全等三角形难题题型归类及解析精编版

专题12.1全等三角形姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•恩施市期末）下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解析】：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．2．（2020秋•抚顺县期末）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【分析】利用全等图形的概念可得答案．【解析】：A、两个图形不能完全重合，故本选项错误；B、两个图形能够完全重合，故本选项正确；C、两个图形不能完全重合，故本选项错误；D、两个图形不能完全重合，故本选项错误；故选：B．3．（2020秋•义马市期末）下列说法中正确的是（）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形B．两个等边三角形是全等图形C．两个全等图形的面积一定相等D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．【解析】：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等．故选：C．4．（2020秋•集贤县期末）如图，△ACE≌△DBF，AE∥DF，AB＝3，BC＝2，则AD的长度等于（）A．2B．8C．9D．10【分析】根据全等三角形的对应边相等解答．【解析】：由图形可知，AC＝AB+BC＝3+2＝5，∵△ACE≌△DBF，∴BD＝AC＝5，∴CD＝BD﹣BC＝3，∴AD＝AC+CD＝5+3＝8，故选：B．5．（2020秋•红桥区期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．AC＝DE C．∠ABC＝∠AED D．AB＝AE【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可．【解析】：A、∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，本选项结论成立；B、∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，而AC与DE不一定相等，本选项结论不成立；C、∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠AED，而∠ABC与∠AED不一定相等，本选项结论不成立；D、∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，而AB与AE不一定相等，本选项结论不成立；故选：A．6．（2020秋•扶余市期末）如图，△ABC≌△DEF，∠A＝90°，∠C＝50°，则∠E的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．90°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，再根据全等三角形的性质解答即可．【解析】：∵∠A＝90°，∠C＝50°，∴∠B＝180°﹣（∠A+∠C）＝40°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝40°，故选：B．7．（2020秋•武昌区期末）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，则∠E的度数为（）A．80°B．35°C．70°D．30°【分析】根据全等三角形的对应角相等解答即可．【解析】：∵△ABC≌△ADE，∠C＝30°，∴∠E＝∠C＝30°，故选：D．8．（2019秋•黑河期末）如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（）A．AB∥DE，但AC不平行于DF B．BE＝EC＝CFC．AC∥DF，但AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，再利用平行线的判定定理得出答案．【解析】：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，∴AB∥DE，AC∥DF，无法得出BE＝EC＝CF故选项D正确．故选：D．9．（2019秋•滦南县期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72°B．60°C．58°D．48°【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．【解析】：∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝180°﹣60°﹣72°＝48°．故选：D．10．（2021•新华区模拟）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（）A．90°B．120°C．135°D．180°【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．【解析】：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，∵三个全等三角形，∴∠4+∠9+∠6＝180°，又∵∠5+∠7+∠8＝180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•上思县月考）如果两个图形全等，那么它们的面积相等．【分析】由全等图形的定义和性质可以得到解答．【解析】：∵全等图形能够完全重合，∴它们的面积相等；故答案为：相等．12．（2019秋•谢家集区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为90°．【分析】直接利用全等图形的性质得出∠1＝∠DEC，进而得出答案．【解析】：如图所示：由题意可得：△ACB≌△ECD，则∠1＝∠DEC，∵∠2+∠DEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故答案为：90°．13．（2020秋•江宁区校级月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是95°．【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．【解析】：∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案为：95°．14．（2020秋•汇川区期末）如图，△ABC≌△ABD，其中∠C＝90°，∠ABD＝30°，则∠BAC＝60°．【分析】根据全等三角形的性质得出∠ABD＝∠ABC＝30°，在利用三角形内角和解答即可．【解析】：∵△ABC≌△ABD，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∵∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故答案为：60．15．下列5个说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②两个圆是全等图形；③两个正方形是全等图形；④全等图形的形状和大小都相同；⑤面积相等的两个三角形是全等图形．其中，说法正确的是④．【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．【解析】：①两个形状相同的图形称为全等图形，说法错误；②两个圆是全等图形，说法错误；③两个正方形是全等图形，说法错误；④全等图形的形状和大小都相同，说法正确；⑤面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误，正确的说法只有④，故答案为：④．16．（2020秋•姜堰区期末）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝11．【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．【解析】：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5∴x+y＝11．故答案为：11．17．（2020秋•建邺区期末）如图，点B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC＝12，BD＝3，则DE的长为6．【分析】根据全等三角形的性质得出BD＝CE＝3，那么DE＝BC﹣BD﹣CE＝6．【解析】：∵△ABD≌△ACE，BD＝3，∴BD＝CE＝3，∵BC＝12，∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝12﹣3﹣3＝6．