陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-Euclid空间上的极限和连续(圣才出品)
- 格式:pdf
- 大小:2.95 MB
- 文档页数:21
陈纪修数学分析答案【篇一:陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】class=txt>云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟此次听陈教授的课,收益颇多。
陈教授的这些讲座,不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点,更是几堂非常出色的示范课。
我们不妨来温习一下。
第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国著名的数学家h.庞加莱说过:“如果我们想要预见数学的将来,适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
” 那么,如果你要学好并用好《数学分析》,那么,掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。
陈教授就是以这一专题开讲的。
在学校中,我不仅讲授《数学分析》,也讲授《数学史》,所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法,这应该也是提高学生数学素养的有效途径。
在这一讲中,陈教授脉络清晰,分析精当,这是我自叹不如的。
讲《数学史》也有些年头,但仅满足于史料的堆砌,没有对一些精彩例子加以剖析。
如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积的分析,这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的(以疑激趣、以奇激趣),而且有利于提高学生的民族自豪感(陈教授也提到了这一点)。
第二讲、实数系的基本定理在这一讲中,陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开,对实数系的连续性作了有趣的讨论。
首先是从绅士开party的礼帽问题,带我们走进了“无穷的世界”。
我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”,我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题,但遗憾的是,当我剖析“若无穷旅馆住满了人,再来两个时,可将住1号房间的移往3号房间,住2号房间的移往4号房间,从而空出两个房间”时,学生对我“能移”表示怀疑。
这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子,用有限的眼光来看无限,只能是‘只在此山中,云深不知处’”。
当然,我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。
若陈教授或其他老师有好的建议,能指点一下,则不胜感激。
对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系,包括q与R的对等关系,或者说他们之间双射的构造。
第11章Euclid空间上的极限和连续一、判断题1.若f(x,y)在D内对x和y都是连续的,则f(x,y)对(x,y)∈D为二元连续函数.[重庆大学研]【答案】错【解析】举反例:,很明显但是不存在,如果选取路径y=kx趋于0,有不唯一.二、填空题(1)函数的定义域是______,它是______区域;(2)函数的定义域是______;(3)函数的定义域是______;(4)二元函数的定义域是______;(5)函数的定义域是______.[西安交通大学研]【答案】(1)(2)(3)椭圆与抛物线所围的区域;(4)(5)三、解答题1.设f(x)为定义在上的连续函数,α是任意实数,有证明:E是开集,F是闭集.[江苏大学2006研]证明:对任意的,有.因为f(x)在上连续,所以由连续函数的局部保号性知,存在的一个邻域使得当时有,从而,故E是开集.设为F 的任意一个聚点,则存在F中的点列使得.由于f(x)在上连续,所以,又,从而,即,故F是闭集.2.求.[南京大学研、厦门大学研、山东科技大学研]解:方法一由于令,有所以方法二由于,,所以,故有3.设f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续,证明:在[c,d]上连续.[南京理工大学研、华东师范大学研]证明:反证法.假设g(y)在某点处不连续,则存在及点列,使得因为f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续,故在[a,b]×[c,d]上一致连续.于是对,存在δ>0,当时恒有.特别当时,即.固定y,让x在[a,b]上变化,取最大值,可得即时,.因为,所以对δ>0,存在N >0,当n>N时有,从而有,这与一开始得到的不等式矛盾,结论得证.4.设,为有界闭集,试证:开集W、V,使得A证明:A、B为有界闭集.[四川大学研]令显然W、V为开集.5.设试讨论下面三种极限:[南京工学院研]解:由于在y=0和x=0的函数极限不存在,故在(0,0)点的两个累次极限都不存在.6.设f(x,y是区域D:|x|≤1,|y|≤1上的有界k次齐次函数(k≥1),问极限是否存在?若存在,试求其值.[南京大学研]解:令x=rcosθ,y=rsinθ.由于f(x,y)是区域D上的有界k次齐次函数7.设二元函数f(x,y)在正方形区域[0,1]×[0,1]上连续.记J=[0,1].(1)试比较的大小并证明之;(2)给出并证明使等式成立的(你认为最好的)充分条件.[浙江大学研]解:(1),有上式对于任意的x都成立,则由y的任意性可知(2)若,使下面证明上面条件为充分条件显然8.设为n维欧氏空间,A是的非空子集,定义x到A的距离为证明:上的一致连续函数.[南京大学研] 证明:有对使故对时,即上的一致连续函数.9.[暨南大学2013研] 解:设,则。
数学分析原理答案数学分析原理答案【篇一:数学分析教材和参考书】:《数学分析》(第二版),陈纪修,於崇华,金路编高等教育出版社, 上册:2004年6月,下册:2004年10月参考书:(1)《数学分析习题全解指南》,陈纪修,徐惠平,周渊,金路,邱维元高等教育出版社, 上册:2005年7月,下册:2005年11月(2)《高等数学引论》(第一卷),华罗庚著科学出版社(1964)(3)《微积分学教程》,菲赫金哥尔兹编,北京大学高等数学教研室译,人民教育出版社(1954)(4)《数学分析习题集》,吉米多维奇编,李荣译高等教育出版社(1958)(5)《数学分析原理》,卢丁著,赵慈庚,蒋铎译高等教育出版社(1979)(6)《数学分析》,陈传璋等编高等教育出版社(1978)(7)《数学分析》(上、下册),欧阳光中,朱学炎,秦曾复编,上海科学技术出版社(1983)(8)《数学分析》(第一、二、三卷),秦曾复,朱学炎编,高等教育出版社(1991)(9)《数学分析新讲》(第一、二、三册),张竹生编,北京大学出版社(1990)(10)《数学分析简明教程》(上、下册),邓东皋等编高等教育出版社(1999)(11)《数学分析》(第三版,上、下册),华东师范大学数学系,高等教育出版社(2002)(12)《数学分析教程》常庚哲,史济怀编,江苏教育出版社(1998)(13)《数学分析解题指南》林源渠,方企勤编,北京大学出版社(2003)(14)《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编,高等教育出版社(1993)复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,asf播放格式,国家级精品课程,三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名:陈纪修任教专业:理学-数学类在职情况:在性别:男所在院系:数学科学学院陈纪修-本人简介姓名:陈纪修性别:男学位:博士职称:教授(博士生导师)高校教龄22年,曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴;获宝钢教育奖(优秀教师奖);被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。
