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数学二项式定理知识点
二项式定理是李斯特等人发现的最实用的定理之一，主要用于描述一些具有概率性质的问题，它根据事件A、B分别发生n次和m次，它们同时发生r次的概率之间的一种关系。
事件A、B可以表示投掷一次骰子、投掷两次骰子，扔掷一次硬币、扔掷两次硬币等不确定的事件。
二项式定理可以说明：事件A、B发生r次的概率可以表示为：
其中nCr表示从n个无序的不同元素中任取r个元素，并且按顺序排列起来所组成组合的个数。
特别的，当n=1时，二项式定理可以用下式表示：pA+pB=1，其中pA、pB分别代表对应事件发生的概率。
例如，投掷一次硬币的事件A和B分别是“正面”和“反面”发生的概率，则pA+pB=1，其中pA=pB=0.5。
二项式定理是概率统计中的重要定理，它的特点是可以解决一次(或多次)不确定事件发生次数的问题，即多次试验的随机变量(如抛硬币)。
在实际应用中，它也可以用来处理一次事件内容有n种可能情况，其中r种发生情况出现的概率，以及多个事件发生概率的关系等问题。
二项式定理可以也可以用来解决医学、金融等实际问题，例如药物副作用、金融期权等。
在医学上，它可用来表示某种药物给患者发作的概率reg=pA*pB*...，这就是某种长期服用的药物发作的情况；在金融上，它可以用来研究一定期限内可以购买某种期权的概率，即根据资本金额，在期限内获利的概率，即reg=pA*pB*...，可以表示投资者在某段期间获取获利的概率。
1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共（n+1）项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等。
②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n nn n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
二项式定理知识点总结二项式定理是数学中的一个基本定理，它描述了一个二次方的展开式中的每一项的系数。
二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个的组合数，也可以记作为“n选择k”。
二项式定理的核心思想是展开一个二次方的多项式，并找到每一项的系数。
该定理在概率论、组合数学、统计学等领域具有广泛的应用。
二项式定理的重要性二项式定理在数学中具有重要的地位，而且在很多高级数学的分支中都起到了关键的作用。
以下是二项式定理的重要性：1. 展开多项式：二项式定理可以用来展开一个多项式，从而求得每一项的系数。
这对于解决复杂的数学问题非常有帮助。
2. 概率计算：二项式定理在概率论中应用广泛。
例如，在进行多次独立试验时，计算某些事件发生的概率可以通过二项式定理来实现。
3. 组合数学：组合数学是二项式定理的一个重要分支。
二项式系数被称为“组合数”，用于计算对象之间的排列组合情况。
4. 统计学应用：二项式分布是概率论中一种重要的离散概率分布，它在统计学中有广泛的应用。
二项式定理可以用来计算二项式分布的概率。
二项式定理的发展历程二项式定理最早是由17世纪的法国数学家Pascal在他的著作《论算术三角形》（Traité du triangle arithmétique）中首次提出的。
后来，德国数学家Newton将其进一步发展，并给出了二项式的系数计算公式。
随着数学研究的深入，二项式定理逐渐被推广到更一般的形式。
例如，当指数n为实数，而非整数时，也可以使用二项式定理展开。
这被称为泰勒展开，是微积分中的一种重要工具。
应用举例1. 计算多项式的展开式：利用二项式定理，我们可以展开一个二次方、三次方或更高次方的多项式，从而求得每一项的系数。
例如，利用二项式定理展开(x + y)^3：(x + y)^3 = C(3,0)x^3 + C(3,1)x^2y + C(3,2)xy^2 + C(3,3)y^3= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^32. 计算概率：二项式定理在概率论中有广泛的应用。
可编辑修改精选全文完整版排列与组合一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。
排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。
全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕（二）组合定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示组合数公式：变式：组合数的两个性质：1、三、二项式定理1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和： 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。
二项式定理知识点及常考题型一、 两项展开式的特定项1． 展开式：011222()n n n n k n k k n nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++；等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，展开式中一共有1n +项．2． 通项公式：1k n k kk n T C a b -+=；3．指数运算：①a mn ＝√a m n (a ＞0，m ，n ∈N ∗，且n ＞1) ②a−mn ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N ∗，③a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q)； ④(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q)； ⑤(ab)r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．例1．（2022·山东济宁·一模）612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为___________．（用数字作答） 【答案】160- 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为零，求出r ，从而可求出常数项 【详解】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为66621661(2)(1)2rr r r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =，所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为33636(1)2160C --⋅=-，故答案为：160-变式1－1．（2022·浙江·模拟预测）设,a b ∈R ，若二项式()3ax by +的展开式中第二项的系数是1，则二项式()6ax by +的展开式中第三项的系数是（ ） A ．13B ．1C ．53D ．5【答案】C【解析】 【分析】由二项展开式的公式展开可得二项式()3ax by +的展开式中第二项的系数231a b =，再由二项式()6ax by +的展开式中第三项的系数为4215a b ，代入即可得解． 【详解】由二项式()3ax by +的展开式中第二项122223()3T C ax by a bx y ==，所以231a b =，二项式()6ax by +的展开式中第三项242424236()()15T C ax by a b x y ==，所以422151515()33a b ==．故选：C变式1－2．（2022·山东临沂·一模）二项式612x x ⎫+⎪⎭的展开式中系数为无理数的项数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】2 【详解】展开式通项公式为666221661(2)()2rrrrr r r T C x C x x---+==，0,1,2,3,4,5,6r =， 当0,2,4,6r =时，62r -是整数，1,3,5r =时，62r-是不是整数，系数是无理数，共有3项． 故选：B ．作业1．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））在12332x x 的二项展开式中，第______项为常数项． 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用二项式的通项公式，令x 的指数为0，求出r 即可． 【详解】解：12332x x 的二项展开式的通项为12212311231231()(22rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭，令12203r-=，解得6r =，即6r =时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项． 故答案为：7．二、三项展开式的特定项方法一：将其中两项看作一个整体进行展开，再层层剥开； 方法二：利用排列组合，根据所求进行不同的组合形式，再相加。
