天津市高中圆锥曲线经典题型合集
一、选择题
错误!未指定书签。1、(2013天津高考数学(理))已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物
线2
2(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为
3, 则p =
( )
A .1
B .
32
C .2
D .3
【答案】C 因为2222,3c e c a b b a a ===+?=,故两条渐近线的方程为3y x =±,由32
y x
p x ?=±?
?=-?
?得两个交点坐标为33(,),(,)2222p p p p --
-,所以2
13||2224
AOB p p S AB p ?=?=?=
错误!未指定书签。2、(天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷)设F 是抛物线
)0(2:2
1>=p px y C 的焦点,点A 是抛物线与双曲线22
222:b
y a x C -=1
)0,0(>>b a 的一条渐近线的一个公共点,且x AF ⊥轴,则双曲线的离心率为
( )
A .2
B .3
C .
2
5
D .5
【答案】D 【解析】由题意知(,0)2p F ,不妨取双曲线的渐近线为b y x a =,由22b y x a
y px
?=?
??=?
得222pa x b =.因为x AF ⊥,所以2
A p
x =,即22
22pa p x b ==,解得224b a =,即22224b a c a ==-,所以225c a =,即25e =,所以离心率5e =,选D .
错误!未指定书签。3、(天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题(Word 版含答案))以抛
物线2
20y x =的焦点为圆心,且与双曲线
22
1916
x y -=的渐近线相切的圆的方程为 ( )
A .(x -5)2+y 2
=4
B .(x +5)2+y 2
=4
C .(x -10)2+y 2=64 (D)(x -5)2+y 2
=16
【答案】D
错误!未指定书签。4、(天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)己知抛
物线方程为2
=2y px (>0p ),焦点为F ,O 是坐标原点, A 是抛物线上的一点,FA 与x 轴正方向的夹角为60°,若OAF ?3则p 的值为 ( )
A .2
B .23
C .2或3
D .22
【答案】A
5、(2010年高考(天津理))已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是
,它的一个焦
点在抛物线2
24y x =的准线上,则双曲线的方程为 ( )
A .
22
136108x y -= B .
22
1927x y -= C .
22
110836
x y -= D .
22
1279
x y -= 【答案】B
6、(2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理))已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的
双曲线22
1x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积
为16,则椭圆C 的方程为 ( )
A .22182x y +=
B .221126x y +=
C .221164x y +=
D .22
1205
x y += 【答案】D
错误!未指定书签。7、(2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学)已知双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ,在双曲线右支 上存在一点P 满足12PF PF ⊥且12
PF F π
∠=,那么双曲线的离心率是
(
)
A
B C
1
D 1
【答案】C
因为
12
PF PF ⊥且
126PF F π
∠=
,
所以21,PF c PF ==,
又122PF PF c a --=,
所以21
c a ===
,1,选C .
错误!未指定书签。8、(天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题(word 版) )己知抛物线
y 2
x 的准线与双曲线22
22x y a b
-=1两条渐近线分别交于A,B
两点,且
|AB|=2,则双曲线的离心率e 为 ( )
A .2
B .
43 C
D 【答案】D
9、(2009高考(天津理))设抛物线2
y =2x 的焦点为F,过点,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,与抛
物线的准线相交于C,BF =2,则?BCF 与?ACF 的成面积之比BCF
ACF
S S ??= ( )
A .
45
B .
23
C .
47
D .1
2
【答案】A
10、(天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学)若抛物线y 2
=a x 上恒有关于直线x +y-1=0对称的
两点A ,B ,则a 的取值范围是 ( )
A .(4
3
-
,0) B .(0,
34
) C .(0,
43
) D .4
03
(,)(
,)-∞+∞ 【答案】C
二、填空题
错误!未指定书签。1、(天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷)已知双曲线
)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的左右焦点为21,F F ,P 为双曲线右支上的任意一点,若|
|||221PF PF 的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围是_________. 【答案】]3,1(
2、(天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题)已知抛物线的参数方程为???==t
y t x 882
(t 为参
数),焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,l PA ⊥,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为3-,那么=PF _________ .
【答案】8
解:消去参数得抛物线的方程为28y x =.焦点(2,0)F ,准线方程为2x =-.由题意可设(2,)A m -,则
03224
AF m m
k -=
=-=---,所以3m =.因为l PA ⊥,所以43P y =,代入抛物线28y x =,得6P x =.,所以6(2)8PF PA ==--=.
