2020年上海新高一新教材数学讲义-专题21 期中复习(学生版)

专题21 期中复习知识梳理一、集合与命题1．区分集合中元素的形式：2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性．3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ⊆． ① 空集是任何集合P 的子集，记为P ⊆∅． ① 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ∅．注意：若条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了∅=A 的情况．集合的运算：①()()C B A C B A =、()()C B A C B A =；()()()UUUA B A B =、()()()UUUA B A B =．①UUUA B A A B B A B B A AB =⇔=⇔⊆⇔⊆⇔=∅．①对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为：n2、12-n 、12-n 、22-n．4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系：原命题：如果α，那么β； 逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β；逆否命题：如果β，那么α；① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲⇔乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题．① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑． 5．常见结论的否定形式：6．充要条件：在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果． 二、不等式1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算） ① b a >且c b >⇒c a >；① 推论：①．a b a c b c >⇔±>±； ①． b a >且d c >⇒d b c a +>+；① 0000ac bcc a b ac bc c ac bc c >>⎧⎪>⇒===⎨⎪<<⎩；① 推论：①．0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ①．b a >且a 、b 同号11a b⇒<； ①．b a >>0110a b⇒>>； ①．0,0,a b a b ααα>>>⇒>>； ① 0>>b a ，0>m ⇒ma mb a b ++<； ① ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-000b a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<=>b b b a ；2．解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）① 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：①．分解因式⇒找到零点； ①．画数轴⇒标根⇒画波浪线； ①．根据不等号，确定解集； 注意点：①．分解因式所得到的每一个因式必须为x 的一次式； ①．每个因式中x 的系数必须为正．①绝对值不等式−−−→关键去绝对值：①．x a x a a >⇔><-或 )0(>a ； ①．x a a x a <⇔-<<)0(>a ；①．22a b a b >⇔>； ①．()()()()()(0)f x g x g x f x g x >>⇔<-或()()x g x f >；①．()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<；① 解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键． 而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述① 对于不等式恒成立问题，常用“函数思想．．．．”、“分离变量思想．．．．．．”以及“图象思想．．．．”． 3．基本不等式：①,a b ∈R ，则222a b ab +≥，当且仅当b a =时，等号成立．,a b +∈R，则a b +≥b a =时，等号成立．综上，若,a b ∈R ，则ab b a b a 22)(222≥+≥+，当且仅当b a =时，等号成立． *①若,a b +∈R2112a b a b+≥≥≥+，当且仅当b a =时，等号成立．*①120,1,1120,1,x x x xx x x x x x⎧≥>==⎪⎪+⎨⎪≤-<==-⎪⎩当且仅当即时等号成立当且仅当即时等号成立，，．4．不等式的证明：① 比较法：作差 → 因式分解或配方 → 与“0”比较大小 →① 综合法：由因导果．① 分析法：执果索因；基本步骤：要证即证即证．① 反证法：正难则反．① 最值法：()max x f a >，则)(x f a >恒成立； ()min x f a <，则)(x f a <恒成立．三、幂、指与对数1、幂的有关概念：正整数指数幂：*)n n a a a an N =⋅⋅⋅⋅⋅∈个（零指数幂：01(0)a a =≠负整数指数幂：*1(0,)p p a a p N a-=≠∈ 分数指数幂：m *n0,,1)na a m n N n =>∈>且*10,,,1)m nm naa m n N n a-==>∈>1.根式的运算性质：(1)当n 为任意正整数时，()n=a(2)当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a |=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a(3)根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0） 2.分数指数幂的运算性质：)()(),()(),(Q n b a ab Q n m aa Q n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+一、对数1、对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .易得:log a N a N =——对数恒等式，自然对数：以e 为底的对数成为自然对然，记作ln,常用对数：以10为底的对数，记作lg 。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件2.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）A. B.C. D. （1-sin1cos1）R23.已知△ABC内接于单位圆，则长为sin A、sin B、sin C的三条线段（ ）A. 能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半B. 能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半C. 能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半D. 不一定能构成一个三角形4.已知函数，，则下列说法正确的是A.与的定义域都是B. 为奇函数，为偶函数C. 的值域为的值域为D.与都不是周期函数二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知角α的终边在射线y=-x（x≤0）上，则cosα=______．6.若，则cos2α=______．7.已知tan（π-θ）=3，则=______．8.已知，则=______．9.已知，则cosα=______．10.函数的最小正周期为______．11.函数y=cos2x+2sin x-2的值域为______．12.下图为函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD的中点，且△OMB为等腰直角三角形，则f（x）的解析式为f（x）=______．13.已知方程sin x+cos x=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是______．14.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点及点C处，且小区里从D沿DA 有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为______（精确到1米）．15.设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）=______．16.已知函数f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间内没有零点，则ω的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可）19.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=1，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用θ表示S1和S2；（2）当θ变化时，求的最小值，及此时角θ的大小．20.某种波的传播是由曲线f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把解析式f（x）=A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．（1）已如“1类波”中的两个波，与加后是一个“A类波”，求A的值；（2）已知三个不同的“A类波”，从f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3）（其中φ1、φ2、φ3互不相同），三个波叠加后是“平波”y=0，即f1（x）+f2（x）+f3（x）=0，求cos（φ1-φ2）cos（φ2-φ3）cos（φ3-φ1）的值．21.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x x1x2ωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010-10f（x）00y20（1）请写出上表的x1、x2、y2，及函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式及的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，若在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由正弦定理知=2R，∵sin A＞sin B，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2R sin A，b=2R sin B，∴sin A＞sin B故选：A．由正弦定理知，由sin A＞sin B，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．2.【答案】D【解析】解：l=4R-2R=2R，α===2，可得：S扇形=lR=×2R×R=R2，可得：S三角形=×2R sin1×R cos1=sin1•cos1•R2，可得：S弓形=S扇形-S三角形=R2-sin1•cos1•R2=（1-sin1cos1）R2．故选：D．通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积．本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，弓形面积的求法，考查计算能力，注意弓形面积的求法．3.【答案】C【解析】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，∴a=2sin A，b=2sin B，c=2sin C∵a，b，c为三角形的三边∴sin A，sin B，sin C也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选：C．设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，可得a=2sin A，b=2sin B，c=2sin C由a，b，c为三角形的三边判断即可本题主要考查了正弦定理的变形形式a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C（R为三角形外接圆的半径）的应用，属于中档试题．4.【答案】C【解析】解：A．f（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误.B．f（-x）=cos（sin（-x））=cos（-sin x）=cos（sin x）=f（x），则f（x）是偶函数，故B错误.C．∵-1≤sin x≤1，-1≤cos x≤1，∴f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域[-sin1，sin1]，故C正确.D．f（x+2π）=cos（sin（x+2π））=cos（sin x）=f（x）则f（x）是周期函数，故D错误.故选：C．根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．5.【答案】【解析】解：∵角α的终边在射线y=-x（x≤0）上，在角α的终边上任意取一点（-1，1），则cosα==-，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】【解析】解：因为sinα=，所以cos2α=1-2sin2α=1-2×=．故答案为：．把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，将sinα的值代入即可求出值．通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．7.【答案】【解析】解：∵tan（π-θ）=-tanθ=3，∴tanθ=-3，则=．故答案为：．由已知利用诱导公式求tanθ，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.