9.7抛物线

专题9.7 抛物线一、填空题1．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝______．【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2)2，解得p ＝2.2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝______．【解析】由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝______．4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为______．【解析】由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－2，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，8p ＋p 2＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .5．(2017·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于______．【解析】记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与圆(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)有且只有一个公共点，则______．7．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为________． 【答案】8【解析】设抛物线的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，则根据抛物线的性质有p2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.8．(2017·邢台模拟)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为________．【答案】2【解析】由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，则|AA 1|＋|BB 1|≥6，即2|MM 1|≥6，所以|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离为3－1＝2.9．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是正三角形，则△AFB 的边长为________．【答案】8＋43或8－4 3【解析】由题意可知A ，B 两点一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x 的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y ＝23＋4或y ＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.10．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为________． 【答案】π2【解析】由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2. 二、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．12.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．。

§9.7 抛物线A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y答案 D解析 由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .2． 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为 ( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析 不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3． 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于 ( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16答案 B解析 设P ⎝⎛⎭⎫y 28，y ，则A (－2，y )，由k AF ＝－3，即y －0－2－2＝－3，得y ＝43， |PF |＝|P A |＝y 28＋2＝8.4． 从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20D.15答案 B解析 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10，选B.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是_______．答案 x 2＝12y解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 6． 已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________. 答案 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.7． 设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为______． 答案5解析 ∵抛物线的顶点为O (0,0)，p ＝2，∴准线方程为x ＝－1，焦点F 坐标为(1,0)，∴点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和等于|PB |＋|PF |. 如图，|PB |＋|PF |≥|BF |，当B 、P 、F 三点共线时取得最小值， 此时|BF |＝(－1－1)2＋(1－0)2＝ 5. 三、解答题(共22分)8． (10分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解 如图，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上，抛物线的方程为y 2＝±4x .9． (12分)已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE →⊥AF →，动点P 满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(其中O 为坐标原点)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →·AN →<0，求直线l 的斜率的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )． ∵AE →·AF →＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0， ∴y E ·y F ＝－4，①又EP →＝(x ＋1，y －y E )，FO →＝(1，－y F )，且EP →∥OA →，FO →∥OP →，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－yx ，代入①得y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．(2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在)，联立y 2＝4x 消去x ， 得ky 2－4y ＋8＝0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k，AM →·AN →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝y 21·y 2216－y 21＋y 224＋1＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫y 1y 242－(y 1＋y 2)24＋32y 1y 2＋1 ＝12k ＋1<0，∴－12<k <0， 则实数k 的取值范围为(－12,0)．B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为 ( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)答案 C解析 依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C.2． 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3答案 B解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.3． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)答案 D解析 如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义，得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3，∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， ∴y 24＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 204＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是________． 答案 92解析 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫12，0，又点A ⎝⎛⎭⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92.5． 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A (0,2)，连接F A 交抛物线于点B ，过B作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p 的值为________． 答案2解析 由抛物线定义可知|BM |＝|BF |，又由平面几何知识得|BM |＝|BA |，所以点B 为AF 的中点，又B ⎝⎛⎭⎫p 4，1在抛物线上，所以12＝2p ×p4，即p 2＝2，又p >0，故p ＝ 2. 6． 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________. 答案212p 解析 过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，令|FD |＝m ， 则|F A |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p . ∴|OA →|＝ ⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p .