会遇到矩阵相似对角化的充要条件问题，即何时一个n阶矩阵能够相似对角化成对角矩阵。
本文将对这一问题进行详细的证明，帮助读者更好地理解矩阵相似对角化的条件和过程。
一、n阶矩阵相似对角化的定义n阶矩阵A经过相似对角化可以转化为对角矩阵D的形式，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D。
其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵。
这个过程称为矩阵的相似对角化。
那么，n阶矩阵相似对角化的充要条件是什么呢？二、矩阵相似对角化的充要条件1. 必要条件若矩阵A能相似对角化成对角矩阵D，则A和D有相同的特征值。
假设A经过相似对角化得到对角矩阵D，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D，那么A和D具有相同的特征值。
2. 充分条件若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可以相似对角化成对角矩阵D。
特征向量组成的矩阵P的逆矩阵P^-1是A的特征向量，对角矩阵D的对角元是A的特征值。
三、n阶矩阵相似对角化的充要条件的证明1. 必要条件的证明假设A能相似对角化成对角矩阵D，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D。
由特征值的定义可知，对角矩阵D的对角元就是A的特征值。
所以A和D具有相同的特征值。
2. 充分条件的证明假设n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们知道对角化矩阵P的逆矩阵P^-1是A的特征向量，对角矩阵D的对角元是A的特征值。
那么矩阵P的逆矩阵存在，即P是可逆矩阵。
所以A可以相似对角化成对角矩阵D。
四、总结通过以上的证明，我们可以得出n阶矩阵相似对角化的充要条件是：A和D有相同的特征值，并且n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。
这一定理为矩阵相似对角化提供了明确的条件，对于理解和应用矩阵相似对角化具有重要的意义。
五、矩阵相似对角化的应用矩阵相似对角化在科学和工程领域有着广泛的应用，特别是在求解线性代数方程、矩阵的对角化、微分方程的求解等方面。
任意循环矩阵对角化证明任意循环矩阵对角化证明引言在线性代数中，矩阵是一种广泛使用的数学工具，用于描述线性变换。
对于某些矩阵而言，可以通过对角化来简化其计算和分析。
本文将探讨任意循环矩阵的对角化问题。
定义循环矩阵是指在每行或每列上将该行或该列向右移动一个单位得到的矩阵。
具体而言，若$A$为$n\times n$的循环矩阵，则其可以写成如下形式：$$A=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_2 & a_3 & \cdots & a_n & a_{n-1} \\a_{n-1} & a_n & \cdots & a_2& a_1\end{pmatrix}$$其中$a_i$表示第$i$行和第$i+1$列的元素。
证明首先，我们需要证明任意循环矩阵都可以对角化。
具体而言，我们需要找到一个可逆矩阵$P$和一个对角矩阵$D$，使得$A=PDP^{-1}$。
由于循环矩阵的特殊性质，我们可以通过观察其特征向量来解决这个问题。
具体而言，我们可以通过以下步骤来证明：Step 1：求出$A$的特征值。
对于任意循环矩阵$A$，其有$n$个特征值，分别为：$$\lambda_1=\sum_{i=1}^na_i,\quad\lambda_2=a_1+a_n+\sum_{i=2}^{n-1}a_i,\quad \cdots,\quad \lambda_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n$$其中$\lambda_i$表示第$i$个特征值。
矩阵可对角化的条件学生：翟亚丽 指导老师：王全虎一 引言矩阵可对角化的问题是高等代数和矩阵论最基本的问题之一，也是人们一直研究的问题之一。
从矩阵对角化的判别法则到矩阵对角化的方法，从矩阵对角化的方法再到矩阵可对角化的条件，再延伸到矩阵的广义对角化，本文从矩阵可对角化的各种例子和矩阵可对角化的各种定理归纳总结出矩阵可对角化的条件。
