高一寒假讲义1 集合的概念及表示

高一集合的含义与表示1.集合的概念(1)含义：一般地，我们把_______统称为元素，把一些元素组成的_____叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的______是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写__________表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁(3)列举法：把集合的____一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的________及_________________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的________．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．预习自测1.下列给出的对象中，能组成集合的是()A．著名的数学家B．很大的数C．较胖的人D．小于3的整数2．下列关系：①0.21∈Q；②105∉N*；③－4∈N*；④4∈N.其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．33．集合{x ∈N *|x －2＜3}的另一种表示形式是 ( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4．下列集合：①{1,2,2}；②R ＝{全体实数}；③{3,5}；④不等式x －5＞0的解集为{x －5＞0}． 其中，集合表示方法正确的是________5．(1)用列举法表示集合{x ∈N |x ＜5}为________．(2)方程x 2－6x ＋9＝0的解集用列举法可表示为________．(3)用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为________.例1、下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目；④2的所有近似值；⑤1,2,3,1.能够组成集合的是________．1、下列每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市；(2)某校2016年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数； (4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点．例2、给出下列命题：①N 中最小的元素是1； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2.其中所有正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32、(1)给出下列几个关系式：2∈R ；0.3∈Q ；0∈N ；0∈{0}；0∈N ＋；12∈N ＋；－π∈Z ；－5∈Z .其中正确的关系式的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)已知集合M ＝{大于－2且小于1的实数}，则下列关系式正确的是( ) A.5∈M B ．0∉M C ．1∈M D ．－π2∈M例3、集合A＝{0,1，x}，又知x2∈A，求实数x的值.3、已知集合A含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，求实数a的值．例4、用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y＝x－1与y＝－23x＋43的图象的交点组成的集4、用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．例5、用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x＋2>2x＋1的实数x组成的集合；(2)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合；(3)所有正奇数组成的集合．5、把(1)，(2)，(3)分别更换条件如下，试分别求相应问题．(1)满足不等式3x＋2>2x＋1的有理数组成的集合；(2)在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的集合；(3)所有偶数组成的集合．例6、设集合A ＝{x 2，x ，xy }、B ＝{1，x ，y }，若集合A 、B 所含元素相同，求实数x 、y 的值.6、若将上式中的集合A 改为{a ，b a ，1}，B 改为{a 2，a ＋b,0}，其他条件不改变，怎样求a 2 015＋b 2 015的值．检测题1．下列各组对象，能构成集合的有 ( )①对环境污染不太大的塑料； ②中国古典文学中的四大名著；③所有的正方形； ④方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根．A ．①B ．①②C ．②③④D ．①②③④2．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则必有 ( )A ．－1∈AB ．0∈A C.3∈A D ．2∈A3．下列各组集合中，表示同一集合的是 ( )A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}4．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3，所组成的集合最多含有元素的个数为 () A ．2 B ．3C ．4D ．55．用适当的方法表示下列集合.(1)由大于－3且小于11的偶数组成的集合可表示为________；(2)不等式3x －6≤0的解集可表示为________；(3)方程x (x 2＋2x －3)＝0的解集可表示为________；(4)函数y ＝x 2－x －1图象上的点组成的集合可表示为________．。

高一数学第一学期授课讲义 集合的含义与表示（2课时）（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、∉关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。

集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x 2+1｝；｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；｛y|y=x 2+1｝；｛(x,y)|y=x 2+1｝； ∅；｛∅｝,｛0｝ 3、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅； （Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程： 一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。

集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、∉ ②、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性： ★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a 2+5a,10｝,又-3∈A ，求出a 之值。

●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=-32▲★课堂练习：1、书本P5：练习题1；P11：习题1.1：题1、2、4：①② 2、已知集合A=｛1，0，x ｝,又x 2∈A ，求出x 之值。

(解：x=-1)3、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a 2+3a+3｝,又1∈A ，求出a 之值。

（解：a=0) 二、集合的表示---------列举法和描述法 ★【例题2】、书本P4：例题1、P5：例题2★【例题3】、已知下列集合：（1）、1A =｛n | n = 2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）、2A =｛x | x = 2k, k ∈N, k ≤3｝；（3）、3A =｛x | x = 4k ＋1,或x = 4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。

高一集合的概念知识点讲解集合是数学中的一个基本概念，它是由一些特定的对象组成的整体。

在高中数学中，高一阶段学生开始接触并学习集合的相关概念和性质。

本文将对高一集合的概念知识点进行讲解，包括集合的定义、表示方法、基本运算以及常见的特殊集合等内容。

一、集合的定义在数学中，集合是由一些具有确定性质的对象组成的整体。

这些对象可以是数字、字母、图形或者任何其他数学对象。

具体而言，集合由元素组成，写作“A={a1, a2, a3, …}”表示集合A中包含了元素a1、a2、a3等。

二、集合的表示方法在集合中，常用的表示方法有三种：列举法、描述法和集合间关系表示法。

1. 列举法：直接将集合中的元素一一列举出来。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示A是一个包含了数字1、2、3和4的集合。

2. 描述法：通过描述元素的性质来表示集合。

例如，集合B={x | x是正整数且小于10}表示B是一个由小于10的正整数组成的集合。

3. 集合间关系表示法：利用集合间的关系来表示一个集合。

例如，若A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5}，则可以用运算符号表示A与B 的关系，如A∩B表示A与B的交集。

三、基本运算集合的基本运算包括并集、交集、差集、补集和笛卡尔积。

1. 并集：记作A∪B，表示由属于集合A或集合B的所有元素组成的新集合。

例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集：记作A∩B，表示同时属于集合A和集合B的元素组成的新集合。

例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

3. 差集：记作A-B，表示属于集合A但不属于集合B的元素组成的新集合。

例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。

4. 补集：对于给定的全集U，集合A相对于U的补集表示为A'或A^c，表示A中不属于U的元素组成的新集合。

第1讲集合的概念和关系一．集合的概念集合没有确切定义，是一个基本概念。

对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。

符号表示为{}，表示的意思为全体。

这些对象我们称之为元素。

集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述。

（2）集合是一个“整体。

（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的。

例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数；（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