三、解答题
一错误!未指定书签。.(天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷)(本小题满分13分)如
图F 1、F 2为椭圆1:2222=+b
y a x C 的左、右焦点,D 、E 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率23
=e ,
2
3
12-
=?DEF S .若点),(00y x M 在椭圆C 上,则点),(00b y a x N 称为点M 的一个“椭点”,直线l 与椭
圆交于A 、B 两点,A 、B 两点的“椭点”分别为P 、Q.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)问是否存在过左焦点F 1的直线l ,使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)由题意得23==
a c e ,故a
b a
c 2
1
,23==,
2
3
1)231(412)23(21)(2122-
=-?=?-=?-?=
?a a a a b c a S DEF , 故42
=a ,即a=2,所以b=1,c=3,故椭圆C 的标准方程为14
22
=+y x .
(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为3-=x
联立?????=+-=14
322y x x 解得?????=-=213y x 或???
??-
=-=213
y x ,不妨令)21,3(),21,3(---B A , 所以对应的“椭点”坐标)21,23(),21,23(---
Q P .而02
1
≠=?. 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点.
②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)3(+=x k y
联立?????=++=14
)
3(2
2y x x k y ,消去y 得:041238)14(2222=-+++k x k x k
设),(),,(2211y x B y x A ,则这两点的“椭点”坐标分别为),2
(),,2(
2211y x
Q y x P ,由根与系数的关系可得:1
4382
2
21+-=+k k x x ,144122221+-=k k x x 若使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点,则OP ⊥OQ , 而),2
(),,2(
2211y x
y x ==,因此0=?,
即042221212121=+=+?y y x x y y x x 即1
41222+-k k =0,解得22
±=k
所以直线方程为2622+=
x y 或26
22-
-=x y
错误!未指定书签。二、(天津市河北区2013届高三总复习质量检测(二)数学(理)试题)已知椭圆
)
0(12222>>=+b a b y a x 经过点A (2,1)且离心率为2
2
,过点B (3,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N .
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求BN BM ?的取值范围. 【答案】
三错误!未指定书签。.(天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷)设点P 是曲线
C:)0(22
>=p py x 上的动点,点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为
4
5
(1)求曲线C 的方程
(2)若点P 的横坐标为1,过P 作斜率为)0(≠k k 的直线交C 与另一点Q,交x 轴于点M,过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN 与曲线C 相切?若存在,求出k 的值,若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)依题意知4521=+
p ,解得2
1
=p ,所以曲线C 的方程为2x y = (2)由题意设直线PQ 的方程为:1)1(+-=x k y ,则点??
?
??-0,11k M
由???=+-=2
1)1(x
y x k y ,012=-+-k kx x ,得()2
)1(,1--k k Q , 所以直线QN 的方程为)1(1)1(2
+--=--k x k
k y
由??
???=+--=--2
2
)1(1)1(x y k x k
k y ,0)1(1112
2=--+-+k k x k x 得???
? ?????
??----2
11,11k k k k N
所以直线MN 的斜率为k k k k k k k k k MN 2
211111111?
?? ??
---=?
?? ??--??? ?
?
--??? ??--= 过点N 的切线的斜率为??? ?
?
--k k 112
所以??
? ??--=?
?? ??
--k k k k k 112112
,解得251±-=
k 故存在实数k=2
5
1±-使命题成立.
错误!未指定书签。四.(2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理))已知椭圆
2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2,直线l 过点(4,0)A ,(0,2)B ,且与椭圆C 相切于点P .(Ⅰ)
求椭圆C 的方程;(Ⅱ)是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ,使得
2
3635AP AM AN =??若存在,试求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)由题得过两点(4,0)A ,(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.
因为1
2
c a =,所以2a c =
,b =. 设椭圆方程为2222143x y c c +=,………2分
由22
22
240,
1,
43
x y
x y
c c
+-=
?
?
?
+=
??
消去x得,22
4121230
y y c
-+-=.又因为直线l与椭圆C相切,所以
………4分
………6分
………8分
又直线:240
l x y
+-=与椭圆
22
:1
43
x y
C+=相切,
由22
240,
1,
43
x y
x y
+-=
?