三、解答题7． (13分)已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC →＝CP →，(1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )； 则AB →＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )，BC →＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )． ∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0.①由BC →＝CP →，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝x －c ，－b ＝y ，∴b ＝－y 代入①得y 2＝－4x . ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －8)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)， 由QM →·QN →＝97，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋1＋64k 2＝97.② 将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x 得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0.∵直线l 与y 2＝－4x 交于不同的两点， ∴Δ＝(4－16k 2)2－4×k 2×64k 2>0， 即－24<k <24， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝16k 2－4k 2，x 1x 2＝64.代入②式得：64(1＋k 2)＋(1－8k 2)16k 2－4k2＋1＋64k 2＝97. 整理得k 2＝14，∴k ＝±12.∵k ＝±12∉⎝⎛⎭⎫－24，24，∴这样的直线l不存在．。

9.7 抛物线随堂演练巩固1.抛物线2y ax =的焦点与双曲线2213x y -=的左焦点重合,则这条抛物线的方程是 .【答案】 28y x =-【解析】双曲线的左焦点为F(-2,0),于是由4a =-2,得a=-8,从而得抛物线方程为28y x =-. 2.抛物线24x y =的弦AB 过焦点F,且AB 的长为6,则AB 的中点M 的纵坐标为 .【答案】 2【解析】12116AB AF BF y y =+=+++=,则124y y +=.∴M 的纵坐标为1222y y +=. 3.如图,一抛物线拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽(AB)为4米,则水面下降1米后,水面宽(CD)为 米【答案】 【解析】 建立如图所示的坐标系,设抛物线方程为22x py =-(p>0),则点B(2,-2)在抛物线上,∴4=4p,p=1.故方程为22x y =-.又0(3)D x ,-在抛物线上,∴2006x x =,=故水面宽02x =4.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 .【答案】 28y x =±【解析】 抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(0)4a ,,则直线l 的方程为2()4a y x =-,它与轴的交点为A(0,2a -),所以△OAF 的面积为12|4a |⋅|2a |=4,解得8a =±. 所以抛物线方程为2y =8x ±.课后作业夯基1.若抛物线的焦点坐标为(2,0),则抛物线的标准方程是 .【答案】 28y x =2.抛物线2y ax =的准线方程是y-2=0,则a 的值是 .【答案】 18- 【解析】 将抛物线的方程化为标准形式21x y a =,其准线方程是y 124a =-=,得18a =-. 3.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 到抛物线焦点的距离为 .【答案】 5【解析】 点A 到抛物线焦点的距离等于点A 到抛物线准线的距离,即4-(-1)=5.4.顶点在原点,关于坐标轴对称,且过点(2,-3)的抛物线方程是 .【答案】 292y x =或243x y =- 【解析】 若焦点在x 轴上,设其方程为22(0)y ax a =≠,将点(2,-3)代入,得9944a a =,=. ∴抛物线方程为292y x =. 若焦点在y 轴上,设其方程为22x by =,由4=-6b, 得23b =-,抛物线方程为243x y =-.5.若抛物线24y x =上的点M 到直线y=x 的距离等于则点M 的坐标为 .【答案】 (4,-4)或(16,8)【解析】 设M(a,b),则24b a =, ①= ② 由①②,得a=4,b=-4或a=16,b=8.6.圆心在抛物线28y x =上,与抛物线的准线相切且过坐标原点的圆的方程为 .【答案】 22(1)(9x y -+±=【解析】 根据定义,该圆必过焦点F(2,0),∴圆心在直线x=1上,与抛物线方程28y x =联立解得圆心为(1,±.7.在抛物线24y x =上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,该点的坐标是 .【答案】 1(1)2, 【解析】 设该点坐标为00()A x y ,,那么有2004y x =.设点A 到直线y=4x-5的距离为d, 则=|200445x x -+-|4201()42x -+|. 当且仅当0x =12时,d 有最小值,将012x =代入24y x =,解之,得01y =. 故A 点坐标为1(1)2,. 8.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点上,已知镜的直径是60 cm,镜深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是 .【答案】 5.625 cm【解析】 设抛物线的方程是22(0)y px p =>,则点(40,30)在该抛物线上,∴45900804p p =,=.∴45528p ==.625. 9.已知直线1l :4x-3y+6=0和直线2l :x=-1,抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是【答案】 2 【解析】 直线2l :x=-1为抛物线2y =4x 的准线,由抛物线的定义知,P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线2y =4x 上找一个点P 使得P 到点F(1,0)和直线2l 的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线1l :4x-3y+6=0的距离(如图), 即min 40625d |-+|==. 10.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p= .【答案】 2【解析】 由题意可知过焦点的直线方程为2p y x =-, 联立有 222y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 22304p x px ⇒-+=, 又|AB|82p ==⇒=. 11.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线22221(0y x a a b-=>,b>0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为3(2,求抛物线与双曲线方程. 【解】 由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,∴p=2c.抛物线方程为24y cx =.∵抛物线过点3(2,∴3642c =⋅. ∴c=1.故抛物线方程为24y x =. 又双曲线22221y x a b-=过点3(, ∴229614a b -=. 又2221a b c +==,∴2296141a a -=-. ∴214a =或29(a =舍). ∴234b =. 故双曲线方程为224413y x -=. 12.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示.已知上部呈抛物线形,跨度为米拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此桥孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部分中央船体高5米,宽16米,且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米,若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?【解】 如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为2y ax =,由题意知点A(10,-2)在抛物线上,代入方程求得a=150-,方程即为y=2150x -.让船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,y=21850-⨯=-1.28,此时抛物线上的点B 距离水面6-1.28=4.72(米),而船体水面以上高度为5米,无法通过;又5-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=71507,⨯=1 050吨,故至少应再装1 050吨货物才能通过,而现在只能多装1 000吨,故无法通过,只能等到水位下降.。

§抛物线最新考纲.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．．抛物线的概念平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．．抛物线的标准方程与几何性质标准方程＝(>)＝－(>)＝(>)＝－(>) 的几何意义：焦点到准线的距离图形顶点坐标()对称轴轴轴焦点坐标离心率＝准线方程＝－＝＝－＝范围≥，∈≤，∈≥，∈≤，∈开口方向向右向左向上向下概念方法微思考．若抛物线定义中定点在定直线上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点且与垂直的直线．．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)()方程＝(≠)表示的曲线是焦点在轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是＝－.(×)()抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)()为抛物线＝(>)的过焦点的弦，若(，)，(，)，则＝，＝－，弦长＝＋＋.(√)()过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线＝－(>)的通径长为.(√)题组二教材改编．过抛物线＝的焦点的直线交抛物线于(，)，(，)两点，如果＋＝，则等于()．．．．答案解析抛物线＝的焦点为()，准线方程为＝－.根据题意可得，＝＋＝＋＋＋＝＋＋＝.．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点(－，－)，则该抛物线的标准方。