【典例分析】1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过π的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x-=在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。

集合的概念及表示含答案知识梳理1、集合的概念：一般的我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。

2、集合的3个性质：⎪⎩⎪⎨⎧的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素3、元素与集合的表示：我们通常用 来表示集合，用 来表示元素。

4、元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作：A a ∈②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：注意：属于或不属于（∉∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上。

5、集合的分类： （集合含有有限个元素）；无限集（集合含有 个元素）；空集（不含任何元素的集合，用记号 表示）。

6、常用集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N *；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。

注意：（这些特定集合外面不用加{}）7、集合的表示：（1） ：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。

注意：一般用列举法，元素是有限的，在不产生歧义的情况下，无限集合也可以用列举法，例：正整数集合｛1，2，3，4，…｝．（2） ：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

例：{}4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。

（3） ：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

知识典例题型一 基本概念例1 下列各组对象中能构成集合的是（ ）A ．充分接近3的实数的全体B ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品【答案】C 巩固练习1、判断下面例子能否组成集合？（1）大于3小于12的所有偶数； （2）我国的小河流。

2、判断下面例子能否组成集合？中国的直辖市； （2）身材较高的人3、已知元素2x 在集合｛1，0，x ｝内，求实数x 的值4、集合｛a ，b ，c ｝中元素是三角形三边，则这个三角形不可能是 三角形．题型二 元素与集合的关系例 2 用符号“∈”或“∉”填空：（1）2_____N ；（2）33______Q ；（3）13______Z ；（4）3.14______R ；（5）3-______N ；（6）9_____Q .【答案】∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈巩固练习1、用符号“∈”或“∉”填空（1）N __0 （2）Z _____14.3 （3）Q______π （4）N _____14.3 2、下列写法正确的是（ ）A ．∅∉{}0B ．0∉∅C ．{}0∅∈D ．0∈∅【答案】B题型三 元素的性质应用例 3 已知{}31,2,A x=，且x A ∈，则实数x 的取值集合是______．【答案】{}1,0,2- 巩固练习1、已知集合{1,,1}A a a =-，若2A -∈，则实数a 的值为( )A ．2-B ．1-C ．1-或2-D ．2-或3- 【答案】C2、已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.【答案】2题型四 集合的表示例 4 用适当的方法表示下列集合：（1）英语单词mathematics （数学）中的所有英文字母组成的集合；（2）方程27x y +=的所有解组成的集合；（3）绝对值小于0的所有实数组成的集合.【答案】（1）{},,,,,,,m a t h e i c s ；（2）{(,)|27}x y x y +=；（3）{|||0}x x <或∅. 巩固练习1、用适当的方法表示下列集合：（1）方程(1)0-=x x 的所有解组成的集合A ；（2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B .【答案】（1）{0,1}；（2）{(,)|0,0}x y x y >>题型五 集合的分类例 5 在下列集合中，哪些是非空的有限集合？哪些是无限集合？哪些是空集？ （1）小于100的全体素数组成的集合；（2）线段AB 内包含AB 中点M 的所有线段组成的集合；（3）{|||10}A x x =+=；（4）{(,)|21}A x y y x ==+.【答案】（1）非空的有限集合；（2）无限集；（3）空集；（4）无限集.巩固练习用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A 、B 两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x >的x 的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈【答案】（1）集合{A =点}P PA PB =，无限集；（2）集合{}21B x x =>，无限集；（3）集合{}2,C x x k k Z ==∈，无限集；（4）集合{}51,D x x k k Z ==+∈，无限集；（5）集合{}2,3,5,7,11,13,17,19E =，有限集；（6）集合()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1F =，有限集；巩固提升1、下列几组对象可以构成集合的是（ ）A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7m 以上的人【答案】D2、若{}22111a a ∈++，，，则a =（ ） A ．2B ．1或－1C ．1D ．－1 【答案】D3、已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3 【答案】B4、含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭又可表示成{}2,,0a a b +，20142015a b +=______. 【答案】15、已知集合A ={1，2，a 2-2a }，若3∈A ，则实数a =______．【答案】3或-16、若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}7、下列说法：①集合{x∈N|x 3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}；③方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为{x ＝1，y ＝2}． 其中正确的有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【答案】D8、集合{|32}x x ∈-<N 用列举法表示是A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{0，1，2，3，4} 【答案】D9、已知{}A x x x R =≤∈，a =，b =( )A ．a A ∈且b A ∉B ．a A ∉且b A ∈C ．a A ∈且b A ∈D ．a A ∉且b A ∉ 【答案】B10、设集合{1,1,2}A =-，集合{|B x x A =∈且2}x A -∉，则B =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,2} 【答案】C11、已知集合{}2320A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是______； 【答案】98a ≤ 12、方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 【答案】()(){}2,2,2,2--13、集合{(,)|0,,}x y xy x R y R ∈∈是指（ ）A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点 【答案】D14、用符号“∈”或“∉”填空：①{}2|0A x x x =-=，则1_______A ，1-______A ；②(1,2)______{(,)|1}x y y x =+. 【答案】∈ ∉ ∈15、已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．9 【答案】B课堂检测（每小题5分，共25分）1、集合{|23}A x Z x =∈-<<的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D2、直线2y x =与3y x 的交点组成的集合是（ ） A ．{}3,6B ．36,C ．3,6x y ==D ．{}(3,6) 【答案】D3、设集合{|4},M x x a =≥=，则下列关系中正确的是（ ） A ．a M ∈B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ∉【答案】B4、已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 等于（ ） A ．-1B ．23-C ．32-D ．32-或-1 【答案】C 5、方程的解集为{}2|2320x R x x ∈--=，用列举法表示为____________. 【答案】1{,2}2-.。

