当前位置：文档之家 › 清华大学版数值分析绪论第1章

清华大学版数值分析绪论第1章

  • 格式：doc
  • 大小：833.50 KB
  • 文档页数：25

下载文档原格式

  / 25

合集下载

数值分析课件 第一章 绪论

数值分析课件 第一章 绪论

1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */

《数值分析》第1章 引言

《数值分析》第1章 引言
362880
( 1.2)
可见结果是相当精确的.实际上结果的六位数字都是正确的.
2 算法常表现为一个连续过程的离散化
例2 计算积分值
1
I
1
dx
0 1 x
编辑ppt
结束
将［0，1］分为4等分，分别计算4个小曲边梯形的面积的 近似值，然后加起来作为积分的近似值(如图1-1).记被积 函数为 f(x) ，即 f (x) 1
数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科 学研究或工程技术问题，一般按如下途径进行：
实际问题
模型设计
算法设计
程序设计
上机计算
编辑ppt
问题的解 结束
其中算法设计是数值分析课程的主要内容.
数值分析课程研究常见的基本数学问题的数值解法.包含 了数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求 逆、矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、 常微分方程及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究 方法建立在数学理论基础之上，研究对象是数学问题，因此 它是数学的分支之一.
误差限：*|e*|的一个上 . 界
例如，毫 76米 5x尺 0.5
在工程中常记为：x= x*± *.
如 l=10.2±０.０５mm ，R=1500±100Ω
编辑ppt
2、相对误差与相对误差限 误差不能完全刻画近似值的 精度.如测量百米跑道产生10cm的误差与测量一个课桌长度 产生1cm的误差，我们不能简单地认为后者更精确，还应考 虑被测值的大小.下面给出定义：
误差分析是一门比较艰深的专门学科.在数值分析中主要 讨论截断误差及舍入误差.但一个训练有素的计算工作者， 当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源， 并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改.

数值分析--绪论

数值分析--绪论
8
有效数字
定义：设数 a 是数 x 的近似值，如果 定义： 的近似值， （1）a 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， ） 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， a （2）从该位到它的第一位非零数字共有 位。 ）从该位到它的第一位非零数字共有n 位有效数字。 则称用 a 近似 x 时有 n 位有效数字。 注：凡是由四舍五入得来的近似值，从最末位到第一位非零数字都是 凡是由四舍五入得来的近似值， 有效数字。 有效数字。
算法 算法——规定了怎样从输入数据计算出数值问 规定了怎样从输入数据计算出数值问 题解的一个有限的基本运算序列 衡量算法优劣的标准： 衡量算法优劣的标准：
1 可靠的理论基础，正确性，收敛性，数值稳定性以 可靠的理论基础，正确性，收敛性， 及可作误差分析。 及可作误差分析。 2.良好的计算复杂性，包括时间复杂性，空间复杂性 良好的计算复杂性，包括时间复杂性， 良好的计算复杂性
17
§1.3 向量范数与矩阵范数 1.3.1 向量范数 定义：Rn空间的实值函数 || || ,对任意 x, y ∈ Rn满足下列条件 对任意
(1)非负性 非负性
|| x || ≥ 0; || x || = 0 x = 0 (2)齐次性 || k x || =| k | || x || 对任意 k∈R 齐次性
13
设计算法时遵循的原则
1.减少运算次数. 1.减少运算次数. 减少运算次数
例 计算多项式的值
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n .
乘法计算次数 1+2+…+n
算法一 算法一：
s0 = a0 sk = ak x k , k = 1, 2,L , n P ( x) = s + s + L + s 0 1 n n

