优化设计概述

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优化设计概述

现代设计理论与方法
z第1章
内容
优化设计概述优化方法的数学基础一维搜索方法无约束优化方法约束优化方法多目标优化机械设计优化实例 MATLAB基础 MATLAB优化计算
2
第1篇优化设计方法 Optimization
z第2章 z第3章 z第4章 z第5章 z第6章 z第7章 z第8章 z第9章
12
x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x1 x2 x3 = 100
11
数学模型
设计参数：设计目标：约束条件：
例3：直齿圆柱齿轮副的优化设计
x A , xB
max P = PA xA + PB xB
已知：传动比i, 转速n, 传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：（1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达；（2）设计参数确定：模数m，齿宽b，齿数z1；（3）设计约束条件：（a）大齿轮满足弯曲强度要求；（b）小齿轮满足弯曲强度要求；（c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（d）齿宽系数要求；（e）最小齿数要求。 14
h( x ) = 0
(2)不等式约束
g ( x) ≤ 0
可行域 :凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围 . 约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式 ,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等）复杂结构的性能约束函数（变形、应力、固有 22 频率等）需要通过有限元等方法计算求得
图1-1 设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题
目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。
19
20
2、约束条件

现代设计方法第1章优化设计概述

重庆大学机械工程学院
6
现代设计方法——第1章优化设计概述
1.2 目标函数
• 目标函数又称评价函数，是用来评价设计方案好坏的标准。任何一项机械设计方案的好坏，总可以用一些设计指标来衡量，而这些设计指标可以用设计变量的函数的取值大小加以表征，该函数就称为优化设计的目标函数。
• 目标函数是一个标量函数。目标函数取值的大小，是衡量设计质量优劣的指标。
• 设计变量类型 : 连续、离散。 • 根据设计变量的多少优化问题可分为：小型、中型、大型问题。
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5
现代设计方法——第1章优化设计概述
x2
x2
x (k) 2
x (k) 2
O
O
x (k) 1
x1
(a)
x (k) 3
x3
(b)
图1-1 设计空间
x (k) 1 x1
设计空间是所有设计方案的集合，用符号 X Rn 表示。任何一个设计
gu ( X ) 0 (u 1,2, , m)
或
gu ( X ) 0 (u 1,2, , m)
式中 X——设计变量； p——等式约束的数目； m——不等式约束的数目。在上述数学表达式式中 hv (X ) 0, gu (X ) 0 为设计变量的约束方
程，它们规定了设计变量的允许取值范围。优化设计，即是在设计变量允许范围内，找出一组最优参数 X * [x1* x2* xn*]T , 使目标函数 f (X )
达到最优值 f ( X *) 。
重庆大学机械工程学院
10
现代设计方法——第1章优化设计概述
• 约束边界和可行域
x1 规定的 x1的下限
x1

第一章优化设计概述

绪论
二、从传统设计到优化设计：
优化设计与传统设计相比有以下三点特点：
• 设计的思想是最优设计，需要建立一个能够正确反映实际设计问题的优化数学模型； • 设计的方法是优化方法，一个方案参数的调整是计算机沿着使方案更好的方向自动进行的，从而选出最优方案； • 设计的手段是计算机，由于计算机的运算速度快，分析和计算一个方案只需要几秒甚至千分之一秒，因而可以从大量的方案中选出“最优方案”。
由图中数据得：D*=6.43cm，h*=76cm，在极值点处m*=8.47kg
第一章优化设计概述
第二节机械优化设计问题实例
要用薄钢板制造一体积为5m3 的长方形汽车货箱(无上盖), 其长度要求不超过4m.问如何设计可使耗用的钢板表面积最小?
分析：
（1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。（2）设计参数确定：长x1 、宽x2 、高x3；（3）设计约束条件：（a）体积要求（b）长度要求
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r

第一章优化设计概述
第一节人字架的优化设计
F1 F ( B h ) A TDh Fe 2 E (T 2 D 2 ) 钢管的临界应力是 e A 8( B 2 h 2 ) 钢管所受的压应力是
第一章优化设计概述
第三节优化设计问题的数学模型
一个优化设计问题一般包括三个部分： 1.需要合理选择的一组独立参数，称为设计变量； 2.需要最佳满足的设计目标，这个设计目标是设计变量的函数，称为目标函数； 3.所选择的设计变量必须满足一定的限制条件，称为约束条件（或称设计约束）。