【答案】【解析】解：∵已知，∴cosα=-=-，则=sinαcos+cosαsin=-=，故答案为：．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin （α+）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：，所以：，解得：，所以：，整理得：，解得：（负值舍去），故=，故答案为：．直接利用三角函数关系式的变换和角的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.【答案】2π【解析】解：函数的最小正周期是函数y=sin的周期的一半，而函数y=sin的周期为=4π，故函数的最小正周期是2π，故答案为：2π．利用y=|sinωx|的周期是y=sinωx的周期的一半，而y=sinωx的周期为，得出结论．本题主要考查三角偶函数的周期性，利用了y=|sinωx|的周期是y=sinωx的周期的一半，y=sinωx的周期为，属于基础题．11.【答案】[-4，0]【解析】解：y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-（sin x-1）2，∵x∈R，∴sin x∈[-1，1]，∴当sin x=1时，y max=0；当sin x=-1时，y min=-4，∴函数y的值域为[-4，0]．故答案为：[-4，0]．由y=cos2x+2sin x-2可得由y=-（sin x-1）2，再利用二次函数的相关性质求出最值即可．本题考查了函数的性质及其应用，考查了转化思想和整体思想，属基础题．12.【答案】2sin（x+）【解析】解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A=2，根据△OMB为等腰直角三角形，可得M（-1，0），D（1，2），∴•=1-（-1），解得ω=；∴函数f（x）=2sin（x+φ），又由M（-1，0）是f（x）图象上的点，由正弦函数的图象与性质知，×（-1）+φ=0，可得φ=，∴f（x）=2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．由已知点E得出A的值，再根据△OMB为等腰直角三角形可得M、D的坐标，从而求得ω和φ的值．本题主要考查了正弦型函数的图象与性质应用问题，是基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的有解问题，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的图象与性质，分析求解m 的范围．【解答】解：m+1=sin x+cos x=2sin（x+），x∈[0，π]，x+[]，作出函数y=2sin（x+），x∈[0，π]的图象，如图：方程sin x+cos x=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，即函数y=2sin（x+），x∈[0，π]与直线y=m+1有两个交点，由图可得，m+1∈，可得m∈．故答案为：．14.【答案】445米【解析】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2-2CD•OD•cos60°=OC2即，5002+（r-300）2-2×500×（r-300）×=r2解得r=≈445（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2-2•CD•AD•cos120°=5002+3002+2×500×300×=7002．∴AC=700（米）．cos∠CAD==．在直角△HAO中，AH=350（米），cos∠HAO=，∴OA==≈445（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．故答案为：445米．法一：连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．法二：连接AC ，作OH⊥AC，交AC于H，由余弦定理可求AC，cos∠CAD，在直角△HAO中，利用三角函数的定义可求OA=的值．本题主要考查用余弦定理求三角形边长，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．15.【答案】1【解析】解：∵α1，α2∈R，且，∴sinα1+2=1，2+sin（2α2）=1，求得sinα1=-1，sin（2α2）=-1，∴α1=2kπ-，且2α2=2nπ-，k、n∈Z，∴α2=nπ-，∴α1+α2=（2k+n）-，∴tan（α1+α2）=tan（-）=1，故答案为：1．由题意可得求得sinα1=-1，sin（2α2）=-1，求得α1和α2的值，可得tan（α1+α2）的值．本题主要考查三角函数的求值问题，属于基础题．16.【答案】【解析】解：f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1=sin2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-），（ω＞0），由f（x）=0得2ωx-=kπ，即x=+，k∈Z，∵函数f（x）在区间内没有零点，∴x=+∉（，π），若+∈（，π），则＜+＜π，得ω-＜k＜2ω-，若函数f（x）在区间内没有零点，等价为在（ω-，2ω-）内没有整数，则≥=，即0＜ω≤1，若（ω-，2ω-）内有整数，则当k=0时，由ω-＜0＜2ω-，得，即＜ω＜，若当k=1时，由ω-＜1＜2ω-，得，即＜ω＜，此时＜ω≤1，当k=2时，由ω-＜2＜2ω-，得，即＜ω＜，此时ω超出范围，即若（ω-，2ω-）内有整数，则＜ω＜或＜ω≤1，则若（ω-，2ω-）内没有整数，则0＜ω≤或≤ω≤，即ω的取值范围为（0，]∪[，]，故答案为：（0，]∪[，]利用倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合f（x）在区间内没有零点，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数零点的应用，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数零点问题件转化是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）由于，则有3tan2α+8tanα-3=0，解得或tanα=-3，∵，∴tanα=-3；（2）=-cos2α=-（cos2α-sin2α）====．【解析】（1）运用同角的倒数关系，解方程，即可得到；（2）运用诱导公式和二倍角的余弦公式及同角的平方关系和商数关系，计算即可得到．本题考查同角的平方关系和商数关系、倒数关系及诱导公式、二倍角的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）由2b cos A=c cos A+a cos C代入正弦定理得：2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C即2sin B cos A=sin（C+A）=sin B≠0∴cos A=又0＜A＜π∴A=（2）选①③由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A∴b2+3b2-3b2=4∴b=2，c=2∴S=选①②由正弦定理得：又sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=∴S=选②③这样的三角形不存在．【解析】（1）化简，利用正弦定理，推出关系式，然后求出A 的值．（2）选①③通过余弦定理，求出b，c，求出三角形的面积；选①②通过正弦定理求出的值，推出sin C的值，然后求出面积；选②③这样的三角形不存在．本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，逻辑推理能力．19.【答案】解：（1）∵BC是半圆的直径，A在半圆上，∴AB⊥AC，又BC=1，∴AB=cosθ，AC=sinθ，所以：S1=•AB•AC=sinθcosθ；设正方形的边长为x，则：BP=，AP=x cosθ，由BP+AP=AB，得：+x cosθ=cosθ，解得：x=，所以：S2=x2=（）2．（2）===+sin2θ+1，令t=sin2θ，因为0＜θ＜，所以：0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]，所以：=++1，令g（t）=++1（0＜t≤1），则g′（t）=-+=＜0，所以函数g（t）在（0，1]上递减，因此：当t=1时，g（t）取得最小值g（1）=1++1=，此时：sin2θ=1，解得θ=．所以：当θ=时，的值最小，最小值为．【解析】（1）据题三角形ABC为直角三角形，利用三角函数分别求出AC和AB，得出三角形ABC的面积S1，设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC ，由BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2，（2）化简比值，设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．20.【答案】解：（1）与加后是一个“A类波”，即：f1（x）+f2（x）=sin（x+）+sin（x+）=sin x cos+cos x sin+sin x cos+cos x sin=sin x+cos x=sin（x+）；由定义解析式f（x）=A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，所以：A=；（2）设f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，同（1）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，可解得：（cosφ1+cosφ2+cosφ3）sin x+（sinφ1+sinφ2+sinφ3）cos x=0，易得：cosφ1+cosφ2+cosφ3=0；①sinφ1+sinφ2+sinφ3=0；②由两式变型平方可得：cosφ1+cosφ2=-cosφ3；sinφ1+sinφ2=-sinφ3；两式左右完全平方相加可得：2+2cos（φ1-φ2）=1；cos（φ1-φ2）=-；同理可得：cos（φ2-φ3）=-；cos（φ3-φ1）=-；∴cos（φ1-φ2）cos（φ2-φ3）cos（φ3-φ1）=-．【解析】（1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cosφ1+cosφ2）sin x+（sinφ1+sinφ2）cos x ，由辅助角公式可求得A的值．（2）设f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，可解得：cosφ1+cosφ2+cosφ3=0；sinφ1+sinφ2+sinφ3=0；由两式变型平方可得结论．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，辅助角公式，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题21.【答案】解：（1）由表格根据五点法作图的规律，可得+=x1-=x2-x1=-x2，解得x1=，x2=，A=，y2=-，f（x）=sin（x+）．（2）将函数f（x））=sin（x+）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x-+）=-sin x的图象；再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin x的图象．函数=[sin x-]，由sin x-＞0，可得sin x＞，,要求函数的单调递增区间，即求y=sin x的减区间，而y=sin x的减区间为[，），故的单调递增区间为[，）．（3）=3sin2x+a sin x-1，令F（x）=0，则a sin x=1-3sin2x，显然当sin x=0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，令t=sin x（sin x≠0且0＜x≤2π），则t∈[-1，0）∪（0，1]，a=，则函数y=在[-1，0）和（0，1]上单调递减，且t=1时y=2，当t=-1时，y=-2∴当y∈（-2，2）时，y=t与y=有两个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在4个实根，当y∈（-∞，-2）∪（2，+∞）时，y=t与y=有一个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在2个实根，当y=2或y=-2时，y=t与y=有两个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在3个实根．∵在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，∴当x∈（2018π，2019π）时，F（x）只可能存在2个零点，因此只有a=2时符合条件，∴x∈（0，2019π）时F（x）的零点为：个．【解析】（1）根据表中的数据直接求解个值即可；（2）由条件得到g（x）的图象，然后在由求出单调区间；（3）令F（x）=0，则a sin x=1-3sin2x，显然当sin x=0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，根据F（x）在（0，2π]上的零点情况，得到a 的值，然后在根据a的值求出零点的个数．本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．。