清华第五版数值分析第1章课件

清华第五版数值分析第1章课件

|
er*
|
1 2 x1
10n1

1 24
10n1

0.1%
n=4
2019/12/14
© Wuhan University Confidential
20
数值运算的误差估计
四则运算，设x1, x2为准确值, x1*, x2*为近似值，则误差限：
*(x1* x2*) *(x1*) *(x2*),
提出问题
x,
ax,
ln x,
Ax

b,
b
d
f (x)dx,
a
f ( x), dx
......
近似解
2019/12/14
计算机
© Wuhan University Confidential
计算方法
方法 可行
2
• 方法可行性分析包含以下内容： 1.计算速度。 例 如,求解一个20 阶线性方
程组,用消元法需3000 次乘法运 算;而用克莱姆法则要进行20 10 7 . 9 ×次运算,如用每秒1 亿次乘法运 算的计算机要30 万年。
2.存储量。 大型问题有必要考虑。
3.精度。
2019/12/14
© Wuhan University Confidential
3
误差来源
• 模型误差 • 方法误差 • 观测误差 • 舍入误差
2019/12/14
© Wuhan University Confidential
4
来源一 : 模型误差
• 模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将 所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这 就带来了与实际问题的误差。
提问：数值分析是做什么用的？

数值分析第1章引论放大_138706526解读

数值分析第1章引论放大_138706526解读

教材：关治、陆金甫数值方法清华大学出版社，2006第1章引论§1 数值分析研究对象与特点（I）数学与科学、工程技术有非常密切关系，并相互影响。

科学与工程技术领域中的问题通过简化、抽象建立数学模型。

对数学模型的研究和求解，应用于科学与工程实践。

数学模型的建立与研究是数学研究的重要任务。

例如，设有一个质量为m 的质点作直线运动（设其在x 轴上运动），其坐标用x 表示。

在质点运动过程中，其坐标x 随时间t 而变动，要知道质点如何运动，就要知道x 对时间t 的依赖关系。

假定运动是在力F 的作用下进行的，而力F 又与时间t ，质量的位置x ，速度v dx dt =有关，即(,,)dx F f t x dt=。

由Newton 第二定律，22v ,d d x F ma a dt dt===，即在时刻t 有 22(,,)d x dx m F t x dt dt= 为使问题定解，还需加上初始条件 00()x t x =00v t t dxdt ==这样的初值问题，其解存在，唯一，连续依赖于初始数据…是数学工作者要研究和解决的问题。

作为科学与工程技术工作者，仅知道其解的存在，唯一…是不够的，还必须知道其数量是多少。

很多线性与非线性问题很难用解析方法来求得，甚至于看来简单的问题，也难于解析求解，如21sin xdxx不能用解析方法求得。

很多需要数字结果的科学与工程问题，得到数学模型后，必须采用数值方法来求解。

数值分析则是研究数值方法求解科学与工程问题的一门学科，主要是构造适合于不同类型问题的数值方法，分析方法的精度、稳定性、收敛性等一系列理论与实际问题。

改进计算方法，创造新的数值方法是数值分析很重要的任务。

数值分析具有两个显明特点：1.实践性数值求解的总是来源于科学与工程实践，解决之后又为科学与工程技术服务。

2.与计算机的密切相关虽然数值分析早于计算机的出现，但是数值分析的飞速发展是计算机出现之后，并随计算机发展而迅速发展。

数值分析(清华大学出版社)第1,2章

数值分析(清华大学出版社)第1,2章
20
2.
x 的相对误差是
x x d x er ( x ) d ln x x x

它是对数函数的微分。
设 u = xy , 则 lnu=lnx+lny , 因而 dlnu = dlnx + dlny
e r ( u ) e r ( x ) e r ( y ) r ( u ) r ( x ) r ( y )

即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以 x = 3.14 作为 近似值 时, 就有3 位有效数字。

16
四、 相对误差限与有效数字的关系
定理1
设近似值
x 0.a1a2 an 10m
有n 位有效数字， a1 0 。则其相对误差限为 1 n 1 r (x ) 10 2a1 x 0.a1a2 an 10m 故 证明
a1 10
m 1
| x | (a1 1) 10

m 1
r (x )
x x x


0 .5 10m n 1 10 n1 a1 10m 1 2a1
17
定理2 设近似值 x 0.a1a2 an 10 的相对误差限
m

1 10 n1 ,则它至少有n 位有效数字。 不大于 2( a 1) 1

25
对多元函数 y f ( x1 , x2 , , xn ), 自变量的近似值为 x1 , x2 ,, xn , y 的近似值为 y f ( x1 , x2 , , xn ),
y 的运算误差为 函数值
e ( y ) e[ f ( x1 , x2 , , xn )] df ( x1 , x2 , , xn )