第1章优化设计概述

第1章优化设计概述
优化设计是一种设计方法，它以把有限资源转化为最大的效益和最佳
性能为目标。

它将工程分析、设计过程中的优化机制应用于有效地解决工
程问题，使工程产品能够满足质量要求，把其成本最低化，重视设计方法
和设计的灵活性，采用多种优化技术实现优化设计目标。

优化设计分为定量优化和定性优化两大类。

定量优化可用于定量评价
和选择设计方案，通过量化描述和比较实际效果来最优解。

定性优化着重
于用经验法则或计算模型对设计变量的感性描述，使其达到最佳状态，可
用于把设计中的复杂步骤逐渐简化，以实现设计变量之间的有效调整。

优化设计的过程是通过有限的解空间，以找到能够满足要求的最佳解；它强调设计方法，以优化复杂系统的特性，提高系统的性能，而不是以增
加元件的数量为目标；通过求解优化问题，可以缩小空间，给出最佳解；
同时，它可以考虑其他技术参数，加以分析，以获得最佳的解决方案，从
而避免系统升级改造所引起的工程风险。

优化设计必须综合考虑性能参数，从而尽可能地提高系统效率，有效
地消除系统易受干扰的问题；。

建筑结构优化设计

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案例四：住宅楼的结构优化设计
总结词
提高居住舒适度与降低成本
详细描述
住宅楼的结构优化设计主要关注提高居住舒适度和降低成本。通过合理设计建筑结构和隔墙，减少噪音和振动对居民的影响，提高居住舒适度。同时，也需要考虑建筑成本的控制，选择经济合理的建筑材料和构造方式，以降低建筑成本。
05
建筑结构优化设计的挑战与前景
构件形状优化
通过改变构件的形状，如圆形、方形等，以适应不同的建筑需求和场地条件。
建筑结构材料优化
材料选择
根据结构体系和构件要求，选择合适的建筑材料，如钢材、混凝
土、木材等。
材料用量优化
通过合理的材料用量配比，降低成本的同时满足结构的性能要求。
材料性能优化
选择具有优异性能的材料，如高强度钢、高性能混凝土等，以提高结构的整体性能。
结构布置
通过合理的结构布置，提高结构的整体性能，如刚度、承载能力、稳定性等。
结构传力路径
确保结构传力路径明确、直接，以提高结构的抗震性能和抗风性能。
建筑结构构件优化
构件尺寸优化
通过调整构件的尺寸，如梁的宽度、柱的高度等，以实如焊接、螺栓连接等，以提高结构的整体性和稳定性。
利于环境保护。
改善建筑经济性
优化设计可以改善建筑的经济性，包括提高建筑的节能性能、降低运营成本等。这有助于提高建筑的竞争力，促进可持续发展。
建筑结构优化的发展趋势
多目标优化
传统的结构优化主要关注单个目标的优化，如成本最低或重量最轻。然而，在实际工程中，往往需要同时考虑多个目标，如刚度、强度、稳定性、耐久性、材料消耗等多个因素。因此，多目标优化已成为结构优化的一个重要研究方向。

《机械优化设计》第一章优化设计概述

f ( x) W1 f1 ( x) W2 f2 ( x) ... Wq f q ( x)
Wq：加权因子，是个非负系数。
第一章优化设计概述
第三节优化设计问题的数学模型
求设计变量 x [ x1 x2 xn ]T , xn ) min , l) 使目标函数f ( x) f ( x1 , x2 , 和g j ( x) 0( j 1, 2, , m)
第一章优化设计概述
第一节人字架的优化设计
FL F ( B 2 h ) 钢管所受的压力F1 h h 2 EI 压杆失稳的临界压力Fe 2 L 其中，I是钢管截面惯性矩 I
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r
第一章优化设计概述
第三节优化设计问题的数学模型
优化设计的维数：设计变量的数目称为优化设计的维数，如有n(n=1，2，…)个设计变量，则称为n维设计问题。
任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。
第一章优化设计概述
第三节优化设计问题的数学模型
设计空间：由n个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，就是设计空间中的一个点，这个点可以看成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个点式设计点。设计空间的维数（设计的自由度）：设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。 • 含有2—10个设计变量的为小型设计问题； • 10—50个为中型设计问题； • 50个以上的为大型设计问题。