金山中学2020学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷一．填空题（本大题共有12小题，满分54分）.1不等式21<-x 的解集为_______..2集合{}N x x x A ∈<≤-=,41可用列举法表示为__________..3设{}{}y x y x B y x y x A =-=-==21),(,52),(，则_____=B A ..4方程631=+x 的解为_____=x ..5“0=a ”是“关于x 的方程b ax =无解”的_________条件..6满足{}4321,,,a a a a A ⊆⊂φ的集合A 有__________个..7已知a =2log 3，则______96log 2=.（用a 的代数式表示）.8已知1lg lg =+b a ，则b a +2的最小值为_________..9已知21,,0x x a >为方程022=++a x x 的两个实数根，则2111x x +的取值范围为______. .10已知集合{}{}9,02322=+-==+-=a ax x x B x x x A ，且A B A = ，则实属a 的所有取值组成的集合为___________..11设集合集合,21⎭⎬⎫⎩⎨⎧==-x y x M ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--+-+-==21),2)(1()1)(111(x x m x m y y N ，若M N ⊆,则实数m 的取值范围是_________..12若对于两个实数集合,,Y X 集合的运算Y X ⊕定义为：{}Y y X x y x Y X ∈∈+=⊕,， 集合的运算Y X ⊗的定义为：{}Y y X x y x Y X ∈∈⋅=⊗,.已知实数集合 {}{}Q b Q a b a x x Y Q b Q a b a x x X ∈∈+==∈∈+==,,3,,,2，试写出一个实数m ，使得Y X m ⊗∈但Y X m ⊕∈,则_____=m二．选择题（本大题共有4题，满分20分）.13设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件 .14若R b a ∈,，且0>ab 。

20.某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y=kx+b 的关系（图象如下图所示）．
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元,
①求S关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
2
22.（本小题共12分）()2()lg 101x f x kx =+-是偶函数，
(1) 求k 的值；
(2)当0a >时，设()()lg 102x g x a a =⋅-，若函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列命题正确的是（ ）A. 第一象限的角都是锐角B. 小于的角是锐角C. 2019°是第三象限的角D. 2019°是第四象限的角2.“sinα=sinβ”是“α=β”的________条件（ ）A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要3.在△ABC中，内角A、B满足sin2A=sin2B，则△ABC的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4.设MP与OM分别是角的正弦线和余弦线，则（ ）A. MP＜OM＜0B. MP＜0＜OMC. OM＜MP＜0D. OM＜0＜MP二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.与终边相同的角的集合是______．6.若tanθ＜0且sinθ＜0，则θ是第______象限的角．7.已知角α的终边经过点（-3，4），则sinα+cosα=______．8.已知，且α是第四象限的角，则cscα=______，9.若sin x+cos x=，则sin2x=______．10.把化成A sin（α+ϕ）（A＞0）的形式______（注：ϕ不唯一）．11.若cosα=-，α∈（，π），则sin（α+）=______．12.=______．13.化简：=______．14.若且，则sin2α=______．15.已知且，则=______．16.在△ABC中，a=4，A=30°，请给出一个b值______，使该三角形有两解．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知一个扇形的周长为20cm，当它的圆心角为多大时，该扇形的面积最大？并求面积的最大值．18.已知tanθ=a，（a＞1），求的值．19.修建铁路时要在一个大山体上开挖一隧道，需要测量隧道口D、E之间的距离，测量人员在山的一侧选取点C，因有障碍物，无法测得CE、CD的距离，现测得CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，又测得A、B两点到隧道口的距离分别是80.13米、40.24米（A、D、E、B在同一条直线上），求隧道DE的长（精确到1米）．20.已知，求x+2y的值．21.在△ABC中，已知边，角B=45°，面积．求：（1）边c；（2）角C．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A．当α=390°时，位于第一象限，但α=390°不是锐角，故A错误，B．α=-＜，但α不是锐角，故B错误，C.2019°=5×360°+210°，∵210°是第三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C正确，D．由C知2019°是第三象限的角，不是第四象限角，故D错误，故选：C．结合象限角的定义分别进行判断即可．本题主要考查与象限角有关的命题的真假判断，结合象限角的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：“sinα=sinβ”时，由正弦函数的图象和性质可知：α=β+2kπ，k∈Z，或α=π-β+2kπ，k∈Z，∴“sinα=sinβ”不能推出“α=β”所以：“sinα=sinβ”是“α=β”的非充分条件．当“α=β”时，一定推出“sinα=sinβ”，所以：“α=β”是“sinα=sinβ”的充分条件．“sinα=sinβ”是“α=β”的必要条件．综上：“sinα=sinβ”是“α=β”的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．是基础题3.【答案】D【解析】解：法1：∵sin2A=sin2B，∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0，∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，∴A+B=90°或A=B，则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．法2：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC一定是等腰或直角三角形．故选：D．解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=90°或A=B，即可判断出三角形的形状．解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．4.【答案】D【解析】解：作出单位圆，以及角的正弦线和余弦线，则由图象知，OM＜0＜MP，故选：D．作出单位圆，利用正弦线和余弦线的定义判断即可．本题主要考查三角函数线的大小判断，结合三角线的定义是解决本题的关键．5.【答案】{α|α=2kπ+，k∈Z}【解析】解：与终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+，k∈Z}，故答案为：{α|α=2kπ+，k∈Z}根据终边相同角的定义进行求解即可．本题主要考查终边相同角的求解，结合终边相同角的定义是解决本题的关键．6.【答案】四【解析】解：∵tanθ＜0，∴θ位于第二象限或第四象限，∵sinθ＜0，∴θ位于第三象限或第四象限或y轴的非正半轴，综上θ位于第四象限，故答案为：四结合三角函数值的符号和象限之间的关系进行判断即可．本题主要考查角的象限的判断，结合三角函数的符号和象限之间的关系是解决本题的关键．7.【答案】【解析】解：∵角α的终边经过点（-3，4），∴x=-3，y=4，r==5∴sinα=，cosα=-∴sinα+cosα=-=故答案为：利用三角函数的定义，求出sinα、cosα，即可得到结论．本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．8.【答案】-【解析】解：∵，且α是第四象限的角，∴sinα=-=-，∴cscα==-．故答案为：-．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.【答案】-【解析】解：已知等式两边平方得：（sin x+cos x）2=1+2sin x cosx=1+sin2x=，则sin2x=-．故答案为：-已知等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x的值．此题考查了二倍角的正弦，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10.【答案】2sin（α+）【解析】解：∵=2（sinα+cosα）=2sin（α+），故答案为：2sin（α+）．由题意利用辅助角公式，求得结果．本题主要考查辅助角公式的应用，属于基础题．11.【答案】【解析】解：由α∈（，π），cosα=-，得到sinα==，则sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×-×=．故答案为：根据α的范围，由cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意α的取值范围．12.【答案】1【解析】解：由于：==2，故：=log22=1．故答案为：1直接利用三角函数关系式的变换和对数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，对数的运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．13.【答案】1【解析】解：==1．故答案为：1．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由于且，则：cos，所以：sin2=故答案为：直接利用三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：∵，可得：＜＜，可得：＞0，又∵=1-2sin2，∴解得：=．故答案为：．由已知可求＜＜，可得＞0，根据已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】（4，8）【解析】解：由正弦定理有：∴，∵△ABC有两解，∴B＞A，∴，即，∴4＜b＜8所以b的取值范围为：（4，8）．故答案为：（4，8）．利用正弦定理求出sin B，然后根据三角形有两解得到sin B＜1，b＞a即可．本题考查了正弦定理和三角形解得个数问题，属基础题．17.【答案】解：设扇形的半径为r，则扇形的弧长l=20-2r，∴S扇形=lr=（20-r）=-r2+10r=25-（r-5）2，∴当r=5时，扇形的面积最大值为25cm2，∴此时扇形的圆心角α===2．【解析】设扇形的半径为r，由题意可求扇形的弧长l=20-2r，利用扇形的面积公式及配方法可得S扇形=25-（r-5）2，即可得解．本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，考查了配方法的应用，属于基础题．18.【答案】解：原式===．即：=．【解析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanθ=a，求出结果即可．本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．19.【答案】解：根据题意，如图：△ABC中，CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，则AB2=CB2+CA2-2CB•CA cos∠ACB=293557.0525，则AB≈541.81，则DE=AB-AD-BE≈421米；故隧道DE的长约421米．【解析】根据题意，由余弦定理求出AB的长，又由DE=AB-AD-BE，计算即可得答案．本题考查余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的形式，属于基础题．20.【答案】解：∵已知，∴cos y==，∴tan y==，∴tan2y==＞0，故2y仍为锐角．∴tan（x+2y）==1，∴x+2y=，【解析】利用同角三角函数的基系求得tan y的值，利用二倍角的正切公式求得tan2y的值，可得2y为锐角，利用两角和的正切公式求得tan（x+2y）的值，可得x+2y的值．本题主要考查同角三角函数的基系，二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．21.【答案】解：（1）根据题意，△ABC中，，B=45°，面积，则有ac sin B=3+，则c=+；（2）根据题意，b2=a2+c2-2ac cos B=（2）2+（+）2-2×2（+）cos45°=8，则b=2，则cos A==，则A=60°，C=180°-A-B=75°．【解析】（1）根据题意，由三角形面积公式可得ac sin B=3+，解可得c的值，即可得答案；（2）根据题意，由余弦定理可得b的值，进而由余弦定理求出cos A的值，即可得A的大小，由三角形内角和定理分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理、正弦定理的应用，属于基础题．。