故答案为：6．18．（2020秋•句容市月考）（1）如果△ABC≌△DEF，∠B＝60°，∠C＝40°，那么∠E＝50°．（2）如图，△ABC≌△EDF，请根据图中提供的信息，写出x＝20．【分析】（1）根据全等三角形的性质，利用对应角相等解答即可；（2）根据全等三角形的性质，得出对应边相等解答即可．【解析】：（1）∵△ABC≌△DEF，∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠E＝∠B＝50°；（2）∵△ABC≌△DEF，∠B＝60°，∠C＝40°，AB＝18，BC＝20，∴EF＝x＝BC＝20，故答案为：（1）50°；（2）20．三．解答题（共6小题）19．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．【分析】根据全等图形的定义画出图形即可．【解析】：如图所示：20．图中所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠C＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值．【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角，可得对应顶点，对应边与对应角，进而可得a，b，c，d，e，α，β各字母所表示的值．【解析】：对应顶点：A和G，E和F，C和I，对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；∵两个五边形全等，∴a＝12，c＝8，b＝10，d＝5，e＝11，α＝90°，β＝115°．21．（2019秋•内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；（2）根据全等三角形的对应边相等计算．【解析】：（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，∴BF＝BE+EF＝6．22．（2020春•历下区期中）如图，线段AD、BE相交于点C，且△ABC≌△DEC，点M、N分别为线段AC、CD的中点．求证：（1）ME＝BN；（2）ME∥BN．【分析】（1）连接BM、EN，根据全等三角形的性质、平行四边形的判定得到四边形MBNE是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；（2）根据平行四边形的性质证明即可．【解答】证明：（1）如图，连接BM、EN，∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，BC＝EC，∵点M、N分别为线段AC、CD的中点，∴CM＝CN，∴四边形MBNE是平行四边形，∴ME＝BN；（2）∵四边形MBNE是平行四边形，∴ME∥BN．23．（2020春•宽城区期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠FCA＝∠EBD＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据全等三角形的性质得到CA＝BD，结合图形得到AB＝CD，计算即可．【解析】：（1）∵BE⊥AD，∴∠EBD＝90°，∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA＝∠EBD＝90°，∴∠A＝90°﹣∠F＝28°；（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA＝BD，∴CA﹣CB＝BD﹣BC，即AB＝CD，∵AD＝9cm，BC＝5cm，∴AB+CD＝9﹣5＝4cm，∴AB＝2cm．24．如图，已知△ABD≌△ACE，点E在线段BD上．（1）判断△ADE的形状，并说明你的理由；（2）若∠CAB＝50°，∠AEC＝65°，求∠AED的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AD＝AE，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）根据等腰三角形的性质得出∠D＝∠AED，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠AEC，求出∠AED ＝∠AEC即可．【解析】：（1）△ADE是等腰三角形，理由是：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠D＝∠AEC，AD＝AE，∴∠AED＝∠D，∴∠AED＝∠AEC，∵∠AEC＝65°，∴∠AED＝65°．。

专题02高分必刷题-全等三角形重难点题型分类（解析版）题型1：全等三角形的性质1．下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等B．形状相同的两个三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等【解答】解：A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．故选：D．2．如图，△ABC≌△DCB，△A＝80°，△DBC＝40°，则△DCA的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：△△ABC≌△DCB，∴∠D＝△A＝80°，△ACB＝DBC＝40°，∴∠DCB＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝60°，∴∠DCA＝△DCB﹣∠ACB＝20°，故选：A．3．如图，△ABC≌△DEF，BE＝7，AD＝3，则AB＝．【解答】解：△△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∴AB﹣AD＝DE﹣AD，即BD＝AE，∵BE＝7，AD＝3，∴BD＝AE＝＝2∴AB＝AD+DB＝3+2＝5．故答案为：5．题型2：添加一个条件，是两三角形全等4．如图，已知MB＝ND，△MBA＝△NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．△M＝△N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN【解答】解：A、△M＝△N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；B、AM∥CN，得出△MAB＝△NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意．C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；D、根据条件AM＝CN，MB＝ND，△MBA＝△NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故D选项符合题意；故选：D．5．如图，已知△ADB＝△CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．△A＝△C B．AD＝BC C．△ABD＝△CDB D．AB＝CD【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（AAS）∴选项A能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴选项B能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴选项C能证明；选项D不能证明△ABD≌△CDB；故选：D．6．如图，已知△1＝△2，要使△ABC≌△CDA，还需要补充的条件不能是（）A．AB＝CD B．BC＝DA C．△B＝△D D．△BAC＝△DCA 【解答】解：A、根据AB＝CD和已知不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；B、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（SAS），正确，故本选项错误；C、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；D、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；故选：A．题型三：尺规作图的依据7．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明△A′O′B′＝△AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故选：A．8．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，△AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．