第七节抛物线【考纲解读】考查抛物线的标准方程，【知识清单】1.抛物线的标准方程及几何性质＞对点练习：【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为（ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B2. 抛物线的定义及应用平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 对点练习：【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =±【解析】3. 直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=12||y y -对点练习：【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0(（2）设1122(x ,y ),(x ,y )P Q ，线段PQ 的中点00(x ,y )M 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ, 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(x ,y )M 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多. 选择题或填空题与椭圆、双曲线综合趋势较强，解答题增多.【重点难点突破】考点1 抛物线的标准方程及几何性质【1-1】已知P 是抛物线2y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是( )A ．2B ．1C ．21D ．41 【答案】C【解析】当直线b x y +-=与抛物线相切于P 点时，到直线02=++y x 的距离最小，把b x y +-=代入2x y =得02=-+b x x ，由于相切041=-=∆∴b 得41-=b ，因此⎪⎭⎫⎝⎛-41,21P ，此点到准线41-=y 的距离为21. 【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于54，则抛物线的方程为( ) A ．y 2=4x B ．y 2=8x C ．x 2=4y D ．x 2=8y 【答案】B【1-3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为( ). A ．12B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】圆07622=--+x y x 化为16)3(22=+-y x ，)0(2>-=p px 与圆16)3(22=+-y x 相切，12-=-∴p，即2=p . 【综合点评】1. 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2. 标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 【领悟技法】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 【触类旁通】【变式一】如图，过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6xC．y2＝3x D．y2【答案】C【变式二】【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF 最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA 的方程为：y=k （x+1），所以，解得：k 2x 2+（2k 2﹣4）x+k 2=0，所以△=（2k 2﹣4）2﹣4k 4=0，解得k=±1， 所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B ．【综合点评】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素． 2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解. 考点2 抛物线的定义及应用【2-1】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】抛物线2(0)y ax a =>上的点03,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为2，则a =_____________； POF ∆的面积为____________.【答案】【2-2】【2017届浙江省温州市高三第二次模拟】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点．若（为坐标原点），则_______.【答案】【2-3】【2017课标II ，文12】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

抛物线导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的__________，直线l 叫做抛物线的________．2自我检测1．(2010·四川)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|5．(2011·佛山模拟)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能探究点一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．变式迁移1 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 探究点二 求抛物线的标准方程例2 (2011·芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值．分类讨论思想的应用例 (12分)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，过B 点作其准线的垂线，垂足为D ，设O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO →＝λOD →？多角度审题 这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A 、B 两点坐标，从而得到D 点坐标，再设出直线AB 的方程，利用方程组和向量条件求出λ.【答题模板】解 假设存在实数λ，使AO →＝λOD →.抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2，(1)当直线AB 的斜率不存在，即AB ⊥x 轴时， 交点A 、B 坐标不妨设为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p .∵BD ⊥l ，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－p ， ∴AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，∴存在λ＝1使AO →＝λOD →.[4分] (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2 (k ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2y 2＝2px得ky 2－2py －kp 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p2y 1，[8分]AO →＝(－x 1，－y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 212p ，－y 1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－p 2y 1，假设存在实数λ，使AO →＝λOD →，则⎩⎪⎨⎪⎧－y 212p ＝－p 2λ－y 1＝－p2y1λ，解得λ＝y 21p2，∴存在实数λ＝y 21p2，使AO →＝λOD →. 综上所述，存在实数λ，使AO →＝λOD →.[12分] 【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A 、D 两点坐标关系，求出AO →和OD →的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB 的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于( )A.45B.35 C ．－35 D ．－452．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥33．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定4．(2011·泉州月考)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1 B ．(－2,22) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1 D ．(－2，－22) 5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2，2) 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·重庆)设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．(2011·济宁期末)已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝________.8．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．三、解答题(共38分) 9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．(12分)(2011·韶关模拟)已知抛物线C ：x 2＝8y .AB 是抛物线C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .11．(14分)(2011·济南模拟)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．学案53 抛物线自主梳理1．相等 焦点 准线 自我检测 1．C 2．B [因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .所以选B.]3．B 4.C 5.B 课堂活动区例1 解题导引 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2， ∴点P 坐标为(2,2)． 变式迁移1 A [点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.] 例2 解题导引 (1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p 的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF |转化为点P 到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解 方法一 设抛物线方程为 x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线方程为y ＝p2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5， 解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26， 准线方程为y ＝2. 