第14章曲线积分、曲面积分与场论1.计算曲线积分,其中L是绕原点的简单闭曲线.解:方法一当时,可以验证,所以可将曲线L换成以原点为中心,适当小的>0为半径的小圆周:易见构造辅助函数:仍有.若定义A(0,0)=0,B(0,0)=1,则A,B在原点连续.事实上,由泰勒展开式,有.所以有即补充定义后A在原点连续,同理可证B也在原点连续.于是I=J=2π.方法二在L′上,有故积分值与无关.注意到被积函数关于连续,令,在积分号下取极限即得2.设封闭曲线的正向与z轴正向符合右手法则,求曲线积分解:由可得因此可设曲线L的参数方程为:,t从-3π/4到3π/4.于是3.设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有一阶连续导数,L是上半平面y>0内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d).记(1)证明:曲线积分I与积分路径无关;(2)当ab=cd时,求I的值.证明:(1)因为所以在上半平面内曲线积分I与积分路径无关.(2)由(1)知,是某个函数u(x,y)的全微分,而设F(x)是f(x)的一个原函数,则,因此4.计算积分其中(n,x),(n,y)分别是由x轴、y轴正向与L的外法向n之间的夹角,L为逐段光滑的简单闭曲线.解:表示L的正向,即沿逆时针方向,切线方向τ与一致,如图14-1所示.从n逆时针旋转π/2即到τ,于是有(n,x)=(τ,y),(n,y)=π-(τ,x),故cos(n,x)ds=cos(τ,y)ds=dy,cos(n,y)ds=-cos(τ,x)ds=-dx.从而其中S表示L所围的面积.图14-15.计算曲面积分,其中S是球面解:将球面S分成三部分S1,S2,S3,其中此时曲面S1在xOy平面的投影区域为,S1的方程为z=,故有从而6.计算曲面积分,其中S为下半球面的上侧,a>0为常数.解:采用补面法.按常规应补平面S1:x2+y2≤a2,z=0.仔细观察发现被积函数在原点处有奇性,不能直接应用高斯公式,但注意到在下半球面上的点(x,y,z)满足x2+y2+z2=a2,则可将原曲面积分改写成这样,取S1的法向方向与z轴正向相反,就可对上式使用高斯公式了.于是有其中V是S1,S所围的空间区域.故7.计算曲线积分L是x2+y2+z2=2r1x与x2+y2=2r2x的交线(0<r2<r1,z>0),L的方向是使L所围的球面上较小部分区域保持在左边.解:由于球面的外法向的方向余弦为所以由斯托克斯公式,有其中S是球面x2+y2+z2=2r1x由L所围的部分.由于曲面S关于xOz平面对称,所以.又由可知,。
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(, (ii) x ∈; ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞;⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞, (ii) x ∈],[A A −(); 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(, (ii) x ∈; ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞; ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[;⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(, (ii) x ∈);),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(, (ii) x ∈;),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π;⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π, (ii) x ∈],[(0>δ);δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)x ∈],0(A (); 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 (1)(i) ,0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0(∞→n ), 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ,0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ,所以{}()n S x 在上一致收敛。
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(, (ii) x ∈; ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞;⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞, (ii) x ∈],[A A −(); 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(, (ii) x ∈; ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞; ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[;⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(, (ii) x ∈);),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(, (ii) x ∈;),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π;⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π, (ii) x ∈],[(0>δ);δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)x ∈],0(A (); 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 (1)(i) ,0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0(∞→n ), 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ,0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ,所以{}()n S x 在上一致收敛。