?
?
+=
??
解得
3
1,
2
x y
==,所以
3
(1,)
2
P…………10分
则2
45
4
AP=. 所以
364581
3547
AM AN
?=?=.
又2222
1122
(4)(4)
AM AN x y x y
?=-+?-+
222222
1122
(4)(4)(4)(4)
x k x x k x
=-+-?-+-2
12
(1)(4)(4)
k x x
=+--
2
1212
(1)(4()16)
k x x x x
=+-++
22
2
22
641232
(1)(416)
3434
k k
k
k k
-
=+-?+
++
2
2
36
(1).
34
k
k
=+
+
所以2
2
3681
(1)
347
k
k
+=
+
,解得
2
4
k=±.经检验成立.
所以直线m的方程为
2
(4)
y x
=±-.………14分
错误!未指定书签。五.(天津市五区县2013届高三质量检查(一)数学(理)试题)设椭圆的中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,一个顶点为(0,2)
A,右焦点F到点(2,2)
B的距离为2.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设经过点(0,-3)的直线Z与椭圆相交于不同两点M,N满足AM AN
=,试
求直线l的方程.
【答案】解:(Ⅰ) 依题意,设椭圆方程为)
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
,
则其右焦点坐标为2
2
,)0,
(b
a
c
c
F-
=,
由=|
|FB2,22
(2)(02)2
c-+-=,
即2
(2)24
c+=,故2
2
=
c
又∵2
=
b, ∴212
a=,
∴所求椭圆方程为
14
122
2=+y x (Ⅱ)由题意可设直线l 的方程为3y kx =-(0)k ≠, 由||||AN AM =,知点A 在线段MN 的垂直平分线上,
由?????=+
-=14
1232
2y x kx y 得223(3)12x kx +=- 即2
2
(13)18150k x kx ++=-(*)
222=(18)4(13)15144600k k k ?+?=>---
即2
5>12
k 时方程(*)有两个不相等的实数根
设11()M x y ,,22()N x y ,,线段MN 的中点00()P x y ,
则1x ,2x 是方程(*)的两个不等的实根,故有122
1813k
x x k +=
+ 从而有1202
9213x x k
x k +==+,2200
2293(13)331313k k y kx k k +===++--- 于是,可得线段MN 的中点P 的坐标为22
93
()1313k P k k ++-, 又由于0k ≠,因此直线AP 的斜率为2212
3
256139913k k k k k k +==+---- 由AP MN ⊥,得
2
5619k k k
?=--- 即2569k +=,解得2
25312
k =>,∴6k =±∴所求直线l 的方程为:6
3y x =- 方法二:设直线l 的方程为3-=kx y (0)k ≠,
则?????=+
-=14
1232
2y x kx y 得:2
2
(13)18150k x kx +-+= 由2144600k ?=>-
设11(,)M x y 、22(,)N x y 由韦达定理得122
12218131513k x x k x x k ?
+=??+??=
?+?
,
又22||||=,则2
22
22
12
1)2()2(-+=-+y x y x 移项得:k =
1
212x x y y --=-21214x x y y ++-=-21
21()10x x k x x ++-=-2
1
10(13)18k k k
+-
解得6
3
k =±
, 此时△>0
适合题意, ∴所求直线l 的方程为:y =±
6
x -3
错误!未指定书签。六.(天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷)如图F 1、F 2为椭圆
1:2222=+b
y a x C 的左、右焦点,D 、E 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率23=e ,23
12-=?DEF S .若点),(00y x M 在椭圆C 上,则点),(
0b
y a x N 称为点M 的一个“椭点”,直线l 与椭圆交于A 、B 两点,A 、B 两点的“椭点”分别为P 、Q.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)问是否存在过左焦点F 1的直线l ,使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)由题意得2
3
=
=
a c e ,故a
b a
c 21
,23==, 2
3
1)231(412
)23(21)(2122-
=-?=?-=?-?=?a a a a b c a S DEF , 故42
=a ,即a=2,所以b=1,c=3,故椭圆C 的标准方程为14
22=+y x .
(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为3-=x
联立?????=+-=14
322y x x 解得?????=-=213y x 或???