上海中学2020学年第二学期高一年级数学期中考试2021.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1.角度大小为7弧度的角是第________象限角2.用弧度制表示所有终边位于第四象限角平分线的角构成的集合________.3.函数y =________.4.若角α的始边落在x 轴正半轴，终边落在直线2y x =上，则sin α=________.5.已知角[)0,x π∈213x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则角x 为________. 6.已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是________.7.在ABC ∆中，30A ∠=︒，AB =8BC =，则ABC ∆的面积为________. 8.函数()12log cos sin y x x =-的单调递减区间为________.9.已知正六边形ABCDEF ，若AC a =，AD b =，则AE 用a ，b 表示为________. 10.已知3tan tan 1212ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2θ=________. 11.已知函数()y f x =，x R ∈满足：()()f x f x ππ+=，且,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()sin 2f x x x π=-则当[]3,2x ππ∈--时，()f x 的最小值为________.12.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan 2tan tan tan tan tan A B B A Bi C ++的最小值是________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.命题p ：“角A 小于2π”是命题q ：“角A 是第一象限角”的（ ）条件. A .充要 B .充分非必要 C .必要非充分 D .既非充分又非必要14.若322x ππ-<<-）.A .2cos2x B .2sin 2π C .2cos 2π- D .2sin 2π- 15.现给出以下4个命题：（1）对于任意的向量a ，都有00a ⋅=；（2）已知向量a ，b ，c ，若a b b a ⋅=⋅且0b ≠，则a c =； （3）已知三个非零向量a ，b ，c ，则()()b c a c a b ⋅--与c 不垂直；（4）已知向量a ，b ，则a b a b +=-是“a ，b 中至少有一个是0”的充要条件. 其中正确的个数是（ ）A .3B .2C .1D .016.2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人貝目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点O ，A ，两动点B ，Q ，且1OA OB ==，OA 绕点O 逆时针旋转到OB 所形成的角记为θ.设函数()()4sin5f sign θθθ=⋅-，()πθπ-≤≤，其中，()1,0sign 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，令，作随着θ的变化，就得到了Q 的轨迹，其形似“蝴蝶”.则以下4幅图中，点Q 的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（ ）图①图②ABCD三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分8分）已知a ，b 两个向量，4a =，3b =，1sin ,2a b <>=，求a 在b 方向上的投影与数量投影. 18.（本题满分8分）已知的数()2cos sin f x x x a =-+（1）()0f x =有解时，求实数a 的取值范围； （2）当x R ∈时，总有()1714f x ≤≤，求定a 的取值范围. 19.（本题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()2cos24cos 30A B C +++=. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围. 20.（本题满分10分）数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，也是应用数学解决实际问题的基本手段.某中学程老师根据实际情境提出如下问题：有一家具，其水平截面如图③所示（各邻边垂直）.一房间的门框宽（即房门两边墙之间距离）为0.9米，门框厚为0.28米，思考能否将家具水平移入房内.（注：门框高度及房内外空间不受限制，且移动时均不发生形变.）（1）如图④，0.28MN =（米），在移动家具时，为顺利过门，家具的两个边CD ，DE 紧贴M ，N ，设直线AB 和直线MN 的夹角为θ，家具的初始位置对应2πθ=，N 与D 重合时可视为移动成功，延长NM 交MN 于点K ，设AK S =（米），请写出S 关于θ的函数（2）基于（1），请问家具能否移动成功？并说明理由. 21.（本题满分12分）对于函数()y f x =，x R ∈，如果存在一组正常数1t ，2t ，…，k t ，（其中k 为正整数），满足）120k t t t <<<<使得当x 取任意实数时，有()()()()120k f x f x t f x t f x t +++++++=，则称函数()y f x =具有“性质1P ”.（1）判断以下函数是否具有“性质1P ”，并说明理由： ①函数()cos h x x =②函数()()122u x x x =--<≤，()()4u x u x +=对任意实数均成立； （2）证明：()cos h x x =具有性质2P ；（3）设函数()cos2cos5cos8g x a b x c x d x =+++，其中b ，c ，d 是不全为0的实数且存在m R ∈，使得()4g m a =，证明：存在n R ∈，使得()0g n <.答案及其解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1.【答案】：一 【解析】∶1807736041.190π︒=⨯-︒≈︒<︒弧度，所以第一象限2.【答案】：2,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【解析】：由已知得，第四象限角平分线的角构成的集合为2,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭3.【答案】：22,22x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭≤≤【解析】：由cos 0x ≥得，定义域是22,22x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭≤≤4.【答案】：【解析】：由已知得，终边落在直线2y x =上，tan 2α=，sin 5α=± 5.【答案】：4x π=，34π 【解析】：213x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，tan 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，236x k πππ-=+，42k x ππ=+，k Z ∈ 又因为[)0,x π∈，所以4x π=，34π6.【答案】：【解析】：设正三角形边长为a ，外接圆的半径为R ，则3l a R α==，23R =，∴a =7.【答案】：【解析】：由已知得，30A ∠=︒，c =2222cos 8a b c bc A b =+-⇒=或16，所以1sin 2ABC S bc A ∆==8.【答案】：322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+-+∈⎨⎬⎩⎭≤≤ 【解析】：由题意得cos sin 0cos sin 4x x x x x π->⎧⎪⎨⎛⎫-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩单调递增， 所以5224432244k x k k x k ππππππππ⎧-+<<+⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩≤≤，所以322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+-+∈⎨⎬⎩⎭≤≤9.【答案】：32b a - 【解析】：1322AE AF FE CD FE AD AC AD b a =+=+=-+=- 10.【答案】：1【解析】：由3tan tan 1212ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭切化弦得，3sin sin 1212cos cos 1212ππθθππθθ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴3sin cos sin cos 12121212ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由积化和差， 31sin 2sin sin 2sin 2626ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 21θ=11.【答案】：42π-【解析】：由()()f x f x ππ+=迭代递推得()()kf x f x k ππ+=∴()()k f x f x k ππ=⋅+ ①当53,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，30,2x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()()()()33sin 33sin 22f x x x x x ππππππ+=++-=-+- ()()()3333sin 2f x f x x x πππππ⎡⎤=+=-++⎢⎥⎣⎦，故()f x 的最小值()432f ππ-=- ②当5,22x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，2,02x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()()()()22sin 22sin 22f x x x x x ππππππ+=++-=+-，()()()2222sin 2f x f x x x πππππ⎡⎤=+=+-⎢⎥⎣⎦，故()f x 的最小值为()422f ππ-=-，综上所述，当[]3,2x ππ∈-时，()f x 的最小值为42π-.12.【答案】：16【解析】：由已知得，()sin sin 2sin sin A B C B C =+=，.：.sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C += 所以tan tan 2tan tan B C B C +=，又因为tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ 所以()tan tan 2tan tan A A B C =--所以tan tan 2tan tan 'tan 4tan tan 2tan tan tan 2tan tan 2AA B C A B C A B C A A ++==⋅-()42tan 2424416tan 2A A ⎛⎫=-+++= ⎪-⎝⎭≥，当且仅当tan 4A =时取到等号.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.【答案】：D 【解析】：取4A π=-，左推不出右，取94A π=，右推不出左，故选D 14.【答案】：A【解析】：由322x ππ-<<-，324x ππ-<<-，cos sin 022x x<<得， 1sin cos sin cos sin cos sin cos 2cos 222222222x x x x x x x x=-++=--=-故选A . 15.【答案】：C【解析】：对于（1）对于任意的向量a ，都有00a ⋅=，所以（1）错误；对于（2）已知向量a ，b ，c ，若a b b a ⋅=⋅且0b ≠，只要保证a 和c 方向上的数量投影相等即可 ∴a c =，故（2）错误；对于（3）：()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅--⋅=⋅⋅--⋅=⎣⎦，垂直，故（3）错误；对于（4）：0a b a b a +=-⇔=或0b =，故（4）正确，故选C 16.【答案】：B【解析】：本题比较抽象，考虑特殊情况.先考虑与OA 共线的蝴蝶身方向，令0θ=，π±，44OQ OB OA =-=要满足，故排除A ，C ； 再考虑与OA 垂直的方向，令2πθ=，OQ OB =-要满足，故排除D ，故选B .三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分8分） 【答案】：见解析【解析】：由题意得1sin ,2a b <>=，3cos ,a b <>=±；则a 在b 方向上的投影：23cos ,3b a a b b b⋅<>⋅=±a 在b 方向上的数量投影：cos ,23a a b <>=±18.（本题满分8分） 【答案】：见解析【解析】：（1）由已知得，()2cos sin 0f x x x a =-+=所以222155sin cos sin sin 1sin ,1244a x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=+-=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）由已知得()2171cos sin 4f x x x a =-+≤≤恒成立， 则2222max 1111sin cos 1sin sin sin 122424a x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=+-=+-=⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥ 22min17131sin cos sin sin sin 33442a x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+=++=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤ 所以实数a 的取值范围为[]2,3 19.（本题满分10分） 【答案】：见解析【解析】：（1）()()22cos 24cos 322cos 14cos 3A B C A A +++=--+()224cos 4cos 12cos 10A A A =-+=-=，所以1cos 2A =，3A π= （2）由已知得，1a =，3A π=21l a b c a =++>=，2221cos 22b c a A bc +-==，∴221b c bc +-=()()22221134b c bc b c bc b c =+-=+-+≥∴()24b c +≤ ∴2b c +≤ ∴23l <≤20.