高一集合知识点高中数学是中学阶段数学学科的重要组成部分，也是学生进一步深入学习和探究数学的基础。

高一数学知识点的学习不仅帮助学生夯实基础，为将来的学习奠定坚实的基础，同时也增加了学生的数学素养和思维能力。

本文将介绍高一数学的集合知识点，帮助大家全面了解和掌握。

一、集合的概念与表示集合是指具有某种特定性质的事物的总体。

集合中的每个元素都是无序的，且不重复。

集合可以用大括号{}表示，元素之间用逗号隔开。

例如，集合A表示为A={1, 2, 3, 4}，表示A中包含了元素1、2、3、4。

二、集合的分类1. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。

2. 有限集：元素个数有限的集合。

3. 等价集：具有相同元素的集合。

4. 全集：包含考虑问题范围内所有元素的集合，用符号ξ表示。

5. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集，用符号⊆表示。

三、集合的运算1. 并集：将两个集合中的所有元素合并成一个集合，用符号∪表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集：两个集合中共有的元素构成的集合，用符号∩表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

3. 差集：从一个集合中删去与另一个集合共有的元素，得到的集合，用符号-表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。

4. 互斥事件：如果两个集合的交集为空集，即没有共同元素，那么这两个集合称为互斥事件。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5, 6}，则A和B是互斥事件。