数值分析-第一章绪论

* 0
I 0 的近似值
对算法 1，有
En 5En1 (5)n E0。
按以上初始值 I 0 的取法有 E0 0.5 10 ，事实上 E0 0.2210 。这样，我们得 6 * 到 E6 5 E0 0.34。这个数已经大大超过了I 6 的大小，所以I 6 连一位有效数字 也没有了，误差掩盖了真值。
1 mn 4舍5入得到的近似数，则x x 10 。 2

设 x (0. a1 a n a n1 ) 10 m (a1 0, m 是整数)，x 是 x 的an1
有效数字与相对误差之间的关系
（0. a1 a n） 10 m ( a1 0)， 定理 1 设 x 的近似数是 x 若x 具有n 位有效数字, 则 x 的相对误差限为
略去高阶项：A A f ( x ,, x ) f ( x1 ,, xn ) f ( x ) ( x j xj )
1 n
n j 1
xj
f ( x) ( A ) 或 e( A ) e ( x j )； e e ( A ) x j 1 j
数
值
分
析
第一章 绪论
1.1 计算方法的研究对象和特点
引例 x 【1.1】求函数 f ( x ) e 在 x 1 处的函 数值。 2 【1.2】求函数f ( x ) x 2 在 [1,2] 上的零点。
总结
科学与工程计算 （1）应用广泛 边缘学科 计算机模拟实验
（2）主要工作

则 x至少具有 n 位有效数字 .
4、误差的传播
设多元函数 A f ( x1 , x 2 ,, x n )， x1 , x 2 , , x n 为 x1 , x 2 ,, x n的近似值

数值分析第五版1-3章

由于多项式具有结构简单，数值计算和理论分析都很方便 的优点，因此通常取 p ( x) 为多项式。相应的插值法称为多项式 插值。
p( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
2015-6-4
16
第2章 插值法
引言
拉格朗 日插值
牛顿插值
埃尔米 特插值
分段低 次插值
三次样 条插值
2015-6-4
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x

xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入 误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不 稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
2015-6-4 7 第1章 数值分析与科学计算引论
1 10 ( n 1) 2(a1 1)
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
* * * * 1. x1 与x2 为两近似数, 误差限为 ( x1 ), ( x2 ), 则 : * * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ); * * * * * * ( x1 x2 ) x2 ( x1 ) x1 ( x2 ); * * ( x1 / x2 ) * * * * x2 ( x1 ) x1 ( x2 ) * x2 2

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论e In X* =In X * -Inx ：丄e*X*进而有；(In X *):2. 设X 的相对误差为2% ,求X n 的相对误差。

解：设f(χZ ,则函数的条件数为Cp=l fX+n _1X nχ I Xn n又；r ((X*) n) C P 7(X *)且 e r (χ*)为 2.7((χ*)n) 0.02 n3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指* * * * *出它们是几位有效数字： X 1 =1.1021, χ2 =0.031, χ3 =385.6, χ4 = 56.430,x 5 = 7".0.. *解：X I -1.1021是五位有效数字；X 2 = 0.031是二位有效数字；X 3 =385.6是四位有效数字；X 4 =56.430是五位有效数字；X 5 =7 1.0.是二位有效数字。

4. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： (1) X 1 X 2 X 4,(2) X 1 X 2X 3 ,(3) X 2 /X 4 .其中χl ,x 2,x 3,X 4均为第3题所给的数。