（本题满分10分） 【答案】：见解析【解析】：0.28cos 0.48cot 0.48S θθ=++，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）由已知得，添加辅助线，要使家具能白移入房间内， 则要求外抛角点A 到一边门框厚度MN 的距离()0.9m AH ≤， 设点距离所在直线距离为：()sin 0.48sin cos 0.28sin cos 0.480.14sin 24d S πθθθθθθθ⎛⎫=⋅=++=++ ⎪⎝⎭()0.4810.1410.81920.9m +⨯<≤≤（当且仅当4πθ=），所以能移动成功.21.（本题满分12分）【解析】：（1）①由已知得，()()()cos cos cos cos 0h x h x x x x x ππ++=++=-=所以()h x 具有“性质1P ”；②由已知得，()()122u x x x =--<≤，()()4u x u x += 得()()[]14,24,414,4,42x k x k k u x x k x k k +-∈-+⎧⎪=⎨-+∈+⎪⎩，易知对任意x R ∈，()()20u x u x ++=所以()u x 具有“性质1P ”； （2）单位圆的性质，易令()cos h x x =满足()24033h x h x h x ππ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 证明如下：()24cos cos cos cos 2cos cos cos cos 0333x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++++=++=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）本题难度较大，对其进行分类讨论： ①若0a <，此时取n m =即可；②若0a =，采取反证法，若不存在n R ∈，使得()0g n <，则()0g x ≥恒成立， 又()243033g x g x g x a ππ⎛⎫⎛⎫++++== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵()0g x ≥，203g x π⎛⎫+⎪⎝⎭≥，403g x π⎛⎫+⎪⎝⎭≥ ∴24()033g x g x g x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 再由()()0cos2cos80g x g x b x d x π++=⇒+=恒成立， 故0b c ==，进而0c =，与b ，c ，d 是不全为0矛盾； 故存在n R ∈，使得()0g n <. ③若0a >，由()24333g m g m g m a ππ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()4g m a = 得24033g m g m a ππ⎛⎫⎛⎫+++=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，命题成立.。

基础知识要夯实专项01 正弦、余弦、正切、余切1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝180πrad ；1 rad ＝180π°弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切及余切，四余弦. (4)若α∈)2,0(π，则tan α>α>sin α.(5)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.(6)象限角的集合4.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin cos αα＝tan__α. 5.三角函数的诱导公式（1）同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. （2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2π的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. （3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.。

上海市2020年〖人教版〗高一数学下册复习试卷第二学期期中考试高一数学试题创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校第Ⅰ卷一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. sin120的值为（ ）A ．32B ．12C ．12-D ．32-２.下列角中终边与 330°相同的角是（ ）A. 30°B. - 30°C. 630°D.- 630° ３.如果αα αα cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么tan α的值为( )A.-2B. 2C. 1623D.-1623４.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移32π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是（ ）（A ）23 （B ）43 （C ） 32（D ） 35.在ABC △中，.,b AC c AB ==若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．3132+ B ．3235-C ．3132-D ．3231+6.三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 ( ) A ．1242+ B ．622+ C ．842+ D ．4 7.已知函数(21,x f x a c =-<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是（ ）A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ．222a c +<D ．22a c -< ８．集合{}{},|),(,,|),(a y x y x M R y R x y x U <+=∈∈={},)(|),(x f y y x P ==现给出下列函数：①x a y =，②x y a log =，③()sin y x a =+，④cos y ax =，若10<<a 时，恒有,P M C P U = 则所有满足条件的函数)(x f 的编号是．Ａ ①② Ｂ ①②③ Ｃ ④ Ｄ ①②④第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） ９、过点（1，2）且与直线210x y --=平行的直线方程为．10、若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间为． 11、若212a y a x-=⋅是幂函数，则该函数的值域是__________.12、已知2,1==b a ，a 与b 的夹角为3π，那么b a b a -⋅+=13、在ABC ∆中，,45,2,0===B b x a 若三角形有两解，则x 的取值范围是 14、对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为()f x 的＂下确界＂，则函数x x x x f cos sin 32cos 2)(2+=的＂下确界＂等于_________.22主视图左视图 俯视图2三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、（本题满分12分）已知向量=( )cos ,sin αα， =( )cos ,sin ββ．（1）当2,65πβπα-==时，求b a ⋅的值。

2020-2021学年上海市交大附中高一(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°(坡高不变)，则斜坡长为( )千米A. 1B. 2sin10°C. 2cos10°D. cos20°2. 下列各组函数中，表示同一函数的是( )A. y =1和y =xx B. y =x 和y =lg10x C. y =lnx 2和y =2lnxD. y =|x|和y =(√x)23. 为了得到函数的图象y =sin3x ，只需把函数y =sin(3x +1)的图象上所有的点( )A. 向左平移1个单位长度B. 向右平移1个单位长度C. 向左平移13个单位长度D. 向右平移13个单位长度4. 已知α∈R ，2sinα−cosα=√102则tan2α=( )A. −34B. 43C. −7D. 17二、单空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. −2312πrad 化为角度应为______ ．6. 对于函数f(x)(x ∈D)，若存在两条距离为d 的直线y =kx +m 1和y =kx +m 2，使任意x ∈D 都有kx +m 1≤f(x)≤kx +m 2恒成立，则称函数f(x)(x ∈D)有一个宽度为d 的通道． 下列函数： ①f(x)=1x ；②f(x)=sinx ； ③f(x)=√x 2−1； ④f(x)=x 3+1．其中[1,+∞)上通道宽度可以为1的函数的序号是______ (填上所有正确答案的序号) 7. 如图，在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =b(sinC +cosC)，若A =π2，D 为△ABC 外一点，DB =3，DC =2，则平面四边形ABDC 面积的最大值为______．8. 若sin(−α)=13，α∈(−π2,π2)，则cos(π+α)= ______ ．9. 已知函数f(x)=log 12(4x −x 2)，则函数f(x)的单调增区间为______． 10. 满足sinx >√32的x 的集合为______ ．11. 若函数f(x)=bx+2x+a为奇函数，则a = ______ ，b = ______ ．12. 已知a =sin20°，b =tan30°，c =cos40°，则a ，b ，c 从大到小的顺序是______． 13. 定义运算∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc ，设函数y =f(x)=∣∣∣sinx √3cosx 1∣∣∣，将函数y =f(x)向左平移m(m >0)个单位长度后，所得到图象关于y 轴对称，则m 的最小值是______ ．14. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =4，B =30°，C =45°，则△ABC 的面积为________．15. 在△ABC 中，若cos(A +2C −B)+sin(B +C −A)=2，且AB =2，则BC = ______ ． 16. 已知a >0且a ≠1，下列函数不是奇函数的有：______(只填对应函数的序号)．①y =x 3−2x ；②y =x|x|；③y =a x+a −x ；④y =a x−a−x ；⑤y=a x −1a x +1；⑥y =a log a x ；⑦y =log a (√1+x 2+x)．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. (本题满分12分)在中，角所对的边分别为且满足(1)求角的大小；(2)求的最大值，并求取得最大值时角的大小．18. 已知函数f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +m(m ∈R)的图象过点M(π12,0)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)将函数f(x)的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移π个单位，得3函数g(x)的图象，若a、b、c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g(x)取得最大值，求b的取值范围．19.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度ℎ(单位：米)表示为时间t(单位：秒)的函数；(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？20.观测站C处在目标A的南偏西20°方向，从A出发有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20km到达D处，此时测得CD距离21km，求此人在D处距A还有多远？21.定义：设函数f(x)的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数x∈D，有f(x)≤M，则称函数f(x)为有上界函数，M是f(x)的一个上界；若f(x)≥m，则称函数f(x)为有下界函数，m 是f(x)的一个下界；若m≤f(x)≤M，则称函数f(x)为有界函数；若函数f(x)有上界或有下界，则称函数f(x)具有有界性．(1)判断下列函数是否具有有界性：①y=−x2+2x；②y=2x；③y=tanx；(2)已知函数f(x)=log24x定义域为[2,+∞)，若M为函数f(x)的上界，求M的取值范围；x−1(3)若函数g(x)=4x+2a(a>0)定义域为[2,4]，m是函数g(x)的下界，求m的最大值．2x【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了解三角形的应用，属于基础题． 根据坡长，坡角与坡高的关系列方程解出． 解：设坡高为h ，则ℎ=1⋅sin20°=sin20°， 设新斜坡长为x ，则x ⋅sin10°=ℎ=sin20°， ∴x =sin20°sin10∘=2cos10°， 故选：C ．2.答案：B解析：解：对于A ，y =1的定义域为R ，y =xx =1的定义域为{x|x ≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B ，y =x 的定义域为R ，y =lg10x =x 的定义域为R ，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C ，y =lnx 2=2ln|x|的定义域是{x|x ≠0}，y =2lnx 的定义域是(0,+∞)，两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于D ，y =|x|的定义域为R ，y =(√x)2=x 的定义域为[0,+∞)，两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数． 