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高一数学：集合讲义
一、集合及其基本概念
1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。
集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。
注意：集合｛0｝与空集∅的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。 例1：下列各项中不能组成集合的是
（A ）所有正三角形 （B ）《数学》教材中所有的习题
（C ）所有数学难题 （D ）所有无理数
2、元素与集合的关系
一个集合A 与一个对象a ，要么a 是A 中的元素，记作a A ∈（读作a 属于A ）；
要么a 不是A 中的元素，记作a A ∉（读作a 不属于A ）。这个性质即为集合中元素的确定性。
在元素与集合之间，只能用∈或∉表示，它们之间只存在这两种关系。
例2、若A={x | x=0}，则下列各式正确的是
（A ）φ=A （B ）φ∈A
（C ）{ 0 }∈A （D ）0 ∈A
3、集合的表示方法
我们用列举法与描述法表示一个集合。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。
描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作{}|x x 具有某种特性。
我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用N 表示；正整数集可以用+N 表示；整数集可
以用Z 表示；有理数集可以用Q 表示；实数集可以用R 表示。
例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(____________________
例4、解不等式23<-x ，并把其正整数解表示出来__________________________.
二、集合与集合的关系
1、子集
对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆。任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。
2、真子集
对于两个集合A 和B ，如果集合A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的
真子集，记作A ⊂
≠B 。
含有)N*(∈n n 个元素的有限集合的子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n
-个。
3、相等的集合
对于两个集合A 和B ，若A B ⊆且B A ⊆则称集合A 与集合B 相等，记作A B =。也就是说，集合A 和集合B 含有完全相同的元素。
由定义可知，要证集合A 与B 相等，只需证明A B ⊆且B A ⊆。
三、集合的运算
集合的运算从文字语言、符号语言和图形语言三个角度来认识和理解。
1、交集
(1)定义 由集合A 与集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作“A B ”。即{}|A B x x A x B =∈∈且。
(2)交集的性质 ①A
B B A =；②A A A =；③A ∅=∅； ④,A B A A B B ⊆⊆；⑤若A B A =，则A B ⊆；反之亦然。
例5、设集合{}2|->=x x A ，{}3|<=x x B ，则A ∩B=______________________.
例6、设集合{}12|),(-==x y y x A ，{}3|),(+==x y y x B ，求A ∩B.
2、并集
（1）定义 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 与B 的并集，记作“A B ”。即{}|A B x x A x B =∈∈或。
（2）并集的性质
①A B B A =；②A A A =；③A
A ∅=； ④,A A
B B A B ⊆⊆；⑤若A B B =，则A B ⊆；反之亦然。
例7、设集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，则A ∪B=_____________
3、补集
（1）定义 设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于集合A 的元素组成的集合叫做集合A 在
全集U 中的补集，记作C U A 。即
{}C |U A x x U x A =∈∉且。 （2）补集的性质
①()C C U U A A =；②U Cu CuU =∅∅=,；③C U A
A =∅，C U A A U =；④若A
B ⊆，则
C U A B =∅；若A B ⊆，则C U B A U =
⑤若()C C C U U U A B A B =，()C C C U U U A B A
B =。 例8、设集合{}10,8,6,4,2=A ，
{}9,7,5,3,1=A C U ，{}9,8,6,4,1=B C U ，求集合B.
练习： 1、已知集合{}1|2==x x P ，集合{}1|==ax x Q ，若P Q ⊆，求实数a .
2、用列举法表示集合
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∈+-∈=5,12|n N n n N n A __________________ 3、用下列符号“=⊇⊆∉∈,,,,”填空：
{a,e}___{a,b,c,d,e}
{}8|___61≤x x
{}{}1|____3|-≤≤x x x x
{菱形}____{平行四边形} {}{}++∈+=∈-=Z n n x x Z n n x x ,12|___,12|
4、已知集合A 中有10个元素，集合B 中有8个元素，集合A ∩B 中共有4个元素，则集合A ∪B 中共有（ ）个元素
（A ） 14 （B ） 16 （C ） 18 （D ）不确定
5、满足M={a ，b}⊆A ⊆{a,b,c,d}，A 集合的个数是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
6、已知全集U={- 4，-3，-2，-1，0}，集合M={- 2，-1，0}，
N={-4，-3，0}，则=⋂N M C u )( 。
7、已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝22{|0}(1)
x a x x a -<-+。 （1）当a ＝2时，求A ∩B ； （2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围。