方法二 如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N .则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6. 变式迁移2 解 (1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6.∴方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx (m >0)或x 2＝ny (n <0)，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .例3 解题导引 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB 为焦点弦，以y 2＝2px (p >0)为例)：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p .证明 (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.设过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一解，∴k ≠0，由韦达定理，得y 1y 2＝－p 2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，∴y 1y 2＝－p 2. 综合两种情况，总有y 1y 2＝－p 2.方法二 由抛物线方程可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p2，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，可得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫ky ＋p 2，整理，得y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.(2)直线AC 的方程为y ＝y 1x 1x ，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－py 12x 1，y C ＝－py 12x 1＝－p 2y 12px 1.∵点A (x 1，y 1)在抛物线上，∴y 21＝2px 1.又由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴y C ＝y 1y 2·y 1y 21＝y 2，∴BC ∥x 轴． 变式迁移 3 证明 (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2y 2＝2px，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 1y 224p2＝p 24， 当k 不存在时，直线方程为x ＝p2，这时x 1x 2＝p 24.因此，x 1x 2＝p 24恒成立．(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.又∵x 1x 2＝p 24，代入上式得1|AF |＋1|BF |＝2p ＝常数，所以1|AF |＋1|BF |为定值．课后练习区1．D [方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二 由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝3×0＋－5×2＝－45.]2．C [如图所示，A ，B 两点关于x 轴对称，F 点坐标为(p2，0)，设A (m ，2pm )(m >0)，则由抛物线定义，|AF |＝|AA 1|，即m ＋p2＝|AF |.又|AF |＝|AB |＝22pm ，∴m ＋p2＝22pm ，整理，得m 2－7pm ＋p 24＝0，①∴Δ＝(－7p )2－4×p 24＝48p 2>0，∴方程①有两相异实根，记为m 1，m 2，且m 1＋m 2＝7p >0，m 1·m 2＝p 24>0，∴m 1>0，m 2>0，∴n ＝2.] 3．C4．A [过P 作PK ⊥l (l 为抛物线的准线)于K ，则|PF |＝|PK |， ∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PK |.∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋|PK |最小，此时P 点的纵坐标为1，把y ＝1代入y 2＝－4x ，得x ＝－14，即当P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1时，|PA |＋|PF |最小．]5．B 6.6－1解析 如图所示，若圆C 的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x ＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a <3)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，与抛物线方程y 2＝2x 联立得x 2＋(2－2a )x ＋6a －9＝0，由判别式Δ＝(2－2a )2－4(6a －9)＝0，得a ＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1.7．4 2解析 由题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立得x 2－4kx －4m ＝0，线段AB 中点坐标为(2,2)，x 1＋x 2＝4k ＝4，得k ＝1.又∵y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝4，∴m ＝0.从而直线AB ：y ＝x ，|AB |＝2|OM |＝4 2. 8.324解析 抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 9．解 设直线和抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝2x ＋1，消去y 得，4x 2－(2p －4)x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14，(4分) ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫p －222－4×14＝15，(7分) 则 p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，解得p ＝6(p ＝－2舍去)， 抛物线方程为y 2＝12x .(9分)(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，仿(1)不难求出p ＝2，此时抛物线方程为y 2＝－4x .(11分)综上可得，所求的抛物线方程为y 2＝－4x 或y 2＝12x .(12分)10．证明 因为直线AB 与x 轴不垂直， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y ＝18x 2， 可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.(4分)抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .(7分) 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2 ＝116x 1·x 2＝－1.(10分) 所以AQ ⊥BQ .(12分)11．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(5分)(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.(8分)因为直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1.(9分) RP →·RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k2＋4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8，(11分) ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号． RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16. (14分)。

【考纲解读】【知识清单】1.抛物线的标准方程及几何性质，，，2.抛物线的定义及应用平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．3.直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．（2）直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【重点难点突破】考点1 抛物线的标准方程及几何性质【1-1】已知是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是( )A．2 B．1 C． D．【答案】C【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为( )A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y【答案】B【解析】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上排除C、D，设抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为，双曲线的渐进线方程为，由面积为可得，所以，答案选B.【1-3】【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】【解析】【综合点评】1. 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2. 标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【领悟技法】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【触类旁通】【变式一】如图，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x【答案】C【变式二】【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1， A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN 最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B．【综合点评】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素．