??-
=-=213
y x ,不妨令)21,3(),21,3(---B A , 所以对应的“椭点”坐标)2
1
,23(),21,23(---
Q P .而021≠=?OQ OP .
所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点.
②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)3(+=x k y
联立?????=++=14
)3(2
2y x x k y ,消去y 得:041238)14(2222=-+++k x k x k
设),(),,(2211y x B y x A ,则这两点的“椭点”坐标分别为),2
(),,2(2211y x
Q y x P ,由根与系数的关系可
得:1
43822
21+-=+k k x x ,144122221+-=k k x x
若使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点,则OP⊥OQ ,
而),2(),,2(2211y x
y x ==,因此0=?OQ OP , 即042221212121=+=+?y y x x y y x x 即1
4122
2+-k k =0,解得22±=k 所以直线方程为2622+=x y 或2
6
22-
-=x y
七错误!未指定书签。.(2012年天津理)设椭圆22
22+=1x y a
b
(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆
上且异于
,A B 两点,O 为坐标原点.
(Ⅰ)若直线AP 与BP 的斜率之积为1
2
-
,求椭圆的离心率; (Ⅱ)若||=||AP OA ,证明:直线OP 的斜率k 满足|k
【答案】(1)取(0,)P b ,(,0),(,0)A a B a -;则22
1()22
AP BP b b k k a b a a ?=?-=-?=
222
2122
a b e e a -==?=
(2)设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<;则线段OP 的中点(cos ,sin )22
a b
Q θθ
|
|=||AP OA 1AQ AQ
OP k k ?⊥?
?=-
sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θ
θθθ
=
?-=+
23AQ AQ ak k k ?≤>
错误!未指定书签。八.(2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学)设椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别为12,F F ,
上顶点为A ,在x 轴负半轴上有一点B ,满足112BF F F =,且2AF AB ⊥. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)D 是过2F B A 、、三点的圆上的点,D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于 椭圆长轴的长,求椭圆C 的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两点,线段MN 的中垂线 与x 轴相交于点)0,(m P ,求实数m 的取值范围.
【答案】【解】(Ⅰ)连接1AF ,因为2AF AB ⊥,211BF =,112即2a c =,故椭圆的离心率2
1
=e (其他方法参考给分) (Ⅱ)由(1)知
,2
1=a c 得a c 21
=于是21(,0)2F a , 3(,0)2
a B -, Rt ABC ?的外接圆圆心为11(,0)2F a -),半径21
||2
r F B a ==
D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ,所以圆心到直线的距离为a ,
所以a a =--2
|321
|,解得2,1,a c b =∴==
所求椭圆方程为13
42
2=+y x (Ⅲ)由(Ⅱ)知)0,1(2F , l :)1(-=x k y ?????=+-=134
)1(22y
x x k y 代入消y 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k 因为l 过点2F ,所以0?>恒成立
设),(11y x M ,),(22y x N 则2
221438k k x x +=+,121226(2)34k
y y k x x k
-+=+-=+ MN 中点222
43(
,)3434k k
k k -++ 当0k =时,MN 为长轴,中点为原点,则0m =
当0k ≠时MN 中垂线方程2
22
314()3434k k y x k k k
+=--++. 令0y =,431432
2
2
+=
+=∴k k k m 230k >,2144k +>, 可得4
10<<∴m 综上可知实数m 的取值范围是1
[0,)4
错误!未指定书签。
九.(2013天津高考数学(理))设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,
, 过点F 且与x
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.
【答案】本题主要考查椭圆的标准方程和 几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.
(Ⅰ)解:设(,0)F c -,
由
c a =,
知a =.过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-,代入椭圆方程有2222
()1c y a b
-+=,解
得y =,于
是=,解
得b =,又222
a c
b -=,从
而a =1c =,所以椭圆的方程为22
132
x y +=.
(Ⅱ)解:设点11(,)C x y ,22(,)D x y ,由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+,
由方程组22(1)132
y k x x y =+???+
=??消去y ,整理得2222
(23)6360k x k x k +++-=.
求解可得2122623k x x k +=-+,22
36
k
-.
因为(
A ,
B ,
所以11222211(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y ?+?=?-+?-
212121212622622(1)(1)x x y y x x k x x =--=--++
2
2
2
12126(22)2()2k x x k x x k =-+-+-22
2
12
623k k +++.