四、集合的性质1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念【考点梳理】考点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．考点二元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.考点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R考点四：集合的表示（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．【题型归纳】题型一：集合的概念1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是（）①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③2．下列说法中正确的有（）个：①很小的数的全体组成一个集合：②全体等边三角形组成一个集合；③{}R表示实数集；④不大于3的所有自然数组成一个集合.A．1B．2C．3D．43．下列叙述正确的是（）A ．方程2210x x ++=的根构成的集合为{}1,1--B ．{}220x x +==∅C ．集合(){},5,6M x y x y xy =+==表示的集合是{}2,3D ．集合{}1,3,5与集合{}3,1,5是不同的集合题型二：元素与集合的关系4．下列关系中①0N ∈；②27Z ∈；③3Z -∉；④Q π∉正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．下列五个写法，其中正确写法的个数为（ ）①{}{}00,1,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅IA ．1B ．2C ．3D ．46．设集合2{|2}M x R x =∈…，1a =，则下列关系正确的是（ ）A ．a M ÜB ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M Ü题型三：元素特性技巧解题7．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．28．已知{},1,1A x x =+，{}22,,B x x x x =+，且A B =，则x =（ ）A ．1x =或1x =-B ．1x =C ．0x =或1x =或1x =-D ．1x =-9．含有三个实数的集合既可表示成,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20132014a b +（）A ．-1B ．0C ．1D ．2题型四：集合的表示方法10．若用列举法表示集合311(,)1x y A x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭，则下列表示正确的是（ ） A ．{}32x y ==，B ．{}(32)，C ．{}32，D ．32x y =⎧⎨=⎩11．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（ ）A ．{（x ，y ）|x ＝0，y ≠0或x ≠0，y ＝0}B ．{（x ，y ）|x ＝0且y ＝0}C ．{（x ，y ）|xy ＝0}D ．{（x ，y ）|x ，y 不同时为零}12．集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（ ）A ．{x |x =2n ±1，n ∈Z }B ．{x |x =2n +1，n ∈Z }C ．{x |x =2n +1，n ∈N *}D ．{x |x =2n +1，n ∈N }【双基达标】一、单选题13．已知集合{}1,2A =，{},,B x x a b a A b A ==-∈∈，则集合B 中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是（ ）A ．x ≠–1B ．x ≠0C ．x ≠–1且x ≠0且x ≠3D ．x ≠–1或x ≠0或x ≠315．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）A ．{x |-3<x <11，x ∈Z }B ．{x |-3<x <11}C ．{x |-3<x <11，x =2k }D ．{x |-3<x <11，x =2k ，k ∈Z }16．下列关系正确的是（ ）A ．0N *∈B ．Q π∈C ．0∈∅D ．2R ∈17．集合A ＝{1，－3，5，－7，9，L }用描述法可表示为（）A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N }B ．{x |x ＝（－1）n （2n －1），n ∈N }C ．{x |x ＝（－1）n （2n ＋1），n ∈N }D ．{x |x ＝（－1）n －1（2n ＋1），n ∈N }18．下列叙述正确的是（ ）A ．集合{x |x <3，x ∈N }中只有两个元素B ．{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}C ．整数集可表示为{Z }D ．有理数集表示为{x |x 为有理数集}19．有下列四个命题：①{0}是空集；②若a N ∈，则a N -∉；③集合2{|210}A x R x x =∈-+=有两个元素；④集合6B x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集. 其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．320．已知关于x 的方程26(0)x x a a -=>的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是（ ）A ．3，6，9B ．6，9，12C ．9，12，15D ．6，12，1521．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ）A ．{ x |是小于18的正奇数}B ．{}|41,5x x k k Z k =+∈<且C ．{}|43,,5x x s s N s =-∈≤且D ．{}|43,,5x x s s N s *=-∈≤且22．给出下列6个关系：①22R ∈，②3Q ∈，③0N ∉，④4N ∉，⑤Q π∈，⑥2Z -∉，其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【高分突破】23．已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．8C ．5D ．424．集合{x |3213x -<-≤，x ∈Z }等于（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{0，1}25．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是（）A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M26．已知x，y都是非零实数，x y xyzx y xy=++可能的取值组成集合A，则（）A．2∈A B．3∉A C．－1∈A D．1∈A27．设集合{1,2,3,4}A=，{5,6}B=，{|,}C x y x A y B=+∈∈，则C中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．628．设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则11aa+-∈M.则下列结论正确的是（）A．集合M中至多有2个元素B．集合M中至多有3个元素C．集合M中有且仅有4个元素D．集合M中至少有4个元素29．已知集合{1M=，2m+，24}m+，且5M∈，则m的值为（）A．1或1-B．1或3C．1-或3D．1，1-或330．若集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（）A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B二、多选题31．(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是（ ）A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)}B ．M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R}32．(多选题)若集合A ={x |kx 2+4x +4=0，x ∈R}只有一个元素，则实数k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．333．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5|Z k n k n =+∈，0k =，1，2，3，4，给出如下四个结论，其中，正确结论的是（ ） A ．[]20211∈B ．[]33-∈C ．若整数a ，b 属于同一“类”，则[]0a b -∈D ．若[]0a b -∈，则整数a ，b 属于同一“类”34．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下四个命题，其中正确命题的有（ ）A ．若1m =，则{}1S =B ．若12m =-，则114m ≤≤C ．若12l =，则202m -≤≤D ．112m -≤≤ 35．下面四个说法中错误的是（ ）A ．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C ．方程x 2﹣2x +1＝0的所有解组成的集合是{1，1}D ．0与{0}表示同一个集合36．设集合{}3,,A x x m n m n N *==+∈，若1x A ∈，2x A ∈，12x x A ⊕∈，则运算⊕可能是（ ） A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法37．若集合A 具有以下性质：（1）0∈A ，1∈A ；（2）若x ∈A ，y ∈A ；则x ﹣y ∈A ，且x ≠0时，1x ∈A ．则称集合A 是“好集”．下列命题中正确的是（ ）A ．集合B ＝{﹣1，0，1}是“好集”B ．有理数集Q 是“好集”C ．整数集Z 不是“好集”D ．设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x +y ∈A三、填空题38．用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______N ； （2）2021(1)-_____Z ；（3）44_____Q ； （4）2()π-_____R ；（5）1_____{|}1x x y x =-； （6）1_____{|}1x y y x =-； （7）(2,2)_____{|}1x x y x =-； （8）∅_____ {,{0}}∅.39．若集合2{|440}A x kx x =-+=只有一个元素，则集合A =______．40．已知集合{}221,(1),33A m m m m =+--+，若1A ∈，则2021m =__________.41．设集合{}222,3,3,7,2,0A a a a B a a⎧⎫=-++=-⎨⎬⎩⎭，已知4A ∈且4B ∉，则实数a 的取值集合为__________.42．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B ，1＋2________B ； （2）设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C ，5________C ；（3）设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y )组成的集合，则－1________D ，(－1，1)________D ．