北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理)试题

2013高考海淀区高三理科数学查漏补缺试题试题理科 2013年5月1.函数图象的两条相邻对称轴间的距离为A. B. C. D.2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A． B． C． D．3.若向量满足，且，则向量的夹角为A．30° B．45° C．60° D．90°4.已知函数，则，，的大小关系为A． B．C． D．5.某空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_____,体积为_____________.6.设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：① 若 则 ②若，，则③ 若，则 ④若，则其中所有真命题的序号是_____7.设不等式组表示的平面区域为D，若直线上存在区域D上的点，则的取值范围是_____.8.已知不等式组所表示的平面区域为，则的面积是_____；设点，当最小时，点坐标为_____．9. 的展开式中的常数项为10. 计算 .11.若直线的参数方程为其中为参数，则直线的斜率为_______.12.如图，已知是圆的切线，切点为,交圆于两点，，则13.如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②四边形周长，是单调函数；③四边形MENF面积，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；以上命题中正确命题的个数（ ）A．1 B．2 C．3 D．414.直线与抛物线相切于点. 若的横坐标为整数，那么的最小值为.15.已知数列的前项和若是中的最大值，则实数的取值范围是_____.解答题部分：1. 已知函数（I）求的最小正周期和值域；（Ⅱ）在中，角所对的边分别是，若且，试判断 的形状.2. 如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点，与轴交于点．记，且．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求面积的最大值.3. 已知函数,且（Ⅰ）求的值.（Ⅱ）求函数在区间 上的最大和最小值.4.数列的各项都是正数，前项和为,且对任意，都有.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求数列的通项公式.5. 已知正三角形与平行四边形所在的平面互相垂直.又，且，点分别为的中点.　(I) 求证：　(Ⅱ) 求二面角值.6. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差.7. 已知函数在处有极值.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若直线与函数有交点，求实数的取值范围.8. 已知函数，其中.（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）若存在，，使得，求的取值范围.9. 设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若函数的递增区间为，求的取值范围．10. 已知椭圆的离心率为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，线段的垂直平分线交轴于点，求 的取值范围.11.如图，已知，两点分别在轴和轴上运动，并且满足，.（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）若正方形的三个顶点在点的轨迹上，求正方形面积的最小值.12. 动圆过点且在轴上截得的线段长为，记动圆圆心轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程;（Ⅱ）已知是曲线上的两点，且，过两点分别作曲线的切线，设两条切线交于点，求△面积的最大值．已知椭圆的左右两个顶点分别为，点是直线上任意一点，直线，分别与椭圆交于不同于两点的点，点.（Ⅰ）求椭圆的离心率和右焦点的坐标；（Ⅱ）（i）证明三点共线；（Ⅱ）求面积的最大值。

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学〔理〕试题2013.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩〔t 为参数〕与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4B.π,(1,0)4-C.3π,(1,0)4 D.3π,(1,0)4- (3,4),(,2)x ==a b , 假设||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1-B.12-C.13- D.1 4.某程序的框图如下列图, 执行该程序，假设输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+〔*,n r ∈∈N R 且0r ≠〕，则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.728. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，假设椭圆C 上恰好有6个不同的B点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答) 12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如下列图，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，假设点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -外表上运动，且PA r =〔0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.〔填上所有可能的值〕.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.〔本小题总分值13分〕已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .〔I 〕求()f x 的单调递增区间；〔Ⅱ〕假设()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.16.〔本小题总分值13分〕DABC汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A 型车〔I 〕从出租天数为3天的汽车〔仅限A,B 两种车型〕中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；〔Ⅱ〕根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；〔Ⅲ〕如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. 〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.〔I 〕求证：1//A B 平面1AEC ；〔II 〕假设棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； 〔Ⅲ〕求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. 〔本小题总分值13分〕已知函数e ().1axf x x =- 〔I 〕 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕求函数()f x 的单调区间.19. 〔本小题总分值14分〕EC 1B 1A 1CBA已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点〔不同于点E 〕，直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . 〔Ⅰ〕求抛物线方程及其焦点坐标；〔Ⅱ〕已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. 〔本小题总分值13分〕已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，假设()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；假设2()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，假设1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？假设存在，求出M 的最小值；假设不存在，说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 〔理〕参考答案及评分标准 2013．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕二、填空题〔本大题共6小题,每题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分〕三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．〔本小题总分值13分〕解：〔I 〕因为21()cos cos 2222x x x f x =+-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+ ………………6分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），()Z k ∈ 所以令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ ………………8分(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =………………10分 由正弦定理sin sin B Ab a=把1a b ==代入，得到1sin 2B =………………12分又,b a <B A<，所以π6B =，所以π6C =………………13分16.