2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解.考点2 抛物线的定义及应用【2-1】过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y1) ，B(x2, y2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．6 D．4【答案】A【解析】由于，因此，根据焦点弦公式.【2-2】【四川省成都市龙泉驿区第一中学校2019届高三上入学】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（）A． B． 2C． 3 D． 4【答案】C【解析】【2-3】【2017课标II，文12】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则 .【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，点评：抛物线的定义是联系抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，解题时要注意合理转化． 【综合点评】1．已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝a b 或m ＝b a讨论，求离心率值，需要寻求的等式，求离心率取值范围，需寻求关于的不等式关系，并结合求．2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．【领悟技法】1．抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．【触类旁通】【变式1】【2018届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线相交于两点两点，若，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线方程为，代入抛物线可得，记，则由抛物线的定义可得，则抛物线方程为，应选答案C.【变式2】【2018年文北京卷】已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】【解析】【综合点评】利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．考点3 直线和抛物线的位置关系【3-1】【2018年全国卷Ⅲ文】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2【解析】设，则，所以，所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，因为,，因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴因为M(-1,1)，所以，则即，故答案为2.【3-2】【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（）A． B．C． D． 2【答案】C【解析】把代入直线，解得，故答案是.【3-2】【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（）A． B．C． D． 2【3-3】【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．【综合点评】在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．【领悟技法】.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：①焦点弦长②③，其中|AF|叫做焦半径，④焦点弦长最小值为2p.根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p.【触类旁通】【变式一】【2018年新课标I卷文】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．【答案】(1) y=或．(2)见解析.【解析】（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM的方程为y=或．（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．直线BM，BN的斜率之和为．①将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得．所以k BM+k BN=0，可知BM，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN．综上，∠ABM=∠ABN．【变式二】【2017课标1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM BM，求直线AB的方程．【答案】（1）1；（2）．【解析】所以直线AB的方程为．【综合点评】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.【易错试题常警惕】易错典例：求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.易错分析：对直线和抛物线有一个交点理解有误以及．温馨提示：直线和抛物线有一个交点有两种情况：相切以及平行于对称轴．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.【典例】【2017浙江，21】如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】。

§9.7 抛物线1． 抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2． 抛物线的标准方程与几何性质1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )2． 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.3． (2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5答案 B解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.4． 动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .5． 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．答案 4解析 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．思维启迪 由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|P A |＋|PF |的问题可转化为求|P A |＋d 的问题．解 将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92答案 A解析 抛物线y 2＝2x 的焦点为F (12，0)，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于 (12)2＋(－2)2＝172，选A.题型二 抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪 首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数． 解 由题意，得抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5. ∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)．∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程为y ＝58. 思维升华 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(1)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x(2)(2013·江西)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3 答案 (1)B (2)C解析 (1)直线方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，得y ＝－a2，故有4＝12·|a 4|·|－a 2|＝a 216，∴a ＝±8，∴y 2＝±8x .(2)由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN | ＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5. 题型三 抛物线焦点弦的性质例3 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .思维启迪 证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC ＝k OA .本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决． 证明 方法一 设AB ：x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p 2上，∴C (－p2，y B )．则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y Ax A ＝k OA .∴直线AC 经过原点O .方法二 如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .则AD ∥EF ∥BC .连接AC 交EF 于点N ， 则|EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF ||AB |， |NF ||BC |＝|AF ||AB |. ∵|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，∴|EN |＝|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC ||AB |＝|NF |， 即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .思维升华 本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力．在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A y B ＝－p 2这个重要结论．还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1、y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为C 、D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 题型四 直线与抛物线的位置关系例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标．(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．