43．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会？”则此三女前三次相会经过的天数用集合表示为____.四、解答题44．（1）已知{}221,251,1A a a a a =-+++，2A -∈，求实数a 的值；（2）已知集合{}2340A x R ax x =∈--=，若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围．45．已知函数f （x ）=2x -ax +b （a ，b ∈R ）.集合A ={x |f （x ）-x =0}，B ={x |f （x ）+ax =0}，若A ={1，-3}，试用列举法表示集合B .46．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230x x +-<的解集（3）²230x x+-=的解集47．已知集合A的元素全为实数，且满足：若a A∈，则11aAa+∈-．（1）若3a=-，求出A中其他所有元素；（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a A∈，再求出A中的元素；（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？48．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【答案详解】1．C【详解】①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，不能构成集合．故选：C.2．B【详解】①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：②全体等边三角形组成一个集合，故正确；③{}R 表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确. 故选：B3．B【详解】对于A ，方程2210x x ++=的根构成的集合为{}1-，故A 错误；对于B ，方程220x +=无解，所以{}220x x +==∅，故B 正确；对于C ，集合(){},5,6M x y x y xy =+==为点集，集合{}2,3是数集， 故C 错误；对于D ，由集合元素的无序性可得集合{}{}13,1,5,3,5=，故D 错误. 故选：B.4．C【详解】①因为0是自然数，所以0N ∈，故正确；②因为27不是整数，所以27Z ∉，故错误；③因为3-是整数，所以3Z -∈，故错误；④因为π是无理数，所以Q π∉，故正确；故选：C.5．B【详解】解：①{}{}00,1,3Ü，故①错误，②{}0∅⊆，故②正确，③{}{}0,1,21,2,0=，故③正确，④0∉∅，故④错误，⑤0为元素，与∅无法运算，故⑤错误；故选：B6．D【详解】解：22x …，22x ∴-剟，{|22}M x R x ∴=∈-剟，又1a =，a M ∴∈，{}a M Ü．故选：D.7．B【详解】 因为{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩， 当1a =时，不满足集合元素的互异性，故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.8．D【详解】当1x =时，集合{}1,2,1A =，{}1,2,1B =都出现两个1，出现了互异性的错误，排除ABC ，当1x =-时，{}1,0,1A =-，{}1,0,1B =-，A B =，故选：D.本题考查了集合性质，属于基础题.9．A【详解】 解：由题意得，{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以0b a=即0a ≠，1a ≠，即0b =，则有{}{}2,0,1,,0a a a =，所以21a =，解得1a =-， ∴201320141a b +=-.故选：A.10．B【详解】因为3111x y x y +=⎧⎨-=⎩可解得：32x y =⎧⎨=⎩， 所以{}311(,)(32)1x y A x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪==⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭，. 故选：B11．C【详解】A.表示x 轴和y 轴上的点，但不包含原点，故A 错误；B.集合中只有一个元素，就是原点，故错误；C.00xy x =⇔=或0y =，即表示坐标轴上点的集合，故C 正确；D.表示平面中的点，但不包含原点，故错误.故选：C.12．D对于A ：{}{|}3,1,1,321,5x x n n Z =--=±∈，，故A 错误；对于B ：{}{|}3,1,1,321,5x x n n Z =--=±∈，，故B 错误；对于C ：{}*{|}3,5,217,x x n n N =+∈=，，故C 错误；对于D ：{}{|}1,3,5,2,17x x n n N ==+∈，，故D 正确.故选：D13．C【详解】解：由题意知：{1,2}a ∈，{1,2}b ∈，{}{}|,,0,1,1B x x a b a A b A ==-∈∈=-，∴集合B 中元素个数为3.故选：C.14．C【详解】集合{3，x ，x 2–2x }中，x 2–2x ≠3，且x 2–2x ≠x ，且x ≠3，解得x ≠3且x ≠–1且x ≠0，故选：C ．15．D【详解】解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3<x <11，x =2k ，k ∈Z ，所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x |-3<x <11，x =2k ，k ∈Z }，故D 符合题意；对于A ，集合表示的是大于-3且小于11的整数，不符题意；对于B ，集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意；对于C ，集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意. 故选：D.16．D【详解】对于A ，因为0不是正整数，所以0N *∉，所以A 错误，对于B ，因为π是无理数，所以Q π∉，所以B 错误，对于C ，因为空集是不含任何元素的集合，所以0∉∅，所以C 错误， 对于D ，因为2是实数，所以2R ∈，所以D 正确，故选：D17．C解：观察集合A 的前几项发现：A 的元素都是奇数，并且偶数项为负，奇数项为正； ∴可表示为(1)(21)n x n =-+，n N ∈；{|(1)(21)n A x x n ∴==-+，}n N ∈．故选：C.18．B【详解】A.集合中元素有0，1，2，错；B.{}{}22101x x x -+==，正确；C.整数集表示为Z ，错；D.有理数集表示为{x |x 为有理数}，错.故选：B.19．B【详解】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；②中当0a =时不成立，不正确；③中2210x x -+=有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ④中集合6{|}{1,2,3,6}B x N N x=∈∈=是有限集，正确， 故选：B20．B【详解】解：关于x 的方程26(0)x x a a -=>等价于260x x a --=①，或者260x x a -+=②． 由题意知，P 中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和．0a >，对于方程①，()2(6)413640a a ∆=--⨯⨯-=+>．∴方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6． 而对于方程②，364a ∆=-，当9a =时，0∆=可知方程②有两相等的实根为3， 在集合中应按一个元素来记，故P 中元素的和为9； 当9a >时，∆<0方程②无实根，故P 中元素和为6； 当09a <<时，方程②中0∆>，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6， 故P 中元素的和为12.故选：B ．21．D【详解】对于A ：{ x |是小于18的正奇数}={}1,3,5,7,9,11,13,15,17，，故A 错误； 对于B ：{}{}|41,53,1,5,9,13,17x x k k Z k =+∈<=-且，故B 错误； 对于C ：{}{}|43,,53,1,5,9,13,17x x s s N s =-∈≤=-且，故C 错误；对于D ：{}{}|43,,51,5,9,13,17x x s s N s *=-∈≤=且，故D 正确.故选：D22．A【详解】R 、Q 、N 、Z 分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集， 所以，22R ∈，3Q ∉，0N ∈，42N =∈，Q π∉，22Z -=∈， 因此，①正确，②③④⑤⑥不正确，故选：A ．23．A【详解】223x y +≤23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.24．B【详解】解：{x |3213x -<-≤，x ∈Z }={x |2-<2x ≤4，x ∈Z }={x |1-<x ≤2，x ∈Z }={0，1，2}， 故选：B ．25．C【详解】由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2．所以方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2．故方程的另一根为－1．故选：C ．26．C【详解】①当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3；②当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1；③当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1；④当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1，∴集合A ＝{－1，3}．∴－1∈A .故选：C27．C【详解】因集合{1,2,3,4}A =，{5,6}B =，又,x A y B ∈∈，则当5y =时，x y +的值有：6，7，8，9，当6y =时，x y +的值有：7，8，9，10，于是得{6,7,8,9,10}C =， 所以C 中元素的个数为5.故选：C28．D【详解】因为a ∈M ，11a a+-∈M ， 所以111111aa a a ++-+--＝－1a ∈M ， 所以1111a a +---＝11a a -+∈M ， 又因为11111a a a a -++--+＝a ，所以集合M 中必同时含有a ，－1a ，11a a+-，11a a -+这4个元素， 由a 的不确定性可知，集合M 中至少有4个元素．故选：D29．B【详解】解：5{1∈，2m +，24}m +，25m ∴+=或245m +=，即3m =或1m =±.当3m =时，{1M =，5，13}；当1m =时，{1M =，3，5}；当1m =-时，{1M =，1，5}不满足互异性，m ∴的取值集合为{1，3}.故选：B . 30．C 【详解】集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，{}[)211,A y y x ==+=+∞，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，(){}2,1B x y y x ==+，经验证，(3，10)∈B .故选：C ． 31．ABD 【详解】选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[)1,+∞，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}=[)1,+∞，故M =P ； 选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合． 