关于二项式定理的知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊超厉害的二项式定理呀！你可别小瞧它，这玩意儿用处大着呢！比如说，（展开 (a+b)^2 等于 a^2+2ab+b^2，这不就像搭积木一样，把不同的部分巧妙地组合起来了嘛！）二项式定理就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学问题的大门。
想象一下呀，我们面对一堆看似杂乱无章的式子，二项式定理就像个超级英雄闪亮登场，一下子就把它们变得井井有条啦！（好比 (a+b)^3 展开
后是a^3+3a^2b+3ab^2+b^3，多清楚呀！）它能帮我们快速找到规律，解决难题，这感觉是不是超棒的？
咱再想想那些复杂的概率问题，二项式定理也能派上大用场呢！（就像计算掷骰子多次后某个点数出现的概率，二项式定理就能助我们一臂之力呀！）它能让我们看清问题的本质，不再迷茫。
哎呀，反正二项式定理就是这么牛，它在数学世界里闪闪发光，为我们指引方向呀！怎么样，现在是不是对它特别感兴趣啦？是不是迫不及待想去深入了解它啦？
我的观点就是：二项式定理是数学中的一颗璀璨明珠，一定得好好掌握它！。
二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n nn 2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C rn=叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T rr n r nr ==-+ 3、展开式的特点（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C nn ,…,C nn(2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。
②b 的指数由0 n （升幂）。
③a 和b 的指数和为n 。
(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。
4、二项式系数的性质： （1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n nC当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n nC =21+n nC（3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式mn n m n C C -=nn n k n n n n C C C C C 2210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++∴0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2例1．求4)13(xx +的展开式；a2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn n n n n n 3)1( (279313)21-++-+-； 二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为 2．确定二项展开式的常数项 例5．103)1(xx -展开式中的常数项是3．求单一二项式指定幂的系数 例6． 92)21(xx -展开式中9x 的系数是 三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于例8．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项 例9．求（103)1xx -的展开式的中间项；。
二项式定理知识点总结资料
二项式定理是代数学中的一个重要定理，它用于计算任意正整数指数的二项式的展开式。
二项式定理的数学表达式为：
(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... +
C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n
其中，n为任意正整数，a和b为实数或变量，C(n,k)表示组合数，计算公式为：
C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
该公式表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的主要思想是将二项式展开为一系列的项，并且每一项的指数和为n，系数为组合数。
通过这种方式，可以计算出任意正整数指数的二项式的展开式。
二项式定理的应用包括：
1. 计算二项式系数。
通过使用二项式定理可以计算出任意两个数之和的平方的展开式，从而得到二项式系数的计算公式。
2. 计算多项式。
通过使用二项式定理可以计算出任意正整数指数的多项式的展开式，从而可以计算多项式的值。
3. 计算概率。
二项式定理可以用于概率计算中的二项分布，通过计算二项分布的概率可以进行概率统计。
4. 解决组合问题。
通过使用二项式定理可以解决组合问题，包括计算排列组合、计算不重复抽样、计算置换组合等。
二项式定理是代数学中的一项重要定理，它可以用于计算任意正整数指数的二项式的展开式，以及解决一系列与组合相关的问题。
二项式定理知识点总结
二项式定理专题
一、二项式定理：
二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：
a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-
1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n
其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：
1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：
1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +
C(n,n)*x^n
4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：
二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项
的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：
T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k
其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：
在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：
①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
C(n,0) = C(n,n)。
C(n,1) = C(n,n-1)。
C(n,2) = C(n,n-2)。
…。
C(n,k) = C(n,n-k)
②增减性与最大值：二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即当n为偶数时，有
C(n,n/2)。
C(n,n/2-1)。
C(n,n/2+1)。
C(n,n/2-2)。
…。
C(n,k) < C(n,n-k) （k=0,1,2.n/2-1）
1.将题目中的空格、符号补充完整，修改错别字和漏字。
2.删除明显有问题的段落。
3.将每段话进行小幅度的改写，使其更加流畅和易懂。
1.在展开式(1+x)^n中，所有奇数项系数之和等于1024，
则所有项的系数中最大的值是多少？
A。
330
B。
462
C。
680
D。
790
2.在展开式(x+1)^4(x-1)^5中，x^4的系数为多少？
A。
-40
B。
10
C。
40
3.二项式(1+sinx)^n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为多少？请给出x在[0,2π]内的值。
4.在展开式(1+x)^5+(1+x)^6+(1+x)^7中，含x^4项的系数是等差数列an=3n-5的第几项？
A。
第2项
B。
第11项
C。
第20项
D。
第24项
5.(x^2-1/9)的展开式中，x^9的系数是多少？
6.如果(2x+3)^4=a+a1x+。
+a4x^4，那么(a+a2+a4)^2-
(a1+a3)^2的值是多少？
7.如果展开式(x^3+x-2)^n中只有第6项的系数最大，那么展开式中的常数项是多少？
8.对于二项式(1-x)^1999，以下哪个命题是正确的？
①展开式中T1000=-Cxxxxxxxxx999；
②展开式中非常数项的系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
④当x=2000时，(1-x)^1999除以2000的余数是1.