优化设计方法

约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，这类约束称做显式约束。有的只能表示成隐式形式，这类约束称做隐式约束。
3、目标函数
在所有的可行设计中，有些设计比另一些要“好些”，如果确实是这样，则
“较好”的设计比“较差”的设计必定具备某些更好的性质。倘若这种性质可以
表示成设计变量的一个可计算函数，则我们就可以考虑优化这个函数，以得到
xk1 xk kd k (k 0,1,2, )
f ( xk 1) min f ( xk kd k )
d0 x0
d2
x3
x2
d1
x1
xk
x k＋1
dk
1、确定搜索区间的外推法
在一维搜索时，我们假设函数 f () 具有如图所示的单谷性。即在所考虑的区间内部，函数 f () 有唯一的极小点。
=0.618，按照这样的取点原则，为了使最终区间收缩到预定的迭代精度ε以内，区间缩短
的次数N必须满足：
0.618N (b a)
N ln /(b a)
ln 0.618
2)黄金分割法的迭代步骤
（1）给出初始搜索区间[a，b]及收敛精度ε ，将赋以0.618。
（2）按式(2-21)计算 1、2 ，并计算其对应的函数值 f (1)、f (2) 。（3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。（4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤(2)。（5）如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。
具有极大的审美价值和实用价值，故又被称为黄金分割。在自然界和我们的日常生活中，这个美的数字例子随处可见。
当气温为23°C度时，你的身心会感到最舒服，这时的气温与体温（37°C度）之比为0.618。

OPT 1 优化设计概述

3、波音公司，在747的机身设计中收到了减轻质量、缩短生产周期、降低成本的效果。 4、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公司自主优化之后，就多盈利几百万马克。德国马克与人民币的汇率大约为
1:4.5
三、机械优化设计发展状况
•第一阶段人类智能优化第一阶段人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。 •第二阶段数学规划方法优化第二阶段数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。 •第三阶段工程优化第三阶段工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展为解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。 •第四阶段现代优化方法第四阶段现代优化方法：如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。
一、优化优化是万物演化的自然选择和必然趋势。
优化作为一种观念和意向作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。作为一种观念和意向优化作为一门学科与技术作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各作为一门学科与技术种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。
二、从传统设计到优化设计
传统设计可行解优化设计最优解
与传统机械设计相比，机械优化设计的优点有与传统机械设计相比，机械优化设计的优点有：优点

《设计优化教程》课件

1 定义
设计变量和目标函数在优化中的作用和定义。
2 相关数学基础
了解优化中所涉及的相关数学知识和基础概念。
章节三：响应面分析法
1 基本原理
响应面分析法的基本原理和优化思路。
2 响应面设计
如何设计有效的响应面实验来收集数据。
3 响应面模型的构建
4 响应面优化
如何构建和优化响应面模型以预测设计结果。
通过响应面模型优化设计变量以题。
章节七：工程案例分析
1 优化案例
通过上述算法优化工程设计案例的介绍。
2 对比分析
对比优化前后设计方案差异和改善情况。
3 总结
总结优化效果、局限性和进一步的优化方向。
《设计优化教程》PPT课件
本课程为《设计优化教程》PPT课件，旨在分享设计优化的概述、流程和常用的优化方法，帮助读者了解优化设计的目标和意义。
章节一：设计优化概述
1 定义
设计优化的概念和基本定义。
2 流程概述
设计优化的基本流程及其各个阶段。
3 目标和意义
设计优化的目标和对工程和创新的重要性。
章节二：设计变量与目标函数
章节四：遗传算法
1 基本原理
2 流程
遗传算法的基本原理和模拟自然进化的思路。
遗传算法的基本流程，包括选择、交叉、变异等操作。
3 应用场景
遗传算法在工程设计和优化中的应用场景。
4 问题
遗传算法存在的一些局限性和问题。
章节五：蚁群算法
1 基本原理
蚁群算法的基本原理和模拟蚂蚁寻找食物的行为。
2 流程
蚁群算法的基本流程，包括信息素和路径选择机制。
3 应用场景
蚁群算法在优化问题中的应用。

优化设计第2章优化设计

x1 d , x2 l
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化：约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。一维搜索方法主要有：分数法黄金分割法（0.618法）二次插值三次插值法等本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则

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分析
设计变量：外径D、内径d。
设计要求：满足强度和结构尺寸要求外，还应达到重量最轻目的。
设计实例1:
所设计的空心传动轴应满足以下条件：（1）扭转强度
空心传动轴的扭转切应力不得超过许用值，即