9．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．题型4：角平分线的性质10．如图，在△ABC中，△C＝90°，AC＝BC，AD平分△CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【解答】解：△AD平分△CAB，DE⊥AB，△C＝90°，∴DE＝CD，又△AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB ＝6cm，∴△DBE的周长＝6cm．故选：A．11．如图，△ABC中，△C＝90°，AD是角平分线，AB＝14，S△ABD＝28，则CD的长为．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴由角平分线的性质，得DE＝CD．∵AB＝14，S△ABD＝28，∴×AB×DE＝28，即×14×DE＝28，解得DE＝4，∴CD＝4，故答案为：4．12．如图，BD是△ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝cm．【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵BD是△ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵AB＝18cm，BC＝12cm，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝36cm2，∴DE＝2.4（cm）．故答案为：2.4．题型五：全等三角形中档证明题考向1：重叠边技巧①短边相等+重叠边=长边相等②长边相等-重叠边=短边相等13．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，△A＝△D，AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【解答】证明：（1）△AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，∴AC＝DF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）△由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝△EFD，∴BC∥EF．14．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：AB∥DE．【解答】证明：△AF＝DC，∴AF﹣FC＝DC﹣CF，即AC＝DF．在△ACB和△DFE中，∴△ACB≌△DFE（SSS），∴∠A＝△D，∴AB∥DE．考向2：重叠角技巧重叠角技巧：①小角相等+重叠角=大角相等②大角相等-重叠角=小角相等15．如图，AB＝AD，△C＝△E，△1＝△2，求证：△ABC≌△ADE．【解答】证明：△△1＝△2，∴∠1+∠EAC＝△2+∠EAC，即△BAC＝△DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．16．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且△BAC＝90°，△DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE．【解答】证明：△△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，又△△EAC ＝90°+∠CAD，△DAB＝90°+∠CAD，∴∠DAB＝△EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．考向三：等角的余角相等技巧：∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点D 作DF DE ⊥与点F ，G 为BE 中点，连接AF ，DG ．（1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥；（2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明．【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析.【解析】【分析】(1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可.(2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出.【详解】解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图，∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高,∴∠BEA=∠ADB=90°.∵∠ABC=45°,∴△ABD 是等腰直角三角形.∴AD=BD.∵∠AHE=∠BHD,∴∠DAC=∠DBH.∵∠ADB=∠FDE=90°,∴∠ADE=∠BDF.∴△DAE ≌△DBF.∴BF=AE,DF=DE.∴△FDE 是等腰直角三角形.∴∠DFE=45°.∵G 为BE 中点,∴BF=EF.∴AE=EF.∴△AEF 是等腰直角三角形.∴∠AFE=45°.∴∠AFD=90°,即AF ⊥DF.（2）AF=2DG,且AF ⊥DG.理由:延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM,∵点G 为BE 的中点,BG=GE.∵∠BGM ∠EGD,∴△BGM ≌△EGD.∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.∵∠DAC=∠DBE,∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,∴∠BDF=45°-∠DBE.∵∠ADE=∠BDF,∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.∵BD=AD,∴△BDM ≌△DAF.∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.∵∠BDM+∠MDA=90°,∴∠MDA+∠FAD=90°.∴∠AHD=90°.∴AF ⊥DG.∴AF=2DG,且AF ⊥DG【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.2．如图1所示，已知点D 在AC 上，ADE ∆和ABC ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.（1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形；（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，如图2所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.【解析】【分析】()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===，推出BM DM =，BM CM =，DM CM =，推出BCM MBC ∠∠=，ACM MDC ∠∠=，求出22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可．()2延长ED 交AC 于F ，求出12DM FC =，//DM FC ，DEM NCM ∠=，根据ASA 推出EDM ≌CNM ，推出DM BM =即可．()3过点C 作//CF ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，推出MDE ≌MFC ，求出DM FM =，DE FC =，作AN EC ⊥于点N ，证BCF ≌BAD ，推出BF BD =，DBA CBF ∠∠=，求出90DBF ∠=，即可得出答案．【详解】()1证明：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，45ACB BAC ∠∠∴==，90ADE EBC EDC ∠∠∠=== 点M 为EC 的中点，12BM EC ∴=，12DM EC =， BM DM ∴=，BM CM =，DM CM =，BCM MBC ∠∠∴=，DCM MDC ∠∠=，2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=，同理2DME ACM ∠∠=，22224590BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠∴=+==⨯=BMD ∴是等腰直角三角形．