故选ABD ． 32．AB 【详解】集合A 中只有一个元素，即方程kx 2+4x +4=0只有一个根， 当k =0时，方程为一元一次方程，只有一个根，当k ≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则∆=16-16k =0，即k =1，所以实数k 的值为0或1. 故选：AB 33．ACD 【详解】对于A ：因为202140451=⨯+，所以[]20211∈，故选项A 正确； 对于B ：因为()3512-=⨯-+，所以[]32-∈，故选项B 错误；对于C ：若a 与b 属于同一类，则15a n k =+，25b n k =+，()[]1250(a b n n -=-∈其中1n ，2Z)n ∈，故选项C 正确；对于D ：若[]0a b -∈，设5,Z a b n n -=∈，即5,Z a n b n =+∈，不妨令5,Z b m k m =+∈，0k =，1，2，3，4，则()555a m n k m n k =++=++，m ∈Z ，Z n ∈，所以a 与b 属于同一类，故选项D 正确； 故选：ACD. 34．ABC 【详解】对于A 选项，若1m =，则2211x l x l ≤≤⇒≤≤， 根据当x S ∈时，有2x S ∈，可得21l l l≥⎧⎨≤⎩，得101l l ≥⎧⎨≤≤⎩，可得1l =，故{}1S =，A 对； 对于B 选项，若12m =-，则214m =，则214l ll⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得114l ≤≤，B 对；对于C 选项，若12l =，则12S x m x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，即212022m m m ≤≤⇒-≤≤，C 对； 对于D 选项，若1m =-，1l =时，此时{}11S x x =-≤≤符合题意，D 错. 故选：ABC ．35．CD 【详解】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A 正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B 正确； 方程x 2﹣2x +1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C 错误； 由集合的表示方法知0不是集合，故D 错误， 故选：CD ． 36．AC由题意可设1113x m n =+，2223x m n =+，其中1m ，2m ，1n ，2n N *∈， 则()1212x x m m +=+()123n n ++，12x x A +∈，所以加法满足条件，A 正确；()()1212123x x m m n n -=-+-，当12n n =时，12x x A -∉，所以减法不满足条件，B 错误；()121212112133x x m m n n m n m n ==++，12x x A ∈，所以乘法满足条件，C 正确；11122233x m n x m n +=+，当()11220mnm n λλ==>时，12xA x ∉，所以出发不满足条件，D 错误.故选：AC . 37．BCD 【详解】解：对于A ，假设集合B 是“好集”，因为1B -∈，1B ∈，所以112B --=-∈，这与2B -∉矛盾，所以集合B 不是“好集”．故A 错误；对于B ，因为0Q ∈，1Q ∈，且对任意的x Q ∈，y Q ∈有x y Q -∈，且0x ≠时，1Q x ∈，所以有理数集Q 是“好集”，故B 正确；对于C ，因为2Z ∈，但12Z ∉，所以整数集Z 不是“好集”．故C 正确；因为集合A 是“好集”，所以0A ∈，又y A Î，所以0y A -∈，即y A -∈，又x A ∈，所以()x y A --∈，即x y A +∈，故D 正确． 故选：BCD ．38．∈∈∉∈∉∉∉∈. 【详解】（1）N 是自然数集，所以0N ∈； （2）Z 是整数集，所以()202111Z -=-∈；（3）Q 是有理数集，所以442Q =∉； （4）R 是实数集，所以()2R ππ-=∈；（5）1xy x =-中1x ≠，所以11x x y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭； （6）1xy x =-={}1y y ≠，所以11x y y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭； （7）（2,2）表示点，{|}1xx y x =-表示数集，所以()2,21x x y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭； （8）集合{}{},0∅中有2个元素，分别是∅，{}0，所以{}{},0∅∈∅. 故答案为：∈；∈； ∉；∈； ∉； ∉；∉；∈ 39．{}1或{}2解：A 只有一个元素；∴方程2440kx x -+=只有一个解；0k =①时，440x -+=，1x =，满足题意； 0k ≠②时，16160k =-=；1k ∴=；解2440x x -+=得，2x =；{}1A ∴=或{}2．故答案为：{}1或{}2． 40．1 【详解】依题意，分别令11m +=，得0m =，此时()211m -=，不满足互异性； 当()211m -=，得0m =或2m =，检验后，都不满足互异性； 当2331m m -+=，解得：1m =或2m =，经检验，1m =，成立， 所以20211=m . 故答案为：1 41．{4} 【详解】当234a a -=时，可得4a =或1a =-， 若1a =-时，则274a a++=，不合题意；若4a =时，则2711.5a a ++=，|2|2a -=符合题意；当274a a++=，可得1a =-或2a =-， 若1a =-，则234a a -=，不合题意； 若2a =-，则|2|4a -=，不合题意. 综上所述：4a =. 故答案为：{4}42．∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ 【详解】（1）∵231211=> ∴23∉B ； ∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11， ∴1＋2<11 ，∴1＋2∈B ．（2）∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ； 当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C ．（3）∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数， ∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D ． 故答案为：∉，∈，∉，∈，∉，∈. 43．{}60,120,180 【详解】因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60， 所以三女前三次相会经过的天数用集合表示为{}60,120,180. 故答案为：{}60,120,180. 44．（1）32a =-；（2）9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >． 【详解】（1）因为210a +>，故212a +≠-， 因为2A -∈，则12a -=-或22512a a ++=-.①当12a -=-时，即当1a =-时，此时212512a a a -=++=-，集合A 中的元素不满足互异性； ②当22512a a ++=-时，即22530a a ++=，解得32a =-或1a =-（舍），此时512a -=-，21314a +=，集合A 中的元素满足互异性. 综上所述，32a =-；（2）因为集合{}2340A x R ax x =∈--=中有两个元素，则09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，解得916a >-且0a ≠， 因此，实数a 的取值范围是9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >. 45．{-3，3}. 【详解】：解答：A ={1，-3}，∴f （1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，即1−a +b −1=b −a =0，（9+3a +b ）+3=3a +b +12=0， 解得a =−3，b =−3.∴f （x ）+ax =2x +3x -3+（-3x ）=2x -3=0. ∴x =±3， ∴B ={-3，3}. 46 【详解】（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示； （2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示； （3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．47．(1)由题意可知：3A -∈，则()()131132A +-=-∈--，11()12131()2A +-=∈--，1132113A +=∈-，12312A +=-∈-， 所以A 中其他所有元素为11223-，，； (2)假设0A ∈，则10110A +=∈-，而当1A ∈时，11a a+-不存在，假设不成立， 所以0不是A 的元素，取3a =，则13213A +=-∈-，1(2)11(2)3A +-=-∈--，11()13121()3A +-=∈--，1123112A +=∈-， 所以当3A ∈，A 中的元素是：3，2-，13-，12；(3)猜想A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数. 由(2)知：0,1A ∉， 若1A -∈，则1(1)01(1)A +-=∈--，与0A ∉矛盾，则有1A -∉，即1,0,1-都不在集合A 中， 若实数1a A ∈，则12111a a A a +=∈-，12131211111111111a a a a A a a a a +++-===-∈+---， 311431111()111111()a a a a A a a a +-+-===∈-+--，1415114111111111a a a a a A a a a -+++===∈---+， 又由集合元素互异性知，A 中最多只有4个元素1234,,,a a a a 且132411,a a a a =-=-， 显然12a a ≠，否则11111a a a +=-，得211a =-无实数解，同理，14a a ≠，即A 中有4个元素，所以A中没有元素101-，，；A中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.48．（1）a＝0或a＝98；（2）9|8a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；（3）a≥98或a＝0.【详解】解：（1）当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝23，符合题意．当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，∆＝9－8a＝0，得a＝98.所以当a＝0或a＝98时，集合A中只有一个元素．（2）由题意得，当0,980,aa≠⎧⎨∆=->⎩即a<98且a≠0时方程有两个实根，又由（1）知，当a＝0或a＝98时方程有一个实根．所以a的取值范围是9|8a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.（3）由（1）知，当a＝0或a＝98时，集合A中只有一个元素．当集合A中没有元素，即A＝∅时，由题意得0,980,aa≠⎧⎨∆=-<⎩解得a>98.综上得，当a≥98或a＝0时，集合A中至多有一个元素.。