由已知得22
212
6823k k ++
=+,解得k =
错误!未指定书签。十.(天津市十二校2013届高三第二次模拟联考数学(理)试题)已知椭圆
:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
,椭圆的短轴端点与双曲线
2212y x -=的焦点重合,过点(4,0)P 且不垂直于x 轴,直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点. (1)求椭圆C 的方程;
(2)已知O 是坐标原点,求OA OB ?的取值范围;
(3)若点B 关于x 轴的对称点是点E ,证明:直线AE 与x 轴相交于定点.
【答案】
十一错误!未指定书签。.(天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题)设椭圆
22
2:1(0)2x y C a a
+=>的左右焦点分别为F 1、F 2,A 是椭圆C 上的一点,2120AF F F ?=,坐标原点O 到
直线AF 1的距离为11
||.3
OF
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设Q 是椭圆C 上的一点,过点Q 的直线l 交x 轴于点(1,0)F -,交y 轴于点M,若||2||MQ QF =,求直线l 的斜率. 【答案】
直线l 的方程为(1)y k x =+,则有(0,)M k
设11(,)Q x y ,由于Q 、F 、M 三点共线,且2MQ QF
=
错误!未指定书签。十二.(2009高考(天津理))以知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为
12(,0)(,0)(0)F c F c c ->和,过点2
(,0)a E c
的直线与椭圆相交与,A B 两点,且
1212//,2F A F B F A F B =?
(1)求椭圆的离心率; (2)求直线AB 的斜率;
(3)设点C 与点A 关于坐标原点对称,直线2F B 上有一点(,)(0)H m n m ≠在?1AF C 的外接圆上,求
n m
的值
【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力,满分14分
(I) 解:由1F A //2F B 且12FA 2F B =,得2211
EF F B 1EF FA 2==,从而2
2
a 1a 2c
c c c
-=+ 整理,得22
3a c =,故离心率33
c e a ==
(II) 解:由(I)得2222
2b a c c =-=,所以椭圆的方程可写为222236x y c +=
设直线AB 的方程为2a y k x c ??
=- ???
,即(3)y k x c =-.
由已知设1122(,),(,)A x y B x y ,则它们的坐标满足方程组222
(3)
236y k x c x y c
=-??+=? 消去y 整理,得222222
(23)182760k x k cx k c c +-+-=.
依题意,2
2
3348(13)033
c k k ?=->-
<<,得 而 2122
1823k c
x x k
+=+ ① 22122
27623c
k c c x x k -=+ ②
由题设知,点B 为线段AE 的中点,所以 1232x c x += ③
联立①③解得2129223k c c x k -=+,222
9223k c c
x k +=+
将12,x x 代入②中,解得2
3
k =±.
(III)解法一:由(II)可知1230,2
c
x x ==
当2
k =-时,得(0,2)A c ,由已知得(0,2)C c -.
线段1AF 的垂直平分线l 的方程为22222c y c x ??
-=-+ ???
直线l 与x 轴
的交点,02c ?? ???是1AF C ?外接圆的圆心,因此外接圆的方程为22
2x 22c c y c ????
-+=+ ? ?????
.
直线2F B 的方程为2()y x c =-,于是点H(m,n)的坐标满足方程组 2229242()c c m n n m c ???-+=? ??
???=-? , 由0,m ≠解得53223m c n c ?=????=??