()2解：如图2，BDM是等腰直角三角形，理由是：延长ED交AC 于F，ADE和ABC△是等腰直角三角形，45BAC EAD∠∠∴==，AD ED⊥，ED DF∴=，M为EC中点，EM MC∴=，12DM FC∴=，//DM FC，45BDN BND BAC∠∠∠∴===，ED AB⊥，BC AB⊥，//ED BC∴，DEM NCM∠∴=，在EDM和CNM中DEM NCMEM CMEMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩EDM∴≌()CNM ASA，DM MN∴=，BM DN∴⊥，BMD∴是等腰直角三角形．()3BDM是等腰直角三角形，理由是：过点C作//CF ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得MDE≌MFC，DM FM∴=，DE FC=，AD ED FC∴==，作AN EC ⊥于点N ，由已知90ADE ∠=，90ABC ∠=，可证得DEN DAN ∠∠=，NAB BCM ∠∠=，//CF ED ，DEN FCM ∠∠∴=，BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD ∠∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=+=， BCF ∴≌BAD ，BF BD ∴=，DBA CBF ∠∠=，90DBF DBA ABF CBF ABF ABC ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==，DBF ∴是等腰直角三角形，点M 是DF 的中点，则BMD 是等腰直角三角形，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．3．如图1，等腰△ABC 中，AC =BC ＝42, ∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，D 为线段AO 上一动点，以CD 为一边在CD 下方作等腰△CDE ,使CD =CE 且∠DCE=45˚，连结BE .(1) 求证：△ACD ≌△BCE ；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ,若CP ＝CQ ＝5,求PQ 的长.(3) 连接OE ，直接写出线段OE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS 即可证得ACD BCE ≌；()2首先过点C 作CH BQ ⊥于H ，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC ∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ 的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC ,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，45DAC∴∠=，ACD BCE≌，45PBC DAC∴∠=∠=，∴在Rt BHC中,2242422CH BC=⨯==，54PC CQ CH===，，3PH QH∴==，6.PQ∴=()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.最小值为：42 2.OE=-4．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD=2BF+DE．【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得△ABC≌△ADE；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，BF FAFB AFGAF AFG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，在△CGA和△CDA中，GCA DCACGA CDAAG AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGA≌△CDA，∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．5．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或32（3）9s 【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP与△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，则线段PC与线段PQ垂直.（2）设点Q的运动速度x,①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，912tt xt=-⎧⎨=⎩，解得31tx=⎧⎨=⎩，②若△ACP≌△BPQ，则AC=BQ，AP=BP，912xt t t =⎧⎨=-⎩解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩， 综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；∴EB=EA=18cm.当V Q =1时，依题意得3x=x+2×9，解得x=9；当V Q =32时， 依题意得3x=32x+2×9， 解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.6．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，CG CDDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，AFE AFGAF AFEAF GAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）结论：AC＝AE+CD．理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．7．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F(1) 如图1，直接写出AB与CE的位置关系(2) 如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK【答案】（1）AB ⊥CE ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由全等可得∠ECD=∠A ，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB ⊥CE. （2）延长HK 于DE 交于H ，易得△ACD 为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE ，然后证明△DGH ≌△DGE ，所以∠H=∠E ，则∠H=∠B ，可得HK=BK.【详解】解：（1）∵Rt △ABC ≌Rt △CED ，∴∠ECD=∠A ，∠B=∠E ，BC=DE ，AC=CD∵∠B+∠A=90°∴∠B+ECD=90°∴∠BFC=90°，∴AB ⊥CE（2）在Rt △ACD 中，AC=CD ，∴∠ADC=45°，又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45°∵CH ＝DB ，∴CH+CD=DB+CD ，即HD=BC ，∴DH=DE ，在△DGH 和△DGE 中，DH=DE HDG=EDG=45DG=DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DGH ≌△DGE （SAS ）∴∠H=∠E又∵∠B=∠E∴∠H=∠B ，∴HK=BK【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.8．操作发现：如图，已知△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将这两个三角形放置在一起，使点B ，D ，E 在同一直线上，连接CE ．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝12EC＝2.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图1，已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，D为CF上一点，且DA＝DB．（1）求证：∠ACB＝∠ADB；（2）求证：AC+BC＜2BD；（3）如图2，若∠ECF＝60°，证明：AC＝BC+CD．