1设X 0, x 的相对误差为 解：近似值X*的相对误差为 、：，求InX 的误差。

e* X* -X而InX 的误差为 又 f '(χ) =nx n 」 C P解：* 1 4；(x 1) 102* 1 3 ;(x 2) 10 2* 1 1；(x 3) 10* 1 3；(x 4) 102* 1 1；(x 5) 102(1) ；(x ； x ； x *)* * *=；(%) ；(x 2) *x 4)1 A 12 1 j310 10 102 2 2 -1.05 10J 3* * *(2) S(X I X 2X 3)* * * * * * ** * =X1X 2 £(X 3)+ X 2X 3 ^(X J + X 1X 3 E (X 2):0.215 ⑶；(x 2/x ；)* Il * * I * X 2 E(X 4) + X 4 &(X 2)全 Γ"2X 41-3 1 30.031 10 56.430 10= ______________________ 256.430X56.430-10 54 3解：球体体积为V R3则何种函数的条件数为1.1021 0.031 11θ' 2 + 0.031X385.6 x 1><10* 2 +∣ 1.1021 X 385.6卜-×1^35计算球体积要使相对误差限为 1 ,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?C P 愕'： C P “(R*) 9(R*)又γ(V*) -11故度量半径R 时允许的相对误差限为 ；r (R*) 1 ： 0.3331 ____6.设 Y 0 =28,按递推公式 Yn =Ynd- ------- ： 783 (n=1,2,…)100计算到Y oo 。

第1章数值分析-绪论


实际运算 Er (a) (x a) / a
r / a
例5 a=3.14是π的近似值。
E(a) 3.14 0.002
Er
(a)
0.002
0.002 3.14
6.36942104
三、有效数字 例如 3.14159265...
取3位,a=3.14,δ≤0.002 取5位,a=3.1416,δ≤0.000008
a 10m 0.a1a2...an
a1是1到9中的一个整数， a2,…,an为0到9中的任
意整数。m为整数，
且
E(a) x a 1 10mn 2
成立,
ห้องสมุดไป่ตู้
则称a近似 x 有n位有效数字。
【注】 近似数的有效数字不但给出了近似值的大小, 而且还指出了它的绝对误差限。
数值分析——绪论
例6 设 x 0.002567, a 0.00256 102 0.256 则 x a 0.00005 1 104
2
因为m=-2,所以n=2， 即a有2位有效数字。
若 a 0.00257 102 0.257
则
x a 0.000003 0.000005 1 105 2
因为m=-2,所以n=3， 即a有3位有效数字。
例7 设x =8.00001，则a=8.0000具有5位有效数字。
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ， 读出和该长度接近的刻度 a, a 是 x
的近似值，它的误差限是0.5mm.如读出的长度 是765mm，则
x 765 0.5 764.5 x 765.5
数值分析——绪论
对于一般情形 x a 即
a x a ，有时记为 x=a
例4 绝对误差的局限性例子。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第一章绪论上世纪中叶诞生的计算机给科学、工程技术和人类的社会生活带来一场新的革命。

它使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知科学领域和进行大型工程设计的第三种方法和手段。

在独创性工作的先行性研究中，科学计算更有突出的作用。

在今天，熟练地运用电子计算机进行科学计算，已成为科学工作者的一项基本技能。

然而，科学计算并不是计算机本身的自然产物，而是数学与计算机结合的结果，它的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。

近年来，它同时也成为数学科学本身发展的源泉和途径之一。

1. 数值分析的研究对象与特点数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。

一般地说，用计算机解决科学计算问题，首先需要针对实际问题提炼出相应的数学模型，然后为解决数学模型设计出数值计算方法，经过程序设计之后上机计算，求出数值结果，再由实验来检验。

概括为由实际问题的提出到上机求得问题的解答的整个过程都可看作是应用数学的任务。

如果细分的话，由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务，而根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机计算出结果，这一过程则是计算数学的任务，即数值分析研究的对象。