二 矩阵可对角化的概念定义【2】 设A 是数域F 上一个n 阶矩阵，如果存在F 上一个n 阶可逆矩阵T 使得T -1AT具有对角形式100n a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 那么就称矩阵A 可对角化。
三 矩阵可对角化的相关定理定理1【1】 n 阶矩阵A 相似对角矩阵的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
定理2【3】 设i λ是线性变换A 的特征值，它的代数重数为i n ，几何重数为i m ，且1i im n ≤≤则A 可对角化的充分必要条件是：每个特征值的几何重数都等于代数重数。
定理 3【3】 A 可对角化⇔A 的最小多项式没有重根。
四 由矩阵可对角化的定理所引出的矩阵可对角化的条件及其相互之间的关系。
（一）设【12】()n M F A∈，K 重根按k 个计算，则A 可对角化⇒A 有n 个特征根，自然会问：A 有n 个特征根是否也是A 可对角化的充分条件？看例子11()01n M F ⎛⎫A =∈ ⎪⎝⎭则2()(1)A x x λ=-于是A 有2个特征值为1，但A 却不能对角化，故此例告诉我们A 有n 个特征根只是A 可对角化的必要条件，而非充要条件。
而且一般形如1,0k k F k ⎛⎫A =∈ ⎪⎝⎭的矩阵都不能对角化。
在给出A 可对角化的充要条件时需对特征根的特征向量要进一步讨论，若矩阵A 有n 个线性无关的特征向量则该矩阵可对角化，又有定理（二）设()n M F A∈，若在F 中，A 有n 个不同的特征根，则A 可对角化。
因为，不同特征根对应的特征向量必线性无关，则特征向量线性无关时可得出矩阵可对角化。
证明矩阵可对角化证明矩阵可对角化在矩阵理论的领域中，证明矩阵可对角化是一个非常重要的问题。
矩阵可对角化，顾名思义，就是可以把一个矩阵变成对角矩阵的形式。
这个过程的重要性在于它可以简化矩阵的计算，从而方便解决很多问题。
本文将从下面几个方面探讨证明矩阵可对角化的问题。
一、矩阵的特征值与特征向量对于一个n行n列的矩阵A，如果存在一个实数λ和一个非零列向量v，使得Av=λv，那么λ就是矩阵A的一个特征值，v则是其对应的特征向量。
特征向量是一个很重要的概念，因为可以利用特征向量构造矩阵的对角化过程。
证明矩阵可对角化的第一个重要子问题就是如何求矩阵的特征值和特征向量。
要解决这个问题，可以从矩阵的行列式和矩阵的迹入手。
矩阵的行列式是它所有特征值的乘积，矩阵的迹是它所有特征值的和。
因此可以利用这两个特征值的性质来推导出一系列公式，求解矩阵的特征值与特征向量。
二、矩阵的对角化如果矩阵A的n个特征向量能够组成一个线性无关的向量组，那么就可以构造一个矩阵P，使得P的列向量分别是这n个特征向量。
于是就有AP=PD，其中D是对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵A对应的n个特征值。
由于这些特征值互不相同，因此这个对角矩阵是唯一的。
这个过程就是矩阵A的对角化。
显然，如果一个矩阵可对角化，那么它具有许多重要的性质：可以迅速算出它的n次幂、逆矩阵等，求解线性方程组也变得非常容易。
但是，并非所有的矩阵都可以对角化。
例如当一个矩阵是奇异矩阵（行列式为0），则它不可能有完整的特征向量组成的线性无关向量组，因此无法对角化。
同样，当一个矩阵的特征值是重复的，有可能就没有足够的线性无关的特征向量，也就不能对角化。
对于可对角化的矩阵，它的对角化过程有一个非常简洁的实用公式。
设矩阵A的n个特征向量分别为v1,v2,……，vn，其对应的特征值为λ1,λ2,……，λn，则可通过以下公式求解其对角矩阵D和矩阵P：D = [λ1, 0, ..., 00, λ2, ..., 0...0, 0, ..., λn]P=[v1-v2-...-vn]其中P是一个n行n列的矩阵，其中每列对应一个特征向量，它们都是列向量，按列排列。