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，证明Rt△DAM≌Rt△DBN，得出∠DAM=∠DBN，则结论得证；（2）证明Rt△DMC≌Rt△DNC，可得CM=CN，得出AC+BC=2BN，又BN＜BD，则结论得证；（3）在AC 上取一点P ，使CP=CD ，连接DP ，可证明△ADP ≌△BDC ，得出AP=BC ，则结论可得出．【详解】（1）证明：过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，∴DM ＝DN ，在Rt △DAM 和Rt △DBN 中，DA DB DM DN=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN （HL ），∴∠DAM ＝∠DBN ，∴∠ACB ＝∠ADB ；（2）证明：由（1）知DM ＝DN ，在Rt △DMC 和Rt △DNC 中，DC DC DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DMC ≌Rt △DNC （HL ），∴CM ＝CN ，∴AC +BC ＝AM +CM +BC ＝AM +CN +BC ＝AM +BN ，又∵AM ＝BN ，∴AC +BC ＝2BN ，∵BN ＜BD ，∴AC +BC ＜2BD ．（3）由（1）知∠CAD ＝∠CBD ，在AC 上取一点P ，使CP ＝CD ，连接DP ，∵∠ECF ＝60°，∠ACF ＝60°，∴△CDP 为等边三角形，∴DP ＝DC ，∠DPC ＝60°，∴∠APD ＝120°，∵∠ECF ＝60°，∴∠BCD ＝120°，在△ADP 和△BDC 中，APD BCD PAD CBD DA DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADP ≌△BDC （AAS ），∴AP ＝BC ，∵AC ＝AP +CP ，∴AC ＝BC +CP ，∴AC ＝BC +CD ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．如图，A （0，4）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，如图1，求t 的值；（2）设点A 关于x 轴的对称点为A ′，连接A ′B ，在点P 运动的过程中，∠OA ′B 的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA ′B 的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t ＝3时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）4；（2）∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45︒，理由见解析；（3）点M 的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP 为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA ＝PA '＝PB ，由∠PAB +∠PBA ＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA 'B ＝45°；（3）分类讨论：分别讨论当△ABP ≌△MBP 、△ABP ≌△MPB 、△ABP ≌△MPB 时，点M 的坐标的情况；过点M 作x 轴的垂线、过点B 作y 轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可.【详解】（1）∵AB ∥x 轴，△APB 为等腰直角三角形，∴∠PAB ＝∠PBA ＝∠APO ＝45°，∴△AOP 为等腰直角三角形，∴OA ＝OP ＝4．∴t ＝4÷1＝4（秒），故t 的值为4．（2）如图2，∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45°，∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，∴PA ＝PA '，又AP ＝PB ，∴PA ＝PA '＝PB ，∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '＝180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°，∴∠AA 'B ＝45°，即∠OA 'B ＝45°；（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等， ①如图3，若△ABP ≌△MBP ，则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，∴△AOP ≌△MDP （AAS ），∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，∴M 的坐标为：（6，-4）．②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形， ∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====，∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，∴∠BAF ＝∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====，∴M 的坐标为：（4，7），③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形， ∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====，∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====，∴M 的坐标为：（10，﹣1）．综合以上可得点M的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．。

图8七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1.（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O.① 求证：AN=BM② 求 ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。

（湘潭·中考题）同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图cD图7BC3. 如图9，若△和△为等边三角形，分别为的中点，易证：ABC ADE ,M N ,EB CD ，△是等边三角形．CD BE =AMN （1）当把△绕点旋转到图10的位置时，是否仍然成立？若成立,请ADE A CD BE =证明；若不成立，请说明理由；（2）当△绕点旋转到图11的位置时，△是否还是等边三角形？若是，ADE A AMN 请给出证明，若不是，请说明理由．同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②；AN AM =（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180o ，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.图9 图10 图11图①图②4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．（1）证明：△ABG △ADE ；≌（2）试猜想BHD 的度数，并说明理由；∠（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜BAE ＜180°），设△ABE 的面积∠为，△ADG 的面积为，判断与的大小关系，并给予证明．1S 2S 1S 2S 5.已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，ABC △AB D DG BC ∥AC G 在的延长线上取点，使，连接．GD E DE DB =AE CD ，（1）求证：；AGE DAC △≌△（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角E EF DC ∥BC F AF AEF △形，试证明你的结论．CGAEDBF二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点1：利用垂直证明角相等1.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．CF GEDBAH2.（西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。