数学基础知识第一讲 集合知识要点一：集合的有关概念⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。

⑵集合中元素的特性：⎪⎩⎪⎨⎧的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。

⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：A a ∈②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ∉（注意：属于或不属于（∉∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上）⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号∅表示）⑸集合的表示：①集合的表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。

例：{}2,1=A描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

例：{}4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。

图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N *；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。

（这些特定集合外面不用加{}）高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些简单集合。

例题讲解：夯实基础一、判断下列语句是否正确1）大于5的自然数集可以构成一个集合。

正确{}5>∈x N x2）由1，2，3，2，1构成一个集合，这个集合共有5个元素。

错误3）所有的偶数构成的集合是无限集。

正确4）集合{}{}b a c B c b a A ,,,,,==则集合A 和集合B 是两个不同的集合。

高一数学：集合讲义一、集合及其基本概念1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。

集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。

注意：集合｛0｝与空集∅的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。

例1：下列各项中不能组成集合的是（A ）所有正三角形 （B ）《数学》教材中所有的习题（C ）所有数学难题 （D ）所有无理数2、元素与集合的关系一个集合A 与一个对象a ，要么a 是A 中的元素，记作a A ∈（读作a 属于A ）；要么a 不是A 中的元素，记作a A ∉（读作a 不属于A ）。

这个性质即为集合中元素的确定性。

在元素与集合之间，只能用∈或∉表示，它们之间只存在这两种关系。

例2、若A={x | x=0}，则下列各式正确的是（A ）φ=A （B ）φ∈A（C ）{ 0 }∈A （D ）0 ∈A3、集合的表示方法我们用列举法与描述法表示一个集合。

列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。

描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作{}|x x 具有某种特性。

我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用N 表示；正整数集可以用+N 表示；整数集可以用Z 表示；有理数集可以用Q 表示；实数集可以用R 表示。

例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(____________________例4、解不等式23<-x ，并把其正整数解表示出来__________________________.二、集合与集合的关系1、子集对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆。

任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。

2、真子集对于两个集合A 和B ，如果集合A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ⊂≠B 。

集合的含义与表示一、知识概括1、集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），通常用小写拉丁字母a,b,c ,…表示。

把一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C ，…表示。

集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样，是集合论中的原始概念，只进行描述说明，无法定义概念。

某些教材中对集合的描述是：指定的某些对象的全体称为集合。

其中，注意理解（1）指定即说明某些对象具有共同的特征或共同的属性，说明已具备判定对象是否成为该集合的元素的判定标准，而不是随意组合。

（2）对象在不同的集合中，应有不同的内涵。

在不同的集合中，元素还可能是人、物、质点或抽象事物等。

（3）全体说明集合是一个整体概念，针对全部对象而言，并且在这个整体中各元素间无先后排列要求，没有一定的顺序关系。

【注】（1）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

（2）构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任何确定的对象。

2、集合元素的特性集合元素具有确定性、互异性、无序性三大特性。

（1）确定性集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合。

如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不够明确，而“身高超过170cm 的同学”这一组对象可以构成一个集合。

（2）互异性集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）也就是说，相同的元素在一个集合中只能出现一次。

如方程0122=+-x x 的解构成的集合是{1}，而不能写成{1,1}（3）无序性集合中元素的排列次序无先后之分，如集合{1,2}和{2,1}是同一个集合。

3、集合与元素的关系元素与集合有属于（∈）和不属于（∉）两种关系。

如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。

高一上数学集合的概念摘要：一、集合的概念1.集合的定义2.集合的元素3.集合的表示方法二、集合的基本运算1.集合的并集2.集合的交集3.集合的补集三、集合之间的关系1.子集2.超集3.相等集四、集合的应用1.数学问题中的集合应用2.集合在实际生活中的应用正文：集合是数学中的一个基本概念，它是一种包含一组元素的东西。

在高一上学期的数学课程中，我们将学习集合的概念以及集合的基本运算和关系。

一、集合的概念集合的定义是指一个确定的、互异的、无序的一组元素。

这些元素可以是任何事物，如数字、字母、人、动物等。

集合的元素是集合的基本构成部分，可以是单个元素，也可以是多个元素。

集合的表示方法有列举法、描述法和图示法等。

二、集合的基本运算集合的运算主要包括并集、交集和补集三种。

集合A 和集合B 的并集是指包含所有属于集合A 或集合B 的元素的集合。

集合A 和集合B 的交集是指包含所有既属于集合A 又属于集合B 的元素的集合。

集合的补集是指包含所有不属于该集合的元素的集合。

三、集合之间的关系集合之间存在三种关系：子集、超集和相等集。

如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么前者是后者的子集。

如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么前者是后者的超集。

如果两个集合拥有相同的元素，那么这两个集合是相等集。

四、集合的应用集合在数学中有广泛的应用，如集合的运算可以用来解决一些复杂的问题，如集合的补集可以用来求解一些不等式问题，集合的关系可以用来证明一些数学结论。

此外，集合的概念和运算在实际生活中也有广泛的应用，如数据处理、计算机科学、经济学等领域。

高一数学集合【知识要点】一、集合的含义及其表示1、一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。

集合中的每一个对象称为该集合的元素。

集合的性质：（1）确定性：班级中成绩好的同学构成一个集合吗？（2）无序性：班级位置调换一下，这个集合发生变化了吗？（3）互异性：集合中任意两个元素是不相同的。

如：已知集合A ＝{1，2，a}，则a 应满足什么条件？常用数集及记法（1）自然数集：记作N （2）正整数集：记作*N N +或 （3）整数集：记作Z （4）有理数集：记作Q （5）实数集：记作R例：下列各种说法中，各自所表述的对象是否确定，为什么？（1）我们班的全体学生； （2）我们班的高个子学生； （3）地球上的四大洋； （4）方程x 2－1＝0的解； （5）不等式2x －3>0的解； （6）直角三角形； 2、集合的表示法（1）列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：{…}（2）描述法：将集合的所有元素都具有的 性质（满足的条件）表示出来，写成{x| P （x ）}的形式。