空心传动轴的扭转切应力:

16D
(D4 d 4)
空心传动轴的扭切应力需满足以下条件:
优化设计指借助最优化数值计算方法与计算机技术，
求取工程问题的
。
机械优化设计就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。
机械优化设计的一般过程
建立确切反映问题实质并适合于优化计算的优化设计数学模型；
选用适当的最优化数值方法和计算程序运算求解该数学模型。
4896 (x12 x22 )4 - d 4
D

60

76.4 105 x14 x24
x1

60

0
g2 ( X ) d x2 0
g3( X ) D d x1 x2 0
设计实例2:
• 已知：一直齿圆柱齿轮副，传动比i，转速n，传动功率 P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：
如何建立优化设计的数学模型？
根据分析对象的设计要求，应用有关专业的基础理论和具体技术知识进行推导来建立相应问题的优化数学模型。
对于
的优化设计，则主要是根据力学、机械设计
的基础知识、各专业机械设备的具体知识等来建立机械优化
设计的数学模型。
数学模型的相关概念
数学模型
用一组设计变量描述优化设计对象的设计内容，即描述
（1）目标：圆柱齿轮的体积V或重量w最小；（2）设计参数确定：模数m、齿宽b、齿数z1 （3）设计约束条件：
（a）大、小齿轮满足弯曲强度要求；（b）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（c）齿宽系数要求；（d）最小齿数要求。
数学模型
设计参数： m, z1, b
设计目标：
min W

4
b[(mz1)2
在设计过程中选择并最终确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。
在优化设计过程中设计变量是不断修改、调整，一直处于变化状态。
2、约束条件
设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。
在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：最小体积，最轻重量，最高效率，最大承载能力，最小振幅或噪声，最小成本，最高利润等等。
• 优化问题的数学模型的一般描述：
min f(X) XRn s.t. gj(X)0 (j 1,2, ,l)
近似解法：又称为数值迭代方法，根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。
数值解法是优化设计问题的基本解法，其中也可能用到解析解法。
不等式约束： g X 0
3、目标函数
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数。
用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数。记
作：
f ( X ) f (x1, x2, x3,...xn )
通常
f (x) min
构造目标函数注意事项：
hk(X)0 (k1,2, ,m)
建立数学模型的基本原则
1）设计变量的选择：尽量减少设计变量数目设计变量应当相互独立
2）目标函数的确定：选择最重要指标作为设计追求目标
3）约束条件的确定：性能约束和边界约束
设计实例1:
试设计一重量最轻的空心传动轴。空心传动轴的D、d 分别为轴的外径和内径。其中，D=80 mm，d=25 mm，轴的长度为 800 mm 。轴的材料为 45 钢，密度为 7.8×10-6 ㎏/㎜，弹性模量E=2×105 MPa，许用切应力[τ]=60 MPa。轴所受扭矩为M=1.5×106 N·mm。
约束分类
① 根据约束性质分：性能约束——针对性能要求而提出的限制条件。如选择某些结
构必须满足受力的强度、刚度或稳定性要求等；侧面约束（边界约束）——针对设计变量的取值。如允许机床
主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围等。
约束分类
② 根据数学表达式的形式分：
等式约束： h X 0
优化意图(目标、指标)和有关限制条件的
。
数学模型的三要素
设计变量、约束条件、目标函数
1、设计变量
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件几何量（如尺寸、位置等），也可以是物理量（如质量、频率等），还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量以及非物理量（如寿命、成本等）。
机械优化设计概述
内容提要
机械优化设计的一般过程建立数学模型的基本原则机械优化设计实例
机械优化设计的定义
优化是万物演化的自然选择和必然趋势。
优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。
机械优化设计的定义
优化是万物演化的自然选择和必然趋势。
(miz1)2 ]
约束条件：
F1 [ ]F1 0
F 2 [ ]F 2 0
H [ ]H1 0
b d mz1 0(d 齿宽系数)
17 z1 0
如何求解数学模型？
解析解法：根据函数极值的必要条件和充分条件求得其最优解析解的求解方法，适用于目标函数比较简单的情况。

16D
(D4 d 4)

60
经整理得:
76 .4 10 5 D4 - d4
D

60

0
（2）结构尺寸
d 0
Dd 0
设：

x1

x2

D d
将目标函数和约束条件规则化，得到数学模型为：
min f () 6.12(D2 d 2 )l 10 6

优化设计概述

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