故22n m
= 当23k =
时,同理可得22
5
n m =-. 解法二:由(II)可知1230,2
c
x x ==
当2
3
k =-时,得2)A c ,由已知得(0,2)C c
圆锥曲线经典题型 一.选择题(共10小题) 1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心 率的范围是() A.(1,) B.(,+∞) C.(1,+∞) D.(1,)∪(,+∞) 2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y 的取值范围是() 0 A.B. C.D. 3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为() A.?B.?C. D. 4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为() A.?B.2?C.?D. 5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是() A.(2,+∞)?B.(1,2)C.(1,)?D.(,+∞) 6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()
A.?B. C.D.2 7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、 右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是() A.?B.?C.y=2x D.y=4x 8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率 的取值范围是() A.(,+∞)B.(1,)C.(2.+∞)?D.(1,2) 9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是() A.x2﹣=1 B.﹣=1?C.﹣=1 D.﹣=1 10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( ) A. B. C.?D. 二.填空题(共2小题) 11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是. 8,F 2 12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为. 三.解答题(共4小题)
高考圆锥曲线经典真题 知识整合: 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. 1.(江西卷15)过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线,与抛物线 分别交于A 、B 两点(A 在y 轴左侧),则 AF FB = .1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究: 考点一:直线与曲线交点问题 例1.已知双曲线C :2x2-y2=2与点P(1,2) (1)求过P(1,2)点的直线l 的斜率取值范围,使l 与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点. 解:(1)当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l
的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k(x -1),代入C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x -k2+4k -6=0 (*) (ⅰ)当2-k2=0,即k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2-k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k -6)=16(3-2k) ①当Δ=0,即 3-2k=0,k=23 时,方程(*)有一个实根,l 与C 有一个交点. ②当Δ>0,即k <23 ,又 k ≠± 2 ,故当k <- 2 或-2 <k < 2 或 2<k <2 3 时,方程(*)有两不等实根,l 与C 有两个交点. ③当Δ<0,即 k >23 时,方程(*)无解,l 与C 无交点. 综上知:当k=±2,或k=23 ,或 k 不存在时,l 与C 只有一个交点; 当2<k <23 ,或-2<k <2,或k <- 2 时,l 与C 有两个交点; 当 k >23 时,l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在,设为AB ,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点的弦不存在.
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程: 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为 “左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什 么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,
一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄,则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 (C ) I (D ) 2. 设F 为抛物线 c : y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= ( k>0)与C 交于点P , PF 丄x 轴,则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C : T a 2 y_ 1(a 0,b 0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为 '、3,贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C : 0)的左右焦点为 F i ,F 2,离心率为 丄3,过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3,则 C 的方程为() 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0)的一条渐近线平行于直线 I : y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为( 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧, c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点, uu uuu OA OB A 、2 (其中O 为坐标原点),则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是( ) x 1 (D)
椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为45 3 和 25 3 ,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25+3y 2 10=1或3x 210+y 2 5 =1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx 2+ny 2=1(m >0,n >0且m ≠n );(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上,抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1,C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x ,y ).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上,也不在抛物线C 2上.小明的记录如下: 据此,可推断椭圆C 1的方程为 . x 212+y 2 6 =1.
题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12,1).(2)2 1 F PF S =12mn sin 60°=3 3 b 2, 【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;求范围时,要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2 ,|PF 1|≥a -c . 【变式训练2】 已知P 是椭圆x 225+y 2 9=1上的一点,Q ,R 分别是圆(x +4)2 +y 2 =1 4 和圆 (x -4)2+y 2=1 4上的点,则|PQ |+|PR |的最小值是 .【解析】最小值 为9. 题型三 有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的 左、右焦点,过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率;
圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 一、选择题 1. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的4 1 ,则该椭圆的离心率为 (A )31 (B )21(C )32(D )4 3 2. 设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y =k x (k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k = (A ) 12 (B )1 (C )3 2 (D )2 3.双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2C 的 焦距等于( ) A. 2 B. 4.已知椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2,离心率为3,过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 5. 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲 线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) A.120522=- y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 6.已知F 为抛物线2 y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,2OA OB ?=(其中O 为坐标原点),则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是( ) A 、2 B 、3 C D 7.抛物线2 4 1x y = 的准线方程是( ) (A) 1-=y (B) 2-=y (C) 1-=x (D) 2-=x
圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两 个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<, e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)为例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围:0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);
数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2 =1的一条渐近线方程为y =43x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A .43 B .75 C .85 D .3 4.(2006高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. C. 2 D. 4 5.(2006卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006卷)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设
圆锥曲线经典题型 一.选择题(共10小题) 1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离 心率的范围是() A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是() A.B.C. D. 3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为() A.B. C.D. 4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D. 5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此 双曲线的离心率的取值范围是() A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞) 6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()
A.B.C.D.2 7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x 8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心 率的取值范围是() A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2) 9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是() A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为() A.B.C.D. 二.填空题(共2小题) 11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是. 12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为. 三.解答题(共4小题)
高考数学 圆锥曲线常见习题及解析 (经典版)
椭圆 一、选择题: 1. 已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2 D. 3 2.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> 的左、右焦点分别为F 1,F 2,渐近线分别为12,l l ,点P 在第 一象限内且在1l 上,若2l ⊥PF 1,2l //PF 2,则双曲线的离心率是 ( ) A .5 B .2 C .3 D .2 【答案】B 【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -,右焦点2(,0)F c ,渐近线1:b l y x a = ,2:b l y x a =-,因为点P 在第一象限内且在1l 上,所以设000(,),0P x y x >,因为2l ⊥PF 1,2l //PF 2,所以12PF PF ⊥,即121 2 OP F F c ==, 即22200x y c +=,又00b y x a =,代入得222 00()b x x c a +=,解得00,x a y b ==,即(,)P a b 。所以 1PF b k a c = +,2l 的斜率为b a -,因为2l ⊥PF1,所以()1b b a c a ?-=-+,即2222()b a a c a ac c a =+=+=-,所以2220c ac a --=,所以220e e --=,解得2e =,所以双曲线 的离心率2e =,所以选B. 3.已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线x y 342 =的焦 点重合,则该双曲线的离心率等于 A .2 B .3 C .2 D .2 3
一.求离心率问题 1.已知椭圆和直线,若过C的左焦点和下顶点的 直线与平行,则椭圆C的离心率为() A.B.C.D. 2.设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为() A.﹣1B.C.D.+1 3.在直角坐标系xOy中,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为左、右顶点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,连接PB交y轴于点E,连接AE 交PQ于点M,若M是线段PF的中点,则椭圆C的离心率为() A.B.C.D. 4.过原点的一条直线与椭圆=1(a>b>0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2,若∠ABF2∈[],则该椭圆离心率的取值范围为()A.[)B.[]C.[)D.[] 5.设F为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径 的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为() A.B.C.2D. 6.已知双曲线的右焦点为F,直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直,直线l与双曲线的右支交于不同两点A,B,若,则该双曲线的离心率为() A.B.C.D.
7.若双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x﹣3y+1=0垂直,则该双曲 线的离心率为() A.2B.C.D.2 8.已知F1,F2是双曲线的左、右焦点,若点F1关于双曲线渐 近线的对称点P满足∠OPF2=∠POF2(O为坐标原点),则双曲线的离心率为()A.B.2C.D. 二、圆锥曲线小题综合 9.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8 10.已知抛物线x2=16y的焦点为F,双曲线=1的左、右焦点分别为F1、F2,点 P是双曲线右支上一点,则|PF|+|PF1|的最小值为() A.5B.7C.9D.11 11.已知双曲线(a>0,b>0)与椭圆有共同焦点,且双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的方程为() A.B. C.D. 12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线﹣x2=1相交于M,N两点,若△MNF为直角三角形,其中F为直角顶点,则p=() A.2B.C.3D.6 13.已知椭圆与双曲线
) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1,给出下面四个命题: ①由线C 不可能表示椭圆; ②当1<k <4时,曲线C 表示椭圆; ③若曲线C 表示双曲线,则k <1或k >4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则1<k <2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ? 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ,点P 在椭圆上,且满 足021=?PF PF ,2tan 21=∠F PF ,则该椭圆的离心率为 3.若0>m ,点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上,则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 . 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A 的坐标是 (4,a ),则当||a >4时,||||PA PM +的最小值是 . 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- .若以A ,B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = . 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0,E 、F 分别为AB 、AC 的中点,AB 和AC 边上的中线交于G ,且5|GF |+|GE |=,则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ,一条准线为x =3的椭圆的标准方程是 .
9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =(4,-3)平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5<a <10=的两个焦点,B 是短轴的一个端 点,则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点,F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点,A 是抛物线上的一点, 与x 轴正向的夹角为60°,则||为 . 14.在ABC △中,AB BC =,7 cos 18 B =-.若以A B ,为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率e = . 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . (Ⅰ)试求动点P 的轨迹方程C. (Ⅱ)设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |=3 2 4时,求直线l 的方程.