故选：B ．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数． 本题考查了函数的三要素：定义域、对应法则、值域，是基础题．3.答案：D解析：解由y =sin(3x +1)=sin3(x +13)，∴要得到y =sin3x 的图象，只需将y =sin3(x +13)向右平移13个单位长度． 故答案选：D ．根据三角函数图象变换，“左加右减”只要将y =sin(3x +1)向右平移13个单位长度． 本题考查三角函数图象变换，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查二倍角的正切公式，以及同角三角函数的基本关系的灵活应用，属于中档题，将2sinα−cosα=√102两边平方后，利用同角三角函数的基本关系化简得关于tanα的方程，求出tanα的值代入二倍角的正切公式求出tan2α的值． 解：由题意得，2sinα−cosα=√102，两边平方得，4sin 2α−4sinαcosα+cos 2α=52， 即4sin 2α−4sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=52，则4tan 2α−4tanα+1tan 2α+1=52，解得tanα=3或−13，所以tan2α=2tanα1−tan 2α=−34， 故选A ．5.答案：−345°解析：解：∵π rad =180°，∴两边同时乘以−2312，得−2312πrad =−345° 故答案为：−345°利用角的弧度数与角的度数之间的换算关系：π rad =180°，求出结果即可．本题考查利用角的弧度数与角的度数之间的互化，利用角的弧度数与角的度数之间的换算关系：π rad =180°．6.答案：①③解析：解：对于①，当x∈[1,+∞)时，0<1x≤1，故在[1,+∞)有一个宽度为1的通道，两条直线可取y=0，y=1；对于②，当x∈[1,+∞)时，−1≤sinx≤1，故在[1,+∞)不存在一个宽度为1的通道；对于③，当x∈[1,+∞)时，f(x)=√x2−1表示双曲线x2−y2=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x−2，满足在[1,+∞)有一个宽度为√2的通道；对于④，当x∈[1,+∞)时，f(x)∈[2,+∞)，故在[1,+∞)不存在一个宽度为1的通道；故答案为：①③对于①，只需考虑反比例函数在[1,+∞)上的值域即可，对于②，要分别考虑函数的值域和图象性质，对于③，则需从函数图象入手，寻找符合条件的直线，对于④，考虑幂函数的图象和性质，才可做出正确判断本题主要考查了对新定义性质的理解和运用，熟知已知四个函数的图象和性质，是解决本题的关键，7.答案：134+3√2解析：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想，属于中档题．(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈(0,π)，即可求得B的值，(2)由已知利用余弦定理可得BC，由已知及(Ⅰ)可知∠ABC=π4，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求S四边形ABDC =13−12cosD4+3sinD=13+12√2sin(D−π4)4，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．解：在△ABC中，∵a=b(sinC+cosC)，∴sinA=sinB(sinC+cosC)，∴sin(π−B−C)=sinB(sinC+cosC)，∴sin(B+C)=sinB(sinC+cosC)．∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，∴cosBsinC=sinBsinC．又∵C ∈(0,π)，故sinC ≠0， ∴cosB =sinB ，即tanB =1. 又∵B ∈(0,π)， ∴B =π4.在△BCD 中，DB =3，DC =2，∴BC 2=22+32−2×3×2×cosD =13−12cosD ． 又A =π2，B =π4，∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴S △ABC =14BC 2=13−12cosD4，又∵S △BDC =12×BD ×DC ×sinD =3sinD ， ∴S 四边形ABDC =13−12cosD4+3sinD =13+12√2sin(D−π4)4.∴当D =3π4时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为134+3√2． 故答案为：134+3√2．8.答案：−2√23解析：解：∵sin(−α)=−sinα=13，α∈(−π2,π2)， ∴sinα=−13，cosα=√1−sin 2α=2√23，则cos(π+α)=−cosα=−2√23． 故答案为：−2√23由已知等式求出sinα，进而求出cosα的值，原式利用诱导公式化简即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．9.答案：[2,4)解析：解：令t =4x −x 2>0，求得0<x <4，故函数的定义域为(0,4)，且f(x)=g(t)=log 12t ， 故本题即求函数t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得t 在定义域内的减区间为[2,4)，故答案为：[2,4)．令t=4x−x2>0，求得函数的定义域为(0,4)，且f(x)=g(t)=log12t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性值可得结论．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．10.答案：{x|π3+2kπ<x<2π3+2kπ}(k∈z)解析：解：∵sinπ3=√32，sin2π3=√32，∴由正弦函数的图象和性质可得：在一个周期内[0,2π]上，sinx>√32，可解得π3<x<2π3，∴可得：2kπ+π3<x<2kπ+2π3，k∈Z，故不等式的解集为{x|π3+2kπ<x<2π3+2kπ}(k∈z)故答案为：{x|π3+2kπ<x<2π3+2kπ}(k∈z)根据正弦函数的图象，找到√32所对应的正弦函数值，进而根据正弦函数的单调性求得x的范围，即不等式的解集．本题主要考查了正弦函数的图象．考查了学生对正弦函数单调性及数形结合的数学思想的运用，属于基本知识的考查．11.答案：0；0解析：解：∵函数f(x)=bx+2x+a为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即−bx+2−x+a =−bx+2x+a，即(x+a)(2−bx)=(bx+2)(x−a)，即−bx2+(2−ab)x+2a=bx2+(2−ab)x−2a，则−b=b且2a=−2a，解得a=0，b=0，故答案为：0，0根据函数奇偶性的定义和性质进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件f(−x)=−f(x)，进行对比即可．12.答案：c >b >a解析：解：a =sin20°，b =tan30°，c =cos40°=sin50°， 且sin20°<tan20°<tan30°<sin45°<sin50°， ∴a <b <c ，即a ，b ，c 从大到小的顺序是c >b >a ． 故答案为：c >b >a ．根据同角的三角函数关系和正弦、正切函数的单调性，判断大小即可． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．13.答案：5π6解析：解：由已知可得y =f(x)=∣∣∣sinx √3cosx1∣∣∣=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)． 函数y =f(x)向左平移m(m >0)个单位长度后，所得函数解析式为y =2sin(x +m −π3). ∵所得到图象关于y 轴对称， ∴m −π3=π2+kπ，得m =5π6+kπ，k ∈Z ．当k =0时，m 的最小值是5π6． 故答案为：56π．由已知求得f(x)的解析式，再由函数的图象平移得到y =2sin(x +m −π3)，由所得到图象关于y 轴对称得m −π3=π2+kπ，取k =0得答案．本题考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象平移和性质，是基础题．14.答案：4√3+4解析：由正弦定理可得c =b⋅sinC sinB的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． ∵b =4，B =30°，C =45°， ∴由正弦定理：bsinB =csinC ， 可得：c =b⋅sinC sinB =4×√2212=4√2，∴S △ABC =12bcsinA =12×4×4√2×sin(180°−30°−45°)=8√2×√6+√24=4√3+4．故答案为：4√3+4．15.答案：2√2解析：解：∵cos(A +2C −B)+sin(B +C −A)=2，cos(A +2C −B)≤1，sin(B +C −A)≤1， ∴cos(A +2C −B)=1，sin(B +C −A)=1， ∵A ，B ，C ∈(0,π)，∴A +2C −B ∈(−π,3π)，B +C −A ∈(−π,2π)，∴由正弦函数，余弦函数的图象和性质可得：A +2C −B =0或2π，B +C −A =π2， ∴结合三角形内角和定理可得：{A +2C −B =0B +C −A =π2A +B +C =π①，或{A +2C −B =2πB +C −A =π2A +B +C =π②， 由①可得：A =π4，B =7π12，C =π6，由②可得：A =π4，B =−π12，C =5π6，(舍去)，∴由AB =2，利用正弦定理可得：2sin π6=BCsin π4，解得：BC =2√2． 故答案为：2√2．由cos(A +2C −B)+sin(B +C −A)=2，可得cos(A +2C −B)=1，sin(B +C −A)=1，由范围A ，B ，C ∈(0,π)，结合三角形内角和定理，三角函数的图象和性质可得：{A +2C −B =0B +C −A =π2A +B +C =π①，或{A +2C −B =2πB +C −A =π2A +B +C =π②，可解得A ，B ，C ，利用正弦定理可得BC 的值．本题主要考查了正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质，三角形内角和定理的综合应用，考查了转化思想和计算能力，利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角是解题的关键，属于中档题．16.答案：③⑥解析：【试题解析】解：根据题意，依次分析所给的函数：对于①y =x 3−2x ，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)3−2(−x)=−(x 3−2x)=−f(x)，函数f(x)为奇函数；②y =x|x|，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)|−x|=−x|x|=−f(x)，函数f(x)为奇函数； ③y =a x +a −x ，其定义域为R ，有f(−x)=a −x +a x =a x +a −x =f(x)，函数f(x)为偶函数，不是奇函数；④y =a x −a −x ，其定义域为R ，有f(−x)=a −x −a x =−(a x −a −x )=−f(x)，函数f(x)为奇函数； ⑤y =a x −1a x +1，其定义域为R ，有f(−x)=a −x −1a −x +1=1−a x a x +1=−a x −1a x +1=−f(x)，函数f(x)为奇函数；⑥y =a log a x ，其定义域为(0,+∞)，不是奇函数，⑦y =log a (√1+x 2+x).其定义域为R ，有f(−x)+f(x)=log a (√1+x 2−x)+log a (√1+x 2+x)=log a 1=0，即f(−x)=−f(x)，函数f(x)为奇函数； 其中③⑥不是奇函数； 故答案为：③⑥．根据题意，依次分析所给的函数是否是奇函数，综合即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．17.答案：(1)，(2)解析：试题分析：(1)因为是求角的大小，故用正弦定理把条件中的边化成角，可得，然后可求出的值，从而求出角的大小。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2020·重庆市第十一中学校高三月考）已知1sin 4x =，则3cos()2x π+=（ ）A ．14B ．14-C D ．【答案】A 【解析】31cos()cos()cos()sin 2224x x x x ππππ+=++=-+==故选：A 2．（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（文））已知()0,πα∈，若3πin 325s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．2425B ．1225C ．1225-D ．2425-【答案】D 【解析】3π33c 2s n os 55i αα⎛⎫+=⇒-=⎪⎝⎭，解得3cos 5α=-，又()0,πα∈，可得4sin 5α，所以24sin 22sin cos 25ααα==-.故选：D 3．（2021·山东济宁市·高一期末）“2ϕπ=”是“函数sin()y x ϕ=+为偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】2ϕπ=时，sin()sin()cos 2y x x x πϕ=+=+=是偶函数，充分性满足，但2πϕ=-时，sin()sin()cos 2y x x x πϕ=+=-=-也是偶函数，必要性不满足．应是充分不必要条件．故选：A ．4．（2020·安徽省六安中学高三月考（文））函数()2tan 1y x =-的对称中心的坐标是（以下的k Z ∈）（ ） A ．,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π B ．