因此，数值分析是寻求数学问题近似解的方法、过程及其理论的一个数学分支。

它以纯数学作为基础，但却不完全像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是着重研究数学问题求解的数值方法及与此有关的理论，包括方法的收敛性，稳定性及误差分析；还要根据计算机的特点研究计算时间最省（或计算费用最省）的计算方法。

有的方法在理论上虽然还不够完善与严密，但通过对比分析，实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法也可采用。

因此数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。

在电子计算机成为数值计算机的主要工具以后，则要求研究适合计算机使用的，满足精确要求，计算时间省的有效算法及其相关的理论。

在实现这些算法时往往还要根据计算机的容量、字长、速度等指标，研究具体的求解步骤和程序设计技巧。

有的方法在理论上虽还不够严格，但通过实际计算、对比分析等手段，证明是行之有效的方法，也应采用。

这些就是数值分析具有的特点，概括起来有四点：第一，面向计算机，要根据计算机特点提供切实可行的有效算法。

即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，这些运算是计算机能直接处理的运算。

.第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精确要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。

这些都建立在相应数学理论的基础上。

第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，他关系到算法能否在计算机上实现。

第四，要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。

根据“数值分析”课程的特点，学习是我们首先要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次，要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题；最后，为了掌握本课的内容，还应作一定数量的理论分析与计算练习。

由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，读者必须掌握这几门课的基本内容才能学好这门课。

2 数值计算的误差2.1 误差来源与分类我们算出数学模型的近似解和一个物理量的真的值往往不相等，它们之差称为误差。

用电子计算机进行解决实际问题的数值计算，误差是不可避免的。

引起数值结果中的误差的原因是多方面，通常来自固有误差和计算误差，如下面所示： 模型误差：用数学方法解决实际问题，首先必须建立该问题的数学模型。

即把实际问题经过抽象，忽略一些次要的因素，简化成一个确定的数学问题。

数学模型只是对实际问题的一种近似、一种粗糙的描述，因而它与实际问题或客观现象之间必然存在误差，这种误差称为“模型误差”。

这样的误差常常是可以忽略不计的。

例如在经典力学问题中，我们常常忽略相对论效应。

但是，如果这种误差不可忽略，说明数学模型选择得不好。

那么不论数值计算多么精确，其结果都将存在不可忽略的误差。

观测误差：数学问题中总包含一些参量（或物理量，如电压、电流、温度、长度等），它们的值（输入数据）往往是由观测得到的。

而观测的误差是难以避免的，由此产生的误差称为“观测误差”。

由于观测误差通常具有随机的性质，所以想用分析的方法来估计它们的影响常常是一件非常困难的事。

由于固有误差的产生往往涉及各专业知识及实验手段，所以它不是数值分析所研究的模型误差观测误差误差来源计算误差固有误差截断误差舍入误差内容。

截断误差：数值计算的本质就是用有限的过程、离散的数据来近似（刻画）无限的过程、连续的量。

这样对一些具有连续量、无限计算量的数学问题的求解的过程中，我们不得不对一些连续的量进行有限的离散化近似，不得截去无限的计算过程，只进行有限次的计算。

如求一个收敛的无穷级数之和，必须截去该级数后面的无穷多项，而用前面有限项的部分来近似代替，于是产生了有限过程代替无限过程的误差，称为“截断误差”，这是计算方法本身所出现的误差，所以也称为“方法误差”。

例如2462(1)cos 124!6!(2)!n nx x x x x n -=-+-+++ ， 当x 很小时，可以用212x -作为cos x 近似值。

由交错级数判敛的莱布尼兹（Leibniz ）准则，它的截断误差的绝对值不超过424x 。

有限过程代替无限过程的误差和计算量取决于其方法的收敛性及收敛速度。

舍入误差：计算中遇到的数据可能位数很多或是无穷小数，如1.41421356,=受机器字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成一定的位数（机器字长）。