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题: 1、 必修2课本P 124B 组2:长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程: 必修2课本P 124B 组:已知M 与两个定点(0,0),A (3,0)的距离之比为 2 1 ,求点M 的轨迹方程;(一般地:必修2课本P 144B 组2:已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ;讨论点M(x ,y )的轨迹方程(分m =1,与m ≠1进行讨论) 2、 必修2课本P 122例5:线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动,求AB 的中点M 的轨迹。 (2013新课标2卷文20)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为22,在y 轴上截得线段长为32。 (1)求圆心的P 的轨迹方程; (2)若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ,求圆P 的方程。 如图所示,已知P (4,0)是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解:设AB 的中点为R ,坐标为(x ,y ),则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理:在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x -4)2+y 2=36-(x 2+y 2),即x 2+y 2-4x -10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y ),R (x 1,y 1),因为R 是PQ 的中点,所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2-4x -10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x -10=0整理得:x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. (2013陕西卷理20)已知动圆过定点)0,4(A ,且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
圆锥曲线经典小题 一、选择题 1.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为,25则C 的渐近线方程为( ) A .x y 41±= B .x y 31±= C .x y 2 1±= D .x y ±= 2.已知,40π θ<<则双曲线1cos sin :22221=-θθy x C 与1sin cos :22 222=-θθx y C ( ) A .实轴长相等 B .虚轴长相等 C .离心率相等 D .焦距相等 3.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为,,21F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则=||2PF ( ) A .23 B .3 C .2 7 D .4 4.已知双曲线1422 2=-b y x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A .5 B .24 C .3 D .5 5.设1F 和2F 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两个焦点,若)2,0(,,21b P F F 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A .23 B .2 C .2 5 D .3 6.已知双曲线12 2 2=-y x 的焦点为,,21F F 点M 在双曲线上,且,021=?MF MF 则点M 到x 轴的距离为( ) A .3 4 B .3 5 C .332 D .3 7.设双曲线的左焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,右顶点为A ,如果直线FB 与BA 垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A .2 B .3 C . 213+ D .215+ 8.已知双曲线,122=-y x 点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若,21PF PF ⊥ 则||1PF ||2PF +的值为( )
经典例题精析 类型一:求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨:先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、(定量). 解析: 方法一:因为有焦点为, 所以设椭圆方程为,, 由,消去得, 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二:设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以, 由得,(点差法) 所以 又
故椭圆标准方程为. 举一反三: 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直, 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为(), 并有,解之得,, ∴椭圆标准方程为 2.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线有共同的渐近线,且过点; (2)与双曲线有公共焦点,且过点 解析: (1)解法一:设双曲线的方程为 由题意,得,解得, 所以双曲线的方程为 解法二:设所求双曲线方程为(),
将点代入得, 所以双曲线方程为即 (2)解法一:设双曲线方程为-=1 由题意易求 又双曲线过点,∴ 又∵,∴, 故所求双曲线的方程为. 解法二:设双曲线方程为, 将点代入得, 所以双曲线方程为. 总结升华:先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、.在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、、、及 准线)之间的 关系,并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为 (). 举一反三: 【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一渐近线方程为,且双曲线过点.
专题:解圆锥曲线问题常用方法(一) 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则 有 020 20=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)
圆锥曲线整理 1.圆锥曲线的定义: (1)椭圆:|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|); (2)双曲线:||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <|F 1F 2|); (3)抛物线:|MF |=d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容,在解题中有广泛的应用,在理解时 要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12 222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。 (3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 注意:1.圆锥曲线中求基本量,必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): 椭圆:由x 2 ,y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线:由x 2 ,y 2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; 抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 3.与双曲线x 2a 2- y 2 b 2 =1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2- y 2 b 2 =λ(λ≠0), 渐近线方程为y =±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2- y 2 b 2 =λ(λ≠0).要求双曲线x 2a 2- y 2b 2 =λ(λ≠0)的渐近线,只需令λ=0即可. 4.直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法,即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系. 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标. (2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程. (3)应用韦达定理及判别式. (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解. 5.若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且直线P 1P 2的斜率为 k ,则弦长|P 1P 2|=1+k 2|x 1-x 2|= 1+1 k 2|y 1-y 2|(k ≠0).|x 1-x 2|,|y 1-y 2|
攻克圆锥曲线解答题的策略 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12 AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1 212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程: 22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程: 22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程:2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 122cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中2221212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠== ?=?u u u r u u u u r u u u r u u u u r ) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记 为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11| |,||22 p p x x y + +抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设 () 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有两个参数怎么 办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式0?≥,以 及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ,将这两点代入曲线方程得