1,02k π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．(),0k πD ．1,02k π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由1,2k x k Z π-=∈，解得1,2kx k Z π=+∈ 函数()2tan 1y x =-的对称中心为1,0,2k k Z π⎛⎫+∈⎪⎝⎭.故选：D. 5．（2021·全国高三月考（理））已知函数()()()cos 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则（ ）A ．()π6f x x ⎫⎛=- ⎪⎝⎭B ．()π6f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭C ．()π26f x x ⎫⎛=- ⎪⎝⎭D ．()π26f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图象可知A =因为()302f =，所以cos 2ϕ=. 又0πϕ<<，可得=6πϕ由5π3f ⎫⎛=⎪⎝⎭，所以()5ππ2ππ36k k Z ω+=+∈， 解得()6152k k Z ω=+∈，结合选项可知12ω=，因此()π26f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭，故选：D ．6．（2021·全国高三其他模拟）黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，研究发现如下规律：AC BD CD AB AB BC ===.若CDE △是顶角为36°的等腰三角形，则cos216︒=（ ）A ．14-B ．C ．12+-D ．12-【答案】A【解析】由题意得在正五角星中，C ，D 为AB 的两个黄金分割点，易知BC CE =.因为12CD BC =，所以CD CE =，故不妨设2CE =，1CD =，则在CDE △中，)222221cos36222+-︒==⨯⨯从而()cos216cos 18036cos36︒=︒+︒=-︒=故选：A. 7．（2021·甘肃高三一模（文））在ABC 中，120A =︒，6BC =，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．12B ．1C D ．【答案】D【解析】由余弦定理，2226cos1202b c bc+-︒=，即22362b c bc bc +=-≥，当且仅当b c =时，等号成立，所以max ()12bc =，所以max 11sin 12222S bc A ==⨯⨯=，故选：D 8．（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（文））已知函数()f x 的周期为4π且()1f ϕ=，若()()π2sin 20,0π6f x x ωϕωϕ⎫⎛-=+><< ⎪⎝⎭，则关于函数()f x ，下面判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．4π3x =是函数()f x 的一条对称轴 C ．函数()f x 是奇函数 D ．π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心 【答案】A【解析】令t x ωϕ=-，则t x ϕω+=，所以()()22π2sin 0,0π6f t t ϕωϕωω⎛⎫=++><<⎪⎝⎭则()()22π2sin 0,0π6f x x ϕωϕωω⎛⎫=++><< ⎪⎝⎭，故周期242T ππω== 得4ω= 又()1f ϕ=，则()2sin 16f πϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为0ϕπ<<，所以566ππϕ+= 得23ϕπ= 所以()1π12sin 2cos 222f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由()()112cos 2cos 22f x x x f x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，故()f x 是偶函数，A 正确，C 错；由()f x 的对称轴方程为()2,x k k Z π=∈知B 错； 由()f x 的对称中心为()()21,0k π+，()k Z ∈ 知D 错；故选：A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．（2020·黄冈市外国语学校高一月考）若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置可能是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．笫四象限【答案】ABD【解析】α是第二象限的角，则222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，2236333k k ππαππ+<<<，k Z ∈， 当3,k n n Z =∈时，3α是第一象限角，当31,k n n Z =+∈时，3α是第二象限角， 当32,k n n Z =+∈时，3α是第四象限角，故选：ABD ．10．（2020·福建三明市·高一其他模拟）已知()0,απ∈，且1sin cos 5αα+=，则（ ） A ．12sin cos 25αα= B ．12sin cos 25αα=-C ．7cos sin 5αα-=D ．7cos sin 5αα-=-【答案】BD【解析】1sin cos 5αα+=，两边平方后()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，解得：12sin cos 25αα=-，故B 正确；()0,απ∈，12sin cos 025αα=-<，,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， cos sin 0αα-<，且()2cos sin 121249sin cos 122525αααα⎛⎫=-⨯-=⎪=-⎭-⎝， 解得：7cos sin 5αα-=-，故D 正确.故选：BD 11．（2021·江苏苏州市·苏州中学高一月考）要得到函数sin 2y x =的图像，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移23π个单位 D ．向右平移56π个单位 【答案】AD【解析】假设将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象平移ϕ个单位可得到sin 2y x =的图象，则平移后的解析式为()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，根据题意只需满足22,3k k Z πϕπ-=∈即可，故0k =时，6π=ϕ，即向左平移6π个单位长度，故A 符合；当1k =-时，56π=-ϕ，即向右平移56π个单位长度，故D 符合.故选：AD.12．（2021·福建莆田市·仙游一中高一开学考试）函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．(0)1f =B ．在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．2()()3f x f x π=-- D ．若()()1f a f b ==，则a b -的最小值为3π【答案】BCD【解析】由图可知，2A =，37341264T πππ=+=，所以T π=，则2ω=，所以732122ππϕ⨯+=，可得3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，得(0)2sin3f π==,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得(2),333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，可知函数为增函数；根据225()2sin 2()2sin(2)2sin(2)2sin(2)333333f x x x x x ππππππ⎡⎤-=-+=-=--=-+⎢⎥⎣⎦所以2()()3f x f x π=--；若()1f x =，可得12x k ππ=-+或4x k (k Z )π=+π∈，所以可知()()1f a f b ==时，a b -的最小值为3π.故选：BCD.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．（2021·新疆昌吉回族自治州·高一期末）已知tan 2θ=-，则sin cos sin cos θθθθ-+=_____．【答案】3【解析】由题意，分子分母同除以cos θ，可得sin cos tan 1213sin cos tan 121θθθθθθ----===++-+.故答案为：3.14．（2018·陆川中学（文））在△ABC 中，若BC ＝1，A ＝3π，sinB ＝2sinC ，则AB 的长度为__________．【解析】∵sin 2sin B C =，∴2b c =，又∵1BC =，3A π=，∴由余弦定理得：221422cos3c c c c π=+-⨯⨯，∴c =AB15．（2020·玉林市第十一中学高一月考）方程sin 2|sin |0,[0,2]x x k x π+-=∈有且仅有两个不同的根，则k 的取值范围是_________. 【答案】(1,3)【解析】当[0,]x π∈时，0sin 1x ≤≤，则3sin 0x k -=，即3sin [0,3]k x =∈；当[,2]x ππ∈时，1sin 0x -≤≤，则sin 0x k --=，即sin [0,1]k x =-∈；∴当1()0,k ∈，方程在[0,]π、[,2]ππ各有两个根，即共有四个不同的根；当(1,3)k ∈，方程只在[0,]π有两个不同的根；当3k =，方程只在[0,]π有一个根，当0,1k =，方程在[0,2]π有三个根，.故综上，(1,3)k ∈符合要求.故答案为：(1,3).16．（2021·全国高三专题练习）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，则(4)f =___________；(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++=__________．【答案】0 337【解析】因为(6)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为6的周期函数，当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，所以2(4)(2)(22)0f f =-=--+=，因为201763361=⨯+，(1)1f =，(2)2f =，2(3)(3)(32)1f f =-=--+=-，(4)0f =，(5)(1)1f f =-=-，(6)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++[]336(1)(2)(3)(6)(2017)f f f f f =⨯+++++336(121010)1337=⨯+-+-++=.故答案为0；337．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2020·北京昌平区·临川学校高一月考）函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且0x >时，()sin f x x x =+.（1）计算(0)()f f π+的值；（2）若()0,απ∈，且3()5f αα=+，计算()()cos 2sin 2cos 2k παπαπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+，()k Z ∈的值. 【解析】（1）因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =， 因为0x >时，()sin f x x x =+， 所以()sin f ππππ=+=， 所以(0)()f f ππ+=；（2）由诱导公式化简可得()()cos 2sin sin 2sin sin 2tan cos 2cos cos k παπαααααπααα⎛⎫+-+ ⎪-+⎝⎭===+， 因为3()sin 5f αααα=+=+，所以3sin 5α=，当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，4cos 5α===，此时sin 35tan cos 4534ααα===，当,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，4cos 5α===-， 此时3sin 35tan 4cos 45ααα===--， 综上所述：当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，原式的值为34；当,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，原式的值为34-.18．（2020·天津市四合庄中学高一月考）已知4cos 5α=-，并且α是第二象限的角. （1）求sin α和tan α的值； （2）求2sin 3cos cos sin αααα+-.【解析】（1）α是第二象限角，4cos 5α=-，可得3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==-，∴3sin 5α=，3tan 4α=-.（2）原式上、下同时除以cos α得，2sin 3cos 2tan 36cos sin 1tan 7αααααα++==--.19．（2021·全国高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，若点AB.（1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.【解析】因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A所以，由任意角的三角函数的定义可知，cosα，从而sinα因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B ，所以sinβ，从而cosβ．