舍入方法：a) 舍入机。

采用四舍五入的办法，如将1.41421356 舍为1.4142136；b) 截断机。

在八位字长的截断机里取成1.4142135。

这样产生的误差称为“舍入误差”。

少量的舍入误差是微不足道的，但在计算机是作了成千上万次运算后，舍入误差的累积有时可能是十分惊人的。

它取决于方法的稳定性。

如果方法能够累积大量的误差，此算法是不稳定的，反之为稳定算法。

如算法1：1n n y a ny -=+。

显然是不稳定的；算法2：11n n y a y n-=+， 研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计问题，本书主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断误差将结合具体算法讨论。

为分析数值运算的舍入误差，先要对误差基本概念做简单介绍。

2.2 绝对误差与相对误差定义1 设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称**e x x =-为近似值的绝对误差，简称误差。

注意这样定义的误差*e 可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫强（赢）近似值；当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱（亏）近似值。

通常我们不能算出准确值x ，当然也不能算出误差*e 的准确值，只能根据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值不超过某正数*ε，也就是误差绝对值的一个上界。

*ε叫做近似值的误差限，它总是正数。

一般情形**x x ε-≤，即****x x x εε-≤≤+。

这个不等式有时也表示为**x x ε=±。

我们把近似值的误差*e 与准确值x 的比值**e x x x x -= 称为近似值*x 的相对误差，记作*r e 。

在实际计算中，由于真值x 总是不知道的，通常取*****r e x x e x x -==作为*x 的相对误差，条件是***r e e x =较小，此时*****2**2*******()()(/)()1(/)e e e x x e e x x x x x x x e e x --===-- 是*r ε的平方项级，故可忽略不计。

相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r ε，即***r x εε=。

注1：1）绝对误差是有量纲的量，它与所研究问题的背景有关，因此我们不能单单从绝对误差值的大小来判断计算结果的精度，还必须考虑到实际问题的应用背景；2）通过引入相对误差，我们可比较不同算法，不同应用问题的计算精度，这一点是无法通过比较绝对误差做到的，因为不同值的东西，在量上是无法比较的。

正如我们不能通过比较两个商品的使用价值来判定商品的真贵，只能通过抽象的价值。

2.3 有效数字有效数字是近似值的一种表示法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。

定义2 若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，则称近似值有n 位有效数字。

在科学记数法中，将近似值*x 写成规格化形式为120.10m n x a a a =±⨯ (1-1)其中m 为整数，10,(2,)i a a i ≠= 为0到9之间的整数。

按照定义2，近似值*x 有n 位有效数字当且仅当*1102m n x x --≤⨯ (1-2) 因此在m 相同的情形下，n 越大则误差越小，亦即一个近似值的有效位数越多其误差限越小。

例1 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数:187.9325,0.03785551, 8.000033, 2.7182818。

按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数分别是187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183 注意8.000033x =的5位有效数字的近似数是8.0000而不是8，因为8只有1位有效数字。

例2 重力常数g ，如果以2/m s 为单位，120.98010/g m s ≈⨯；若以2/k m s 为单位，220.98010/g km s -≈⨯，它们都具有3位有效数字，因为按第一种写法213119.80101022g ---≤⨯=⨯， 按第二种写法523110.00980101022g ----≤⨯=⨯， 他们虽然写法不同，但都具有3位有效数字。

至于绝对误差限，由于单位不同结果也不同，*22*52121110/,10/22m s km s εε--=⨯=⨯，而相对误差都是*0.005/9.800.000005/0.00980r ε==。

例2说明有效位数与小数点后有多少位数有关。

然而，从(2-2)可以得到具有n 位有效数字的近似数*x ，其绝对误差限为*1102m n ε-=⨯，在m 相同的情况下，n 越大则10m n -越小，故有效位数越多，绝对误差限越小。

关于一个近似数的有效位数与其相对误差的关系，有下面的定理定理1.1 设近似数*x 具有规格化形式(1-1)， (1)若*x 具有n 位有效数字，则其相对误差限为*111102n r a ε-+≤⨯ (1-3) (2) 如果*111102(1)n ra ε-+≤⨯+ (1-4) 则*x 至少具有n 位有效数字。