请在下面的方框内填写你认为正确的命题序号。
①。
] [。
②。
] [。
③。
] [。
④。
]
9.(6x+1/x)^n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列。
1) 求n的值；
2) 此展开式中是否有常数项？为什么？
10.已知展开式(x+2)^n中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数。
11.是否存在等差数列{an}，使得对任意n∈N*都有
an+an+1+an+2+。
+an+n=Cn^2成立？若存在，求出数列{an}
的通项公式；若不存在，请说明理由。
12.某地现有耕地亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在增加15%。
如果该地人口总数不变，那么10年后该地需要多少耕地才能满足人们的需求？
1.量比现在提高10%，如果人口年增加率为1%，那么每
年耕地最多只能减少多少亩？
改写：如果现在的耕地面积为X，那么量比提高10%后
的耕地面积为1.1X。
由于人口年增加率为1%，所以每年可用
耕地面积会减少1%。
因此，最多只能减少0.01*1.1X=0.011X
亩的耕地面积。
2.设f(x)=(1+x)^m+(1+x)^n(m、n∈N)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开
式中含x^2项的系数取最小值，并求出这个最小值。
改写：将f(x)展开，得到f(x)=C0+C1x+C2x^2+。
由于一
次项系数为11，所以C1=m+n=11.要使展开式中含x^2项的系
数最小，需要使C2最小。
根据二项式定理，展开式中含x^2
项的系数为C2=C(m,2)+C(n,2)+2C(m,1)C(n,1)，其中C(m,2)表
示从m个元素中选出2个元素的组合数。
为了使C2最小，需
要使C(m,2)+C(n,2)最小，且C(m,1)C(n,1)最小。
经过计算可得，当m=4，n=7时，C2取得最小值为120.
3.规定C_x=x(x-1)。
(x-m+1)/m!=1，其中x∈R，m是正整数，且C_x是组合数C_n^m（n、m是正整数，且m≤n）的一
种推广。
改写：规定C_x=x(x-1)。
(x-m+1)/m。
表示从x个元素中
选出m个元素的组合数。
这是组合数C_n^m的一种推广，其
中n≥x，m≤x。
注意到C_x=1，当x=0或x=1时。
C_x有以下
两个性质：1）C_x=C_{x-1}*(x/m)，2）
C_x+C_{x+1}=C_{x+1}。
4.求C_{-15}的值。
改写：根据C_x的定义，C_{-15}=-15(-16)。
(-29)/15!=(-1)^{15}*15*14*。
*2*1/15!=(-1)^{15}/14*。
*2*1=1/14*。
*2*1=1/xxxxxxxx200.
5.设x>0，当x为何值时，3C_x-2(C_1^x)取得最小值？
改写：3C_x-2(C_1^x)=3x(x-1)。
(x-m+1)/m!-2x，表示从x
个元素中选出m个元素的组合数的3倍减去从x个元素中选
出1个元素的组合数的2倍。
要使其取得最小值，需要求导，得到3(x-m/2)(x-m/2-1)。
(x-(m-1))/m!-2=0.解得x=m/2+1/3，即
当x=m/2+1/3时，3C_x-2(C_1^x)取得最小值。
6.C_n^m+C_n^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}是否能推广到
C_x+C_{x+1}=C_{x+2}的形式？
改写：C_n^m表示从n个元素中选出m个元素的组合数，C_{n+1}^{m+1}表示从n+1个元素中选出m+1个元素的组合数。
根据组合数的定义，有
C_n^m+C_n^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}。
但是，C_x和C_{x+1}
并不表示从x个元素中选出m个元素的组合数和从x+1个元
素中选出m个元素的组合数，因此无法推广到C_x+C_{x+1}=C_{x+2}的形式。