思维启迪 抛物线上的点到抛物线的焦点距离，往往转化为该点到准线的距离． 解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14. (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝－2m，(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB →＝0，即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)． 化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， F A →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[](y 1＋y 2)2－2y 1y 2＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例：(15分)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的 面积为2(O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 思维启迪 (1)求MN 的长，由面积得p 的值；(2)问题的几何条件是：线段MN 的中垂线与y 轴的交点和M ，N 构成等腰直角三角形，因此依次待定直线，表示中点，得中垂线与y 轴交点，利用直角边垂直关系列式求解． 规范解答解 (1)当直线l 与x 轴垂直时，则|MN |＝2p ，∴S △OMN ＝12·2p ·p 2＝p 22＝2，即p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .[5分](2)∵直线l 与x 轴垂直时，不满足．设正方形的第三个顶点为P . 故可设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，可化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.代入直线l 可得MN 的中点为(k 2＋2k 2，2k)，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则线段MN 的垂直平分线为y －2k ＝－1k (x －1－2k 2)，故P (0，3k ＋2k3)．[10分]又PM →·PN →＝0，则x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0. 即x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0. 1－4－y 0·4k ＋y 20＝0，化解得ky 20－4y 0－3k ＝0，由y 0＝3k ＋2k 3代入上式，化简得(3k 4－4)(k 2＋1)＝0.解得k ＝± 443.∴存在直线l ：y ＝± 443(x －1)．[15分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2的关系 式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．温馨提醒 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力；(1)题比较基础，易于掌握；(2)题的基本点是设而不求，难点是如何把几何条件转化为代数方程，重点考查解题思想与方法，其中我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数量积为零.方法与技巧1． 认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2． 抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2p sin 2θ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p. 失误与防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程． 2．注意应用抛物线的定义解决问题．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 抛物线y ＝－12x 2的焦点坐标是( )A ．(0，18)B ．(－18，0)C ．(0，－12)D ．(－12，0)答案 C解析 把原方程先化为标准方程x 2＝－2y ，则2p ＝2， ∴p 2＝12，即焦点坐标为(0，－12)，故选C. 2． (2013·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，∴所求距离为|3±0|(3)2＋(±1)2＝32.选B. 3． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2答案 B解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.4． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2 答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24；②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.即x 1x 2＝p 24，则y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.5． 如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 24，其中p >0，直线l经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A ．p 2B.p 24C.p 22D.p 23答案 B解析 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1＋p 2－p2＝x 1，同理|CD |＝x 2.又AB →·CD →＝|AB ||CD |＝x 1·x 2＝p 24.二、填空题6． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．答案 x 2＝12y解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 7． 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.答案 2解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2.8． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝BM →，则p ＝________. 答案 2 解析如图，由AB 的斜率为3， 知∠α＝60°，又AM →＝BM →， ∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM .∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.三、解答题9. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0， 则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k2.∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )， 由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎨⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ②②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45.又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．(2013·福建)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3 答案 B解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.2． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( ) A ．(2,22) B ．(2，－22) C ．(2，±2) D ．(2，±22)答案 D解析 如图所示，由题意， 可得|OF |＝1，由抛物线的定义， 得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0，∴y 24＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 204＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)． 3． (2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 答案 C解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)， 又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3， ∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2， ∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝322.故选C. 4． 已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________． 答案 3解析 因为x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线， 所以可画图观察．如图，连接PF d 2＝PF ，∴d 1＋d 2＝d 1＋PF ≥FQ ＝|4×1－3×0＋11|42＋(－3)2＝155＝3.5． 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为 ________． 答案 y 2＝3x解析 如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知AF ＝AA 1，BF ＝BB 1， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ， 则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .6． 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 解 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得 y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点， 从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等， 所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.。