如：{x ︱x 为中国的直辖市}（3）集合的分类：有限集与无限集 <1>有限集：含有有限个元素的集合。

<2>无限集：若一个集合不是有限集，就称此集合为无限集。

<3>空集：不含任何元素的集合。

记作Φ，如： 二、子集、全集、补集1、子集的定义：如果集合A 的任一个元素都在集合B 中 则称集合A 为集合B 的子集，记作：A ⊆B B A ⊇或特别的：A AA ⊆∅⊆ 真子集的定义：如果A ⊆B 并且B A ≠，则称集合A 为集合B 的真子集。

2、补集的定义：设A 为S 的子集，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记作：AC S ＝{x ∣x ∈S 且x ∉A}，如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，就把S 称为全集。

三、交集与并集的定义1、定义：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集；记作：A ∩B ；由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集；记作：A ∪B 。

此文档下载后即可编辑高一数学：集合讲义一、集合及其基本概念1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。

集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。

注意：集合｛0｝与空集∅的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。

例1：下列各项中不能组成集合的是（A ）所有正三角形 （B ）《数学》教材中所有的习题（C ）所有数学难题 （D ）所有无理数2、元素与集合的关系一个集合A 与一个对象a ，要么a 是A 中的元素，记作a A ∈（读作a 属于A ）；要么a 不是A 中的元素，记作a A ∉（读作a 不属于A ）。

这个性质即为集合中元素的确定性。

在元素与集合之间，只能用∈或∉表示，它们之间只存在这两种关系。

例2、若A={x | x=0}，则下列各式正确的是（A ）φ=A （B ）φ∈A（C ）{ 0 }∈A （D ）0 ∈A3、集合的表示方法我们用列举法与描述法表示一个集合。

列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。

描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作{}|x x 具有某种特性。

我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用N 表示；正整数集可以用+N 表示；整数集可以用Z 表示；有理数集可以用Q 表示；实数集可以用R 表示。

例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(____________________例4、解不等式23<-x ，并把其正整数解表示出来__________________________.二、集合与集合的关系1、子集对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆。

任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。

2、真子集对于两个集合A 和B ，如果集合A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ⊂≠B 。

高一数学第一章集合一、集合有关概念1.集合的含义：2.集合的中元素的三个特性：3.集合的表示：A={…}有法和法。

如：A={我校的篮球队员}，B={太平洋,大西洋}，C={x?R|x-3>2}★注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R4、集合的分类：(1)有限集含有个元素的集合；(2)无限集含有个元素的集合；(3)空集元素的集合。

例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能：（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

注意：B另外规定：空集是的子集。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA真子集:如果那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)规定:空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有个子集，个真子集性质：如果A?B,B?C,那么AC；如果A?B同时B?A那么AB2．“相等”关系：A=B如：(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”记住这个结论：例1：设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求例2：若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，求m 的值。

例3：已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈,且C B ⊆,求a 的取值范围。

巩固一下：请在30分钟内完成下列各题：1.若集合{},,Ma b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2.下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3.下列表示图形中的阴影部分的是（） A ．()()A C B C U I U B ．()()A B A C U I U C ．()()A B B C U I U D ．()A B C U I 4.方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是（）A ．()5,4B ．()4,5-C ．(){}4,5-D ．(){}4,5-。

集合的概念高一数学（最新版）目录1.集合的定义与表示方法2.集合的元素特性3.集合的分类4.集合的运算5.集合的应用正文一、集合的定义与表示方法集合是数学中一个重要的概念，它包含了一组确定的元素。

集合可以用大写字母表示，如 A、B 等。

集合的元素可以用小写字母表示，如 a、b 等。

集合的定义可以表述为：一个集合是由一组确定的元素所组成的，集合中的元素具有唯一性，即集合中任何元素都只能出现一次。

二、集合的元素特性集合的元素具有以下特性：1.确定性：集合中的元素是确定的，不会有任何模糊或不确定的地方。

2.无序性：集合中的元素没有先后顺序，也不会因为元素的顺序改变而改变集合的本质。

3.互异性：集合中的元素互相独立，不会有重复的元素出现。

4.完整性：集合中的元素是完整的，不会有任何缺失的元素。

三、集合的分类集合可以按照元素的性质进行分类，一般分为以下几类：1.数集：由数字构成的集合。

2.字符集：由字母或符号构成的集合。

3.关系集：由关系构成的集合。

4.函数集：由函数构成的集合。

四、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集、补集等。

1.并集：由两个或多个集合中所有元素组成的集合。

2.交集：由两个或多个集合中共同拥有的元素组成的集合。

3.差集：由属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的集合。

4.补集：由属于一个集合的元素组成的集合，与该集合的补集相等。

五、集合的应用集合在数学中有广泛的应用，如在数论、图论、逻辑、概率论等领域中都有重要的应用。

高一数学必修一寒假复习要点：集合的含义与表示高一数学必修一寒假复习要点：集合的含义与表示数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一寒假复习要点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。

知识点1.集合与元素一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。

例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素;而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。

班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的知识点2.解集合问题的关键解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。

特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。

5.集合的表示方法⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。

⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。

例如：集合可以用它的特征性质描述为{ }，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。

最后，希望小编整理的高一数学必修一寒假复习要点对您有所帮助，祝同学们学习进步。