实对称阵可对⾓化的⼏种证明及其推⼴实对称阵是⼀类常见的矩阵, 它与实⼆次型和实内积空间上的⾃伴随算⼦有着密切的联系. 任⼀实对称阵 A 均正交相似于对⾓阵, 即存在正交阵 P , 使得P ′AP =diag{λ1,λ2,⋯,λn }.实对称阵的这条重要性质, 通常在内积空间的框架中加以证明 (参考复旦⾼代教材第 9.5 节). 事实上, 这⼀性质既可以在引⼊矩阵可对⾓化的定义和判定准则后直接加以证明, 也可以利⽤ Jordan 标准型理论加以证明. 下⾯我们将给出实对称阵可对⾓化的⼏种证明, 为此先来证明三个简单的引理.引理 1 实对称阵的特征值都是实数.证明 设 A 为 n 阶实对称阵, λ0∈C 是 A 的任⼀特征值, α=(a 1,a 2,⋯,a n )′∈C n 是对应的特征向量, 即 A α=λ0α. 上式两边同时左乘 ¯α′, 则有 ¯α′A α=λ0¯α′α. 注意到 α 是⾮零向量, 故 ¯α′α=n∑i =1|a i |2>0. 注意到 A 为实对称阵, 故 ¯(¯α′A α)′=¯α′A α, 即 ¯α′A α 是⼀个实数, 从⽽λ0=¯α′A α¯α′α也是实数. ◻引理 2 设 A 为 n 阶实对称阵, 则 r (A )=r (A 2)=r (A 3)=⋯.证明 由⾼代⽩⽪书的例 3.72 可知 r (A )=r (A ′A )=r (A 2), 从⽽ r (A )=r (A 2m) (m ≥1). 再由矩阵相乘秩相等或变⼩的性质以及夹逼法可知 r (A )=r (A k )(k ≥1). ◻引理 3 设 A 为 n 阶实对称阵, 则 Ker A ∩Im A =0 并且 Ker A =Ker A 2=Ker A 3=⋯.证明 由引理 2 以及线性映射的维数公式即得. ◻定理 1 实对称阵可实对⾓化.证法 1 (有完全的特征向量系) 由引理 1 可设 A 的全体实特征值为 λ1,λ2,⋯,λn , 我们对特征值 λ1 来证明其代数重数等于其⼏何重数. 不失⼀般性, 可设 λ1=⋯=λm , 但 λj ≠λ1(m <j ≤n ), 即 λ1 的代数重数为 m . 由复旦⾼代教材的定理 6.1.2 及其后的注可知, 存在⾮异实矩阵 P , 使得 P −1AP =B C 0D, 其中 B 是主对⾓元为 λ1 的 m 阶上三⾓阵, D 是主对⾓元分别为 λm +1,⋯,λn 的上三⾓阵, 于是P −1(A−λ1I n )P =B −λ1I mC 0D −λ1I n −m.注意到 B −λ1I m 是主对⾓元全为零的上三⾓阵, 这是⼀个幂零阵, 故 (B −λ1I m )m =0, 从⽽P −1(A−λ1I n )m P=B −λ1I mC 0D −λ1I n −mm=0∗0(D −λ1I n −m )m.注意到 (D −λ1I n −m )m 是⼀个主对⾓元全不为零的上三⾓阵, 从⽽是⾮异阵, 于是 r ((A −λ1I n )m )=n −m . 注意到 A −λ1I n 为实对称阵, 再由引理2 可知, λ1 的⼏何重数为n −r (A −λ1I n )=n −r ((A −λ1I n )m )=n −(n −m )=m ,即⼏何重数等于代数重数.证法 2 (全空间等于特征⼦空间的直和) 任取 A 的实特征值 λ0, 由引理 3 可知Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )2=⋯,再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 1 完全相同的讨论即得结论. 另外, 由 Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )n 可知, λ0 的⼏何重数 dimKer(A −λ0I n )等于其代数重数 dimKer(A −λ0I n )n , 即 A 有完全的特征向量系, 这⼀⽅法⽐证法 1 更加简洁.证法 3 (极⼩多项式⽆重根) 任取 A 的实特征值 λ0, 由引理 3 可知Ker(A −λ0I n )=Ker(A −λ0I n )2=⋯,()()()()再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 2 完全相同的讨论即得结论.证法 4 (Jordan 标准型之⼀) 任取A的实特征值λ0, 由引理 3 可知Ker(A−λ0I n)∩Im(A−λ0I n)=0,再由⾼代⽩⽪书的例 7.13 的证法 3 完全相同的讨论即得结论.证法 5 (Jordan 标准型之⼆) 任取A的实特征值λ0, 由引理 2 可知r(A−λ0I n)=r((A−λ0)2), 再由⾼代⽩⽪书的例 7.14 的证法 2 完全相同的讨论即得结论.证法 6 (Jordan 标准型之三) 设P为⾮异实矩阵, 使得P−1AP=J=diag{J r1(λ1),⋯,J rk(λk)}.