二项式定理知识点总结
二项式定理专题
一、二项式定理：
二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：
a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-
1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n
其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：
1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：
1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +
C(n,n)*x^n
4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：
二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项
的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：
T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k
其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：
在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：
①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
C(n,0) = C(n,n)。
C(n,1) = C(n,n-1)。
C(n,2) = C(n,n-2)。
…。
C(n,k) = C(n,n-k)
②增减性与最大值：二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即当n为偶数时，有
C(n,n/2)。
C(n,n/2-1)。
C(n,n/2+1)。
C(n,n/2-2)。
…。
C(n,k) < C(n,n-k) （k=0,1,2.n/2-1）
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1.在展开式(1+x)^n中，所有奇数项系数之和等于1024，
则所有项的系数中最大的值是多少？
A。
330
B。
462
C。
680
D。
790
2.在展开式(x+1)^4(x-1)^5中，x^4的系数为多少？
A。
-40
B。
10
C。
40
3.二项式(1+sinx)^n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为多少？请给出x在[0,2π]内的值。
4.在展开式(1+x)^5+(1+x)^6+(1+x)^7中，含x^4项的系数是等差数列an=3n-5的第几项？
A。
第2项
B。
第11项
C。
第20项
D。
第24项
5.(x^2-1/9)的展开式中，x^9的系数是多少？
6.如果(2x+3)^4=a+a1x+。
+a4x^4，那么(a+a2+a4)^2-
(a1+a3)^2的值是多少？
7.如果展开式(x^3+x-2)^n中只有第6项的系数最大，那么展开式中的常数项是多少？
8.对于二项式(1-x)^1999，以下哪个命题是正确的？
①展开式中T1000=-Cxxxxxxxxx999；
②展开式中非常数项的系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
④当x=2000时，(1-x)^1999除以2000的余数是1.
请在下面的方框内填写你认为正确的命题序号。
①。
] [。
②。
] [。
③。
] [。
④。
]
9.(6x+1/x)^n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列。
1) 求n的值；
2) 此展开式中是否有常数项？为什么？
10.已知展开式(x+2)^n中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数。
11.是否存在等差数列{an}，使得对任意n∈N*都有
an+an+1+an+2+。
+an+n=Cn^2成立？若存在，求出数列{an}
的通项公式；若不存在，请说明理由。
12.某地现有耕地亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在增加15%。
如果该地人口总数不变，那么10年后该地需要多少耕地才能满足人们的需求？
1.量比现在提高10%，如果人口年增加率为1%，那么每
年耕地最多只能减少多少亩？
改写：如果现在的耕地面积为X，那么量比提高10%后
的耕地面积为1.1X。
由于人口年增加率为1%，所以每年可用
耕地面积会减少1%。
因此，最多只能减少0.01*1.1X=0.011X
亩的耕地面积。
2.设f(x)=(1+x)^m+(1+x)^n(m、n∈N)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开
式中含x^2项的系数取最小值，并求出这个最小值。
改写：将f(x)展开，得到f(x)=C0+C1x+C2x^2+。
由于一
次项系数为11，所以C1=m+n=11.要使展开式中含x^2项的系
数最小，需要使C2最小。
根据二项式定理，展开式中含x^2
项的系数为C2=C(m,2)+C(n,2)+2C(m,1)C(n,1)，其中C(m,2)表
示从m个元素中选出2个元素的组合数。
为了使C2最小，需
要使C(m,2)+C(n,2)最小，且C(m,1)C(n,1)最小。
经过计算可得，当m=4，n=7时，C2取得最小值为120.
3.规定C_x=x(x-1)。
(x-m+1)/m!=1，其中x∈R，m是正整数，且C_x是组合数C_n^m（n、m是正整数，且m≤n）的一
种推广。
改写：规定C_x=x(x-1)。
(x-m+1)/m。
表示从x个元素中
选出m个元素的组合数。
这是组合数C_n^m的一种推广，其
中n≥x，m≤x。
注意到C_x=1，当x=0或x=1时。
C_x有以下
两个性质：1）C_x=C_{x-1}*(x/m)，2）
C_x+C_{x+1}=C_{x+1}。
4.求C_{-15}的值。
改写：根据C_x的定义，C_{-15}=-15(-16)。
(-29)/15!=(-1)^{15}*15*14*。
*2*1/15!=(-1)^{15}/14*。
*2*1=1/14*。
*2*1=1/xxxxxxxx200.
5.设x>0，当x为何值时，3C_x-2(C_1^x)取得最小值？
改写：3C_x-2(C_1^x)=3x(x-1)。
(x-m+1)/m!-2x，表示从x
个元素中选出m个元素的组合数的3倍减去从x个元素中选
出1个元素的组合数的2倍。
要使其取得最小值，需要求导，得到3(x-m/2)(x-m/2-1)。
(x-(m-1))/m!-2=0.解得x=m/2+1/3，即
当x=m/2+1/3时，3C_x-2(C_1^x)取得最小值。
6.C_n^m+C_n^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}是否能推广到
C_x+C_{x+1}=C_{x+2}的形式？
改写：C_n^m表示从n个元素中选出m个元素的组合数，C_{n+1}^{m+1}表示从n+1个元素中选出m+1个元素的组合数。
根据组合数的定义，有
C_n^m+C_n^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}。
但是，C_x和C_{x+1}
并不表示从x个元素中选出m个元素的组合数和从x+1个元
素中选出m个元素的组合数，因此无法推广到C_x+C_{x+1}=C_{x+2}的形式。