（1）cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ×()＋10×＝－10． （2）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ)×＝2．因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π)， 所以α＋β＝34π． 20．（2019·全国高三专题练习）已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+. （1）下图是sin()I A t ωϕ=+(0,)2πωϕ><在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式；（2）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？【解析】（1）由图可知300A =，设11900t =-，21180t =， 则周期211112()2()18090075T t t =-=+=，∴2150Tπωπ==. 1900t =-时，0I =，即1sin[150()]0900πϕ⋅-+=，sin()06πϕ-=. 而2πϕ<， ∴6πϕ=. 故所求的解析式为300sin(150)6I t ππ=+. （2）依题意，周期1150T ≤，即21150πω≤，(0)ω>， ∴300942ωπ≥>，又*N ω∈，故最小正整数943ω=.21．（2020·重庆市第十一中学校高三月考）已知函数1()2sin (05)63f x x πωω⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，给出以下三个条件：①直线3x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.②函数()f x 图像的任意相邻两条对称轴之间的距离为2π.③将函数()f x 图像的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到()12sin 63g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；从以上三个条件中任选一个作为条件(如果选择多个条件的，以选择的第一个条件的答案为准).你选择的条件是____________.求：（1）()f x 的单调递增区间；（2）()f x 在[0,]2π上的最小值和最大值.【解析】（1）选①时 直线3x π=是函数()f x 图象的一条对称轴．且1()2sin()(05)63f x x πωω=-+<<， ∴362k k Z πππωπ-=+∈，，23k ω∴=+，又05ω<<，所以2ω= 则1()2sin(2)63f x x π=-+． 选②时，函数()f x 图象的任意相邻两条对称轴之间的距离为2π． 故函数的周期为π，所以2ω=，则1()2sin(2)63f x x π=-+． 选③时，将函数()f x 图象的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到1()2sin()63g x x π=-+， 所以2ω=， 则1()2sin(2)63f x x π=-+． 令222,262k x k k Z πππππ-+-+∈，得()f x 单调递增区间：[,],63k k k Z ππππ-+∈， （2）由（1）知：令2,[0,]62t x x ππ=-∈， 所以5[,]66t ππ∈-， 所以1sin [,1]2t ∈-． 故()f x 最大值为73，最小值为23-． 22．（2019·石家庄市藁城区第一中学高一月考）已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()2sin()f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角φ的终边经过点(1,P ，若()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π. （1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数f （x ）在[]0,π上的单调递增区间；（3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2()mf x m f x +≥恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）角φ的终边经过点(1,P ，tan ϕ∴=02πϕ-<<，3ϕπ∴=-， ()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 23T π∴=，则23T π=，则23T πω==， ()2sin 33πf x x ⎛⎫=- ⎝∴⎪⎭;（2）令232,232πππk πx k πk Z -+-+∈，解得252,183183ππk πx k πk Z -++∈， 再结合[]0,x π∈，则5018πx ≤≤或11171818ππx ≤≤， 故()f x 在[]0,π上的单调递增区间为50,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1117,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可得3,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 3322πx ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎣∴⎝⎭⎦，则()[f x ∈， 由不等式()2()mf x m f x +≥恒成立，可得(1)()2m f x m --， 当10m -=时，即1m =，可得02≥-恒成立，满足题意；当10m ->时，即1m ，可得2()1m f x m --，只需231m m ---，解得233m --，可得1m ； 当10m -<时，即1m <，可得2()1m f x m -≤-，只需211m m -≥-，解得13m ≥，可得113m ≤<， 综上，实数m 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2020·江西高一月考）若角α的终边经过点()2cos30,2sin 45P -，则sin α= （ ）A ．12B ．CD ．12-2．（2020·江西高一月考）若3sin 125πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 12πθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ （ ） A ．35B ．45 C ．45-D ．353．（2021·陕西榆林市·高三二模（文））我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步，1尺＝0.231米，则该沙田的面积约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：2415.8172889.64=） A ．15.6平方千米B ．15．2平方千米C ．14.8平方千米D ．14.5平方千米4．（2021·河南高三月考（文））函数()cos 1xf x x =-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2021·全国高三其他模拟）若函数()sin 22x xf x =在()(),0a a a ->上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5π0,3⎛⎤⎥⎝⎦6．（2021·安徽高三期末（文））将函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，则以下说法正确的是（ ） A ．1ω= B ．函数()y f x =图象的一条对称轴为12x π=C ．()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 7．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（文））已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||ϕπ<）的图象过点2(,1)3π，且相邻两个零点的距离为2π.若将函数()f x 的图象向左平移4π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．7()sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．17()sin 224g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．15()sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8．（2021·全国高三专题练习）已知ABC 的三边分别为,,a b c ，且BC ，则c b b c +的最大值为 （ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．（2020·全国高一课时练习）(多选题)下列各式中，值为12的是（ ） A ．2tan 22.51tan 22.5︒︒- B ．2tan15cos 15⋅C 212πsin 212πD ．2tan 301tan 30︒︒-10．（2021·河北邯郸市·高一期末）已知曲线1:cos 4C y x =，2:sin 23C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把曲线1C 向左平移3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2CB ．把曲线1C 向右平移24π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2CC ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移12π单位长度，得到曲线2CD ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C11．（2021·全国高一课时练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，ABC S =△3b =，则（ ） A ．1cos 2B =B ．3cos 2B =C ．3a c +=D ．a c 32+=12．（2021·山东高三专题练习）函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56 B ．函数()f x 的图像关于点4(,0)3成中心对称C ．函数()f x 在11,26--⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．（2021·江苏高一课时练习）已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B，则A ＋B ＝____.14．（2021·上海高一）已知11sin sin ,cos cos 43αβαβ+=+=，那么tan()αβ+的值为_____________. 15．（2021·全国高三月考（理））锐角三角形ABC 的面积为S ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2222sin2S b c a A =+-，则A =________.16．（2021·浙江宁波市·高三月考）下图是函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤的部分图像，则ω=_____，ϕ=_____．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2021·江苏高一课时练习）化简下列各式：（1）111tan 1tan θθ--+；（2）222cos 12tan sin 44αππαα-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知点A 、B的横坐标标分别为10.求()cos αβ-的值..19．（2020·南昌市第三中学高一月考）已知函数()2sin 2sin 2f x x a x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的最小值为24a a +，求实数a 的值.20．（2021·江苏省苏州实验中学高一月考）现给出以下三个条件：①()f x 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π；②()f x 的图象上的一个最低点为2,23A π⎛⎫-⎪⎝⎭；③(0)1f =. 请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题. 已知函数()2sin()05,02f x x w πωϕϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭，满足___________，___________. （1）根据你所选的条件，求()f x 的解析式； （2）将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，得到()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间. 21．（2021·苏州市第五中学校高一月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++(其中0A >，0>ω，||2πϕ≤)求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？22．（2021·上海高一单元测试）如图，岛A 、C 相距9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市．（Ⅱ）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((0,30]V ∈)的小艇每小时的总费用为(21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？。