⽤反证法, 若A不可对⾓化, 则不妨设r1>1. 设P′P=(b ij), 则b12=b21并且b11是P的第⼀列元素的平⽅和, 由P的⾮异性可知b11>0. 注意到P′AP=P′PJ为对称阵, 但P′PJ的第 (1,2) 元为b11+λ1b12, 第 (2,1) 元为λ1b21, 这两者不相等, ⽭盾.证法 7 (内积空间理论) 参考复旦⾼代教材的定理 9.5.2 和推论 9.5.2. ◻事实上, 我们也可以这样来看. 由上⾯的讨论可知, 对任⼀n阶实对称阵A, 全空间 R n等于A的所有特征⼦空间的直和. 容易证明: 在 R n的标准内积下, A的属于不同特征值的特征向量必正交, 属于同⼀特征值的特征向量可以利⽤ Gram-Schmidt 正交化⽅法化成两两正交的单位特征向量. 因此我们可以找到A的n个两两正交的单位特征向量, 将这些向量拼成矩阵P, 则P是⼀个n阶正交阵, 使得P′AP=diag{λ1,λ2,⋯,λn}.这就是A的正交相似标准型, 它对于深⼊探讨实对称阵的正定性和半正定性有着重要的作⽤.注 1 本题是 15 级⾼代 II 每周⼀题第 10 题第 1 ⼩问以及 16 级⾼代 II 每周⼀题第 6 题. 给出上述证法的复旦数学学院学⽣为: 章俊鑫 (证法 1),何陶然 (类似证法 1), 徐钰伦 (证法 2), 杨锦⽂ (证法 2), 杨钊杰 (证法 2), 蒋亦凡 (证法 3), 胡晓波 (证法 5), 杨彦婷 (证法 5), 沈伊南 (类似证法 6).下⾯将实对称阵可对⾓化的⼏种证法进⾏适当地推⼴, 从⽽不利⽤⾣相似标准型理论也可以直接证明: 实反对称阵, Hermite 阵, 斜 Hermite 阵,正交阵, ⾣阵, 以及更⼀般的复正规阵均可复对⾓化. 这是 15 级⾼代 II 每周⼀题第 10 题第 2 ⼩问以及 17 级⾼代 II 每周⼀题第 7 题第 2 ⼩问.我们先给出前三个引理的推⼴.引理 4 Hermite 阵的特征值都是实数. 特别地, 斜 Hermite 阵 (实反对称阵) 的特征值都是 0 或纯虚数.证明 Hermite 阵情形的证明完全类似于实对称阵情形的证明 (参考引理 1). 设A为斜 Hermite 阵, 则 i A为 Hermite 阵, 从⽽ i A的特征值都是实数, 于是A的特征值都是 0 或纯虚数. 实反对称阵是⼀种特殊的斜 Hermite 阵, 故结论也成⽴. ◻引理 5 设A为n阶复正规阵, 则r(A)=r(A2)=r(A3)=⋯.证明由⾼代⽩⽪书的例 3.72 对应的复版本可知: 对任意的m×n阶复矩阵A, 有r(A)=r(¯A ′A)=r(A¯A′).特别地, 若A是 Hermite 阵, 则r(A)=r(A2), 再仿照引理 2 的证明即得结论. 若A是复正规阵, 即A ¯A′=¯A′A, 注意到A¯A′是 Hermite 阵, 故有r(A2)=r(A2¯A2′)=r(AA¯A′¯A′)=r(A¯A′A¯A′)=r((A¯A′)2)=r(A¯A′)=r(A),再仿照引理 2 的证明即得结论. ◻引理 6 设A为n阶复正规阵, 则 Ker A∩Im A=0 并且 Ker A=Ker A2=Ker A3=⋯.证明由引理 5 以及线性映射的维数公式即得. ◻定理 2 复正规阵可对⾓化. 特别地, 实反对称阵, Hermite 阵, 斜 Hermite 阵, 正交阵, ⾣阵均可复对⾓化.证明定理 1 的证法 1--证法 5 可完全平⾏地改写⽤于证明定理 2; 定理 1 的证法 6 适当地修改之后可以证明: 实反对称阵, Hermite 阵,斜 Hermite 阵均可复对⾓化; 我们把具体的证明过程留给感兴趣的读者⾃⾏完成. 证法 7 可参考复旦⾼代教材的定理 9.6.2 和定理 9.6.3. ◻注 2 本⽂中的相关思想可推⼴为⼀般的可对⾓化判定准则, 具体的内容请参考教学博⽂ [3].参考⽂献[1] ⾼代教材: 姚慕⽣, 吴泉⽔, 谢启鸿编著, ⾼等代数学 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2014.[2] ⾼代⽩⽪书: 姚慕⽣, 谢启鸿编著, 学习⽅法指导书: ⾼等代数 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2015.Processing math: 100%。