〔本小题总分值13分〕 解：〔I 〕这辆汽车是A 型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.63020=+这辆汽车是A 型车的概率为0.6 ………………3分 〔II 〕设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分520102030141001001001001001009125=⋅+⋅+⋅=该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125………………9分〔Ⅲ〕设为A 型车出租的天数，则的分布列为设Y 为B 型车出租的天数，则Y 的分布列为()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02 =3.62E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.48………………12分一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于B 型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加合理 . ………………13分17.〔本小题总分值14分〕(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线， 所以1//EO A B………………2分又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC………………4分〔Ⅱ〕以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--，因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ⋅=，解得1m =，所以1AM = ………………8分〔Ⅲ〕因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==， 设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则有100AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-， ………………10分因为AC ⊥平面1ABB A 1,取平面1ABB A 1的法向量为(0,2,0)AC = ………………11分所以cos ,3||||AC n AC n AC n ⋅<>==-………………13分平面1AEC 与平面1ABB A 1所成锐二面角的余弦值为………………14分 18. 〔本小题总分值13分〕解：当1a =时，e ()1axf x x =-，2e (2)'()(1)x x f x x -=- ………………2分 又(0)1f =-，'(0)2f =-， 所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =-- ………………4分〔II 〕2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=- 当0a =时，21'()0(1)f x x -=<-又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以()f x 的单调递减区间为(,1),(1,)-∞+∞ ………………6分当 0a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+= ………………7分当0a >时，11a x a+=>， 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a+， 单调递增区间为1(,)a a++∞ ………………10分 当0a <时，11a x a+=< 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞，单调递减区间为1(,1)a a+，(1,)+∞ ………………13分19. 〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕将()2,2E 代入22y px =，得1p =所以抛物线方程为22y x=，焦点坐标为1(,0)2………………3分 〔Ⅱ〕设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =-与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x =-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240ky y k --=则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+=………………6分 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分 同理可得：22242N y y y -=+………………10分 又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-，所以12124422M N OM ON y y y y ⋅=+=+⋅++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++ 44(44)444(44)k k --+=+-++0= ………………13分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………14分 法二：设直线l 方程为2x my =+与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得： 2240y my --=则由韦达定理得：12124,2y y y y m=-+= ………………6分直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+ ………………9分 同理可得：22242N y y y -=+ ………………10分又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-，121244(2)(2)M N OM ON y y y y ⋅=+=+++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++ 4(424)44(424)m m --+=+-++ 0= ………………12分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2 ………………13分20. 〔本小题总分值14分〕解：〔I 〕因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω， 即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞是增函数，所以0h ≤ ………………1分 而2()()2f x h h x x h x x ==--在(0,)+∞不是增函数，而2'()1h h x x =+ 当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h <综上，得0h < ………………4分(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++所以()()4=f a f a b c a a b c a b c++<++++， 所以4()a f a d a b c=<++， 同理可证4()b f b d a b c =<++，4()c f c t a b c=<++ 三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d t a b c ++++=+<=++所以240d t +-< ………………6分 因为,d d a b <所以()0,b a d ab-< 而0a b <<， 所以0d < 所以(24)0d d t +-> ………………8分(Ⅲ) 因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >， 记020()0f x m x => 因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数. 所以当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx > 所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾 ………………11分()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立所以()f x ∀∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解假设存在20x >，使得2()0f x =，则因为()f x 是二阶增函数，即2()f x x 是增函数 一定存在320x x >>，322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾 所以()0f x =在(0,)+∞上无解综上，我们得到()f x ∀∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立所以存在常数0M ≥，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立 又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立， 又有23()1f x x x-=在(0,)+∞上是增函数 ，所以()f x ∈ψ， 而任取常数0k <，总可以找到一个00x >，使得0x x >时，有()f x k > 所以M的最小值 为0 ………………13分。